Trường quán tính, mở rộng không phân nhánh của các mở rộng trường các số p adic

bộ giáo dục và đào tạo Trờng Đại học vinh ===o0o=== Ngô Đức Việt Trờng quán tính, mở rộng không phân nhánh của các mở rộng trờng các số p-adic Chuyên ngành: Đại số - lý thuyết số Mã số: 1.01.03 Luận văn thạc sỹ toán học Ngời hớng dẫn khoa học: PGS - TS: Nguyễn Quý Dy Vinh 2003 --*&*-- -1- Mục lục Trang Mở đầu 3 Chơng1 Các khái niệm cơ sở về mở rộng trờng 5 1.1 Trờng con và trờng mở rộng 5 1.2 Mở rộng hữu hạn 5 1.3 Mở rộng đơn, Mở rộng đại số , Mở rộng hữu hạn sinh 6 1.4 Mở rộng chuẩn,mở rộng Galoa, mở rộng xiclic 11 1.5 Trờng số p-adic 13 1.6 Mở rộng hữu hạn của trờng các số p-adic 21 Chơng 2 Trờng quán tính,mở rộng không phân nhánh của các mở rộng trờng các số p-adic 25 2.1 Trờng quán tính 25 2.2 Tính chất trờng quán tính 25 Kết luận 32 Tài liệu tham khảo 33 -2- Mở đầu Lý thuyết trờng là một trong những vấn đề quan trọng của toán học hiện đại nó đặt nền móng cho việc nghiên cứu các cấu trúc đại số. Tìm hiểu nghiên cứu về lý thuyết trờng là một điều thú vị, nó thực sự hấp dẫn nhiều nhà làm toán. Ngoài ra nó góp phần cho chúng ta hiểu sâu sắc hơn về chơng trình toán THPT; góp phần tích cực bồi dỡng học sinh giỏi. Chẳng hạn, khi xét các đa thức trên trờng số hữu tỷ Q ta nhận thấy rằng những đa thức x 2 - 2, x 2 - 3, .không có nghiệm trên Q, còn đối với trờng khác sẽ nh thế nào? Bài toán đặt ra là chúng ta cần mở rộng trờng để chúng có nghiệm trên trờng đó. Nếu ta xét một mở rộng trờng trên trờng các số p - adic R P thì ta thu đợc kết quả: [K: R P ] = n thì n = e.f, trong đó K là một mở rộng hữu hạn bậc n trên trờng các số p - adic R P , e là chỉ số phân nhánh của trờng K và f là bậc quán tính của tr- ờng K. Khi đó: Nếu e = 1 thì trờng K đợc gọi là mở rộng không phân nhánh và nếu e = n thì trờng K đợc gọi là mở rộng hoàn toàn phân nhánh. Bằng những lý do trên đây và qua thực tiễn giảng dạy toán ở trờng THPT nên chúng tôi chọn đề tài: Trờng quán tính, mở rộng không phân nhánh của các mở rộng trờng các số p-adic. Đây là một bài toán về lý thuyết mở rộng trờng mà vừa qua Thạc Sỹ: Lê Anh Chiến, đã mô tả đợc một số kết quả nh nhóm các đơn vị chính của trờng mở rộng K/ R P . Trong luận văn này chúng tôi tiếp tục đa ra khái niệm trờng quán tính và nghiên cứu một số tính chất của nó. Luận văn đợc chia làm 2 chơng cùng với phần mở đầu và kết luận. Chơng 1: Các khái niệm cơ sở về mở rộng trờng. Chơng 2: Trờng quán tính, mở rộng không phân nhánh của các mở rộng tr- ờng các số p-adic. Trên cơ sở đó trong thời gian tới chúng tôi tiếp tục nghiên cứu cho lớp các mở rộng khác, và hy vọng sẽ thu đợc kết quả tốt. -3- Một phần kết quả chính của luận văn là Trờng quán tính, mở rộng không phân nhánh của các mở rộng trờng các số p-adic, đã đợc gửi đăng trên tạp chí khoa học trờng Đại học Vinh. Luận văn đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn nhiệt tình tận tâm của thầy giáo PGS - TS Nguyễn Quý Dy. Nhận dịp này tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành và lòng biết ơn sâu sắc tới thầy; Ngời đã đặt bài toán và giành nhiều thời gian công sức cho luận văn này. Tác giả rất biết ơn thầy PGS - TS Ngô Sỹ Tùng, TS Nguyễn Thành Quang và các thầy giáo, cô giáo trong tổ đại số, khoa toán đã giúp đỡ động viên, chỉ bảo để tác giả hoàn thành luận văn này. Cuối cùng tác giả bày tỏ lòng biết ơn tới BGH nhà trờng, BCN khoa toán, BCH khoa Sau đại học và các phòng ban liên quan đã tạo điều kiện giúp đỡ, động viên tác giả trong thời gian học tập, nghiên cứu cũng nh làm luận văn tại trờng Đại học Vinh. Một lần nữa tác giả xin nhận đợc những góp ý chân thành của quý thầy giáo, cô giáo cùng các bạn đồng nghiệp. Vinh, tháng 12 năm 2003 Tác giả: Ngô Đức Việt -4- Chơng 1 Các khái niệm cơ sở về mở rộng trờng: 1.1.Trờng con và trờng mở rộng 1.1.1.Trờng mở rộng. Định nghĩa. Cho K và L là các trờng, L đợc gọi là mở rộng của K nếu K là trờng con của L. Ký hiệu: L/K Số chiều của không gian véc tơ L trên K là bậc của trờng mở rộng L/K: [ ] KL : =deg(L/K) 1.1.2.Ví dụ. i)Trờng C các số phức là một mở rộng của trờng R các thực. ii)Trờng Q các số hữu tỷ là trờng con của mọi trờng có đặc số 0. iii)Trờng Q( 2 ) là trờng mở rộng của các trờng Q các số hữu tỷ. 1.2.Mở rộng hữu hạn 1.2.1.Định nghĩa. Trờng L đợc gọi là mở rộng hữu hạn bậc n cuả trờng K nếu L là không gian véctơ n chiều trên K. 1.2.2.Định lý. L là mở rộng hữu hạn bậc m trên Z và Z là mở rộng hữu hạn bậc n trên K thì L là mở rộng hữu hạn bậc m.n trên trờng K, tức là: [ ] KL : = [ ] ZL : . [ ] KZ : = m.n Chứng minh. Ta có: [ ] ZL : = m và [ ] KZ : = n Cho u 1 , u 2 , ., u m là một cơ sở của L trên Z và v 1 , v 2 , ,v n là một cơ sở của Z trên K. Mọi phần tử x L đều có thể viết dới dạng: x = )( Zaua i Ii ii Với a i Z. Mỗi phần tử a i lại có thể viết dới dạng )( Kbvba ij Jj jiji = và do đó = i jiij j vubx . Suy ra các phần tử u i v j lập nên một hệ sinh của không gian véctơ L trên K. Giả sử { } ij C là họ các phần tử thuộc K ta có một quan hệ tuyến tính: 0 = i ji j ij vuC thì j j ij vC = 0 (Vì hệ { } i U ) độc lập tuyến tính). Từ đây suy ra C ij = 0 (Vì hệ { } i V ) độc lập tuyến tính) Vậy các phần tử u i v j là độc lập tuyến tính. Do đó [ ] KL : = m.n. Nên L là mở rộng hữu hạn bậc m.n trên K. 1.2.3.Hệ quả. Cho chuỗi tăng các trờng con của L: K = L 0 L 1 L 2 . L n = L với mọi n > 1 -5- Nếu L i là mở rộng hữu hạn trên trờng L i-1 với (i = 1, 2, 3, . , n) thì L là mở rộng hữu hạn trên K và [L:K] = [L 1 :K].[L 2 :L 1 ] .[L:L n-1 ] 1.3. Mở rộng đơn, mở rộng đại số, mở rộng hữu hạn sinh 1.3.1. Mở rộng đơn. 1.3.1.1. Định nghĩa. Giả sử K[x] là vành đa thức ẩn x trên K, với K là trờng con của L. Phần tử L là nghiệm của đa thức bậc dơng thuộc vành K[x] đợc gọi là phần tử đại số trên K. Phần tử không đại số trên K gọi là phần tử siêu việt. 1.3.1.2. Định nghĩa. Giả sử K L, L, trờng con bé nhất của L chứa K và đợc gọi là mở rộng đơn của K nhờ phần tử , ký hiệu K( ). 1.3.1.3.Ví dụ. Q( 2 ) = {a+b 2 ; a,b Q} là mở rộng đơn của Q nhờ phần tử 2 . 1.3.1.4. Nhận xét. Giả sử L, K[x] là vành đa thức của x khi đó: K[ ] = {f( ) : f(x) K[x]} = {a 0 +a 1 + .+a n n + .;a i K,n N} Dễ dàng thấy rằng K[ ] lập thành vành con của K( ). 1.3.1.5. Định lý. Giả sử K[x] là vành đa thức của x trên K, K( ) là mở rộng đơn của K nhờ , là ánh xạ từ K[x] lên K( ) đặt tơng ứng đa thức f(x) K[x] với f( ) K( ) khi đó: i) aaKa = )(, ii) = )(x iii) là toàn cấu vành. iV)ker( ) = [ ] { } 0)(:)( = fxkxf V)Vành thơng [ ] xK /ker( ) đẳng cấu với vành [ ] K Chứng minh: Xét ánh xạ : [ ] xK k( ) f(x) f( ). i)Với a K, Xét đa thức a = 0x n + +0x+a Ta có: (a) = 0 n + +0 +a = a => (a) = a ii)Xét đa thức: x= 0x n + +1x+0=> (x) = 0 n + +1 +0 = iii) là toàn cấu vành. * đồng cấu vành: Giả sử f(x) = a m x n + +a 1 x + a 0 và g(x) = b n x n + . +b 1 x +b 0 ,là hai đa thức thuộc vành [ ] xK , khi đó ta có: (f(x) + g(x)) = (a 0 + b 0 + +(a i + b i )x i + ) -6- = (a 0 + b 0 ) + +( a i + b i ) i + . =(a 0 + +a i i + ) + (b 0 + .+b i i + .) = (f(x)) + (g(x)) (f(x).g(x)) = (a 0 b 0 + .+ =+ + + 1 . kj kj kj xba = a 0 b 0 + .+ =+ + + 1 . kj kj kj ba =(a 0 + .+a j x j + )(b 0 + +b k x k + ) = (f(x)). (g(x)) Vậy là đồng cấu vành. * là toàn ánh: Giả sử có )( k , khi đó: = a n n + .+a 1 + a 0 , từ đó đa thức f(x) = a 1 x n + +a 1 x + a 0 [ ] xK để (f(x)) = a n n + .+a 1 + a 0 = Vậy là toàn cấu vành. iV)Theo định nghĩa ker( ) V)Suy ra từ iii; iV và định lý đồng cấu vành. 1.3.1.6.Hệ quả. Nếu là siêu việt trên K thì vành [ ] xK đẳng cấu với K( ). Chứng minh. Xét ánh xạ : [ ] xK K( ) f(x) f( ) Hiển nhiên là đồng cấu vành. Nếu là siêu việt trên K , f( ) = 0(f( ) K( )) , khi và chỉ khi f(x) = 0 =>ker( ) = { } 0 . Vậy k( ) [ ] xK / { } 0 = [ ] xK 1.3.2.Đa thức tối tiểu của một phần tử đại số. 1.3.2.1.Định nghĩa. Cho là phần tử đại số trên K. Khi đó có vô số đa thức thuộc vành [ ] xK nhận làm nghiệm. Đa thức có dạng: f(x) = x n + a n-1 x n-1 + + a 1 x + a 0 , a i K , có bậc bé nhất nhận làm nghiệm đợc gọi là đa thức tối tiểu của . Bậc của f(x) gọi là bậc của . 1.3.2.2.Định lý. Nếu là phần tử đại số trên K thì đa thức tối tiểu của là duy nhất. Chứng minh. Giả sử f(x) và g(x) là 2 đa thức tối tiểu của ta cần chứng minh f = g. -7- Thật vậy, dùng thuật toán Ơclit ta có: f(x) = g(x).h(x) + r(x) mà deg(r(x)) < deg(g(x)) =>f( ) = g( ).h( ) + r( ) =>r( ) = 0 => r(x) = 0 => f(x) = g(x).h(x) , mà ta có f(x) và g(x) là hai đa thức cùng bậc =>h(x) = c (c là hằng số thuộc K). Mà lại có f(x) và g(x) có hệ số cao nhất là 1 =>c = 1 vậy f(x) = g(x) 1.3.2.3.Định lý. Giả sử là phần tử đại số trên trờng K, deg( ) = n, K và g(x) là đa thức tối tiểu của , khi đó: i)Nếu f(x) là một đa thức của [ ] xK nhận làm nghiệm thì f(x) chia hết cho g(x) trong [ ] xK ii)g(x) bất khả qui trong [ ] xK iii) [ ] xK /g(x) là một trờng. iV)Vành thơng [ ] K = K( ) Chứng minh. i)Theo thuật toán Ơclit ta có: f(x) = g(x).q(x) + r(x), deg(r(x)) <deg(g(x)) => f( ) = g( ).q( ) + r( ) =>r( ) = 0 (Vì g( ) = 0) =>r(x) = 0 (Vì nếu r(x) khác đa thức 0 thì trái với giả thiết g(x) là đa thức có bậc bé nhất nhận làm nghiệm, do đó r(x) phải là đa thức 0). Vậy f(x) = g(x).q(x) ii)Giả sử g(x) khả qui, suy ra g(x) = h(x).f(x) trong [ ] xK với 1 deg(h(x)) < deg(g(x)) và 1 deg(f(x)) < deg(g(x)) , khi đó g( ) = h( ).f( ). Do tính không có ớc của không ,suy ra h( ) = 0 hoặc f( ) = 0, trái với giả thiết g(x) là đa thức tối tiểu của . Vậy g(x) bất khả qui trong [ ] xK . iii)Theo định lý (1.3.1.5) ta có : [ ] xK K( ) f(x) f( ) là đồng cấu vành. Theo giả thiết là phần tử đại số trên K, nên tồn tại đa thức f(x) 0, f(x) [ ] xK sao cho f( ) = 0 Suy ra f(x) ker( ) và ker( ) 0 Vì ker( ) là một idean chính khác khác không của vành chính [ ] xK , nên ker( ) = <g> là idean sinh bởi g(x) [ ] xK , với g(x) là đa thức bất khả qui, suy ra ker( ) = <g> là idean tối đại, do đó vành thơng [ ] xK /g(x) là một trờng. iV)Theo định lý (1.2.1.3) ta có [ ] xK /ker( ) [ ] K và chứng minh , -8- ker( ) = <g> là idean tối đại sinh bởi đa thức g(x) bất khả qui trong [ ] xK . Từ đó suy ra: [ ] xK /g(x) [ ] K . V)Theo (1.3.1.4) thì [ ] K lập thành vành con của K( ). Ta chứng minh vành [ ] K giáo hoán, có đơn vị và tồn tại phần tử nghịch đảo. Ta có: K( ) = { } Kcccc i n n +++ , 1 110 , tập { } )( 1 110 Kccc n n +++ lập thành một vành giao hoán, có đơn vị 1 = 1+0. + +0. n-1 , chứa , vì = 0 + 1. + +0. n-1 . Với mọi 0),( K đều có nghịch đảo: = c 0 + c 1 + +c n-1 . n-1 0, suy ra có ít nhất một c i 0 (i = 0, , n-1), do đó đa thức f(x) = c 0 +c 1 x + +c n-1 . x n-1 0, đa thức này nguyên tố với đa thức tối tiểu g(x) của (Vì không nhận làm nghiệm), do đó tồn tại các đa thức u(x) và v(x) [ ] xK sao cho: f(x).u(x) + g(x).v(x) = 1 f( ).u( ) + g( ).v( ) = 1 mà g( ).v( ) = 0 =>f( ).u( ) = 1 =>u( ) là nghịch đảo của f( ) = vậy vành [ ] K = K( ). Vậy trong trờng hợp này tồn tại đẳng cấu trờng: 1 : [ ] xK /(g(x)) K( ), sao cho: 1 (x + <g>) = (x) = 1 (a + <g>) = (a) = a, a K . 1.3.2.4.Định lý. Giả sử là phần tử đại số trên K, deg = n, khi đó phần tử bất kỳ K ( ), có thể biểu diễn một cách duy nhất dới dạng: = c 0 +c 1 + +c n-1 . n-1 , c n-1 K . Chứng minh. Theo chứng minh định lý (1.3.2.3), thì tồn tại 1 : [ ] xK /(g(x)) K( ) là đẳng cấu trờng. Nên K ( ) thì = 1 (f(x) + <g>) với f(x) [ ] xK , g(x) là đa thức bất khả qui trên [ ] xK . Khi đó ta viết: f(x) = g(x).h(x) + r(x). Trong đó g(x), r(x) [ ] xK , nếu r(x) 0 thì deg(r(x)) < n, hay r(x) = c 0 +c 1 x + +c n-1 . x n-1 , suy ra: f(x) + <g> = g(x).h(x) + r(x) + <g> = r(x) + <g> ta suy ra = 1 (f(x) + <g>) = 1 (r(x) + <g>) = (r(x)) (Theo chứng minh 1.3.2.3) = r( ) = c 0 +c 1 + +c n-1 . n-1 ,c n-1 K. 1.3.2.5.Hệ quả. Nếu là phần tử đại số bậc n trên K thì K( ) là một không gian véctơ n chiều trên K, có cơ sở là 1, , , n-1 . -9- 1.3.2.6.Hệ quả. Nếu là phần tử đại số bậc n trên K thì K( ) là một mở rộng hữu hạn trên K. 1.3.3.Mở rộng đại số. 1.3.3.1.Định nghĩa. Trờng L đợc gọi là mở rộng đại số của K nếu L đều là phần tử đại số trên K. 1.3.3.2.Định lý. Mọi mở rộng hữu hạn L trên trờng K đều là mở rộng đại số trên K. Chứng minh. Giả sử [ ] KL : = n và L ( 0) khi đó các luỹ thừa của : 1, , 2 , , n là phụ thuộc tuyến tính trên K (Vì giả sử không phụ thuộc tuyến tính trên K đối với tất cả các số nguyên dơng n) => Số chiều của L trên k là vô hạn => mẫu thuẫn). Vì hệ này có n + 1 phần tử, do đó có n + 1 số c 0 , c 1 , , c n không đồng thời bằng 0 sao cho: c 0 +c 1 + +c n-1 . n-1 = 0 khi đó đa thức f(x) = c 0 +c 1 + +c n-1 . n-1 nhận làm nghiệm, hay là phần tử đại số trên K . Vậy L/K là mở rộng đại số. 1.3.4.Mở rộng hữu hạn sinh. 1.3.4.1.Định nghĩa. Giả sử 1 , , n L là các phần tử đại số trên K, L là mở rộng của K. Khi đó trờng con bé nhất chứa K và 1 , 2 , , n đợc gọi là tr- ờng sinh bởi 1 , , n trên K, ký hiệu: K( 1 , , n ). Trờng L đợc gọi là mở rộng hữu hạn sinh trên K nếu L = K( 1 , , n ). 1.3.4.2.Định lý. Giả sử 1 , , n là các phần tử của L đại số trên K. Khi đó K( 1 , , n ) là mở rộng hữu hạn của K. Chứng minh. Theo hệ quả (1.2.3), với L = K( 1 , , n ), ta có: [ ] KL : = [ ] [ ] [ ] KKKKKK :)(.)(:)( .) , , (:) , ,( 112,11-n1n1 , vì mỗi bậc [ ] ) , , (:) , ,( 1-n1n1 KK hữu hạn. Nên bậc [ ] KL : là hữu hạn. Vậy K( 1 , , n ) là mở rộng hữu hạn của K. 1.3.4.3.Định lý. Các điều kiện sau là tơng đơng: (a) L là mở rộng hữu hạn trên trờng K. (b) L là mở rộng đại số hữu hạn sinh trên trờng K. (c) Tồn tại các phần tử 1 , , n L sao cho L = K( 1 , , n ), với i là phần tử đại số trên K( 1 , , i-1 ) với i = 1, 2, ., n. -10- . 13 1.6 Mở rộng hữu hạn của trờng các số p- adic 21 Chơng 2 Trờng quán tính ,mở rộng không phân nhánh của các mở rộng trờng các số p- adic 25 2.1 Trờng quán. quán tính, mở rộng không phân nhánh của các mở rộng tr- ờng các số p- adic. Trên cơ sở đó trong thời gian tới chúng tôi ti p tục nghiên cứu cho l p các mở rộng