Về cơ sở siêu việt của mở rộng trường

Bộ giáo dục và đào tạo Trờng Đại Học Vinh ------------------------------ phùng thị thuý phơng Về CƠ Sở SIÊU VIệT CủA Mở RộNG TRƯờNG luận văn thạc sĩ toán học Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số Mã số : 60.46.05 Ngời hớng dẫn khoa học: PGS.TS. Nguyễn Thành Quang Vinh - 2010 1 môc lôc Trang MỞ ĐẦU 1 CHƯƠNG I CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ 3 1.1. Mở rộng đại số 3 1.2. Mở rộng tách được 7 CHƯƠNG II CƠ SỞ SIÊU VIỆT 11 2.1. Mở rộng siêu việt 11 2.2. Cơ sở siêu việt 14 2.3. Cơ sở siêu việt tách được 16 2.4. Phép lấy đạo hàm 20 KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO MỞ ĐẦU Mở rộng trường là một trong những nội dung cơ bản của lý thuyết trường, có nhiều ứng dụng sâu sắc trong toán học. 2 Nếu k là trường con của trường K thì ta nói K là trường mở rộng của trường k. Giả sử K là trường mở rộng của trường k, khi đó K là không gian vectơ trên k. Mỗi cơ sở của không gian vectơ K trên k cũng sẽ được gọi là cơ sở của mở rộng K trên k. Công cụ cơ sở theo nghĩa độc lập tuyến tính của không gian vectơ đóng góp quan trọng trong việc nghiên cứu mở rộng trường. Mở rộng khái niệm số chiều và độc lập tuyến tính của không gian vectơ, trong mở rộng trường người ta đưa ra khái niệm bậc siêu việt và độc lập đại số. Cho trường mở rộng K/k. Tập con S của K độc lập đại số trên k và tối đại với thứ tự bao hàm được gọi là cơ sở siêu việt của mở rộng K trên k. Hai cơ sở siêu việt bất kỳ của mở rộng K/k có cùng lực lượng và bất biến đó được gọi là bậc siêu việt của K trên k. Khái niệm cơ sở siêu việt cho nhiều ứng dụng trong toán học. Với tất cả lí do đã nêu, chúng tôi quyết định lựa chọn đề tài “Về cở sở siêu việt của mở rộng trường ”. Mục đích chính của luận văn là nhằm hệ thống lại một số khái niệm và kết quả cơ bản có liên quan đến mở rộng siêu việt, cơ sở siêu việt với những ứng dụng khác nhau của nó. Luận văn được chia làm hai chương cùng với phần mở đầu, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo. Trong chương 1, chúng tôi trình bày về các kiến thức cơ sở của mở rộng trường bao gồm mở rộng đại số và mở rộng tách được. Trong chương 2, chúng tôi trình bày về các nội dung của mở rộng siêu việt bao gồm: Mở rộng siêu việt; Cơ sở siêu việt, bậc siêu việt; Cơ sở siêu việt tách được; Phép lấy đạo hàm. Luận văn được thực hiện dưới sự hướng dẫn nghiêm túc và chu đáo của PGS.TS. Nguyễn Thành Quang. Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng kính 3 trọng và biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn PGS.TS. Nguyễn Thành Quang. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới PGS.TS. Ngô Sỹ Tùng, PGS.TS. Lê Quốc Hán, TS. Nguyễn Thị Hồng Loan, TS. Mai Văn Tư và các thầy cô giáo trong Bộ môn Đại số và Khoa Toán, Khoa Đào tạo Sau Đại học đã tận tâm dạy bảo chúng em trong thời gian học tập vừa qua, dưới mái trường Đại học Vinh thân yêu. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới những người bạn học viên cao học khoá 16 chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số đã tận tình giúp đỡ trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, tác giả mong nhận được sự chỉ bảo của các thầy cô giáo cùng các bạn đồng nghiệp. Tác giả 4 CHƯƠNG 1 CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1. MỞ RỘNG ĐẠI SỐ 1.1.1. Định nghĩa. Giả sử K là một trường con của trường E. Khi đó, ta nói rằng E là một trường mở rộng hay là một mở rộng (extension of a field) của trường K. Mở rộng E của trường K được ký hiệu là E/K. Giả sử E là một mở rộng của trường K, ta có thể xem E là một không gian vectơ trên K. Nếu E là không gian vectơ hữu hạn chiều trên trường K, thì ta nói E là mở rộng bậc hữu hạn của trường K. Số chiều n của không gian vectơ E trên K được gọi là bậc của mở rộng E trên K và được ký hiệu [E : K] là bậc của mở rộng E trên K. Như vậy, ta có [ ] EKEn K dim: == . Mỗi cơ sở của không gian vectơ E trên K được gọi là một cơ sở của mở rộng E trên K. 1.1.2. Phần tử đại số Cho K là một trường và E là một mở rộng của K. Phần tử Eu ∈ được gọi là phần tử đại số trên K nếu tồn tại đa thức khác không ( ) [ ] xKxf ∈ sao cho f(u) = 0. Cho Eu ∈ là phần tử đại số trên K. Ta chọn trong tất cả các đa thức khác 0 thuộc K[x] nhận u làm nghiệm một đa thức đơn hệ (hệ số cao nhất bằng 1) có bậc nhỏ nhất, ký hiệu là q(x). Với mỗi phần tử đại số Eu ∈ , đa thức như vậy được xác định duy nhất. Ta gọi q(x) là đa thức cực tiểu của phần tử đại số Eu ∈ . Ta cũng gọi bậc của đa thức cực tiểu q(x) của u trên K là bậc u trên K và ký hiệu là [ ] Ku : . Như vậy là, ta có: [ ] Ku : = deg q(x). 5 Ví dụ. Các số hữu tỉ (nghiệm của đa thức [ ] xQaa ∈+ 10 ) là số đại số; Các số có dạng [ ] xQaa n ∈ , (nghiệm của đa thức [ ] xQax n ∈− ) là số đại số. 1.1.3. Mở rộng đại số Ta gọi mở rộng E của trường K là mở rộng đại số trên K nếu mọi phần tử Eu ∈ đều là phần tử đại số trên K. 1.1.4. Định lý. Mọi mở rộng bậc hữu hạn của trường K đều là mở rộng đại số trên trường K. Chứng minh. Giả sử E là mở rộng hữu hạn bậc n trên K. Khi đó, với mỗi E ∈ α , ta xét hệ gồm (n +1) phần tử thuộc K sau đây: n αααα , .,,,,1 32 . Vì mọi hệ (n +1) vectơ trong không gian vectơ n chiều đều phụ thuộc tuyến tính, cho nên có một hệ thức tuyến tính không tầm thường: , 0 . 2 210 =++++ n n cccc ααα ( ) Kc i ∈ . Nói khác đi, tồn tại một đa thức khác không ( ) [ ] x 0 Kxcxf n i i i ∈= ∑ = để cho 0)( = α f , hay α là phần tử đại số trên trường K.  1.1.5. Định lý. Giả sử F là một mở rộng hữu hạn của trường K có một cơ sở là u 1 , u 2 , … , u n và E là bậc mở rộng hữu hạn của trường F có cơ sở là v 1 , v 2 , … , v m . Thế thì E là mở rộng bậc hữu hạn của trường K có cơ sở gồm n.m phần tử u i v j , với ( ) mjni ≤≤≤≤ 1,1 . Chứng minh. Giả sử K là trường, F là mở rộng của trường K có cơ sở là { u 1 , u 2 ,…, u n }. và E là mở rộng của trường F có cơ sở là {v 1 , v 2 , …, v m }. 6 Khi ú, vi E , ta cú: = = m j jj va 1 , a j F , j = 1,, m. Do j a F nờn ta cú i n i ijj uaa = = 1 , (j = 1,., m), Ka ij T ú: ji n i m j ijj m j i n i ij vuavua = == = = = 1 11 1 vi ( Ka ij ). Vy vi K , ta cú: j m j i n i ij vua = = = 1 1 , vi Ka ij . Mt khỏc, nu 0 1 1 = = = ji n i m j ij vua thỡ 0 1 1 = = = j m j i n i ij vua , vi Ka ij Do { } mi i v ,1 = l c s ca E trờn F nờn ta cú 0 1 = = i n i ij ua , vi Ka ij mj ,1 = . Li cú { } ni i u ,1 = l c s ca F trờn K nờn ta cú a ij = 0, ( ) mjni ,1,,1 == Vy { } mjni ji vu ,1,,1 == l h c lp tuyn tớnh v mi phn t thuc E u biu din c qua nú, nờn { } mjni ji vu ,1,,1 == l mt c s ca E trờn K. T nh lý 1.1.5 va chng minh trờn suy ra 1.1.6. nh lý. Gi s F l trng trung gian ca m rng E/ K. Nu cỏc m rng E/ F v F/ K cú bc hu hn thỡ m rng E/ K cng cú bc hu hn v cú cụng thc: [ E: F] = [E: F] [F : K]. 1.1.7. H qu. Mi a thc bc 3 vụ nghim trờn trng K cng l a thc vụ nghim trờn mi m rng bc 2 m ca K. Chứng minh. Giả sử tồn tại một đa thức q bậc 3 vô nghiệm trên K và có nghiệm trong một mở rộng F bậc 2 m của K. Khi đó, có một phần tử u F là nghiệm của q. Do q là đa thức bất khả quy bậc 3 trên K cho nên [u : K] = [K(u) : K] = 3. Mặt khác, theo định lý 1.1.6, ta có: 2 m = [F : K] = [F : K(u)] [K(u) : K] = 3[F : K(u)]. Điều này kéo theo 3 là ớc của 2 m hay 3 là ớc của 2. Ta gặp phải mâu thuẫn. 7 1.1.8. Trường phân rã của đa thức. Giả sử k là một trường, f(x) là đa thức với bậc n > 0 . Ta định nghĩa trường phân rã của f(x) trên k là trường mở rộng K của k sao cho f(x) phân tích được thành các nhân tử tuyến tính, tức là: ( ) 1 2 ( )( ) ( ), n i f x c x x x K= − α − α − α α ∈L và 1 2 ( , , ., ) n K k= α α α sinh bởi các nghiệm của đa thức f(x). 8 1.2. MỞ RỘNG TÁCH ĐƯỢC 1.2.1. Định nghĩa. Cho E là một trường tuỳ ý và đa thức [ ] xKxf ∈≠ )(0 , với bậc 1 ≥ n . Ta nói đa thức ( ) xf là đa thức tách được (Separable polynomial) trên K nếu và chỉ nếu ( ) xf có n nghiệm phân biệt trong trường phân rã N của nó trên K. Trong trường hợp ngược lại, đa thức ( ) xf được gọi là không tách được trên K. Một phần tử Eu ∈ đại số trên K gọi là phần tử tách được trên K nếu đa thức tối tiểu của u trên K là đa thức tách được trên K. Một mở rộng E của trường K được gọi là mở rộng tách được (separable extension) trên K nếu mỗi phần tử u thuộc E là phần tử tách được trên K. Ta có các mệnh đề sau đây: 1.2.2. Mệnh đề. Đa thức )(xf trên trường K, là đa thức tách được trên K nếu và chỉ nếu )(xf và )(' xf nguyên tố cùng nhau. Chứng minh. Giả sử )(xf là đa thức tách được và ( )(xf , )(' xf ) = dx. Nếu dx có bậc khác 0 thì d(x) sẽ có một nghiệm x 0 trong trường nghiệm của )(xf trên K. Khi đó, ta sẽ có 0)( 0 = xf và 0)(' 0 = xf , hay )(xf có nghiệm bội. Điều này trái với giả thiết )(xf tách được. Đảo lại, giả sử ( )(xf , )(' xf ) = 1. Khi đó, )(xf tách được vì nếu không thế thì )(xf sẽ có nghiệm bội, do đó )(xf và )(' xf có nhân tử chung bậc 1 ≥ .  1.2.3. Mệnh đề. Một đa thức bất khả quy )(xf trên trường K, sẽ là đa thức không tách được trên T nếu và chỉ nếu )(' xf = 0. Chứng minh. Theo mệnh đề 1.2.2, đa thức )(xf không tách được nếu và chỉ nếu ( )(xf , )(' xf ) 1 ≠ . Vì )(xf bất khả quy trên K, nên điều kiện này tương đương với điều kiện ( )(xf , )(' xf ) = )(xf . Vì )(' xf có bậc nhỏ hơn )(xf nên điều này tương đương với )(' xf = 0.  1.2.4. Định lý. Giả sử n ααα , .,, 21 là các phần tử đại số trong đó n αα , ., 2 là phần tử tách được trên một trường K. Khi đó, trong mở rộng E = 9 K( n ααα , .,, 21 ) tồn tại một phần tử c, gọi là phần tử nguyên thuỷ, sao cho E = K(c). Chứng minh. Ta xét với trường hợp K là trường vô hạn. Xét trường hợp n = 2, E = K(u,v) với u, v đại số trên K, trong đó v tách được trên K. Gọi )(xf , ( ) xg là đa thức tối tiểu của u, v. Giả sử u 1 = u, u 2 ,…u r là các nghiệm của )(xf và v 1 = v, v 2 ,… , v s là các nghiệm của ( ) xg . Do giả thiết v tách được trên K nên các nghiệm v 1 = v, v 2 ,… , v s là các nghiệm đơn của ( ) xg . Xét phương trình: u i + xv k = u + xv với mỗi i và 1 ≠ k . Mỗi phương trình đó có nhiều nhất một nghiệm trong K. Vì K là trường vô hạn nên có thể tìm được một phần tử Kt ∈ sao cho ta có: tvutvu ki +≠+ với mọi i và 1 ≠ k . Ta sẽ chứng tỏ rằng phần tử c = u + tv là một phần tử nguyên thuỷ của K(u,v). Thật vậy, vì c ),( vuK ∈ nên ta có ),()( vuKcK ⊆ . Để có bao hàm thức ngược lại ta xét đa thức ( ) xg và f(c-tx) [ ] xcK )( ∈ . Hai đa thức này có chung một nghiệm là v. Ngoài nghiệm v ra, chúng không còn nghiệm chung nào khác, vì tvutvu ki +≠+ hay ik utvc ≠− với mọi i và 1 ≠ k . Do v là nghiệm đơn của ( ) xg nên x – v là ước chung lớn nhất của hai đa thức đã chọn. Vì ( ) xg và f(c-tx) [ ] xcK )( ∈ nên UCLN ( ( ) xg và f(c-tx)) = x - v [ ] xcK )( ∈ . Từ đó có )(cKv ∈ và )(cKtvcu ∈−= . Như vậy, )(),( cKvuK ⊆ . Trường hợp tổng quát được chứng minh quy nạp theo n. Thật vậy, ta có: K( n ααα , .,, 21 ) = K ( )( ) )(),())((, .,, 121 cKbKbK nnnn === − αααααα ).  Ví dụ. 1/ ( ) ( ) baQbaQ += , , với mọi số hữu tỉ không âm a, b. 2/ ( ) ( ) 222,2 33 += QQ . 3/ ( ) ( ) 5325,3,2 ++= QQ . 1.2.5. Định nghĩa. Một trường K được gọi là trường hoàn chỉnh (The perfect field) nếu và chỉ nếu mọi đa thức bất khả quy trên K đều tách được trên K. 10