D x f x u
2.4.7. Mệnh đề Giả sử rằng K là khụng gian mở rộng tỏch được hữu hạn sinh của trường k, cú bậc siờu việt r Thế thỡ khụng gian vectơ D (trờn K) cỏc phộp
của trường k, cú bậc siờu việt r. Thế thỡ khụng gian vectơ D (trờn K) cỏc phộp lấy đạo hàm của trường K trờn k cú số chiều bằng r. Cỏc phần tử t1,…., tr thuộc trường K lập thành một cơ sở siờu việt tỏch được đối với K trờn k trong và chỉ trong trường hợp dt1,...,dtr lập thành cơ sở của khụng gian T trờn K, đối ngẫu với D.
Chứng minh. Nếu t1, …., tr là cơ sở siờu việt tỏch được đối với K trờn k, thỡ theo cỏc trường hợp 1 và 2 của định lý về sự mở rộng, ta cú thể tỡm cỏc phộp lấy đạo hàm D1, ….., Dr của trường K trờn k, sao cho Diti =δij.
Đối với D∈D đó cho, ta đặt ωi =Dti. Thế thỡ hiển nhiờn D=∑ωiDi, nờn Di lập thành cơ sở của khụng gian D trờn K, cũn dti lập thành cơ sở đối ngẫu. Đảo lại, nếu dt1,….,dtr lập thành cơ sở đối ngẫu T trờn K, cũn K khụng phải là mở rộng đại số tỏch được trờn k(t), thỡ theo mệnh đề 2.4.4, ta cú thể tỡm một phộp lấy đạo hàm D, tầm thường trờn k(t) nhưng khụng tầm thường trờn K. Thế thỡ (D,dti) Dti =0với mọi i, mõu thuẫn với việc dt1,…., dtr là cơ sở của khụng gian đối ngẫu. Thành thử K là mở rộng đại số tỏch được trờn
k(t). Cỏc phần tử t1,….., tr độc lập đại số, vỡ trong trường hợp trỏi lại, bậc siờu việt của K trờn k sẽ bộ hơn r. Như vậy t1,…., tr lập thành cơ sở tỏch được đối với K trờn k.