Một số vấn đề mở rộng siêu việt của trường và ứng dụng

Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học Vinh ---------------------------------- PHAN VN ANH Một số vấn đề về mở rộng siêu việt của trờng và ứng dụng Luận văn thạc sĩ toán học Chuyên ngành đại số và Lý thuyết số M số: 60 46 05 ã Ngời hớng dẫn khoa học PGS.TS. NGUYN THNH QUANG 1 Vinh 2010 2 MỞ ĐẦU Trường là một trong những cấu trúc đại số quan trọng được nghiên cứu trong toán học từ khi người ta chứng minh được sự tồn tại của nó trên nhiều hệ thống số: số hữu tỷ, số thực, số phức, số p – adic. Mở rộng trường là nội dung chính được nghiên cứu trong lý thuyết trường. Cách thức tổng quát là bắt đầu với một trường cơ sở và xây dựng một trường rộng hơn chứa trường cơ sở và thoả mãn một số tính chất. Nhiều nhà toán học tên tuổi có liên quan đến lĩnh vực này như Liouville, Hermite, Lindemann, Hinbe, Abel, Galois, Dedekind… Các bài toán mở rộng trường xuất phát từ bài toán giải phương trình đại số. Trong mở rộng trường có hai loại mở rộng đó là mở rộng đại số và mở rộng siêu việt. Ta biết rằng mọi mở rộng đại số của một trường đóng đại số đều là mở rộng tầm thường. Chẳng hạn mọi mở rộng đại số của trường số phức £ đều là £ . Bởi vậy, các mở rộng siêu việt của trường hy vọng đưa lại nhiều kết quả khác có ứng dụng cho nhiều ngành toán học. Với những lý do trên chúng tôi chọn đề tài "Một số vấn đề về mở rộng siêu việt của trường và ứng dụng" để nghiên cứu. Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo nội dung luận văn gồm hai chương. Chương 1. Mở rộng đại số. Chương 2. Mở rộng siêu việt. Nội dung chương 1, giới thiệu các kiến thức cơ sở về mở rộng đại số, mở rộng lặp, lớp các mở rộng đại số được đánh dấu. Nội dung chương 2, giới thiệu các kết quả chi tiết về cơ sở siêu việt, trong đó kết quả đáng chú ý là Định lý 2.1.1 khẳng định hai cơ sở siêu việt của mở rộng 3 trường có cùng lực lượng và chỉ ra tồn tại một quan hệ bao hàm giữa: tập sinh, tập độc lập đại số, cơ sở siêu việt. Trong chương 2, luận văn tập trung tìm hiểu định lý về sự mở rộng các đồng cấu đối với các vành hữu hạn sinh trên trường và hệ quả quan trọng của nó là định lý Hinbe về nghiệm - một định lý có ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học. Ngoài ra, luận văn tiếp tục tìm hiểu định lý Nơte về sự chuẩn hoá của vành đa thức nhiều biến như là một ứng dụng của mở rộng siêu việt của trường. Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Nguyễn Thành Quang. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn đã dành cho tác giả sự hướng dẫn tận tình, chu đáo và nghiêm túc trong quá trình học tập nghiên cứu. Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến PGS.TS. Ngô Sĩ Tùng, TS. Nguyễn Thị Hồng Loan, PGS.TS. Lê Quốc Hán, TS. Mai Văn Tư và các thầy cô giáo trong chuyên ngành Đại số - Khoa Toán và Khoa Đào tạo Sau đại học - Trường Đại học Vinh đã tận tình giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập. Mặc dù đã hết sức cố gắng, luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả mong muốn nhận được sự chỉ bảo của quý thầy cô giáo và các bạn học viên. Vinh, tháng 11 năm 2010 Tác giả PHAN VĂN ANH 4 CHƯƠNG 1 MỞ RỘNG ĐẠI SỐ 1.1. MỞ RỘNG BẬC HỮU HẠN VÀ MỞ RỘNG ĐẠI SỐ Giả sử F là một trường. Nếu F là một trường con của trường E, thì ta cũng nói rằng E là mở rộng của trường F. Ta có thể coi E như một không gian vectơ trên F và ta nói rằng E là mở rộng bậc hữu hạn hoặc bậc vô hạn của F tuỳ theo số chiều của không gian vectơ đó là hữu hạn hay vô hạn. Giả sử F là trường con của E, phần tử α thuộc E được gọi là phần tử đại số trên F, nếu trong F tồn tại các phần tử a o ,…., a n (n ≥ 1) không bằng 0 tất cả, sao cho 0 1 . 0. n n a a a α α + + + = Đối với phần tử đại số α ≠ 0 luôn luôn ta có thể tìm được các phần tử a i trong đẳng thức trên sao cho a o ≠ 0 (bằng cách giản ước cho một luỹ thừa thích hợp của α ). Giả sử X là một biến trên F. Cũng có thể nói rằng phần tử α là phần tử đại số trên F, nếu đồng cấu F[X] → E đồng nhất trên F và chuyển X vào α, có hạt nhân khác không. Trong trường hợp này hạt nhân đó là một iđêan chính, sinh bởi một đa thức p(X) mà đối với nó ta có thể giả thiết là hệ tử cao nhất bằng 1. Ta có đẳng cấu F[X]/p(X) ≈ F[ α ], vì F[ α ] là miền nguyên, nên p(X) là bất khả quy. Nếu p(X) được chuẩn hoá bởi điều kiện là hệ tử cao nhất của nó bằng 1, thì p(X) được xác định một cách duy nhất bởi phần tử α trên F. Ta kí hiệu nó bởi Irr( α ,F,X). Mở rộng E của trường F được gọi là mở rộng đại số, nếu mọi phần tử thuộc E đều là phần tử đại số trên F. 5 1.1.1. Mệnh đề. Mọi mở rộng hữu hạn E của trường F đều là mở rộng đại số trên F. Chứng minh. Giả sử α ∈ E, α ≠ 0. Các luỹ thừa của α 1, α , α 2 , …., α n không thể độc lập tuyến tính trên F đối với tất cả các số nguyên dương n, vì nếu không thì số chiều của E trên F sẽ là vô hạn. Hệ thức tuyến tính giữa các luỹ thừa đó chứng tỏ rằng α là phần tử đại số trên F. Ta chú ý rằng mệnh đề đảo của Mệnh đề 1.1.1 không đúng: Tồn tại các mở rộng đại số vô hạn. Ở dưới ta sẽ thấy rằng trường con của trường số phức gồm tất cả các số đại số trên ¤ là một mở rộng vô hạn của ¤ . Nếu E là mở rộng của trường F, thì ta sẽ dùng kí hiệu [ ] :E F để chỉ số chiều của E coi như một không gian vectơ trên F. Ta sẽ gọi [ ] :E F là bậc của E trên F. 1.1.2. Mệnh đề. Giả sử k là một trường và F ⊂ E là các mở rộng của k. Thế thì: [E : k] = [E : F] [F : k]. Nếu {x i } i ∈ I là cơ sở của trường F trên k và {y j } j ∈ J là cơ sở của trường E trên F, thì { x i y j } (i,j) ∈ I×J là cơ sở của trường E trên k. Chứng minh. Giả sử z ∈ E. Theo giả thiết, tồn tại các phần tử α j ∈ F hầu hết bằng không, sao cho . j j j J z x y ∈ = ∑ Với mỗi j∈J tồn tại các phần tử b ji ∈ k hầu hết bằng 0 sao cho j ji i j I b x α ∈ = ∑ 6 và do đó . ji i j j i z b x y = ∑∑ Điều đó có nghĩa là {x i y j } là hệ sinh của E trên k. Ta cần chứng tỏ rằng hệ đó độc lập tuyến tính. Giả sử {c ij } là họ các phần tử thuộc k, hầu hết bằng 0, sao cho 0. ij i j j i c x y = ∑∑ Lúc đó với mỗi j 0, ji i i c x = ∑ vì các phần tử y j độc lập tuyến tính trên F. Cuối cùng, c ij = 0 với mọi i, vì {x i } là cơ sở của trường F trên k, và mệnh đề được chứng minh. W 1.1.3. Hệ quả. Mở rộng E ⊃ F ⊃ k của trường k là hữu hạn khi và chỉ khi E hữu hạn trên F và F hữu hạn trên k. Như trong trường hợp các nhóm, ta sẽ gọi tháp các trường là chuỗi các mở rộng F 1 ⊂ F 2 ⊂ … ⊂ F n . Điều kiện cần và đủ để tháp hữu hạn là mỗi tầng của nó hữu hạn. Giả sử k là một trường, E là mở rộng của nó và α ∈E. Ta sẽ kí hiệu k( α ) là trường con bé nhất trong E chứa k và α . Nó gồm tất cả các phân thức f( α )/g( α ), trong đó f và g là các đa thức với hệ tử thuộc k và g( α ) ≠ 0. 1.1.4. Mệnh đề. Giả sử α là phần tử đại số trên k. Thế thì k( α ) = k[ α ] và trường k( α ) hữu hạn trên k. Bậc [k( α ):k] bằng bậc của đa thức Irr( α ,k,X). Chứng minh. Giả sử p(X) = Irr( α , k, X). Giả sử đa thức f(X) ∈ k[X] sao cho f( α ) ≠ 0. Thế thì f(X) không chia hết cho p(X), và do đó tồn tại các đa thức g(X), h(X)∈k[X] sao cho 7 g(X)p(X)+h(X)f(X) = 1. Từ đó ta được h( α )f( α ) = 1, nghĩa là f( α ) khả nghịch trong k[ α ]. Thành thử k[ α ] không những là một vành mà là một trường và vì vậy phải bằng k( α ). Giả sử d = degp(X). Các luỹ thừa 1, α ,…, α d-1 độc lập tuyến tính trên k. Thật vậy, giả sử 1 1 1 . 0, d o d a a a α α − − + + + = trong đó a i ∈k, ngoài ra không phải mọi a i = 0. Ta đặt g(X) = a o + …+ a d-1 X d-1 . Thế thì g ≠ 0 và g( α ) = 0. Thành thử g(X) chia hết cho p(X) ta gặp mâu thuẫn. Cuối cùng, giả sử f( α )∈k[ α ], trong đó f(X)∈k[X]. Tồn tại các đa thức q(X), r(X) ∈ k[X] sao cho degr < d và f(X) = q(X)p(X) + r(X). Thế thì f( α ) = r( α ) và ta thấy 1, α , …, α d-1 sinh ra k[ α ] như không gian vectơ trên k. W Giả sử E, F là các mở rộng của trường k. Nếu E và F được chứa trong một trường L nào đó, thì ta kí hiệu EF là trường con bé nhất của L chứa E và F, và gọi nó là hợp tử của E và F trong L. Nếu không cho trước các phép nhúng chìm E và F vào trường chung L, thì ta không thể xác định hợp tử của chúng. 8 1.2. MỞ RỘNG LẶP Giả sử k là trường con của E, α 1 , …., α n là các phần tử thuộc E. Ta ký hiệu 1 ( , ., ) n k α α là trường con bé nhất của E chứa k và 1 , ., n α α . Các phần tử của nó là tất cả các phân thức 1 1, ( , ., ) , ( , ) n n f g α α α α trong đó f, g là các đa thức của n biến với các hệ tử thuộc k và g( α 1 ,…, α n ) ≠ 0. Thật vậy, tập tất cả các phân thức đó lập thành một trường, chứa k và α 1 ,…, α n . Ngược lại, mọi trường chứa k và α 1 ,…, α n đều phải chứa các phân thức đó. Chú ý rằng E là hợp của tất cả các trường con k( α 1 , …., α n ) của nó khi ( α 1 , …., α n ) chạy qua tất cả các họ con hữu hạn các phần tử thuộc E. Có thể định nghĩa hợp tử của một họ con tuỳ ý các trường con của trường L như trường con bé nhất chứa tất cả các trường con của họ đó. Ta nói E hữu hạn sinh trên k, nếu tồn tại một họ hữu hạn các phần tử α 1 ,…, α n thuộc E sao cho E = k( α 1 ,…, α n ). Ta sẽ thấy E là hợp tử của tất cả các trường con hữu hạn sinh của nó trên k. 1.2.1. Mệnh đề. Mọi mở rộng hữu hạn E của trường k là hữu hạn sinh. Chứng minh .Thật vậy, giả sử { α 1 ,…., α n } là cơ sở của trường E coi như một không gian vectơ trên k. Lúc đó hiển nhiên E = k( α 1 ,…, α n ). W Nếu E = k( α 1 ,…, α n ) là một trường hữu hạn sinh và F là một mở rộng của trường k sao cho cả F và E đều được chứa trong L thì EF= F( α 1 ,…, α n ) và trường EF là hữu hạn sinh trên F. Ta sẽ thường vẽ những hình như sau: 9 Các đường xiên chỉ quan hệ bao hàm giữa các trường. Ta cũng sẽ gọi mở rộng EF của trường F là sự nâng E tới F. Giả sử α là phần tử đại số trên trường k và F là mở rộng của k. Giả sử cả hai trường k( α ) và F đều được chứa trong một trường L nào đó. Thế thì α là phần tử đại số trên F. Thật vậy, đa thức bất khả quy của α trên k tất nhiên là có hệ tử thuộc F và cho ta sự phụ thuộc tuyến tính giữa các luỹ thừa của α trên F. Giả sử đã cho tháp các trường k ⊂ k( α 1 ) ⊂ k( α 1, α 2 ) ⊂ … ⊂ k( α 1, …., α n ), trong đó mỗi trường sinh bởi một phần tử trên trường đứng trước nó. Giả sử mỗi phần tử α i là đại số trên k, i = 1,…, n. Như một trường hợp riêng của chú ý ở trên, ta được α i+1 là phần tử đại số trên k( α 1 ,…, α i ). Thành thử, mỗi tầng của tháp là một mở rộng đại số. 1.2.2. Mệnh đề. Giả sử E = k( α 1 ,…, α n ) là mở rộng hữu hạn sinh của trường k, trong đó α i là phần tử đại số trên k với mỗi i = 1, …., n thế thì E là mở rộng đại số hữu hạn của trường k. Chứng minh. Theo các chú ý ở trên, E có thể coi là đỉnh của một tháp mà mỗi tầng đều sinh bởi một phần tử đại số và do đó là hữu hạn theo Mệnh đề 1.1.4. Theo hệ quả của Mệnh đề 1.1.2 ta kết luận rằng E hữu hạn trên k và theo Mệnh đề 1.1.1 nó là mở rộng đại số. W 10 EF E F k . mọi mở rộng đại số của một trường đóng đại số đều là mở rộng tầm thường. Chẳng hạn mọi mở rộng đại số của trường số phức £ đều là £ . Bởi vậy, các mở rộng. toán mở rộng trường xuất phát từ bài toán giải phương trình đại số. Trong mở rộng trường có hai loại mở rộng đó là mở rộng đại số và mở rộng siêu việt.