Một số vấn đề về hàm đơn điệu toán tử và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————–o0o——————– LÀNH THỊ THÙY MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ HÀM ĐƠN ĐIỆU TOÁN TỬ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————–o0o——————– LÀNH THỊ THÙY MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ HÀM ĐƠN ĐIỆU TOÁN TỬ VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Giải Tích Mã số: 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS HỒ MINH TOÀN THÁI NGUYÊN - 2019 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu khoa học độc lập riêng thân hướng dẫn khoa học TS Hồ Minh Toàn Các nội dung nghiên cứu, kết luận văn trung thực chưa cơng bố hình thức trước Ngồi ra, luận văn tơi có sử dụng số kết tác giả khác có trích dẫn thích nguồn gốc Nếu phát gian lận xin chịu trách nhiệm nội dung luận văn Thái Nguyên, ngày 16 tháng 05 năm 2019 Tác giả Lành Thị Thùy Xác nhận khoa chuyên môn Xác nhận người hướng dẫn TS Hồ Minh Toàn i Lời cảm ơn Trong trình học tập nghiên cứu để hồn thành luận văn tơi nhận giúp đỡ nhiệt tình người hướng dẫn, T.S Hồ Minh Tồn Tơi muốn gửi lời cảm ơn mơn Giải tích, Khoa Tốn, tạo điều kiện thuận lợi, hướng dẫn, phản biện để tơi hồn thành tốt luận văn Do thời gian có hạn, thân tác giả hạn chế nên luận văn có thiếu sót Tác giả mong muốn nhận ý kiến phản hồi, đóng góp xây dựng thầy cô, bạn Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 16 tháng 05 năm 2019 Tác giả Lành Thị Thùy ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Lời mở đầu 1 Hàm đơn điệu ma trận 1.1 Một số kiến thức 1.1.1 Ma trận 1.1.2 Toán tử tuyến tính 1.1.3 Khai triển phổ 1.2 Hàm ma trận 1.3 Hàm đơn điệu ma trận 13 Một số ứng dụng hàm đơn điệu ma trận 16 2.1 Bất đẳng thức Jensen 16 2.2 Bất đẳng thức Power-Størmer 23 2.2.1 Vết 23 2.2.2 Bất đẳng thức Power-Stømer 25 Kết luận 31 Tài liệu tham khảo 32 iii Lời mở đầu Ngày nay, tầm quan trọng lý thuyết ma trận biết đến nhiều lĩnh vực kỹ thuật, xác suất thống kê, thơng tin lượng tử, giải tích số, sinh học khoa học xã hội Đặc biệt, giải tích ma trận trở thành chủ đề độc lập toán học số lượng lớn ứng dụng Chủ đề giải tích ma trận thảo luận đại số ma trận, tương đương, đại số tốn tử tuyến tính khơng gian Hilbert hữu hạn chiều Đại số toán tử tuyến tính khơng gian Hilbert n chiều đẳng cấu với đại số ma trận vuông cấp n Một cơng cụ giải tích ma trận định lý phổ trường hợp hữu hạn chiều Gần đây, nhiều lĩnh vực giải tích ma trận nghiên cứu kỹ lưỡng lý thuyết hàm đơn điệu ma trận hàm lồi ma trận, lý thuyết trung bình ma trận, lý thuyết phân hóa thơng tin lượng tử, Lý thuyết hàm nghiên cứu mạnh trở thành chủ đề quan trọng lý thuyết ma trận ứng dụng rộng lớn chúng lý thuyết ma trận lý thuyết lượng tử Hàm đơn điệu toán tử lần C Lăowner nghiờn cu bi bỏo [1] ca ụng năm 1934 Năm 1936, Kraus chứng minh tính đơn điệu tốn tử có mối quan hệ chặt chẽ với tính lồi tốn tử Năm 2008, số ứng dụng lớp hàm lý thuyết lượng tử nhà tốn học Dénes Petz trình bày tài liệu chuyên khảo [2] Tài liệu chuyên khảo [3] nhà toán học F Hiai [4] nhà toán học R Bhatia cẩm nang đầy đủ chi tiết hàm đơn điệu toán tử Bản luận văn trình bày lại số kết chọn lọc hàm đơn điệu toán tử ứng dụng trích dẫn từ tài liệu Ngoài phần mở đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo, luận văn gồm hai chương sau Chương Hàm đơn điệu toán tử Trong Chương tơi trình bày: Thứ nhất, hệ thống hóa kiến thức ma trận tốn tử tuyến tính Thứ hai, trình bày định nghĩa hàm tốn tử (hàm ma trận) số tính chất hàm tốn tử Thứ ba, trình bày định nghĩa hàm đơn điệu toán tử số định lý liên quan, đồng thời đưa số ví dụ nhằm minh họa cho lớp hàm Chương Một số ứng dụng hàm đơn điệu tốn tử Đây phần luận văn Tơi trình bày ứng dụng hàm đơn điệu toán tử Bất đẳng thức Hansen-Pedersen, cho thấy mối liên hệ chặt chẽ hàm đơn điệu tốn tử hàm lồi tốn tử Trình bày ứng dụng lớp hàm Bất đẳng thức Power-Stømer, tơi nhắc lại kiến thức Vết trình bày chứng minh cụ thể cho Bất đẳng thức Đồng thời trình bày ví dụ cụ thể nhằm minh họa cho ứng dụng lớp hàm Do khả thời gian hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi nhiều thiếu sót Ngồi ra, số kết trích dẫn thừa nhận mà bỏ qua chứng minh Tôi mong nhận góp ý q báu từ q thầy để luận văn hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 16 tháng 05 năm 2019 Tác giả Lành Thị Thùy Chương Hàm đơn điệu ma trận Trong phần này, nghiên cứu kết hàm ma trận hàm đơn điệu ma trận 1.1 Một số kiến thức 1.1.1 Ma trận Trong phần này, ta trích lược số kiến thức ký hiệu ma trận (toán tử) liên quan đến nội dung luận văn • Ký hiệu Mmn vành ma trận cấp m × n trường phức C Ta thường ký hiệu chữ in ma trận Ví dụ X ma trận phần tử hàng thứ i cột j X viết xij Các ma trận sau ma trận vuông cấp n • Ký hiệu X := Diag(x1 , x2 , , xn ) ma trận đường chéo (hay ma trận chéo), tức phần tử xij i = j xii = xi với i Ma trận chéo mà phần tử đường chéo gọi ma trận đơn vị Ký hiệu I • Ma trận X ∗ := (X)T = (xji ) ma trận liên hợp X X gọi tự liên hợp (hay Hermite) X ∗ = X Ký hiệu Msa n tập tất ma trận tự liên hợp cấp n • Một ma trận E gọi Unita E −1 = E ∗ Trong trường hợp EE ∗ = E ∗ E = I cột E hệ trực chuẩn • Ma trận A gọi ma trận chuẩn tắc AA∗ = A∗ A Ma trận Hermite ma trận Unita hai trường hợp đặc biệt ma trận chuẩn tắc 1.1.2 Tốn tử tuyến tính Trong luận văn H ký hiệu không gian Hilbert n chiều H với tích vơ hướng , , L(H) tập ánh xạ tuyến tính (hay tốn tử tuyến tính) từ H vào Ta biết, H khơng gian hữu hạn chiều nên ánh xạ tuyến tính liên tục Cố định sở chuẩn E := {e1 , e2 , · · · , en } H Khi đó, ta có tương ứng Θ : L(H) →Mn X →(xij )ni,j=1 , (xij )ni,j=1 ma trận toán tử X sở E Tương ứng Θ đẳng cấu tuyến tính thỏa mãn Θ(XY ) = Θ(X)Θ(Y ), Θ(X ∗ ) = (Θ(X))∗ , ∀X, Y ∈ L(H), tốn tử X ∗ toán tử liên hợp X xác định x, Xy = X ∗ x, y , ∀x, y ∈ H Nhờ đẳng cấu này, ta đồng L(H) với Mn Thay nghiên cứu L(H) ta nghiên cứu Mn Vì hàm tốn tử ta gọi hàm ma trận suốt luận văn Như ánh xạ tuyến tính ta có số khái niệm kết sau: Định nghĩa 1.1.1 (i) Ma trận X ∈ Mn gọi nửa xác định dương u, Xu ≥ 0, ∀u ∈ H Ký hiệu X ≥ (ii) Ma trận X ∈ Mn gọi xác định dương u, Xu > 0, ∀u ∈ H u = Ký hiệu X > Cho X, Y ∈ Msa n ta viết X ≥ Y nghĩa X − Y ≥ Tính chất sau trích [3], Mệnh đề 1.3.2 Mệnh đề 1.1.2 Cho X, Y ∈ Msa n Khi X ≥ Y ⇒ C ∗ XC ≥ C ∗ Y C, ∀C ∈ Mn Chứng minh Lấy véc tơ u, ta có u, C ∗ Y Cu = Cu, Y Cu ≥ Cu, XCu = u, C ∗ XCu Do C ∗ Y C ≥ C ∗ XC Giả sử W khơng gian (đóng) H Khi H = W ⊕ W⊥ Ta gọi ánh xạ tuyến tính T (x) = x1 , x biểu diễn x = x1 + x2 với x1 ∈ W, x2 ∈ W ⊥ , toán tử chiếu trực giao lên W Sau ta nói toán tử chiếu (hay phép chiếu) nghĩa toán tử chiếu trực giao Đặc trưng đại số sau trích [3], Mệnh đề 1.3.4 Mệnh đề 1.1.3 Giả sử T ∈ L(H) Khi mệnh đề sau tương đương (i) T toán tử chiếu; (ii) T ∗ = T = T (iii) h(P XP ) ≥ P h(X)P với X ∈ Msa n có phổ nằm [0, a) P ∈ Mn toán tử chiếu Chứng minh (i) ⇒ (ii) Hiển nhiên theo Mệnh đề 2.1.3 (ii) ⇒ (iii) Từ (ii) áp dụng với X = P , X = (vì X = P tốn tử chiếu) ta có điều phải chứng minh (iii) ⇒ (i) Lấy X, Y ma trận nửa xác định dương, vng cấp n có giá trị riêng không vượt a Lất ≤ l ≤ Đặt Z := Diag(X, Y ), P := Diag(I, 0),  √  lI − (1 − l)I  E :=  √ (1 − l)I lI Dễ dang kiểm tra trực tiếp Z ∗ = Z có phổ nằm [0, a), E Unita P tốn tử chiếu Vì   λX + (1 − l)Y , P E ∗ ZEP =  0 nên Diag(h(lX + (1 − l)Y ), 0) = h(P E ∗ ZEP ) ≥ P h(E ∗ ZE)P = P E ∗ h(Z)EP = Diag(lh(X) + (1 − l)h(Y ), 0) Ta biết ma trận khối nửa xác định dương khối nửa xác định dương So sánh ma trận khối bất đẳng thức vừa thu theo định nghĩa hàm lõm ma trận, ta suy hàm h n- lõm với số tự nhiên n h(0) ≥ 19 Cho hàm h xác định [0, a) Nếu giới hạn bên phải limt→0+ h(t) tồn ta ký hiệu h(0+) := limt→0+ h(t) Định lý 2.1.5 Cho hàm số f : [0, a) → R với < a ≤ +∞ Khi mệnh đề sau tương đương (i) f hàm n-lõm với số tự nhiên n f (0) ≥ 0; (ii) f hàm n-lõm khoảng mở (0, a) với số tự nhiên n f (0+) ≥ f (0) ≥ 0; (iii) s−1 f (s) hàm n-đơn điệu giảm (0, a) với số tự nhiên n f (0+) ≥ f (0) ≥ Chứng minh Ta tiến hành chứng minh theo quy trình sau: (i) ⇔ (ii) (i) ⇒ (iii) (iii) ⇒ (ii) (i) ⇒ (ii) Từ giả thiết f n-lõm (0, a) nên nói riêng f hàm lõm (0, a) Do tồn f (0+) := limt→0 f (t) f (0+) ≥ f (0) (ii) ⇒ (i) Đặt f0 (s) :=    f (0+) s = 0,   f (s) s ∈ (0, a) Khi f0 liên tục [0, a) Lấy X, Y ma trận vuông cấp n cho σ(X), σ(Y ) ⊂ [0, a) Lấy > đủ nhỏ cho phổ X + εI Y + εI tập khoảng (0, a) Khi với < t < 1, ta có f [t(X + I) + (1 − t)(Y + I)] ≥ tf (X + I) + (1 − t)f (Y + I) Khi cho → 0, ta thu f0 (tX + (1 − t)Y ) ≥ tf0 (X) + (1 − t)f0 (Y ) 20 Vậy f hàm n-lõm [0, a) với số tự nhiên n (i) ⇒ (iii) Lấy X, Y Msa n cho X ≥ Y > Đặt A := X −1/2 Y 1/2 Khi AA∗ = X −1/2 Y X −1/2 ≤ I nên A có chuẩn khơng vượt q Theo Mệnh đề 2.1.3), ta có f (Y ) = f (A∗ XA) ≥ A∗ f (X)A = Y 1/2 X −1/2 f (X)X −1/2 Y 1/2 Áp dụng Mệnh đề 1.1.2, ta có B −1/2 f (B)B −1/2 ≥ A−1/2 f (A)A−1/2 Do X −1 f (X) ≤ Y −1 f (Y ) điều chứng tỏ hàm s−1 f (s) hàm n-đơn điệu giảm (0, a) với số tự nhiên n (iii) ⇒ (ii) Trước tiên, ta chứng minh g hàm n-đơn điệu giảm liên tục [0, a) với số tự nhiên n, hàm l(t) := tg(t) hàm n-lõm [0, a) với số tự nhiên n Giả sử X ma trận vuông xác định dương cấp n P ∈ Mn toán tử chiếu Khi X 1/2 P X 1/2 ≥ X Từ ta có g(X 1/2 P X 1/2 ) ≤ g(X) Tác động liên hợp vế bất đẳng thức với P X 1/2 , ta thu P X 1/2 g(X 1/2 P X 1/2 )X 1/2 P ≤ P X 1/2 g(X)X 1/2 P Bây áp dụng Bổ đề 2.1.2, ta g(X 1/2 P X 1/2 )X 1/2 P = X 1/2 P g(P XP ) Do ta có P XP g(P XP ) ≥ P Xg(X)P tức l(P XP ) ≤ P l(X)P Theo Định lý 2.1.4, hàm l hàm n-lõm [0, a) với số tự nhiên n 21 Bây giả sử hàm s−1 f (s) hàm n-đơn điệu giảm (0, a) Theo Định lý 2.1.1, hàm s−1 f (s) liên tục (0, a) Với số dương, đủ f (s + ) nhỏ, hàm liên tục n-đơn điệu giảm [0, a − ) Theo trên, s+ s f (s + ) hàm n-lõm lồi [0, a − ) Cho → 0, ta thu f s+ hàm n-lõm (0, α) Áp dụng trực tiếp định lý vừa chứng minh trên, ta thu được: Hệ 2.1.6 Cho hàm số h : (0, ∞) → (0, ∞) Khi các mệnh đề sau tương đương (i) Hàm h hàm n-đơn điệu với số tự nhiên n; (ii) Hàm s−1 h(s) hàm n-đơn điệu với số tự nhiên n; (iii) h hàm n-lõm với số tự nhiên n; (iv) hàm n-lồi với số tự nhiên n h(s) Ví dụ 2.1.7 Hàm h(s) = st hàm n-lồi (0, ∞) với số tự nhiên n t thuộc [−1, 0] ∪ [1, 2] Chứng minh Áp dụng Hệ 2.1.6 cho hàm h(s) = st với −1 ≤ t ≤ 0, ta h hàm n-lồi khoảng mở J := (0, ∞) Do suy hàm s−t n-đơn điệu J với số tự nhiên n Con trường hợp ≤ t ≤ 2, hàm st−1 n- đơn điệu J Theo Định lý 2.1.5, st hàm n- lồi J Với s không rơi vào truognwf hợp , ta dùng Định lý 2.1.5 lập luận tương tự ta suy hàm h n-lồi với số tự nhiên n 22 2.2 Bất đẳng thức Power-Størmer Trong mục ta chứng minh Bất đẳng thức Power-Stømer cách áp dụng tính chất hàm đơn điệu tốn tử Trước hết ta nhắc lại số kiến thức vết ma trận 2.2.1 Vết Định nghĩa 2.2.1 Vết ma trận vuông X cấp n tổng phần tử đường chéo nó, kí hiệu T r(X) Tức n T r(X) = x11 + x22 + + xnn = xii i=1 Một số tính chất Mệnh đề 2.2.2 (Tính chất tuyến tính) Cho X, Y ∈ Mn c ∈ K, đó: (i) T r(X + Y ) = T r(X) + T r(Y ); (ii) T r(cX) = cT r(X) Chứng minh Giả sử X = (xij )n×n , Y = (yij )n×n c ∈ K (i) Ta đặt C = X + Y , C = (cij )n×n với cij = xij + yij Ta có n T r(X+Y ) = T r(C) = n cii = i=1 n xii +yii = i=1 n xii + i=1 yii = T r(X)+T r(Y ) i=1 (ii) Ta có cX = c(xij )n×n = (cxij )n×n , n T r(cX) = n cxii = c i=1 xii = cT r(X) i=1 Mệnh đề chứng minh Mệnh đề 2.2.3 Cho X, Y ∈ Mn Khi (i) T r(XY ) = T r(Y X) 23 (ii) Nếu X ≤ Y T r(X) ≤ T r(Y ) Chứng minh (i) Giả sử X = (xij )n×n , Y = (yij )n×n Ta đặt C = XY , C = (cij )n×n n với cij = xik ykj Ta có k=1 n T r(XY ) = T r(C) = n n cii = i=1 xik yki (2.1) i=1 k=1 Mặt khác, ta lại có n n yjl xlj T r(Y X) = j=1 l=1 n n = xlj yjl (vì trường có tính chất giao hốn) (2.2) l=1 j=1 n n = xik yki (thay số l = i j = k) i=1 k=1 Từ (2.1) (2.2) suy T r(XY ) = T r(Y X) (ii) Giả sử X ≤ Y hay Y − X ≥ Chọn u = [0 · · · · · · 0] với hệ số vị trí thứ i hệ số lại Vì Y − X nửa xác định dương nên u∗ (Y − X)u ≥ Ta có u∗ (Y − X)u      y −x    11 11 y12 − x12 · · ·       y21 − x21 y22 − x22  =     ··· ···    · · ·   yn1 − xn1 yn2 − x2n  · · · y1n − x1n   · · · y2n − x2n    ··· ···  ···   · · · ynn − xnn 24    y1i − x1i     ···       = y − x ii  · · · · · · = yii − xii ≥  ii      ···    yni − xni n Từ suy (yii − xii ) ≥ i=1 Do T r(Y − X) ≥ kéo theo T r(Y ) − T r(X) ≥ hay T r(X) ≤ T r(Y ) Mệnh đề hoàn toàn chứng minh 2.2.2 Bất đẳng thức Power-Stømer Bất đẳng thức Power-Størmer ([11, Theorem 11.19]) khẳng định T r(X + Y − |X − Y |) ≤ 2T r(X t Y 1−t ), với ma trận xác định dương X, Y ∈ Mn Đây bất đẳng thức quan trọng để chứng minh cận biên Chernoff, lý thuyết lượng tử Bất đẳng thức chứng minh lần [10], sử dụng biểu diễn tích phân hàm st Sau đó, Ozawa đưa chứng minh đơn giản hơn, sử dụng hàm h(s) = st (s ∈ [0, +∞)) đơn điệu toán tử với t ∈ [0, 1] [8, Proposition 1.1] Gần đây, Ogata [11] mở rộng bất đẳng thức với chuẩn đại số von Neumann Nếu hàm h(s) = st thay hàm đơn điệu toán tử khác (lớp nghiên cứu [6]), T r(X + Y − |X − Y |) có cận bé so với kiểm định giả thuyết lượng tử Trong mục này, ta trình bày lại số kết công bố đưa số ví dụ minh họa Bổ đề 2.2.4 [5, Theorem 2.4] Cho f hàm liên tục [0, ∞) Nếu f 2n-đơn điệu, với ma trận nửa xác định dương A phép co C 25 Mn có C ∗ f (A)C ≤ f (C ∗ AC) Mệnh đề 2.2.5 [9, Proposition 2.1] Cho f hàm liên tục [0, ∞) t Nếu f 2n-đơn điệu, hàm g(t) = n-đơn điệu [0, ∞) f (t) Chứng minh Cho A, B ma trận nửa xác định dương Mn 1 cho < A ≤ B Đặt C = B − A , 1 1 C ∗ BC =(B − A )∗ B(B − A ) 1 1 =(A )∗ (B − )∗ B(B − A ) 1 1 =A B − BB − A 1 =A A = A Suy C ≤ Từ f hàm 2n-đơn điệu, −f thoả mãn bất đẳng thức Jensen từ Bổ đề 2.2.4, ta có −f (A) = −f (C ∗ BC) ≤ −C ∗ f (B)C 1 1 −f (A) ≤ −A B − f (B)B − A 1 1 −A− f (A)A− ≤ −B − f (B)B − −Af (A) ≤ −Bf (B) Mặt khác, −1 −1 đơn điệu tốn tử (theo Ví dụ 1.3.6), nên = t (−f (t)/t) t n-đơn điệu Mệnh đề chứng minh f (t) Hệ 2.2.6 Điều kiện 2n-đơn điệu hàm f điều kiện cần để bảo đảm n-đơn điệu hàm g Ví dụ 2.2.7 Chúng ta biết t3 hàm đơn điệu, không 2-đơn t điệu Trong trường hợp hàm g(t) = = không 1-đơn điệu t t 26 Hệ 2.2.8 Cho f 2n-đơn điệu, liên tục [0, ∞)  cho f ((0, ∞)) ⊂ t    (t ∈ (0, ∞)) f (t) (0, ∞), g hàm Borel [0, ∞) xác định g(t) =   0 (t = 0) Khi với cặp ma trận nửa xác định dương A, B ∈ Mn cho A ≤ B g(A) ≤ g(B) Chứng minh Giả sử f 2n-đơn điệu, liên tục [0, ∞) cho f ((0, ∞)) ⊂ (0, ∞), từ Mệnh đề 2.2.5 suy g n-đơn điệu (0, ∞) Từ g(A+ε) ≤ g(B+ε) với ε > 0, mà g liên tục ta suy g(A) ≤ g(B) Hệ chứng minh Định lý 2.2.9 (Bất đẳng thức Power-Stømer) Giả sử A > B > ma trận xác định dương Cn Khi T r(A) + T r(B) − T r(|A − B|) ≤ 2T r(A1−s B s ), (2.3) với s ∈ [0, 1] Chứng minh Cho A, B ma trận xác định dương Cn Với toán tử A − B ta ký hiệu P = (A + B)+ , Q = (A + B)− phần dương âm tương ứng Ta có A − B = P − Q |A − B| = P + Q, A − P = B − Q B + P = A + Q Suy T r(A) + T r(B) − T r(|A − B|) = 2T r(A) + T r(P ) Để chứng minh 2.3 ta chứng minh T r(A) − T r(As B 1−s ) ≤ T r(P ) 27 Ta lại có B + P ≥ B B + P = A + Q ≥ A Vì hàm f (t) = t1−s đơn điệu toán tử với s ∈ [0, 1] nên ta có f (A) ≤ f (B + P ), hay A1−s ≤ (B + P )1−s Vì A1−s ≤ (B + P )1−s nên theo Mệnh đề 1.1.2, ta có (As/2 )∗ A1−s (As/2 ) ≤ (As/2 )∗ (B + P )1−s (As/2 ), đó, As/2 A1−s As/2 ≤ As/2 (B + P )1−s As/2 Theo (ii) Mệnh đề 2.2.3 suy T r(As/2 A1−s As/2 ) ≤ T r(As/2 (B + P )1−s As/2 ) (2.4) Lập luận tương tự với As ≤ (B + P )s (vì hàm f (t) = ts hàm đơn điệu toán tử với s ∈ [0, 1]) theo Mệnh đề 1.1.2 ta có [(B + P )1−s − B 1−s ]s/2 As [(B + P )1−s − B 1−s ]s/2 ≤ [(B + P )1−s − B 1−s ]s/2 (B + P )s [(B + P )1−s − B 1−s ]s/2 hay As/2 [(B + P )1−s − B 1−s ]s/2 As/2 ≤ (B + P )s/2 [(B + P )1−s − B 1−s ]s/2 (B + P )s/2 Theo (ii) Mệnh đề 2.2.3, ta lại có T r(As/2 [(B + P )1−s − B 1−s ]s/2 As/2 ) (2.5) s/2 ≤ T r((B + P ) 1−s [(B + P ) 28 −B 1−s s/2 ] s/2 (B + P ) ) Lập luận tương tự với B s ≤ (B + P )s ta T r((B + P )s/2 B 1−s (B + P )s/2 ) ≥ T r(B) (2.6) Do đó, ta có T r(A) − T r(As B 1−s ) =T r(As/2 A1−s As/2 ) − T r(As/2 B 1−s As/2 ) ( theo (2.4)) ≤T r(As/2 (B + P )1−s As/2 ) − T r(As/2 B 1−s As/2 =T r(As/2 [(B + P )1−s − B 1−s ]As/2 ) ( theo (2.5)) ≤T r((B + P )s/2 [(B + P )1−s − B 1−s ](B + P )s/2 ) =T r((B + P )s/2 (B + P )1−s (B + P )s/2 ) −T r((B + P )s/2 B 1−s (B + P )s/2 ) ( theo (2.6)) ≤T r(B + P ) − T r(B) =T r(P ) Định lý chứng minh Kết sau trường hợp tổng quát Định lý 2.2.9 Hệ 2.2.10 [9] Giả sử f 2n-đơn điệu [0, ∞) cho f ((0, ∞)) ⊂ (0, ∞) Thì với ma trận nửa xác định dương A, B ∈ Mn ta có T r(A + B − |A − B|) ≤ 2T r(f (A)g(B)),  t    (t ∈ (0, ∞)) g(x) = f (t)   0 (t = 0) (2.7) Chứng minh Cho A, B ma trận nửa xác định dương Mn Do tính chất tuyến tính hàm vết ta có T r(A + B − |A − B|) = T r(A) + T r(B) − T r(|A − B|) 29 Giả sử hàm f (t) = ts g(t) = t1−s với s ∈ [0, 1] Vì hàm f g đơn điệu toán tử với f (0, ∞) ⊂ (0, ∞) nên chúng thỏa mãn giả thiết Áp dụng Định lý 2.2.9 với hàm f g ta có điều phải chứng minh Nhận xét 2.2.11 (i) Cho ma trận nửa xác định dương A, B ∈ Mn cho A ≤ B , bất đẳng thức (2.7) trở thành T r(A) ≤ T r (f (A)g(B)) (ii) Theo Mệnh đề 2.2.5, 2n-đơn điệu hàm f điều kiện cần để bảo đảm bất đẳng thức (2.7) Ví dụ 2.2.12 Ta biết f (t) = t3 không 2-đơn điệu Khi đó, với a, b ∈ (0, ∞) bất kỳ, bất đẳng thức (2.7) tương đương với 1 a ≤ f (a) g(b)f (a) , nghĩa là, a b ≤ f (a) f (b) t = không 1-đơn điệu, bất đẳng thức xảy Vậy f (t) t 2n-đơn điệu hàm f điều kiện cần để bảo đảm bất đẳng thức (2.7) Vì 30 Kết luận Trong luận văn thu kết sau Trình bày kiến thức sở tốn tử ma trận, trình bày kiến thức chung hàm đơn điệu ma trận đưa số ví dụ minh họa cho lớp hàm Trình bày số ứng dụng hàm đơn điệu ma trận • Ứng dụng Bất đẳng thức Jensen đồng thời thấy mối quan hệ hàm đơn điệu ma trận hàm lồi ma trận • Ứng dụng Bất đẳng thức Power-Stømer đưa vài hệ tiêu biểu Ngoài ra, luận văn đưa số ví dụ cụ thể minh họa cho ứng dụng lớp hàm 31 Ti liu tham kho ă [1] C.Lăowner (1934), Uber monotone matrix funktionen, Math, Z., 38 , 177-216 [2] Dénes Petz (2008), Quantum Information Theory and Quantum Statistics, Springer, Berlin [3] F.Hiai (2010), Matrix Analysis: Matrix Monotone Functions, Matrix Means and Majorization, Interdiscip Inform Sci., 16 (2),139-248 [4] R.Bhatia (1996), Matrix Analysis, Springer-Verlag, New York [5] F.Hasen, G.K.Pedersen (1982), Jensen’s inequality for operators and Lăowners theorem, Math.Ann., 258 ,229-241 [6] F Hansen, G Ji, J Tomiyama (2004), Gaps between classes of matrix monotone functions, Bull London Math Soc 36, 53–58 [7] R Bhatia (2007), Positive Definite Matrices, Princeton University Press [8] V Jaksic, Y Ogata, C.-A Pillet, R Seiringer, Quantum hypothesis testing and non-equilibrium statistical mechanics, arXiv:1109.3804v1 [math-ph] [9] Đinh Trung Hoa, Hiroyuki Osaka, Hồ Minh Toàn (2013), Linear Algebra and its Applications 438, 242-249 32 [10] K.M.R Audenaert, J Calsamiglia, L.I Masanes, R Munoz-Tapia, A Acin, E Bagan, F Verstraete (2007), The quantum Chernoff bound, Phys Rev Lett 98, 16050 [11] Y Ogata (2011), A generalization of Powers–Størmer isnequality, Lett Math Phys 97 (3), 339-346 33 ... hàm đơn điệu toán tử số định lý liên quan, đồng thời đưa số ví dụ nhằm minh họa cho lớp hàm Chương Một số ứng dụng hàm đơn điệu toán tử Đây phần luận văn Tơi trình bày ứng dụng hàm đơn điệu toán. .. h(s) = −s−1 hàm n -đơn điệu (0, ∞) với số tự nhiên n Chứng minh Ta sử dụng Mệnh đề 1.1.2 để chứng minh Y ≥ X > Y −1 ≤ X −1 Từ suy điều phải chứng minh 15 Chương Một số ứng dụng hàm đơn điệu ma trận... HỌC SƯ PHẠM ——————–o0o——————– LÀNH THỊ THÙY MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ HÀM ĐƠN ĐIỆU TỐN TỬ VÀ ỨNG DỤNG Chun ngành: Giải Tích Mã số: 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS HỒ MINH