Mêtric của trường phân thức và nhóm galois của các mở rộng bậc hữu hạn trên q

mục lục Nội dung Trang lời mở đầu 2 chơng 1: trờng định chuẩn phân thức 4 Đ1.1. Các kiến thức cơ sở về trờng định chuẩn 4 Đ1.2. Mêtric của trờng phân thức 9 Đ1.3. Mêtric giá trị tuyệt đối trên trờng phân thức của vành đa thức hệ số hữu tỉ . 12 chơng 2: nhóm galois của các mở rộng hữu hạn của trờng các số hữu tỉ . 17 Đ2.1. Các kiến thức cơ sở . 17 Đ2.2. Nhóm galois của một số mở rộng hữu hạn của trờng các số hữu tỉ 19 Đ2.3. Biểu đồ bao hàm của tập hợp các trờng con của các trờng số đại số 23 Đ2.4. Trờng các hàm elliptic 27 kết luận 30 tài liệu tham khảo 31 1 Lời nói đầu Đại số học cổ điển đã tìm cách giải các phơng trình đại số: a n x n + a n-1 x n-1 + a 1 x + a 0 = 0 có hệ số thực hoặc hệ số phức, bằng những công thức tờng minh. Trờng hợp ph- ơng trình bậc n = 2; 3; 4, đã có công thức nghiệm bằng căn thức. Nhờ sử dụng nhóm Các phép đối xứng, E. Galois đã xác nhận những cố gắng khi thử giải phơng trình bậc 5 tổng quát bằng căn thức là không có kết quả. Cách tốt nhất để khảo sát nhóm này là xem nó nh là nhóm các tự đẳng cấu của trờng sinh bởi một nghiệm của phơng trình. Vì vậy, chơng 1 của luận văn có mục đích nghiên cứu các trờng (Mở rộng trờng, trờng Mêtric, trờng nghiệm). Nội dung chủ yếu ở đây là xây dựng các Mêtric trên trờng phân thức. Đặc biệt đã diễn đạt đợc một phần ý tởng của định lý Ostrwski trên trờng số hữu tỉ lên trờng phân thức k 0 (t) ( Xem định lý 1.2.3) . Trong trờng hợp, trờng phân thức (x), luận văn đã xây dựng đợc chuẩn tơng tự với chuẩn giá trị tuyệt đối và chứng minh đợc chuẩn này không tơng đơng với chuẩn x-adic của nó. Cũng trong chơng 1, chúng tôi cũng đã xây dựng đợc một số quan hệ thứ tự trên trờng phân thức (x) .Nội dung đó góp phần làm phong phú thêm lý thuyết trờng sắp thứ tự và trờng định chuẩn. Chơng 2 luận văn, tiếp tục nghiên cứu các nhóm Galois của một số mở rộng bậc hữu hạn cuả trờng các số hữu tỉ. ở đây, luận văn đã mô tả đợc các mở rộng bậc hai của trờng số hữu tỉ , và nhóm Galois của nó trên (Xem các mệnh đề (2.2.2) và (2.2.3)). Cũng trong chơng này, chúng tôi cũng đã mô tả đợc nhóm Galois của các mở rộng (i, d ) và trờng nghiệm của đa thức x 4 p (Xem mệnh đề (2.2.3) và (2.2.4)). Tiếp theo, luận văn lập các biểu đồ bao hàm của tập 2 hợp các trờng con là của các mở rộng bậc hữu hạn cuả . Các kết quả chủ yếu ở chơng này, nhằm minh họa cho định lí cơ bản của lí thuyết Galois, xác lập một song ánh 1-1 giữa các nhóm con của nhóm Galois G = Aut K (E) với tập hợp các trờng con cố định (bất biến) của E bởi G. Cuối cùng luận văn đã đề cập đến trờng các hàm Elliptic là trờng phân thức cuả vàng đa thức [x] ghép thêm một nghiệm u của đa thức bất khả quy, q (t) = t 2 (x 2 1 ) (x 2 - 4). ở phần này, luận văn đã chỉ ra đợc một số tính chất đặc thù của trờng các số phức . Đó là, mọi mở rộng bậc hữu hạn của là , mọi mở rộng bậc hữu hạn của 3 là 3 hoặc (Xem 2.4.2 và 2.4.3). Luận văn này đợc thực hiện tại Khoa Toán - Đại học Vinh dới sự hớng dẫn của thầy giáo TS. Nguyễn Thành Quang. Nhân dịp này tôi xin đợc bày tỏ lòng biết ơn đến TS. Ngô Sĩ Tùng, TS . Lê Quốc Hán, PGS. Nguyễn Quý Dy, TH.S Nguyễn Văn Giám và các Thầy Cô giáo trong Bộ môn Đại số Khoa Toán, đã trực tiếp giảng dạy và giúp đỡ tôi trong học tập và làm luận văn. Đặc biệt, tôi xin chân thành cảm ơn TS. Nguyễn Thành Quang đã nhiệt tình hớng dẫn, và giúp đỡ hoàn thành bản luận văn này. Mặc dù tác giả đã rất cố gắng cùng với sự chỉ bảo tận tình của thầy Nguyễn Thành Quang, nhng do năng lực bản thân còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Mong đợc sự thông cảm và đóng góp ý kiến thẳng thắn của các thầy cô và các bạn để luận văn đợc hoàn thiện hơn. Ngời thực hiện: Lu Thuý Hồng 3 ch ơng 1 : trờng định chuẩn phân thức Đ 1.1. Các kiến thức cơ sở về trờng định chuẩn. 1.1.1. Định nghĩa. Trờng là một tập hợp K có nhiều hơn một phần tử, đợc trang bị hai phép toán cộng và nhân thỏa mãn các qui tắc sau : 1- Tính chất giao hoán của phép cộng: a+ b = b + a. 2- Tính chất kết hợp của phép cộng: (a+ b) +c = a+ (b +c). 3- Tồn tại phần tử đơn vị của phép cộng: 0 K sao cho a+ 0 = a. 4- Với mỗi a K -a K sao cho a+(-a) = 0. 5- Tính chất kết hợp của phép nhân: (ab)c = a(bc). 6- Tính chất giao hoán của phép nhân: ab=ba. 7- Tồn tại phần tử đơn vị của phép nhân: 1 K sao cho a.1=a. 8- Với mỗi a K, a 0 , a -1 K: aa -1 = 1. Ví dụ về tr ờng : 1> Các ví dụ thờng gặp là : trờng các số hữu tỷ , trờng các số thực 3, trờng các số phức . 2> Với p N, p>1, vành 9 p các lớp thặng d modp là trờng khi và chỉ khi p là số nguyên tố. 1.1.2. Định nghĩa. Cho K là một trờng, ta gọi đặc số của K là cấp của phần tử đơn vị 1 K trong nhóm cộng của trờng K, nghĩa là số nguyên dơng bé nhất p sao cho : p.1 K = 0. Trờng K đợc gọi là có đặc số 0 nếu s.1 K 0, s N. Kiểm tra đ- ợc rằng, một trờng K tuỳ ý hoặc có đặc số 0 hoặc đặc số nguyên tố p. Chẳng 4 hạn , 3, là các trờng có đặc số 0 còn trờng 9 p với p là số nguyên tố có đặc số p. 1.1.3. Tr ờng định chuẩn . 1.1.3.1. Định nghĩa. Một trờng K cùng với ánh xạ : K 3 đợc gọi là trờng định chuẩn nếu các điều kiện sau đợc thỏa mãn : (1) (a) là các số thực, a K. (2) (0) = 0 ; (a) >0, với 0 a K. (3) (ab) = (a) (b), a,b K . (4) (a+b) (a) + (b), a,b K . 1.1.3.2. Ví dụ về tr ờng định chuẩn : 1) Mỗi một trờng K có một chuẩn tầm thờng: (0) = 0 ; (a)=1 với 0 a K. 2) Trờng số hữu tỷ , trờng số thực 3 là trờng định chuẩn bởi hàm giá trị tuyệt đối : (a) = a 3) Trờng số phức đợc định chuẩn bởi hàm môđun: (a + bi) = 22 ba + 4) Giả sử là trờng các số hữu tỷ, p là một số nguyên tố cố định. Khi đó, với mỗi 0 a ta có thể viết đợc một cách duy nhất: a = (s/t).p n ( n 9), trong đó các số nguyên s và t không chia hết cho p. Ta đặt p (0)= 0; p (a) = p -n , thế thì hàm p sẽ xác định cho ta một định chuẩn. Thật vậy, với 0 a,b ta có: a = (s/t).p n , b = (u/v).p m ( m,n 9) trong đó s, t, u, v là các số nguyên không chia hết cho p. Ta có : a.b = (su/tv).p n+m trong đó su,tv là các số nguyên không chia hết cho p. Vì vậy: p (ab) = p -(n+m) = p -n . p -m = p (a) . p (b). 5 Để chứng minh hàm p trên thỏa mãn điều kịên (4) trong định nghĩa (1.1.3.1) nói trên, ta chứng minh p thỏa mãn một bất đẳng thức mạnh hơn sau đây : p (a+b) max( p (a) . p (b)). Thật vậy, giả sử p (b) p (a) hay n m, ta có: p (a+b) = p ((s/t).p n +(u/v).p m ) = p ((sv.p n-m +ut)/tv).p m . Chú ý rằng tv không chia hết cho p cho nên p (a+b) = p -k , với k m, hay p (a+b) p -m = max( p (a), p (b) ). 1.1.4. Tr ờng định chuẩn không Acsimet . Một định chuẩn trên trờng K gọi là định chuẩn không Acsimet nếu thay điều kiện (4), chuẩn thỏa mãn một điều kiện mạnh hơn là (4): (a+b) max( p (a), p (b) ) a,b K. Ví dụ: Định chuẩn p trên là định chuẩn không Acsimet, ta gọi p là chuẩn p - adic trên . 1.1.5. Các tính chất của tr ờng định chuẩn . Giả sử là một định chuẩn trên trờng K ta có : (1) (1 K ) = (-1 k ) = 1, với 1 k là phần tử đơn vị của trờng K. (2) (a) = (-a), a K. (3) (a) - (b) (a-b), a,b K. (4) (a i ) (a i ), a i K, i= 1,2,.,n. (5) (a -1 ) = (a) -1 , 0 a K . (6) (ab -1 ) = (a)/ (b), a,b K, b 0. 1.1.6. Sự hội tụ trong tr ờng định chuẩn . 6 Giả sử (K, ) là một trờng định chuẩn. 1.1.6.1. Định nghĩa: Một dãy ( n ) n , các phần tử thuộc trờng K đợc gọi là hội tụ về phần tử K nếu ( n - ) 0 khi n . Khi đó, ta gọi là giới hạn của dãy ( n ) n và ký hiệu n , hoặc lim n = . 1.1.6.2. Định nghĩa. Một dãy ( n ) n các phần tử thuộc K đợc gọi là dãy cơ bản (Cauchy) nếu: ( n - m ) 0 khi n,m . 1.1.7. Định lý. Trong trờng định chuẩn(K, ), mọi dãy hội tụ đều là dãy cơ bản. Điều ngợc lại không đúng. Chứng minh. i) Giả sử ( n ) là dãy hội tụ về K, khi đó vì bất đẳng thức: ( n - m ) = ( n - + - m ) ( n - ) + ( m - ). Cho nên : ( n - m ) 0 khi n và m. ii) Ngợc lại , ta chỉ ra rằng tồn tại một dãy cơ bản nhng không phải là dãy hội tụ. Chọn K = với chuẩn giá trị tuyệt đối. Trên xét dãy số sau: a n = 1 + !1 1 + !2 1 + . . . + !n 1 (n= 0,1,2 . . .). Với p < q ta có : 0 < a q - a p = ! . )!()!( q 1 2p 1 1p 1 + + + + < < 1pq 1p1p 1 1p1p 1 1p 1 ++ + ++ + + )()!( . )()!()!( < < + + + + + 1pq 1p 1 1p 1 1 1p 1 )( . )( . )!( < < . !. . )!( pp 1 1p 1 1 1 1p 1 = + + 7 Ta có: 0 < a q - a p < )!.( pp 1 , (q>p), (1) Từ bất đẳng thức (1) suy ra (a n ) n là một dãy cơ bản trên . Bây giờ ta giả sử dãy (a n ) n hội tụ trong , nghĩa là tồn tại lim n a n = l . Khi đó từ (1) cho q, ta có: 0 < l - a p )!.( pp 1 (2) ở (2), chọn p =2 có: 0 < l - a 2 < 4 1 , hay 2,5 < l < 2,75, hay l = n m với m,n , m không chia hết cho n (n >1). ở (2), chọn p = n có: 0 < l - a n !.nn 1 ta có: 0 < ++ ! . ! n 1 1 1 1 n m !.nn 1 Nhân hai vế bất đẳng thức kép này với n! ta có một số nguyên x thỏa mãn : 0 < x n 1 <1 Ta gặp phải một mâu thuẫn. 1.1.8. Định lý. Mêtric trên trờng K là mêtric phi Acsimet trên trờng K khi và chỉ khi (n) 1, với Nn . Chứng minh. (Xem [6]). 8 Đ1.2. Metric của trờng phân thức 1.2.1. Mệnh đề. Ký hiệu K = k 0 (t) là trờng các hàm phân thức trên trờng k 0 . Với mỗi hàm phân thức u K, u 0, ta có thể viết duy nhất dới dạng: u = t m . (f(t)/g(t)) (f(t) 0 , g(t) 0), trong đó f(t) và g(t) là các đa thức trên k 0 . Khi đó hàm : (u) = m ( 0< <1) (0) = 0 là một metric (chuẩn) phi Acsimet trên K. Chứng minh. Với 0 u,v K, ta có: u = t m . (f(t)/g(t)); v = t n . (q(t)/h(t)), trong đó f(0) 0, g(t) 0, q(t) 0, h(t) 0. Do đó : uv = t m+n . f(t).q(t)/g(t)h(t), với f(t).q(t) 0, g(t)h(t) 0. Vì vậy (uv) = m+n = m . n = (u) . (v). Bây giờ giả sử (u) (v) hay m n , nghĩa là n m ta có : u+v = x m .[f(t).h(t) + x n-m .q(t).g(t) ] /g(t).h(t). Do đó: (u+v) = m với m m. Hay (u+v) = m m = max((u), (v)). Tổng quát hơn, ta có mệnh đề sau đây : 1.2.2. Mệnh đề. Cho p(t) là một đa thức bất khả qui trên trờng k 0 . Với mỗi hàm phân thức 0 u K, có thể viết duy nhất dạng : u = p m . (f(t)/g(t)) , trong đó f(t),g(t) là các đa thức không chia hết cho p trong vành đa thức k 0 [ t ] . Khi đó hàm : p (u) = m (0< < 1) , p (u) = 0 xác định một metric phi Acsimet trên K, ta gọi p là metric p-adic trên trờng phân thức K=k 0 (t). 9 Chứng minh. Với 0 u , v k 0 (t), ta viết: u = p m . (f(t)/g(t), v = p n .(q(t)/h(t)), trong đó f(t), g(t), q(t), h(t) k 0 [t] không chia hết cho đa thức p(t) trong vành đa thức k 0 (t). Do đó: uv = p m+n . f(t).q(t)/g(t)h(t) với f(t).q(t), g(t)h(t) không chia hết cho đa thức p(x) (do p(x) bất khả qui). Vì vậy : p (uv) = m+n = m . n = p (u) . p (v). Bây giờ giả sử : p (u) p (v) hay m n nghĩa là n m. Ta có : u+v = p m .f(t)/g(t) + p n . q(t)/h(t) = p m .[f(t) h(t) + p n-m .q(t) g(t)] /g(t)h(t) Do đó: (u+v) = m , m m hay p (u+v) m = p (u) = max( p (u), p (v)). Sau đây, chúng ta phát biểu và chứng minh một định lý là mở rộng một phần của Định lý Ostrowski trên trờng số hữu tỉ , lên trờng phân thức K=k 0 (t). 1.2.3. Định lý. Giả sử là metric không tầm thờng trên trờng phân thức K = k 0 (t) sao cho (f) < 1, f k 0 [ t ] . Khi đó tồn tại duy nhất một đa thức bất khả quy p k 0 [ t ] sao cho = p hay chính là một metric p-adic trên trờng phân thức K = k 0 (t) . Chứng minh. Theo giả thiết định lý (f) < 1, f k 0 [t], do đó (n1 k ) = (n) < 1, n N (trong đó 1 k là phần tử đơn vị của k 0 ). Theo một kết quả cơ sở của lý thuyết trờng metric (Định lý 1.1.8) ta suy ra là mêtric phi acsimet trên K. Nếu với mọi đa thức bất khả quy q(t) của vành đa thức k 0 [t] ta có (q) = 1 thì khi đó từ dạng phân tích của mỗi đa thức: f(t) = q 1 . q 2 q k K[t], với bậc > 1 , 10