Không gian siêu mêtric

Trường đại học Vinh K h o a T oán === === Phạm Bá Giáo K h ô n g g i a n s i ê u m ê t r i c Khóa luận tốt nghiệp đại học Ngành cử nhân khoa học Toán Lớp B 2 - Khóa 41 Toán Cán bộ hướng dẫn khoa học: Trần Văn Hữu Vinh 2004 = = Mục lục Trang Lời nói đầu 2 Các ký hiệu dùng trong khoá luận 4 Chơng 1. Không gian mêtric 5 1.1 Không gian mêtric và sự hội tụ trong không gian mêtric 5 1.2 Dãy Côsi và không gian mêtric đầy đủ 6 1.3 Tập đóng - tập mở 6 1.4 Không gian mêtric compact 8 Chơng 2. Không gian siêu mêtric 10 2.1 Không gian siêu mêtric 10 2.2 Không gian con 2 15 2.3 Tôpô của không gian siêu mêtric 15 2.4 Phần trong của một tập hợp 17 2.5 Giới hạn trong không gian siêu mêtric 19 2.6 Tập đóng - bao đóng 20 2.7 Tập mở và tập đóng trong không gian con 25 2.8 ánh xạ liên tục 26 2.9 Dãy Côsi 29 2.10 Không gian siêu mêtric đầy đủ 30 2.11 Không gian siêu mêtric compact 33 Kết luận 35 Tài liệu tham khảo 3 36 4 Lời nói đầu Trong các giáo trình Giải tích, lý thuyết về không gian mêtric đợc trình bày một cách có hệ thống và đợc sử dụng nh một công cụ hiệu lực để nghiên cứu các khái niệm có liên quan. Trong lý thuyết này, chúng ta gặp một lớp không gian - không gian siêu mêtric mà vẫn giữ đợc phần lớn các kết quả trong không gian mêtric. Bên cạnh đó còn có các kết quả khác mà trong không gian mêtric không có, nh các mệnh đề 2.1.12, mệnh đề 2.6.7, mệnh đề 2.9.4. Tuy nhiên, các không gian siêu mêtric lại đợc trình bày rải rác dới các dạng bài tập trong [1] và [2]. Khoá luận này trình bày lại một cách tơng đối có hệ thống lý thuyết không gian siêu mêtric. Trong không gian mêtric, ngời ta nghiên cứu sự hội tụ, tập đóng và tập mở, ánh xạ liên tục, không gian mêtric đầy đủ, tập compact. Tơng tự, khoá luận này cũng nghiên cứu những vấn đề đó nhng ở trong không gian siêu mêtric. Với mục đích nhằm mô phỏng lại các khái niệm, các định lý đã biết trong không gian mêtric cho không gian siêu mêtric và một số kết quả khác mà trong không gian mêtric không có đợc trình bày dới dạng các mệnh đề. Khoá luận này gồm hai chơng: Chơng 1. Không gian mêtric. Trong chơng này, tác giả trình bày một số định nghĩa và kết quả đã đợc học trong không gian mêtric có liên quan đến việc nghiên cứu ở chơng 2 nh: không gian mêtric và sự hội tụ trong không gian mêtric, tập đóng và tập mở trong không gian mêtric, ánh xạ liên tục tập compact trong không gian mêtric và không gian mêtric đầy đủ. Chơng 2. Không gian siêu mêtric. Chơng này tác giả mô phỏng lại các khái niệm và các kết quả đã biết trong không gian mêtric, đợc trình bày dới dạng các định nghĩa, các mệnh đề, các hệ 5 quả và chứng minh các mệnh đề, các hệ quả đó. Ngoài ra, tác giả còn đa ra các ví dụ về một không gian mêtric nhng không phải là không gian siêu mêtric nh ví dụ 2.1.5, ví dụ 2.1.6; ví dụ về không gian siêu mêtric đầy đủ nh ví dụ 2.10.2. Đề tài này đợc hoàn thành với sự giúp đỡ tận tình của các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán - Trờng Đại học Vinh; các thầy giáo, cô giáo trong tổ Giải tích và sự hớng dẫn chu đáo của thầy giáo hớng dẫn Trần Văn Hữu. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc về sự giúp đỡ quý báu đó. Vì trình độ có hạn nên khoá luận này không tránh khỏi những thiết sót, tác giả rất mong đợc sự chỉ bảo và góp ý của quý thầy cô giáo cùng bạn đọc. Vinh, tháng 4 năm 2004. Tác giả 6 Các ký hiệu dùng trong khoá luận B(x, r)là hình cầu mở tâm x, bán kính r > 0. B[x, r]là hình cầu đóng tâm x, bán kính r > 0. S(x, r) là mặt cầu tâm x, bán kính r > 0. intA là phần trong của tập hợp A. A là bao đóng của tập hợp A. là kết thúc chứng minh. 7 Chơng 1 không gian mêtric 1. 1 không gian mêtric và sự hội tụ Trong không gian Mêtric 1.1.1 Định nghĩa. Không gian mêtric là một cặp ( X, d ) , trong đó X là một tập hợp, d : X ì X R là hàm số xác định trên X ì X thoả mãn các điều kiện : M1) d( x,y ) 0 , x , y X, M2) d( x,y) = 0 x = y, M3) d( x,y ) = d( y, x ), M4) d( x,y ) d( x,z) + d(z,y) , x , y, z X. d đợc gọi là mêtric trong X, (X,d) đợc gọi la không gian mêtric, d(x,y) đợc gọi là khoảng cách giữa x và y . 1.1.2 Định lí. Giả sử (X,d) là không gian mêtric; x, y, u, v X , khi đó d(x,y) - d(u,v) d(x,u) + d(y,v) . 1.1.3 Định nghĩa. Giả sử A, B là các tập con của không gian mêtric (X,d), số d(A,B) đợc cho bởi công thức: d(A, B)= inf { d(x,y) : x A , y B } đợc gọi là khoảng cách giữa hai tập hợp A và B . Đặc biệt khi A={ x } thì d(A, B) = d(x, B) và gọi là khoảng cách từ điểm x đến tập hợp A 1.1.4 Định lí. Giả sử (X,d) là không gian mêtric , tập hợp A X , A , khi đó với mọi x, y thuộc X thì d(x, A) - d(y, A) d(x, y). 1.1.5 Định nghĩa. Cho không gian mêtric (X, d), dãy { x n } trong X đợc gọi là hội tụ đến điểm x thuộc X, nếu với mọi > 0, tồn tại số tự nhiên n 0 , sao cho với mọi n n 0 đều có d(x n ,x) < . Ký hiệu là x n x, khi n . 1.1.6 Định lí. Trong không gian mêtric, một dãy hội tụ thì hội tụ đến một điểm duy nhất. 8 1.1.7 Định lí. Nếu x n x và y n y, khi n trong không gian mêtric thì d(x n y n ) d(x,y) khi n . 1.2 Dãy Côsi và không gian mêtric đầy đủ . 1.2.1 Định nghĩa. Dãy { x n } trong không gian mêtric (X,d) đợc gọi là dãy Côsi nếu > 0 , n 0 N sao cho n, m n 0 ta có : d (x n , x m ) < . 1.2.2 Định lí. Mọi dãy { x n } hội tụ trong không gian mêtric đều là dãy Côsi. Chú ý. Điều ngợc lại của định lí 1.2.2 là không đúng. 1.2.3 Định lí. Nếu dãy Côsi { x n } có mọi dãy con { x nk } hội tụ về x X thì dãy Côsi đó cũng hội tụ về x. 1.2.4 Định nghĩa. i) Không gian mêtric (X,d) đợc gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Côsi trong X đều hội tụ. ii)Tập con Y X đợc gọi là đầy đủ nếu không gian con Y với mêtric cảm sinh là một không gian mêtric đầy đủ. 1.3 Tập đóng - Tập mở - Tập bị chặn 1.3.1 Định nghĩa. Cho không gian mêtric (X,d) , a X , r R , r > 0 i) Tập B(a,r) = {x X : d(x,a) < r }đợc gọi là hình cầu mở tâm a bán kính r. ii) Tập B[a,r] = { x X : d(x,a) r } đựơc gọi là hình cầu đóng tâm a bán kính r . 1.3.2 Định nghĩa. Cho không gian mêtric (X,d) ; A X , a X ; i) Điểm a đợc gọi là điểm trong của A nếu B (a,r ) A , r > 0 . ii) Tập G của không gian mêtric (X, d) đợc gọi là mở nếu mọi điểm thuộc G đều là điểm trong của G. 1.3.3 Nhận xét. Điểm a là điểm trong của A và A B thì a cũng là điểm trong của B. 9 1.3.4 Định lí. Trong không gian mêtric (X, d), U là tập tất cả các tập con mở thì i) X , U , ii) Nếu G n U thì Im G n U, I là một họ chỉ số tuỳ ý, iii) n i 1 = G i U với G i U , i = 1,2., ., n . 1.3.5 Định nghĩa. Cho không gian mêtric (X, d) , x X tập U X đợc gọi là lân cận của điểm x nếu r > 0 sao cho S (x, r) U. 1.3.6 Nhận xét. Nếu U là lân của điểm x và U V thì V cũng là lân cận của điểm x. 1.3.7 Định lí. Giao hữu hạn các lân cận của điểm x trong không gian mêtric là một lân cận của điểm x. 1.3.8 Định lí. Mọi tập con A của không gian mêtric X thì phần trong của A là tập mở lớn nhất đợc chứa trong A. 1.3.9 Định nghĩa. Trong không gian mêtric ( X, d), tập hợp F X đợc gọi là tập đóng nếu X \ F là tập mở trong X. 1.3.10 Định lí. F là họ tất cả các tập đóng của không gian mêtric X, khi đó : i) X, F, ii) F i F thì Ii F i F ( I là họ chỉ số nào đó ), iii) F i F thì n i 1 = F i F . 1.3.11 Định lí. Giả sử (X, d) là không gian mêtric, tập F X là tập đóng khi và chỉ khi { x n } X mà x n x, khi n thì x F. 1.3.12 Định nghĩa. Giả sử (X,d) là không gian mêtric, A X i) Điểm a X đợc gọi là điểm dính của A nếu tồn tại dãy {x n } A sao cho x n a, khi n . ii) Tập tất cả các điểm dính của A đợc gọi là bao đóng của A, kí hiệu là A. 10