Phân loại siêu mặt bậc hai trong không gian ơclit e2 và e3 nhờ các bất biến của hàm đa thức bậc hai

Trờng đại học vinh Khoa Toán Phân loại siêu mặt bậc hai trong không gian Ơclit E 2 và E 3 nhờ các bất biến của hàm đa thức bậc hai Khoá luận tốt nghiệp đại học Ngành cử nhân khoa học toán Chuyên ngành: Hình học Cán bộ hớng dẫn : TS. Phạm Ngọc Bội Sinh viên thực hiện : Trơng Thị Hiền Vân Lớp: 43E2 - Toán Vinh, 5/2007 Lời mở đầu Siêu mặt bậc hai là một trong những khái niệm đợc sử dụng nhiều trong hình học. Việc phân loại siêu mặt bậc hai, cùng với các tính chất của nó, cho ta nghiên cứu hình học một cách có hiệu quả. Ngời ta đã có nhiều cách phân loại khác nhau. Tuy nhiên, do thời gian và năng lực có hạn, chúng tôi lựa chọn đề tài: Phân loại siêu mặt bậc hai trong không gian Ơclit E 2 và E 3 nhờ các bất biến của hàm đa thức bậc hai. Mục đích của khoá luận là sử dụng những bất biến của hàm đa thức bậc 2 để nhận dạng, phân loại đờng bậc 2 trong mặt phẳng ơclit E 2 và mặt bậc 2 trong không gian ơclit E 3 . Khoá luận đợc chia làm 2 chơng: Chơng 1. Siêu mặt bậc 2 trong không gian ơclit và các bất biến của hàm đa thức bậc 2. Trong chơng này, chúng tôi trình bày các cơ sở lý thuyết nhằm phục vụ cho việc khảo sát các siêu mặt bậc 2. Những vấn đề đợc trình bày trong chơng này là: +) Các khái niệm siêu mặt bậc 2, bất biến và bán bất biến của siêu mặt bậc 2 +) Mối liên hệ giữa phép đổi mục tiêu trực chuẩn và những bất biến của hàm đa thức bậc 2. Chơng 2. ứng dụng của bất biến vào nghiên cứu đờng và mặt bậc 2 Trong chơng này, chúng tôi sử dụng những bất biến của hàm đa thức bậc 2 và đa ra lợc đồ nhận dạng, phân loại, lập phơng trình chính tắc của đờng bậc 2 trong mặt phẳng ơclit E 2 và mặt bậc 2 trong không gian ơclit E 3 . Phần cuối của chơng 2, chúng tôi đa ra hệ thống bài tập minh hoạ cho lợc đồ nói trên. Khoá luận đợc hoàn thành vào tháng 5 năm 2007 tại khoa Toán trờng Đại học Vinh. Nhân dịp hoàn thành khoá luận, tác giả xin gửi đến thầy giáo TS. Phạm Ngọc Bội lời cảm ơn chân thành nhất vì sự hớng dẫn, chỉ bảo tận tình của thầy giáo trong suốt quá trình làm khoá luận. 2 Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong Khoa Toán Trờng Đại học Vinh cùng gia đình, bạn bè đã động viên, giúp đỡ trong suốt quá trình tác giả học tập và nghiên cứu. Trong quá trình làm khoá luận, mặc dù đã có nhiều cố gắng nhng do hạn chế về mặt thời gian cũng nh năng lực nên chắc chắn sẽ không tránh khỏi thiếu sót. Tác giả của khoá luận mong muốn thiết tha đợc sự góp ý kiến của các thầy cô giáo trong Khoa và các bạn yêu thích môn Toán học. Vinh, tháng 5 năm 2007 Tác giả 3 Chơng 1 siêu mặt bậc 2 trong không gian ơclit và các bất biến của hàm đa thức bậc 2 I. siêu mặt bậc 2 ([1]) Trong không gian ơclit n chiều E n trên trờng số thực, chọn mục tiêu trực chuẩn {O; n eee , .,, 21 } (*) Xét hàm đa thức bậc 2: F(x) = = n ji 1, a ij x i x j + 2 = n i 1 a i x i + a 0 (1) (trong đó các hệ số a ij , a i , a 0 đều là số thực, các a ij không đồng thời bằng 0 và a ij = a ji ). I.1. Định nghĩa. Tập hợp (S) gồm tất cả những điểm x E n sao cho toạ độ (x 1 , x 2 , ., x n ) của nó thoả mãn phơng trình F(x) = = n ji 1, a ij x i x j + 2 = n i 1 a i x i + a 0 = 0 (2) đợc gọi là một siêu mặt bậc 2. Phơng trình (2) đợc gọi là phơng trình của (S). +) Trong E 2 , siêu mặt bậc 2 còn đợc gọi là đờng bậc 2. Trong E 3 , siêu mặt bậc 2 còn đợc gọi là mặt bậc 2. I.2. Phơng trình siêu mặt bậc 2 dạng ma trận a ký hiệu A = (a ij ) là ma trận vuông cấp n, a ij là các hệ số của x i x j trong F(x). Do a ij không đồng thời bằng 0 nên detA 1. Do a ij = a ji , nên A = A t . Ký hiệu x = n x x x 2 1 , a = n a a a 2 1 là những ma trận cột. Khi đó phơng trình (1) đợc viết dới dạng ma trận x t Ax + 2a t x + a 0 = 0 (3) Rõ ràng hàm đa thức bậc hai F(x) đợc hoàn toàn tơng ứng với ma trận 4 A ~ = Aa aa t 0 = nnnnn n n aaaa aaaa aaaa 21 112111 210 (4) Ta sẽ nói rằng (S) xác định bởi ma trận A ~ . Xét một mục tiêu trực chuẩn khác {O; n ee .,, 1 } (**) Giả sử phép biến đổi tọa độ từ mục tiêu (*) sang mục tiêu (**) cho bởi phơng trình x = Cx + d (5) trong đó d = n d d d 2 1 , C là ma trận trực giao. Thay vào phơng trình (3) ta đợc (Cx + d) t A(Cx + d) + 2a t (Cx; + d) + a 0 = 0 (C t t x + d t )(ACx + Ad) + 2Ca t x + 2a t d + a 0 = 0 C t AC t x x + C t Ad t t x + ACd t x + Ad t d + 2Ca t x + 2a t d + a 0 = 0 (6) Vì t x C t Ad = d t ACx (hai vế của đẳng thức là những ma trận vuông cấp 1 nên chuyển vị của ma trận này bằng ma trận kia), nên phơng trình (6) trở thành C t AC t x x + d t ACx + d t ACx + Ad t d + 2Ca t x + 2a t d + a 0 = 0 C t AC t x x + 2d t ACx + 2Ca t x + d t Ad + 2a t d + a 0 = 0 C t AC t x x + 2C t Ad t x + 2C t ax t + d t Ad + 2a t d + a 0 = 0. Đặt A = C t AC a = C t ad + C t a 0 a = d t Ad + 2a t d + a 0 . Khi đó, phơng trình (3) của (S) đối với mục tiêu (**) là x t A x + 2a t x + 0 a = 0 và hàm đa thức bậc hai đợc xác định bởi dạng ma trận A ~ = 5 Aa aa t 0 Ta đặt tơng ứng phép đổi tọa độ (5), với ma trận C ~ = Cd 01 , (7) và gọi C ~ là biểu diễn của phép biến đổi tọa độ (5). Dễ dàng thấy rằng A ~ = CAC t ~~~ (8) Công thức (8) cho ta mối liên hệ giữa các ma trận A ~ , A ~ xác định phơng trình của (S) đối với mục tiêu (*), (**). II. Bất biến và bán bất biến của hàm đa thức bậc 2 ([1]) II.1. Định nghĩa. +) Xét tập M gồm tất cả các ma trận đối xứng A ~ dạng (4) với các biến đổi của M vào chính nó: A ~ t C ~ A ~ C ~ (với C ~ là ma trận dạng (7)). Một hàm : M R trên M gọi là bất biến đối với mọi phép biến đổi nói trên nếu có ( A ~ ) = ( t C ~ A ~ C ~ ) với mọi A ~ M và mọi C ~ nói trên (nên loại trừ hàm hằng). Hàm nh thế gọi là bất biến (thờng gọi là bất biến của hàm đa thức bậc 2). Nhận xét: Qua định nghĩa trên ta thấy, bất biến đối với mọi biến đổi dạng trên tơng đơng với bất biến đối với mọi phép biến đổi mục tiêu ơclit hay đối với mọi biến đổi đẳng cự của E n . +) Nếu hạn chế chỉ xét các biến đổi dạng A ~ Q t A ~ Q (với Q = C0 01 , C là ma trận trực giao) thì hàm : M R mà ( A ~ ) = (Q t A ~ Q) với mọi A ~ M và với mọi Q nói trên gọi là bán bất biến. +) Nếu bán bất biến mà còn bất biến với các phép tịnh tiến, tức ( A ~ ) = (T t A ~ T) với mọi A ~ M và mọi T = n Id 01 , thì trở thành bất biến vì mọi C ~ có thể phân tích thành C ~ = Cd 01 = n Id 01 C0 01 = C0 01 n Id 01 +) Ta có det(A - I n ) = (- ) n + (- ) n -1 I 1 + (- ) n -2 I 2 + . + I n . 6 Khi đó I r = <<< n iii . 21 rrrr r r iiiiii iiiiii iiiiii aaa aaa aaa 21 22212 12111 là các hệ số của đa thức trong det(A - I n ). Xét hàm I r (r = 1, 2, ., n), với I n : M R, ta có các định lý sau A ~ I r II.2. Định lý. Các hàm I r (r = 1, 2, ., n) nói trên là những bất biến. Chứng minh. Ta có det(A - I n ) = det(C t AC - I n ) = det(C t (A - I n )C) = detC t det(A - I n ) detC = (detC t detC) det(A - I n ) = detC -1 C) det(A - I n ) = det(A - I n ) (C t = C -1 do C là ma trận trực giao). Suy ra det(A - I n ) = det(A - I n ). Vậy theo định nghĩa, ta suy ra các I r là những bất biến. II.3. Định lý. Hàm : M R đợc xác định bởi: A ~ det n t IAa aa 0 là một bán bất biến (với I là ma trận đơn vị cấp n, là một số bất kỳ). Chứng minh. Để chứng minh hàm đợc xác định nh trên là một bán bất biến, ta cần chứng minh (Q t A ~ Q) = ( A ~ ). Thật vậy, ta có A ~ = Aa aa t 0 ( A ~ ) = det n t IAa aa 0 . Gọi A ~ = Q t A ~ Q, ta có A ~ = Aa aa t 0 , trong đó 0 a = a 0 , a t = a t C (Q t A ~ Q) = det n t IAa aa 0 = det n tt t IACCaC Caa 0 7 = det t C0 01 n t IAa aa 0 C0 01 = det n t IAa aa 0 = ( A ~ ) ( det t C0 01 = det C0 01 = 1, vì C là ma trận trực giao). Vậy (Q t A ~ Q) = ( A ~ ). Từ định lý trên ta có hệ quả sau: II.4. Hệ quả. Các hệ số của đa thức bậc n của det n t IAa aa 0 = (- ) n K 1 + (- ) n -1 K 2 + . + (- )K n + K n +1 trong đó K 1 = a 0 , K n +1 = det A ~ , K r +1 = <<< r III . 21 rrrr r iiiii iiiii irii aaa aaa aaa 2 1211 0 1 là các bán bất biến. II.5. Biểu thức toạ độ dạng chính tắc Trong mục này ta chứng minh rằng bằng các phép đổi ma trận trực chuẩn thích hợp ta đa phơng trình của siêu mặt bậc hai (S) về dạng chính tắc. Trong không gian ơclit E n với mục tiêu trực chuẩn {O; n eee , .,, 21 }. Cho siêu mặt bậc hai (S) có phơng trình x t Ax + 2a t x + a 0 = 0 (1) Vì A là ma trận đối xứng nên có ma trận trực giao C để C t AC có dạng chéo. Ta dùng phép biến đổi toạ độ trực chuẩn x = Cx, thì trong mục tiêu mới, phơng trình (S) có dạng: (Cx) t ACx + 2a t Cx + a 0 = 0 x t C t ACx + 2a t Cx + a 0 = 0 (2) (trong đó C t AC = C -1 AC có dạng chéo) hay (2) có dạng: == + n i ii n i ii xCxb 11 2 2 + a 0 = 0 (3) (với b i 0, với mọi i = 1, 2, ., r). Dùng phép biến đổi tọa độ trực chuẩn: 8 += = =+ = nrjxx ri b c xx jj i i ii , .,1, ,1, thì phơng trình (3) trở thành = r i 1 b i 2 i x + 2 += n rj 1 c j j x + d = 0 (4) Có các trờng hợp sau: II.5.1. Nếu c j = 0, j = r + 1, . và d 0, thì phơng trình của (S) có dạng = r i 1 i 2 i x + m = 0, 1 r n (I) II.5.2. Nếu c j = 0, j = r +1, . và d = 0 thì phơng trình của (S) có dạng = r i 1 i 2 i x = 0, 1 r n (II) II.5.3. Nếu r < n, c j 0, chẳng hạn c r +1 0. Khi đó ta đặt m = += n rj j c 1 2 , m c c j j = thì (4) có thể viết lại là = r i 1 b i 2 i x + 2m + += m d xc n rj jj 2 1 = 0 Dùng phép đổi mục tiêu trực chuẩn += = + = = = += += + nrkxX m d xcX rixX n rj jkk n rj jjr ii j ,2, 2 ,1, 1 1 1 Chọn j k để ma trận của phép biến đổi trên là ma trận trực giao. Khi đó phơng trình (S) đối với mục tiêu trực chuẩn mới có dạng 9 = r i 1 b i X 2 i + 2mX r +1 = 0. (III) Nh vậy bao giờ cũng tồn tại mục tiêu trực chuẩn để phơng trình (S) đối với mục tiêu đó có dạng I, II, hoặc III. Ba dạng (I), (II), (III) gọi là dạng chính tắc của phơng trình siêu mặt bậc 2. II.6. Nhận xét Theo mục I, II các phép biến đổi toạ độ nói trên không làm thay đổi các đại l- ợng, hay nói cách khác các đại lợng này là bất biến J r , r = 1, ., n, K n +1 = det A ~ Suy ra rằng, nếu siêu mặt bậc hai có phơng trình đối với mục tiêu trực chuẩn ban đầu là [x t ]A[x] + 2[a][x] + a 0 = 0 (IV) hay nói gọn là biểu diễn bởi A ~ = Aa aa t 0 ta nói rằng A ~ có biểu diễn chính tắc là (I), (II), (III) nên siêu mặt bậc hai có ma trận lớn là A ~ biểu diễn chính tắc dạng I, II, III (tơng ứng). Gọi A ~ (I) , A ~ (II) , A ~ (III) tơng ứng là ma trận của (S) đối với mục tiêu cho ta các phơng trình (I), (II), (III) tơng ứng. Rõ ràng A ~ (I) = 0 0 0 0 1 r m , 1 r n. A ~ (II) = 0 0 0 0 0 1 r , 1 r n. 10 . tài: Phân loại siêu mặt bậc hai trong không gian Ơclit E 2 và E 3 nhờ các bất biến của hàm đa thức bậc hai. Mục đích của khoá luận là sử dụng những bất biến. Tác giả 3 Chơng 1 siêu mặt bậc 2 trong không gian ơclit và các bất biến của hàm đa thức bậc 2 I. siêu mặt bậc 2 ([1]) Trong không gian ơclit n chiều E n