Siêu mặt tịnh tiến trong không gian rn+1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐẶNG THỊ THI THÙY SIÊU MẶT TỊNH TIẾN TRONG KHƠNG GIAN Rn+1 Chun ngành: HÌNH HỌC VÀ TƠPƠ Mã số:60.46.01.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Cán hướng dẫn khoa học PGS TS TRẦN ĐẠO DÕNG Huế, năm 2017 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tôi, số liệu kết nghiên cứu luận văn trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa công bố cơng trình khác Đặng Thị Thi Thùy ii LỜI CẢM ƠN Trước hết, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc xin gửi lời cảm ơn chân thành đến PGS TS Trần Đạo Dõng, người Thầy hướng dẫn suốt thời gian thực luận văn tạo điều kiện để tơi tìm hiểu, hồn thành đề tài thân Tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy cơ, đặc biệt q thầy Khoa Tốn Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế nhiệt tình giảng dạy truyền thụ kiến thức cho năm vừa qua Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn đến gia đình bạn bè quan tâm giúp đỡ, động viên suốt chặng đường học tập vừa qua Xin trân trọng chân thành cảm ơn ! Đặng Thị Thi Thùy iii Mục lục Trang phụ bìa i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mục lục Lời nói đầu Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Siêu mặt qui khơng gian Rn+1 1.1.1 Các định nghĩa 1.1.2 Dạng I, II 1.2 Siêu mặt cực tiểu không gian Rn+1 1.2.1 Độ cong trung bình, độ cong Gauss 1.2.2 Phương trình Lagrange cho siêu mặt 10 1.3 Mặt tịnh tiến với độ cong không gian R3 13 Siêu mặt tịnh tiến với độ cong 16 2.1 Siêu mặt tịnh tiến không gian Rn+1 16 2.2 Siêu mặt tịnh tiến cực tiểu không gian Rn+1 17 2.3 Siêu mặt tịnh tiến với độ cong không gian Rn+1 26 2.4 Siêu mặt tịnh tiến với độ cong không gian Ln+1 30 2.4.1 Không gian Lorentz - Minkowski Ln+1 30 2.4.2 Siêu mặt tịnh tiến với độ cong không gian Ln+1 31 Kết luận 41 Tài Liệu Tham Khảo 42 LỜI NÓI ĐẦU Trong R3 , mặt gọi mặt tịnh tiến xác định tham số hóa sau: X: U −→ R3 (x, y) −→ X(x, y) = (x, y, z), U miền mở chứa R2 z = f (x) + g(y), với f, g hàm trơn Năm 1835, Scherk chứng minh rằng, ngồi mặt phẳng mặt tịnh tiến cực tiểu mặt xác định cosax z = ln , a cosay a số khác khơng Mặt gọi mặt tịnh tiến cực tiểu Scherk Năm 1991, Dillen, Verstraelen Zafindratafa mở rộng mặt tịnh tiến không gian Euclide 3-chiều R3 lên siêu mặt tịnh tiến không gian Euclide (n + 1)-chiều Rn+1 Một siêu mặt tịnh tiến S không gian Euclide Rn+1 đồ thị hàm f: Rn −→ R (x1 , · · · , xn ) −→ f (x1 , · · · , xn ) = f1 (x1 ) + · · · + fn (xn ), với f1 , f2 , · · · , fn hàm biến số thực trơn Hơn nữa, nhiều tính chất thú vị siêu mặt tịnh tiến cực tiểu, siêu mặt tịnh tiến với độ cong trung bình hằng, độ cong Gauss không gian Euclide nhiều chiều khảo sát tiếp tục mở rộng số không gian khác liên quan không gian Lorentz-Minkowski, không gian Hyperbolic, Với mong muốn tìm hiểu nội dung định hướng Thầy giáo hướng dẫn, PGS TS Trần Đạo Dõng, chọn đề tài “Siêu mặt tịnh tiến không gian Rn+1 ” làm đề tài nghiên cứu cho luận văn Nội dung luận văn gồm hai chương sau: Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương nhằm giới thiệu số khái niệm siêu mặt khơng gian Rn+1 siêu mặt qui, cơng thức tính độ cong Gauss, độ cong trung bình, phương trình Lagrange Ngồi ra, chúng tơi giới thiệu số kết mặt tịnh tiến, mặt tịnh tiến cực tiểu, mặt tịnh tiến có độ cong không gian R3 Chương 2: Siêu mặt tịnh tiến với độ cong Trong chương này, khảo sát siêu mặt tịnh tiến không gian Rn+1 tính chất siêu mặt tịnh tiến cực tiểu, siêu mặt tịnh tiến với độ cong trung bình hằng, độ cong Gauss không gian Rn+1 Hơn nữa, mở rộng kết tương tự cho không gian Lorentz - Minkowski (n + 1)-chiều Tuy cố gắng nhiều, hạn chế mặt thời gian lực thân, luận văn khơng tránh khỏi sai sót Tơi mong nhận ý kiến đóng góp quý Thầy Cô bạn để luận văn hoàn thiện Huế, tháng năm 2017 Đặng Thị Thi Thùy Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, giới thiệu khái niệm siêu mặt không gian Rn+1 siêu mặt qui, độ cong Gauss, độ cong trung bình, phương trình Lagrange Ngồi ra, chúng tơi giới thiệu số kết mặt tịnh tiến, mặt tịnh tiến cực tiểu, mặt tịnh tiến có độ cong không gian R3 Các kiến thức chương tham khảo từ tài liệu [1], [2], [5] Siêu mặt qui khơng gian Rn+1 1.1 1.1.1 Các định nghĩa Siêu mặt tham số n-chiều S không gian Rn+1 ánh xạ khả vi: X: U −→ Rn+1 (u1 , , un ) −→ X(u1 , , un ), với U miền mở chứa Rn Kí hiệu S = X(u1 , , un ) Ánh xạ X gọi tham số hóa S X(U) lân cận tọa độ S Tập S ⊂ Rn+1 gọi siêu mặt qui với điểm p ∈ S tồn lân cận V ⊂ Rn+1 p tham số hóa: X: U ⊂ Rn −→ Rn+1 (u1 , , un ) −→ X(u1 , , un ), X(u1 , , un ) = (x1 (u1 , , un ), , xn+1 (u1 , , un )) thỏa mãn ba điều kiện sau: Ánh xạ X khả vi, nghĩa xi , với i = 1, , n + hàm có đạo hàm riêng cấp Ánh xạ X đồng phôi từ U lên V ∩ S , nghĩa X có ánh xạ ngược X −1 : V ∩ S −→ U liên tục Ánh xạ X qui, nghĩa rank X  ∂xi ∂uj ∂xi = n với ∂uj ∂x1 ∂u1 ∂x2 ∂u1 ∂x1 ∂u2 ∂x2 ∂u2 ∂u1 ∂u2     =    ∂xn+1 ∂xn+1 ∂xi ∂uj ∂x1 ∂un ∂x2 ∂un ma trận Jacobi         ∂xn+1  ∂un Cho S siêu mặt tham số qui Rn+1 Xui (p) = ∂x1 ∂xn , , (p), ∂ui ∂ui ∀i = 1, , n Không gian vectơ sinh hệ vectơ độc lập tuyến tính {Xui (p), i = 1, , n} gọi không gian tiếp xúc S p Ký hiệu: Tp S Rõ ràng, dimTp S = n Ta xem Tp S phẳng n-chiều qua p sinh {Xui (p)} Không gian vectơ trực giao với Tp S gọi không gian pháp S p Ký hiệu: Np S Mỗi vectơ N = Np S gọi vectơ pháp S p Với S siêu mặt n-chiều Np S đường thẳng (dimNp S = 1) trực giao với Tp S p Nhận xét 1.1.1 Nếu siêu mặt qui S có tham số hóa X(u1 , , un ) vectơ pháp đơn vị S N= 1.1.2 Xu ∧ · · · ∧ Xu n |Xu1 ∧ · · · ∧ Xun | Dạng I, II Định nghĩa 1.1.1 Tích vơ hướng thơng thường khơng gian Rn+1 cảm sinh tích vơ hướng lên khơng gian tiếp xúc Tp S Do đó, với hai vectơ tiếp n xúc a = n bj Xuj ∈ Tp S ta có: X u i , b = i=1 j=1 n a, b p n = Xui , Xuj bj i=1 j=1 Định nghĩa 1.1.2 Với không gian tiếp xúc Tp S , ánh xạ Ip : Tp S × Tp S −→ R n −→ Ip (a, b) = a, b (a, b) p Xui , Xuj bj = i,j=1 dạng song tuyến tính, xác định dương Ánh xạ Ip gọi dạng thứ siêu mặt S p Các hệ số gij := Xui , Xuj gọi hệ số dạng thứ ma trận (gij ) ma trận dạng thứ Định nghĩa 1.1.3 Một trường vectơ siêu mặt S ánh xạ F : S −→ Rn+1 Trường vectơ F gọi liên tục, khả vi ánh xạ F liên tục, khả vi • Nếu F (p) ∈ Tp S, ∀p ∈ S F gọi trường vectơ tiếp xúc S • Nếu F (p) ∈ Np S, ∀p ∈ S F gọi trường vectơ pháp S Định nghĩa 1.1.4 Một siêu mặt qui S gọi định hướng có trường pháp vectơ đơn vị liên tục N xác định toàn S Khi trường pháp vectơ N gọi định hướng S Ta gọi S với trường pháp vectơ đơn vị N siêu mặt qui định hướng Kí hiệu: (S, N ) Nhận xét 1.1.2 Do lân cận tọa độ X(U ) có trường pháp vectơ đơn vị khả vi N (p) = Xu ∧ · · · ∧ Xu n nên nói siêu mặt |Xu1 ∧ · · · ∧ Xun | qui định hướng cách địa phương Định nghĩa 1.1.5 Cho (S, N ) siêu mặt qui định hướng Ta chọn pháp vectơ đơn vị p ∈ S là: N (p) = Xu ∧ · · · ∧ Xu n (p) |Xu1 ∧ · · · ∧ Xun | Vì |N (p)| = 1, ∀p ∈ S nên xem N ánh xạ khả vi từ siêu mặt qui S vào siêu cầu đơn vị S n Ánh xạ N : S −→ S n gọi ánh xạ Gauss siêu mặt định hướng S Nhận xét 1.1.3 i) Theo định nghĩa, ánh xạ Gauss khả vi Khi đó, đạo hàm N điểm p ∈ S ánh xạ tuyến tính DNp : Tp S −→ TN (p)S n Mặt khác, Tp S⊥N (p) mà TN (p)⊥S n nên Tp S ≡ TN (p)S n , ∀p ∈ S Vì vậy, ánh xạ DNp tự đồng cấu tuyến tính Tp S gọi ánh xạ Weingarten S p ii) Ánh xạ DNp : Tp S −→ Tp S ánh xạ tự liên hợp, tức DNp (V ), W = V, DNp (W ) , ∀V, W ∈ Tp S, n n với V = bj X u j X u i , W = j=1 i=1 Định nghĩa 1.1.6 Ánh xạ IIp : Tp S × Tp S −→ R (V, W ) −→ IIp (V, W ) = − DNp (V ), W , với , tích vơ hướng Tp S cảm sinh từ tích vơ hướng tắc Rn+1 , dạng song tuyến tính, đối xứng Ánh xạ IIp gọi dạng thứ hai siêu mặt S p Các hệ số bij := IIp (Xui , Xuj ) = − DNp (Xui ), Xuj = − Nui , Xuj = N, Xui uj gọi hệ số dạng thứ hai Ma trận (bij ) gọi ma trận dạng thứ hai 1.2 1.2.1 Siêu mặt cực tiểu không gian Rn+1 Độ cong trung bình, độ cong Gauss Trong mục này, ta tìm hiểu độ cong siêu mặt tham số qui S ⊂ Rn+1 Hai độ cong quan trọng siêu mặt S độ cong trung bình độ cong Gauss Do ánh xạ tuyến tính DNp ánh xạ tự liên hợp nên tồn sở trực chuẩn {ei , i = 1, , n} cho DNp (ei ) = −ki ei , ∀i = 1, , n Khi đó, giá trị −k1 , , −kn giá trị riêng, e1 , , en vectơ riêng đơn vị ứng với giá trị riêng −k1 , , −kn DNp Định nghĩa 1.2.1 Các giá trị k1 , , kn gọi độ cong chính, cịn vectơ riêng e1 , , en xác định phương gọi phương siêu mặt S p Định nghĩa 1.2.2 Cho (S, N ) siêu mặt qui định hướng, p ∈ S DNp đạo hàm ánh xạ Gauss N điểm p Ta gọi Đối với siêu mặt tịnh tiến với độ cong Gauss không gian Rn+1 , ta có kết sau Định lý 2.3.2 ([7], Theorem 2.5) Cho S siêu mặt tịnh tiến với độ cong Gauss K không gian Rn+1 Khi đó, K S có dạng siêu mặt trụ Từ suy K = Chứng minh Cho S siêu mặt tịnh tiến xác định tham số hóa sau: X: −→ Rn+1 U (x1 , , xn ) −→ X(x1 , , xn ) = (x1 , , xn , f (x1 , , xn )), U miền mở chứa Rn f (x1 , , xn ) = f1 (x1 ) + · · · + fn (xn ), với f1 , , fn hàm biến số thực trơn Ta có Xxi = (0, , 1, , fi ), vị trí thứ i với i = 1, , n Xxi xi = (0, , 0, fi ), với i = 1, , n Xxi xj = (0, , 0, 0), với i = j = 1, , n Hệ số dạng thứ gij = Xxi , Xxj  1 i = j = δij + fi fj δij = 0 i = j Ma trận dạng thứ   g11 g12  + f12 g1n gnn f fn + f22     g21 g22 g2n   f2 f1   (gij )n×n =   =      gn1 gn2 f1 f2 fn f1 + f12   f2 f1 det(gij )n×n = det    fn f1 f1 f2 fn f2 + fn2 + f22 fn f2 f fn   =1+   n f fn  + fn2 fi i=1 Pháp vectơ đơn vị N siêu mặt S là: (−1)n (−f1 , , −fn , 1) λ = N= λ Hệ số dạng thứ hai 28 n fi 1+ i=1     f fn    (−1)n fi , với i = 1, , n λ = 0, với i = j = 1, , n bii = N, Xxi xi = bij = N, Xxi xj Ma trận dạng thứ hai   b11 b12  (−1)n b1n λ     b21 b22 b2n     (bij )n×n =   =      bn1 bn2 bnn  (−1)n λ f2 (−1)n λ fn      f1  (−1)n λ   det(bij )n×n = det     (−1)n λ f2 (−1)n λ fn   (−1)n2 = f1 · · · fn  λn  f1 Ta có độ cong Gauss K siêu mặt S là: K = (−1)n K= det(bij )n×n det(gij )n×n n2 n (−1) f1 · · · fn (−1) λn+2 f1 · · · fn K = (−1)n+n n fi 1+ n+2 (2.15) i=1 Độ cong Gauss K nên lấy đạo hàm hai vế (2.15) theo biến x1 , ta có: n f2 · · · fn f1 fi −(n + 2)f1 f1 = 1+ (2.16) i=1 • Nếu f2 · · · fn = tồn fi = xi + bi với i = 2, , n Không tính tổng quát, ta giả sử f2 = a2 x2 + b2 Khi đó: X(x1 , , xn ) = (x1 , , xn , f1 (x1 ) + a2 x2 + b2 + · · · + fn (xn )) = x2 (0, 1, , 0, a2 ) + (x1 , 0, , xn , b2 + f1 (x1 ) + · · · + fn (xn )) Vậy S có dạng siêu mặt trụ Vì f2 · · · fn = nên từ (2.15) suy K = • Nếu f2 · · · fn = phương trình (2.16) trở thành: n f1 fi −(n + 2)f1 f1 = 1+ i=1 29 (2.17) Lấy đạo hàm hai vế phương trình (2.17) theo biến x2 , ta được: 2f1 f2 f2 = ⇒ f1 = Thay f1 = vào phương trình (2.17) ta suy ra: f1 = f1 = Điều có nghĩa hàm f1 có dạng f1 = a1 x1 + b1 Do đó: X(x1 , , xn ) = (x1 , , xn , a1 x1 + b1 + f2 (x2 ) + · · · + fn (xn )) = x1 (1, 0, , 0, a1 ) + (0, x2 , , xn , b1 + f2 (x2 ) + · · · + fn (xn )) Vậy S có dạng siêu mặt trụ Vì f1 = nên từ (2.15) suy K = 2.4 2.4.1 Siêu mặt tịnh tiến với độ cong không gian Ln+1 Không gian Lorentz - Minkowski Ln+1 Cho không gian vectơ Rn+1 với sở trực chuẩn tắc ξ = {e1 , , en+1 } Định nghĩa 2.4.1 Không gian Lorentz-Minkowski (n + 1)-chiều không gian vectơ Rn+1 với tích Lorentz xác định sau: n xi yi − xn+1 yn+1 , x, y = i=1 với x = (x1 , , xn+1 ) , y = (y1 , , yn+1 ) Không gian Lorentz-Minkowski (n + 1)-chiều ký hiệu Ln+1 Định nghĩa 2.4.2 Cho vectơ v ∈ Ln+1 , môđun v định nghĩa |v| = | v, v | Vectơ v gọi đơn vị |v| = Do ; không xác định dương nên với vectơ v, v; v nhận giá trị dương, âm khơng Từ đó, ta có loại vectơ sau Ln+1 Định nghĩa 2.4.3 Vectơ v ∈ Ln+1 gọi là: • vectơ kiểu không gian (spacelike) v, v > v = • vectơ kiểu thời gian (timelike) v, v < • vectơ kiểu ánh sáng (lightlike) v, v = v = 30 Với hai vectơ u v , u, v = ta nói u vng góc với v (theo tích Lorentz), ký hiệu u ⊥ v Định nghĩa 2.4.4 Cho x1 , , xn ∈ Ln+1 , tích vectơ (tích có hướng) Lorentz n vectơ này, ký hiệu x1 ∧ ∧ xn xác định sau:   e1 e2 en   a11 a12 a1n x1 ∧ ∧ xn = det    an1 an2 −en+1  ,   a1n+1  ann an+1n+1 với x1 = (a11 , , a1n+1 ), , xn = (an1 , , an+1n+1 ) Định nghĩa 2.4.5 Cho S siêu phẳng không gian Ln+1 Siêu phẳng S gọi • kiểu khơng gian vectơ pháp siêu phẳng vectơ kiểu thời gian • kiểu thời gian vectơ pháp siêu phẳng vectơ kiểu khơng gian • kiểu ánh sáng vectơ pháp siêu phẳng vectơ kiểu ánh sáng Định nghĩa 2.4.6 Cho S siêu mặt không gian Ln+1 Siêu mặt S gọi kiểu không gian (thời gian, ánh sáng) siêu phẳng tiếp xúc S kiểu không gian (thời gian, ánh sáng) 2.4.2 Siêu mặt tịnh tiến với độ cong không gian Ln+1 Trong mục này, khảo sát siêu mặt tịnh tiến kiểu không gian không gian Ln+1 số kết siêu mặt tịnh tiến kiểu không gian với độ cong trung bình hằng, độ cong Gauss Định nghĩa 2.4.7 Một siêu mặt kiểu không gian S ⊂ Ln+1 gọi siêu mặt tịnh tiến kiểu không gian S xác định tham số hóa sau: X: Rn −→ Ln+1 (x1 , , xn ) −→ X(x1 , , xn ) = (x1 , , xn , f (x1 , , xn )), f (x1 , , xn ) = f1 (x1 ) + · · · + fn (xn ) với f1 , , fn hàm biến số thực trơn 31 Nhận xét 2.4.1 Vì Xx1 = (1, 0, , f1 ), , Xxn = (0, , 1, fn ) sở siêu phẳng tiếp xúc nên mêtric cảm sinh lên siêu phẳng tiếp xúc có ma trận   − f12 −f1 f2   −f2 f1 − f22 A=   −fn f1 −fn f2 −f1 fn     −f2 fn  − fn2 n Định thức ma trận A detA = − f12 − − fn2 f12 =1− i=1 Theo định nghĩa trên, siêu mặt S kiểu không gian siêu phẳng tiếp xúc n f12 > S kiểu không gian Do detA > Suy − i=1 Định nghĩa 2.4.8 Một siêu mặt kiểu khơng gian có độ cong trung bình H điểm khơng gọi siêu mặt kiểu không gian cực đại H Lui [5] chứng minh mặt tịnh tiến kiểu không gian cực đại L3 xác định tham số hóa sau: cosh ax1 X(x1 , x2 ) = x1 , x2 , ln a cosh ax2 , = a ∈ R Kết cho thấy siêu mặt tịnh tiến kiểu không gian cực đại Ln+1 xác định mặt tịnh tiến kiểu không gian cực đại L3 Định lý 2.4.1 ([7], Theorem 2.3) Cho S siêu mặt tịnh tiến kiểu không gian Ln+1 Khi đó, S siêu mặt tịnh tiến kiểu khơng gian cực đại siêu mặt S có dạng ×Rn−2 , mặt tịnh tiến kiểu không gian cực đại L3 Chứng minh Cho S siêu mặt tịnh tiến kiểu không gian Ln+1 xác định tham số hóa sau: X: Rn −→ Ln+1 (x1 , , xn ) −→ X(x1 , , xn ) = (x1 , , xn , f (x1 , , xn )), f (x1 , , xn ) = f1 (x1 ) + · · · + fn (xn ), với f1 , , fn hàm biến số thực trơn Ta có: Xxi = (0, , 1, , fi ), vị trí thứ i với i = 1, , n 32 Xxi xi = (0, , 0, fi ), với i = 1, , n Xxi xj = (0, , 0, 0), với i = j = 1, , n Hệ số dạng thứ  1 i = j = δij − fi fj δij = 0 i = j gij = Xxi , Xxj Ma trận (gij )n×n có ma trận nghịch đảo (g ij )n×n = (gij )−1 n×n với g ij n = δij + fi fj µ = µ fi 1− i=1 Ta có:  −en+1 e1 e2 Xx1 ∧ · · · ∧ Xxn Suy N =    = (−1)n (−f1 e1 − · · · − fn en − en+1 )    1 = det    0 fn f1  (−1)n (−f1 , , −fn , −1) µ Hệ số dạng thứ hai bii = N, Xxi xi = (−1)n fi , µ bij = N, Xxi xj = 0, i = 1, , n i = j = 1, , n Độ cong trung bình siêu mặt S H= n = n n bij g ij i,j=1 n bii g ii i=1 (−1)n = n µ (−1)n = n.µ3 n fi (1 + i=1 n f ) µ2 i n fj2 fi − i=1 j=1 j=i Siêu mặt tịnh tiến kiểu không gian S cực đại nên H = Điều kiện tương đương với n n fj2 = fi − i=1 j=1 j=i 33 (2.18) Tương tự phương pháp chứng minh định lý 2.2.1, ta giả sử f1 , , ft khơng tuyến tính ft+1 = · · · = fn = 0, ≤ t ≤ n Khi đó, đẳng thức (2.18) trở thành: t t fj2 = fi − (2.19) j=1 j=i i=1 Đạo hàm (2.19) theo biến xk với k = 1, , t, ta được: t t fk − fj −2.fk fk fj = (2.20) j=1 j=k j=1 j=k Suy t fj j=1 j=k fk − 2.fk fk = t fj 1− j=1 j=k t fj j=1 j=k Do đó, tồn hệ số ck = với k = 1, , t cho: t fj 1− j=1 j=k fk − 2.fk fk ck = (2.21) Thay (2.21) vào (2.20) ta được: t fk fk 1− t fj j=1 j=k ck − fj = (2.22) j=1 j=k Đạo hàm (2.22) theo biến xi với i = k = 1, , t ta được: fk fk (2.fi fi ck + fi ) = Hay 2.fk fk fi fi ck + fk fk fi = Theo (2.21) với i = k = 1, , t ta có: fi − 2.fi fi ci = 34 (2.23) Hay (2.24) fi = 2.fi fi ci Thay (2.24) vào (2.23) ta được: (ck + ci ).fk fk fi fi = Vì hàm fi khơng tuyến tính, với i = 1, , t nên ck + ci = ∀i = k = 1, , t (2.25) • Nếu t = 1, tức hàm f1 không tuyến tính f2 = · · · = fn = (2.18) trở thành: f1 = Suy ra: f1 hàm tuyến tính (mâu thuẫn giả thiết) Vậy khơng xảy trường hợp t = • Nếu t = 2, tức hàm f1 , f2 khơng tuyến tính f3 = · · · = fn = từ (2.25) ta có c1 + c2 = Hay f2 f1 + = − f2 − f12 Suy f2 f1 =− = a ∈ R \ {0} − f2 − f12 Ta tính được: f1 = 1 ln | cosh ax1 |, f2 = − ln | cosh ax2 | a a a Suy X(x1 , x2 , x3 , , xn ) = x1 , x2 , x3 , , xn , ln cosh ax1 cosh ax2 , = a ∈ R • Nếu t > với ck + ci = 0, ∀i = k = 1, , t suy ra: ci = 0, ∀i = 1, , t Nên t từ (2.22) ta có: fk fk fj = Do fj khơng tuyến tính với j = 1, , t j=1 j=k nên fj = 0, ∀j = 1, , t Do đó, khơng xảy trường hợp t > Vậy siêu mặt tịnh tiến kiểu không gian cực đại S có dạng ×Rn−2 , mặt tịnh tiến kiểu không gian cực đại L3 Đối với siêu mặt tịnh tiến kiểu không gian với độ cong trung bình hằng, độ cong Gauss không gian Ln+1 , tương tự trường hợp siêu mặt tịnh tiến với độ cong trung bình hằng, độ cong Gauss khơng gian Rn+1 ta có kết sau 35 Định lý 2.4.2 ([7], Theorem 2.3) Cho S siêu mặt tịnh tiến kiểu khơng gian với độ cong trung bình khơng gian Ln+1 Khi đó, S có dạng ×Rn−2 , mặt có độ cong trung bình L3 Chứng minh Cho S siêu mặt tịnh tiến kiểu không gian Ln+1 xác định tham số hóa sau: Rn X: −→ Ln+1 (x1 , , xn ) −→ X(x1 , , xn ) = (x1 , , xn , f (x1 , , xn )), f (x1 , , xn ) = f1 (x1 ) + · · · + fn (xn ), với f1 , , fn hàm biến số thực trơn Ta có pháp vectơ đơn vị N độ cong trung bình H S xác định sau: N= (−1)n (−f1 , , −fn , −1) n fi 1− i=1 n n (−1)n fj fi − i=1 j=1 j=i H= n fi n 1− i=1 Suy n n fi − i=1 n fj n = (−1) nH − j=1 j=i fi (2.26) i=1 Siêu mặt S có độ cong trung bình H nên lấy đạo hàm phương trình (2.26) theo biến x1 , ta có: n 1− n fj f1 − 2f1 f1 j=2 n n+1 fj = (−1) 3nHf1 f1 − j=2 fi 2 (2.27) i=1 Lấy đạo hàm phương trình (2.27) theo biến x2 , ta có: n n+1 2f2 f2 f1 + 2f1 f1 f2 = (−1) 3nHf1 f1 f2 f2 − fi − 12 i=1 Suy ra: n 2f2 f2 f1 + 2f1 f1 f2 1− fi i=1 36 = (−1)n+1 3nHf1 f1 f2 f2 (2.28) • Giả sử f1 f1 f2 f2 = Khi đó, phương trình (2.28) trở thành: f f + f1 f1 f2 f2 n 1− fi 2 = (−1)n+1 3nH (2.29) i=1 Vì f1 f1 f2 f2 = nên hàm số f1 f2 hàm biến n fi không hàm x1 x2 tương ứng Hơn nữa, − i=1 biến x1 x2 Nếu hàm số f3 , , fn f3 , , fn hàm tuyến tính Suy ra: X(x1 , , xn ) = (x1 , , xn , f1 (x1 ) + f2 (x2 ) + a3 x3 + · · · + an xn ), với hệ số a3 , , an Từ suy ra, siêu mặt S có dạng ×Rn−2 , mặt tịnh tiến kiểu khơng gian có độ cong trung bình khơng gian L3 Nếu tồn k = 3, , n cho fk khơng hàm từ (2.28) suy H = Khi đó, từ định lý 2.5.1 suy S có dạng S = ×Rn−2 , với mặt tịnh tiến kiểu không gian cực đại L3 • Giả sử f1 f1 f2 f2 = Suy f1 = a1 x1 + b1 f2 = a2 x2 + b2 , a1 , a2 , b1 , b2 số Khơng tính tổng qt, giả sử f1 = a1 x1 + b1 Khi đó: X(x1 , , xn ) = (x1 , , xn , a1 x1 + b1 + f2 (x2 ) + · · · + fn (xn )) = x1 (1, 0, , 0, a1 ) + (0, x2 , , xn , b1 + f2 (x2 ) + · · · + fn (xn )) Suy S siêu mặt trụ Ln+1 Định lý 2.4.3 Cho S siêu mặt tịnh tiến kiểu khơng gian có độ cong Gauss K khơng gian Ln+1 Khi đó, K S có dạng siêu mặt trụ Từ suy K = Chứng minh Cho S siêu mặt tịnh tiến kiểu không gian xác định tham số hóa sau: X: Rn −→ Ln+1 (x1 , , xn ) −→ X(x1 , , xn ) = (x1 , , xn , f (x1 , , xn )), 37 f (x1 , , xn ) = f1 (x1 ) + · · · + fn (xn ), với f1 , , fn hàm trơn biến số thực Ta có Xxi = (0, , 1, , fi ), vị trí thứ i với i = 1, , n Xxi xi = (0, , 0, fi ), với i, = 1, , n Xxi xj = (0, , 0, 0), với i = j = 1, , n Hệ số dạng thứ gij = Xxi , Xxj  1 i = j = δij − fi fj δij = 0 i = j Ma trận dạng thứ   g11 g12  − f12 g1n −f1 f2 −f1 fn     g21 g22 g2n   −f2 f1 − f22   (gij )n×n =   =      gn1 gn2 −fn f1 gnn −fn f2      −f2 fn  − fn2  − f12 −f1 f2   −f2 f1 − f22 det(gij )n×n = det    −fn f1 −fn f2 −f1 fn   =1−   −f2 fn  n fi i=1 − fn2 Pháp vectơ đơn vị N siêu mặt S là: n (−1)n N= (−f1 , , −fn , −1) µ = µ fi 1− i=1 Hệ số dạng thứ hai (−1)n fi , với i = 1, , n µ = 0, với i = j = 1, , n bii = N, Xxi xi = bij = N, Xxi xj Ma trận dạng thứ hai   b11 b12 b1n  (−1)n µ     b21 b22 b2n     (bij )n×n =   =      bn1 bn2 bnn 38 f1  (−1)n µ f2 (−1)n µ fn       (1)n det(bij )nìn = det   (−1)n µ f2 (−1)n µ fn   (−1)n2 = f1 · · · fn n  µ  f1 Vậy độ cong Gauss K siêu mặt S là: K = (−1)n det(bij )n×n det(gij )n×n (−1)n f1 · · · fn n K = (−1) n fi µn − i=1 f1 · · · fn K = (−1)n+n n fi 1− n+2 (2.30) i=1 Độ cong Gauss K nên lấy đạo hàm hai vế (2.30) theo biến x1 , ta có: n f2 · · · fn f1 fi +(n + 2)f1 f1 = 1− (2.31) i=1 • Nếu f2 · · · fn = tồn fi = xi + bi với i = 2, , n Không tính tổng quát, ta giả sử f2 = a2 x2 + b2 Khi đó: X(x1 , , xn ) = (x1 , , xn , f1 (x1 ) + a2 x2 + b2 + · · · + fn (xn )) = x2 (0, 1, , 0, a2 ) + (x1 , 0, , xn , b2 + f1 (x1 ) + · · · + fn (xn )) Vậy S có dạng siêu mặt trụ Do f2 · · · fn = nên từ (2.30) suy độ cong Gauss K = • Nếu f2 · · · fn = phương trình (2.31) trở thành: n f1 fi +(n + 2)f1 f1 = 1− i=1 Lấy đạo hàm hai vế phương trình (2.32) theo biến x2 , ta được: 2f1 f2 f2 = ⇒ f1 = 39 (2.32) Thay f1 = vào phương trình (2.32) ta suy ra: f1 = f1 = Điều có nghĩa hàm f1 có dạng f1 = a1 x1 + b1 Do đó: X(x1 , , xn ) = (x1 , , xn , a1 x1 + b1 + f2 (x2 ) + · · · + fn (xn )) = x1 (1, 0, , 0, a1 ) + (0, x2 , , xn , b1 + f2 (x2 ) + · · · + fn (xn )) Vậy S có dạng siêu mặt trụ Do f1 = nên từ (2.30) suy độ cong Gauss K = 40 KẾT LUẬN Qua luận văn này, tơi trình bày kết sau: Trong chương 1, chúng tơi đọc hiểu trình bày tổng quan siêu mặt không gian Rn+1 , công thức tính độ cong trung bình, độ cong Gauss cho siêu mặt tham số hóa Rn+1 Ngồi ra, chúng tơi trình bày số kết liên quan đến mặt tịnh tiến với độ cong không gian R3 Trong chương 2, giới thiệu siêu mặt tịnh tiến, siêu mặt tịnh tiến cực tiểu khơng gian Rn+1 trình bày số ví dụ tương ứng Đồng thời, chúng tơi khảo sát chứng minh tính chất siêu mặt tịnh tiến cực tiểu, siêu mặt tịnh tiến với độ cong trung bình hằng, độ cong Gauss cho không gian Rn+1 thể Định lý 2.2.1, Định lý 2.3.1, Định lý 2.3.2 Tương tự không gian Lorentz - Minkowski (n + 1)-chiều, chứng minh kết siêu mặt tịnh tiến kiểu không gian cực đại, siêu mặt tịnh tiến kiểu khơng gian với độ cong trung bình hằng, độ cong Gauss thể Định lý 2.5.1, Định lý 2.5.2, Định lý 2.5.3 Trong thời gian đến, có thời gian tơi mong muốn tìm hiểu làm rõ thêm siêu mặt tịnh tiến không gian khác không gian Hyperbolic, Do thời gian nghiên cứu có hạn nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót, mong q Thầy Cơ bạn góp ý để luận văn hồn thiện Xin chân thành cảm ơn! 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] T T N Trang (2013), Siêu mặt cực tiểu khơng gian Gn × R, Luận văn thạc sĩ Toán học, Trường ĐHSP, Đại học Huế Tiếng Anh [2] Yu Aminov (2001), The Geometry of Submanifolds, Gordon and Breach Science Publishers, Amsterdam, ISBN: 90-5699-087 X [3] F Dillen, L Verstraelen, G Zafindratafa (1991), A generalization of the translation surfaces of Scherk, Differential Geometry in honor of Radu Rosca, K U L, 107-109 [4] B.P Lima, N.L Santos, J.P Silva, and P Sousa (2014), Translation hypersurfaces with constant Sr curvature in Euclidean space, arXiv: 1402.2362v1 [math DG], 1-13 [5] H Lui (1999), Translation surfaces with constant mean curvature in 3dimensional space, Journal of Geometry, vol 64, 141-149 [6] R López (2011), Minimal translation surfaces in hyperbolic spaces, Beitrage zur Algebra und Geometrie, vol 52, 105-112 [7] K Seo (2011), Translation hypersurfaces with constant curvature in space forms, Osaka J Math, vol 50, 631-641 [8] L.Verstraelen, J Walrave, S Yaprak (1994), The minimal translation surfaces in Euclidean space, Soochow J Math, vol 20, 77-82 42 ... trơn Vậy siêu mặt S = 2.2 ×Rn−2 siêu mặt tịnh tiến Rn+1 , mặt Scherk R3 Siêu mặt tịnh tiến cực tiểu không gian Rn+1 Định nghĩa 2.2.1 Siêu mặt tịnh tiến S không gian Rn+1 gọi siêu mặt tịnh tiến cực... cho siêu mặt 10 1.3 Mặt tịnh tiến với độ cong không gian R3 13 Siêu mặt tịnh tiến với độ cong 16 2.1 Siêu mặt tịnh tiến không gian Rn+1 16 2.2 Siêu mặt tịnh tiến. .. = 15 Chương Siêu mặt tịnh tiến với độ cong Trong chương này, khảo sát siêu mặt tịnh tiến, siêu mặt tịnh tiến cực tiểu, siêu mặt tịnh tiến với độ cong trung bình hằng, siêu mặt tịnh tiến với độ