Về tính ổn định của mặt f cực tiểu kiểu đồ thị trong không gian r × ω g2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN QUỐC HỒNG VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MẶT f -CỰC TIỂU KIỂU ĐỒ THỊ TRONG KHƠNG GIAN R ×w G2 Chun ngành: HÌNH HỌC VÀ TƠPƠ Mã số: 60460105 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Huế, Năm 2016 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi, số liệu kết nghiên cứu ghi luận văn trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa công bố cơng trình nghiên cứu khác Nguyễn Quốc Hồng ii LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình chu đáo thầy giáo PGS TS Đoàn Thế Hiếu Lời luận văn này, xin phép gửi đến thầy kính trọng lịng biết ơn sâu sắc thầy thời gian hướng dẫn thực luận văn Nhân dịp này, xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới thầy giáo tham gia giảng dạy khoá cao học K23, người giúp trang bị kiến thức cần thiết năm học vừa qua Đồng thời, xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám Hiệu, Phòng Đào tạo Sau đại học Khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Huế tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập thực luận văn Sau cùng, xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè, đặc biệt anh chị lớp ‘Hình học Tơpơ’ khố K23 (2014-2016) nhiệt tình giúp đỡ tơi suốt thời gian thực luận văn suốt trình học tập iii Mục lục Mục lục Phần mở đầu Phần nội dung KHƠNG GIAN R ×w R2 1.1 Khơng gian R ×w R2 1.2 Biến phân thứ phiếm hàm diện tích 1.2.1 Diện tích 1.2.2 Biến phân thứ phiếm hàm diện tích Mặt cực tiểu kiểu đồ thị ổn định 12 1.3.1 Phương trình Lagrange 12 1.3.2 Biến phân thứ hai phiếm hàm diện tích 15 1.3.3 Tính ổn định 16 1.3.4 Tính cực tiểu diện tích mặt tham số kiểu đồ thị 1.3 khơng gian R ×w R2 KHƠNG GIAN R ×w G2 17 21 2.1 Không gian với mật độ 21 2.2 Không gian Gauss 22 2.3 Mặt f -cực tiểu kiểu đồ thị khơng gian R ×w G2 24 2.3.1 f -độ cong trung bình khơng gian R ×w G2 24 2.3.2 Phương trình Lagrange 25 2.3.3 Xét độ cong ‘fiber’ 28 2.3.4 Ý nghĩa đại lượng f, N iv w 28 2.3.5 Tính cực tiểu mặt tịnh tiến R ×w G2 2.3.6 Xét tính cực tiểu diện tích mặt cực tiểu kiểu đồ 2.3.7 29 thị không gian R ×w G2 30 Xét định lý kiểu Bernstein 35 Kết luận 39 Tài liệu tham khảo 40 LỜI MỞ ĐẦU Hình học vi phân nhánh tốn học sử dụng cơng cụ phương pháp phép tính vi phân tích phân đại số tuyến tính đại số đa tuyến để nghiên cứu vấn đề hình học Đặc biệt, lĩnh vực đa tạp với mật độ quan tâm nhiều nhà toán học giới Và số vấn đề trọng nghiên cứu mặt cực tiểu Không gian với mật độ, tức không gian với hàm dương, gọi mật độ dùng để làm trọng số n cho thể tích chu vi Khơng gian Gauss với mật độ Gauss 2π − n2 ei=1 −x2 i ví dụ khơng gian với mật độ nghiên cứu xác suất Mặt cực tiểu không gian với mật độ e−f , gọi tắt mặt f -cực tiểu, mặt có độ cong trung bình với mật độ khơng Từ đó, nhà tốn học nghiên cứu mặt f -cực tiểu không gian với mật độ khác Xuất phát từ vấn đề này, gợi ý PGS TS Đồn Thế Hiếu, tơi chọn đề tài “Tính ổn định mặt f -cực tiểu kiểu đồ thị khơng gian R ×w G2 ” làm đề tài nghiên cứu luận văn Ngoài phần mở đầu kết luận, nội dung luận văn trình bày theo hai chương: Chương I: Khơng gian R ×w R2 Chương trình bày kiến thức mặt khơng gian R ×w R2 mà đặc biệt mặt cực tiểu tính chất mặt cực tiểu Chương II: Khơng gian R ×w G2 Chương II chia làm ba phần: Phần thứ giới thiệu không gian Gauss Phần thứ hai giới thiệu khơng gian R ×w G2 Phần thứ ba nghiên cứu tính ổn định mặt f -cực tiểu kiểu đồ thị không gian R ×w G2 Chương KHÔNG GIAN R ×w R2 Mục giới thiệu khơng gian R ×w R2 tính chất đặc trưng Nhưng trước tiên, ta có khái niệm đa tạp tích cong [1] sau: Cho B F hai đa tạp Riemann với metric Riemann tương ứng gB gF Cho w hàm trơn, dương xác định B Xét đa tạp tích B × F phép chiếu π : B × F → B η : B × F → F Đa tạp tích cong M = B ×w F đa tạp B × F với metric Riemann sau: g := π∗ (gB ) + (w ◦ π)2 η∗ (gF ) Tức với vector tiếp xúc X ∈ Tx M , ta có: ||X||2 = ||π∗ (X)||2 + w2 (π(x)).||η∗ (X)||2 Ta viết gọn: g := gB + ω gF Hàm w gọi hàm warping (trong luận văn này, ta gọi w hàm ‘tích cong’ ) Metric không phụ thuộc vào X mà cịn phụ thuộc vào vị trí điểm đặt x Bây xét trường hợp đặc biệt B = R F = R2 1.1 Không gian R ×w R2 Khơng gian R ×w R2 (được gọi khơng gian tích cong) khơng gian R × R2 ta định nghĩa metric sau: Định nghĩa 1.1.1 Khơng gian tích cong R ×w R2 khơng gian tích R × R2 với tích vơ hướng xác định sau: a, b w = a1 b1 + w2 (xp )(a2 b2 + a3 b3 ), với vector a = (a1 , a2 , a3 ); b = (b1 , b2 , b3 ) đặt điểm p = (xp , yp , zp ) ∈ R × R2 Ta có metric tương ứng là: g := dx2 + w2 (xp )(dy + dz ), w > hàm khả vi, dương xác định R * Trường hợp w = 1, ta có khơng gian tích quen thuộc R × R2 ≡ R3 Trong khơng gian tích cong R ×w R2 , R gọi “base” R2 gọi thớ “f iber” Ngoài ra, ta gọi khơng gian {t} ×w R2 “f iber”; R ×w {p} “leaf ” Trong luận văn này, ta xem khơng gian R ×w R2 với R2 (“f iber”) mặt phẳng yz R (“base”) trục Ox Các “f iber”: {t} ×w R2 ta gọi ‘ thớ cong’, “leaf ”: R ×w {p} ta gọi ‘lá’ Định nghĩa 1.1.2 Trong khơng gian R ×w R2 cho vector a = (a1 , a2 , a3 ); b = (b1 , b2 , b3 ) đặt điểm p Khi đó, tích cong vector a b tính sau: w2 (xp ).e1 e2 e3 a ∧w b = a1 a2 a3 , b1 b2 b3 {e1 , e2 , e3 } sở tắc R3 Định nghĩa 1.1.3 Trong khơng gian R ×w R2 cho vector a = (a1 , a2 , a3 ) đặt điểm p Khi mơđun a định nghĩa sau: ||a||w = a, a w a21 + w2 (xp )(a22 + a23 ) = Tính chất 1.1.4 Trong khơng gian R ×w R2 , ta có: a ∧w b, a w a ∧w b, b = 0, w = 0; det(a, b, a ∧w b) ≥ 0; w ||a ∧w b||2w + a, b = ||a||2w ||b||2w ; Với vector a = (a1 , a2 , a3 ); b = (b1 , b2 , b3 ) đặt điểm p Cho hai trường vector X = (X1 , X2 , X3 ); Y = (Y1 , Y2 , Y3 ), ta có: X, Y w = X1 Y1 + w2 (X2 Y2 + X3 Y3 ) Khi đó: ∂ X, Y ∂y ∂ ∂ ∂xp X Y + X Y + 2ww (X2 Y2 + X3 Y3 ) 1 1 w ∂y ∂y ∂y ∂ ∂ ∂ ∂ + w2 ( X2 Y2 + X2 Y2 + X3 Y3 + X3 Y3 ) ∂y ∂y ∂y ∂y ∂ ∂xp ∂ X, Y + X, Y + 2ww (X2 Y2 + X3 Y3 ) = ∂y ∂y ∂y w w = Chứng minh Ta có: Đặt a ∧w b = (x, y, z) Ta có: w2 (xp ) x= a1 a2 a3 = w (xp )(a2 b3 − a3 b2 ) ; b1 b2 b3 0 y = a1 a2 a3 = a3 b1 − a1 b3 ; z = a1 a2 a3 = a1 b2 − a2 b1 b1 b2 b3 b1 b2 b3 Do đó: a ∧w b = (w2 (xp )(a2 b3 − a3 b2 ); a3 b1 − a1 b3 ; a1 b2 − a2 b1 ) ⇒ a ∧w b, a w = w2 (xp )a1 (a2 b3 − a3 b2 ) + w2 (xp )(a2 a3 b1 − a1 a2 b3 + a1 a3 b2 − a2 a3 b1 ) = w2 (xp )(a1 a2 b3 − a1 a3 b2 ) + w2 (xp )(a1 a3 b2 − a1 a2 b3 ) = Tương tự: a ∧w b, b w = Ta có: a1 b1 w2 (xp )(a2 b3 − a3 b2 ) det(a, b, a ∧ b) = a2 b2 a3 b1 − a1 b3 a3 b3 a1 b2 − a2 b1 = a1 b2 (a1 b2 − a2 b1 ) + a3 b1 (a3 b1 − a1 b3 ) + a2 b3 w2 (xp )(a2 b3 − a3 b2 ) − a3 b2 w2 (xp )(a2 b3 − a3 b2 ) − a2 b1 (a1 b2 − a2 b1 ) − a1 b3 (a3 b1 − a1 b3 ) = (a1 b2 − a2 b1 )2 + (a3 b1 − a1 b3 )2 + w2 (xp )(a2 b3 − a3 b2 )2 ≥ Vậy det(a, b, a ∧w b) ≥ Ta có: ||a||2w = a, a w = a21 + w2 (xp )(a22 + a23 ); ||b||2w = b, b w = b21 + w2 (xp )(b22 + b23 ); ⇒ ||a||2w ||b||2w = a21 b21 +w2 (xp )(a21 b22 +a21 b23 +a22 b21 +a23 b21 )+w4 (xp )(a22 +a23 )(b22 +b23 ); (1) a, b w = a1 b1 + w2 (xp )(a2 b2 + a3 b3 ) = a21 b21 + w4 (xp )(a22 b22 + a23 b23 + 2a2 a3 b2 b3 ) + w2 (xp )(2a1 a2 b1 b2 + 2a1 a3 b1 b3 ); (2) ||a ∧w b||2w = a ∧w b, a ∧w b w = w4 (xp )(a2 b3 − a3 b2 )2 + w2 (xp ) (a3 b1 − a1 b3 )2 + (a1 b2 − a2 b1 )2 = w4 (xp )(a22 b22 + a23 b23 − 2a2 a3 b2 b3 ) + w2 (xp )(a21 b22 + a21 b23 + a22 b21 + a23 b21 − 2a1 a2 b1 b2 − 2a1 a3 b1 b3 ); (3) Từ (1), (2), (3) ta có: ||a ∧w b||2w + a, b 1.2 w = ||a||2w ||b||2w Biến phân thứ phiếm hàm diện tích Mục giới thiệu khái niệm diện tích, biến phân từ đưa định nghĩa biến phân thứ phiếm hàm diện tích * Trường hợp w = a = const; a = 0, ta có phương trình Lagrange là: (a2 + u2z )uyy + (a2 + u2y )uzz − 2uy uz uyz + (a2 + u2y + u2z )(yuy + zuz ) = Khi ta có kết sau đây: Định lý 2.3.2 Trong không gian R ×w G2 , với w = a = const; a = 0, mặt Catenoid có tham số hố kiểu đồ thị: Γu = (u(y, z), y, z) = a cosh−1 y + z , y, z có f −độ cong trung bình Chứng minh Ta có: u(y, z) = a cosh−1 y + z = a ln y2 + z2 + y2 + z2 − Khi đó: ay uy = y2 + z2 y2 + z2 − a z4 − y4 − z2 uyy = y2 + z2 y2 + z2 az , uz = y2 + z2 y2 + z2 − ; a y4 − z4 − y2 , uzz = y2 −1 + z2 y2 + z2 3; −1 2(y + z ) − uyz = −ayz y2 + z2 y2 + z2 − Suy ra: (a2 + u2z )uyy + (a2 + u2y )uzz − 2uy uz uyz a(y − z − y ) a2 y = a + (y + z ) (y + z − 1) a2 z + a + (y + z ) (y + z − 1) a(z − y − z ) +2 a2 yz ayz (y + z ) (y + z − 1) = a3 + + a3 + + 2a3 y2 + z2 y2 + z2 − y2 + z2 y2 + z2 − y2 + z2 y2 + z2 − (z − y − z ) y2 + z2 y2 + z2 − 2(y + z ) − y2 (y − z − y ) z2 (y + z ) (y + z − 1) 26 2(y + z ) − y2 (y + z ) (y + z − 1) y2z2 (y + z ) (y + z − 1) y2 + z2 y2 + z2 − + z2 y2 + z2 −1 =0 Do H = Hơn ta có: f, N w a = a2 + u2y + u2z (−yuy − zuz ) −a = a2 (y + z ) a2 + (y + z )(y + z − 1) −1 = a y2 + z2 y2 + z2 − Vậy Hf = H + f, N w a(y + z ) y2 + z2 y2 + z2 − y2 + z2 = −a y2 + z2 − = const Định lý 2.3.3 Trong khơng gian R ×w G2 , với w = a = const; a = 0, mặt z Helicoid có tham số hố kiểu đồ thị: Γu = (u(y, z), y, z) = arctan , y, z y mặt f −cực tiểu z Chứng minh Ta có: u(y, z) = arctan Khi đó: y uy = uyy −z y , uz = ; +z y + z2 y2 2yz z2 − y2 2yz , uzz = − , uyz = = (y + z )2 (y + z )2 (y + z )2 Suy ra: y2 2yz (a + + (a + − 2uy uz uyz = a + 2 (y + z ) (y + z )2 z2 −2yz 2yz z2 − y2 + a + + =0 (y + z )2 (y + z )2 (y + z )2 (y + z )2 u2z )uyy u2y )uzz Ngoài ra: (a2 + u2y + u2z )(yuy + zuz ) = (a2 + u2y + u2z ) Suy Hf = Vậy Helicoid mặt cực tiểu 27 −yz yz + y2 + z2 y2 + z2 =0 Hình 2.1: Mặt Helicoid 2.3.3 Xét độ cong ‘fiber’ Định lý 2.3.4 Trong khơng gian R ×w G2 , ta có ‘fiber’: {t} ×w G2 (là mặt phẳng song song trùng với mặt phẳng x = u(y, z) = 0) mặt có f -độ cong trung bình Chứng minh Xét mặt phẳng: Γu = (u(y, z), y, z) = (t, y, z) Khi ta có: uy = uz = uyy = uzz = w(t) = const., wu (t) = const nên Hf = const Vậy ‘fiber’ : {t} ×w G2 mặt có độ cong trung bình Hệ 2.3.5 Trong khơng gian R ×w G2 , với w = a = const; a = 0, ta có ‘fiber’ {t} ×w G2 (là mặt phẳng song song với mặt phẳng x = u(y, z) = 0) mặt có f -độ cong trung bình hay ‘fiber’ mặt cực tiểu 2.3.4 f, N Ý nghĩa đại lượng w Trong khơng gian R ×w G2 , ta có: f = (0, y, z) N = (a1 , a2 , a3 ) 28 Với N pháp vector mặt tham số X = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) Khi ta có: | w| f, N = w2 |ya2 + za3 | = w2 d(A, Tp X) với A = (x, 0, 0) Xét π phép chiếu lên trục Ox, ta có: | f, N w| = w2 |(ya2 + za3 )| = w2 d(π(p), Tp X) Trong đó, Tp X mặt phẳng tiếp xúc X điểm p Như đại lượng | f, N w | khoảng cách từ hình chiếu p lên trục Ox đến mặt phẳng tiếp xúc S điểm X nhân với w2 2.3.5 Tính cực tiểu mặt tịnh tiến R ×w G2 Định lý 2.3.6 Trong khơng gian R ×w G2 , xét mặt tịnh tiến S có tham số hố dạng: X(y, z) = (g(y) + h(z), y, z) với g, h hàm khả vi Khi đó, S mặt cực tiểu hàm g, h thoả mãn điều kiện: (w2 + h )g + (w2 + g )h − wwu (g + h ) − 2wwu (w2 + g + h ) + (w2 + g + h )(yh + zg ) = Chứng minh Ta có: X(y, z) = (g(y) + h(z), y, z) = (u(y, z), y, z) Khi đó: uy = g (y), uz = h (z) uyy = g (y), uzz = h (z), uyz = Suy ra: Hf = ⇔(w2 + u2z )uyy + (w2 + u2y )uzz − 2uy uz uyz − wwu (u2y + u2z ) − 2wwu (w2 + u2y + u2z ) + (w2 + u2y + u2z )(yuy + zuz ) = ⇔(w2 + h )g + (w2 + g )h − wwu (g + h ) − 2wwu (w2 + g + h ) + (w2 + g + h )(yh + zg ) = 29 Vậy mặt tịnh tiến S có tham số hố dạng: X(y, z) = (g(y) + h(z), y, z) (với g, h hàm khả vi) mặt cực tiểu Hệ 2.3.7 Trong khơng gian R ×w G2 , với w = a = const., a = Khi đó, mặt tịnh tiến S có tham số hố dạng: X(y, z) = (g(y) + h(z), y, z) (với g, h hàm khả vi) mặt cực tiểu hàm g, h thoả mãn điều kiện sau: (a2 + h )g + (a2 + g )h + (a2 + g + h )(yh + zg ) = 2.3.6 Xét tính cực tiểu diện tích mặt cực tiểu kiểu đồ thị không gian R ×w G2 Trong khơng gian R ×w G2 , ta định nghĩa lại khái niệm vi phân ngoài, đạo hàm với mật độ, sau: Định nghĩa 2.3.8 (Vi phân với mật độ) Trong khơng gian R ×w G2 , cho ϕ k−dạng vi phân Khi ta có vi phân ngồi với mật độ ϕ là: df ϕ := ef d(e−f ϕ) Định nghĩa 2.3.9 R ×w G2 , cho ϕ k−dạng vi phân Khi đó: i, ϕ gọi df -đóng df ϕ = 0; ii, ϕ gọi df -khớp tồn (k − 1)-dạng vi phân η cho ϕ = df η Tính chất 2.3.10 Cho ϕ1 , ϕ2 k-dạng vi phân Khi ta có: df (ϕ1 + ϕ2 ) = df ϕ1 + df ϕ2 30 Chứng minh Ta có: df (ϕ1 + ϕ2 ) = ef d(e−f (ϕ1 + ϕ2 )) = ef d(e−f ϕ1 ) + ef d(e−f ϕ2 ) = df ϕ1 + df ϕ2 Định nghĩa 2.3.11 (Đạo hàm với mật độ) Trong khơng gian R ×w G2 , cho ϕ hàm khả vi Khi đạo hàm với mật độ hàm ϕ định nghĩa là:: ∂f ϕ ∂ϕ ∂f := − ϕ ∂xi ∂xi ∂xi Tính chất 2.3.12 Cho ϕ, ψ, λ ∈ R hàm khả vi Khi ta có: i, ∂f ϕ ∂f ψ ∂f (ϕ + ψ) = + ; ∂xi ∂xi ∂xi ii, ∂f ϕ ∂f (λϕ) =λ ∂xi ∂xi Chứng minh Với ϕ, ψ, λ ∈ R hàm khả vi, đó: i, Ta có: ∂f (ϕ + ψ) ∂(ϕ + ψ) ∂f = − (ϕ + ψ) ∂xi ∂xi ∂xi ∂ϕ ∂f ∂ψ ∂f = − ϕ+ − ψ ∂xi ∂xi ∂xi ∂xi ∂f ϕ ∂f ψ = + ∂xi ∂xi ii, Ta có: ∂f (λϕ) ∂(λϕ) ∂f = − (λϕ) ∂xi ∂xi ∂xi ∂(ϕ) ∂f =λ −λ (ϕ) ∂xi ∂xi ∂f ϕ =λ ∂xi 31 Định nghĩa 2.3.13 (Toán tử Divergence với mật độ) Trong khơng gian R ×w G2 , ta có ‘divergence’ trường vector F kí hiệu divf (F ) xác định sau: divf (F ) = ef div(e−f F ) Cũng giống chương I, ta kiểm tra tính cực tiểu diện tích mặt cực tiểu kiểu đồ thị khơng gian R ×w G2 phương pháp định cỡ Ta có kết sau đây: Định lý 2.3.14 Trong khơng gian R ×w G2 , với w = a = const., a = 0, xét mặt tham số kiểu đồ thị Γu = (u(y, z), y, z) ta có: divf (N ) = −2Hf Chứng minh Ta có: (a2 , −uy , −uz ) N= a (a2 + u2y + u2z ) Suy ra: divf (N ) = ef div(e−f N )     −f −f ∂  e a −e uy  + a2 ef ∂   = ef ∂x a (a2 + u2 + u2 ) ∂y a (a2 + u2 + u2 ) y z y z   e−f uz f ∂   + a e − ∂z 2 a (a + u + u ) y z Ta có:  −f  ∂  e a  ∂x a (a2 + u2 + u2 ) y z  ∂ ∂ a2 = ef  (e−f ).( ) + (e−f ) ( ∂x ∂x a a (a2 + u2 + u2 ) ef y =− z ∂f a2 ∂ ( )+ ( ∂x a (a2 + u2 + u2 ) ∂x a y z 32  a (a2 a2 (a2 + u2y + u2z ) ) + u2y + u2z ) )   −f −e uy ∂   ∂y a (a2 + u2 + u2 ) y z  ∂ −uy ∂ = a2 ef  (e−f ).( ) + e−f ( ∂y ∂y a a (a2 + u2 + u2 ) a2 ef y = −a2  −uy (a2 z + u2y + u2z ) ) −uy −uy ∂f ∂ ( ) + a2 ( ) ∂y a (a2 + u2 + u2 ) ∂y a (a2 + u2 + u2 ) y z y z   −f −e uz ∂   ∂z a (a2 + u2 + u2 ) y z  −uz ∂ ∂ = a2 ef  (e−f ).( ) + e−f ( ∂z ∂z a a (a2 + u2 + u2 ) a2 ef y = −a2  −uz (a2 + u2y + u2z ) z ) −uz −uz ∂ ∂f ( ) + a2 ( ) ∂z a (a2 + u2 + u2 ) ∂z a (a2 + u2 + u2 ) y z y z Do đó: divf (N ) = − a2 ∂f ( ∂x a (a2 + u2y ) − a2 + u2z ) −uy ∂f ( ∂y a (a2 + u2y ) + u2z ) ∂ a2 ( )+ ( ) −a ∂z a (a2 + u2 + u2 ) ∂x a (a2 + u2 + u2 ) y z y z −uz ∂f + a2 =− ∂ ∂ −uy ) + a2 ( ( ∂y a (a2 + u2 + u2 ) ∂z a y z f, N = −2(H + w + div(N ) = − f, N w) f, N w −uz ) (a2 + u2y + u2z ) − 2H = −2Hf Định lý 2.3.15 Trong khơng gian R ×w G2 , với w = a = const., a = 0, ta có mặt cực tiểu cực tiểu diện tích địa phương Chứng minh Xét S mặt cực tiểu Khi đó, ∀p ∈ S, ∃Up cho Up có tham số hoá kiểu đồ thị: X : Ω −→ R ×w G2 (y, z) −→ (u(x, y), y, z) 33 p lân cận mở với Up = X(Ω) Gọi N trường vector pháp đơn vị Up , ta có: Xy = (uy , 1, 0), Xz = (uz , 0, 1); N= a a2 + u2y + u2z a2 , −uy , −uz Với X, Y vector đơn vị R×w G2 , đặt: ϕ(X, Y ) = X ∧w Y, N 2-dạng vi phân Giả sử ϕ = P e∗12 + Qe∗13 + Re∗23 , ta có: P = ϕ(e1 , e2 ) = e1 ∧w e2 , N w Ta có: e1 ∧w e2 = (0, 0, 1) nên: −a2 uz P = a a2 + u2y + u2z Tương tự, ta có: Q = ϕ(e1 , e3 ) = e1 ∧w e3 , N e1 ∧w e3 = (0, −1, 0) ⇒ Q = w a uy a a2 + u2y + u2z Và: R = ϕ(e2 , e3 ) = e2 ∧w e3 , N w a e2 ∧w e3 = (a2 , 0, 0) ⇒ R = a a2 + u2y + u2z Suy ra: df ϕ = ef d e−f ϕ = Ke∗123 , đó: ∂ e−f P ∂z  ∂  = ef ∂z a  ∂  + ef ∂x a K = ef ∂ e−f Q ∂ e−f R + ef ∂y ∂x    −f −f −a uz e a uy e  − ef ∂   ∂y 2 2 2 a + uy + uz a a + uy + uz  −f ae  − ef a2 + u2y + u2z 34 w   −f  −f  e a −uy e ∂   + a2 ef ∂   ∂x a a2 + u2 + u2 ∂y a a2 + u2 + u2 y z y z   −uz e−f f ∂   +a e ∂z a a2 + u2 + u2 y z     −f −f −uy e −uz e ∂   + a2 ef ∂   = a2 ef ∂y a a2 + u2 + u2 ∂z a a2 + u2 + u2 y z y z = a2 ef = divf (N ) = −2Hf = (do S mặt cực tiểu nên Hf = 0) Suy df ϕ = hay ϕ df -đóng Hơn nữa, ∀X, Y đơn vị, ta có: |ϕ(X, Y )| = | X ∧w Y, N (do ||X ∧w Y ||2w + X, Y w w | ≤ |X ∧w Y |w |N |w ≤ |X|w |Y |w |N |w = = ||X||2w ||Y ||2w ) Dấu ” = ” xảy khi:   X ∧w Y = N   X, Y w =0 Hay X, Y sở trực chuẩn T Up Do đó, Up thoả mãn điều kiện định lý hình học định cỡ Vậy Up cực tiểu diện tích 2.3.7 Xét định lý kiểu Bernstein Trong khơng gian R3 quen thuộc ta có nhiều kết mặt cực tiểu như: mặt phẳng, mặt Catenoid, mặt Helicoid, mặt Scherk, Tuy nhiên mặt xác định miền hữu hạn; mở rộng miền xác định tốn tồn khơng gian ta cịn lại kết là: ‘Mặt phẳng mặt cực tiểu xác định toàn R3 ’ Tính chất phát biểu dạng: “Định lý Bernstein” Khi xét toán 35 không gian khác ta gọi lại “Bài toán kiểu Bernstein” kết toán gọi “Định lý kiểu Bernstein” Ta có định lí tương tự trình bày [5], ta mở rộng kết “Bài toán kiểu Bernstein” khơng gian R ×w G2 , với w = a = const., a = 0, Trong không gian R ×w G2 , với w = a = const., a = 0, xét mặt tham số kiểu đồ thị Σ = (u(y, z), y, z) mặt cực tiểu Theo định lý 2.3.14 luận văn này, ta có Σ mặt cực tiểu diện tích địa phương số tất mặt có biên Khi đó, đặt: B (p, R) hình cầu 3-chiều R ×w G2 , với tâm p bán kính R B (p, R) hình cầu 2-chiều R ×w G2 , với tâm p bán kính R S (p, R) mặt cầu 3-chiều R ×w G2 , với tâm p bán kính R S (p, R) hình cầu 2-chiều R ×w G2 , với tâm p bán kính R B+ (p, R) nửa B (p, R) S+ (p, R) nửa S (p, R) S+ (p, R) nửa S (p, R) S− (p, R) nửa S (p, R) với p điểm thuộc Σ nằm trục Ox Ta có mật độ khơng gian R ×w G2 là: e−f y2 + z2 e = 2π − Đặt: ΣR = Σ ∩ B n+1 (p, R) Khi ta có: ΣR cực tiểu diện tích Hơn ∂ ΣR ⊂ S (p, R) nên suy ra: 2 V olf (ΣR ) ≤ V olf S+ (p, R), V olf S− (p, R) ⇒ V olf (ΣR ) ≤ V olf S (p, R) 36 Vì hàm mật độ e−f không phụ thuộc vào x nên ta di chuyển S (p, R) dọc theo trục Ox V olf khơng thay đổi Do ta có: 1 V olf S (p, R) = V olf S (O, R) = V olf S+ (O, R) 2 ⇒ V olf (ΣR ) ≤ V olf S+ (O, R) (1) Bây giờ, gọi NS trường vector pháp đơn vị thác triển song song theo phương (O, R) Với X, Y vector đơn vị R ×w G2 xét 2-dạng Ox S+ vi phân: η(X, Y ) = X ∧w Y, NS w Chứng minh tương tự định lý 2.3.14 ta có: |η(X, Y )| ≤ Dấu “=” xảy X, Y mặt phẳng tiếp xúc S Ngoài ra: d(e−f η) = Khi ta có: e−f η V olf S+ (O, R) = (O,R) S+ e−f η + = (O,R) B+ e−f η (O,R) S+ e−f η + = (O,R) B+ d(e−f η), (theo định lý Stokes) (O,R) B+ d(e−f η) ≤ V olf (B (O, R)) + B (O,R)×[O,R] e−f η, (theo định lý Stokes) ≤ V olf (B (O, R)) + ≤ V olf (B (O, R)) + S (O,R)×[O,R] R2 − 2π e V ol(S (O, R) × [O, R]) Cho R → ∞ vế đánh giá (1), ta có: V olf (ΣR ) ≤ 37 Từ suy ra: e−f ≥ V olf (ΣR ) = e−f dV = V olf (G2 ) = 1 + | u|2 dV ≥ G2 G2 đó: | u|2 = u2y + u2z dV = dy ∧ dz Dấu “=” xảy khi: | u|2 = hay u = const Vậy ta có ‘định lý kiểu Bernstein’ sau đây: Định lý 2.3.16 Trong khơng gian R ×w G2 , với w = a = const., a = 0; ‘fiber’ mặt cực tiểu xác định toàn G2 38 KẾT LUẬN Trong luận văn này, tơi tìm hiểu trình bày số nội dung sau: Tổng quan khơng gian R ×w R2 , R ×w G2 ví dụ cụ thể Biến phân thứ nhất, biến phân thứ hai hàm diện tích khơng gian R ×w R2 Tính cực tiểu diện tích mặt cực tiểu kiểu đồ thị Trong khơng gian R ×w G2 , với w = a = const., a = 0, chứng minh mặt Helicoid mặt cực tiểu Hơn ‘fiber’ mặt cực tiểu xác định toàn G2 Trong trường hợp tổng quát, chứng minh ‘f iber’ mặt có độ cong trung bình với mật độ Tuy nhiên, thời gian thực luận văn khơng nhiều, kiến thức cịn hạn chế nên nhiều vấn đề luận văn chưa giải triệt để Các kết mặt cực tiểu phần lần dừng lại trường hợp w = a = const, a = 0, chưa thể giải trường hợp tổng quát Các kết trường hợp tổng quát xoay quanh ‘f iber’ Bên cạnh khơng tránh khỏi thiếu sót Kính mong q thầy bạn bè quan tâm góp ý, bổ sung để luận văn hồn thiện Xin chân thành cảm ơn! 39 Tài liệu tham khảo [1] Bang, Y.C; (2002) Geometry of warped products as Riemannian Submanifolds and related problems Soochow Journal of Mathematics, no.2, 125-156 [2] Carmo, Manfredo P., (1976) Differential geometry of curves and surfaces Translated from the Portuguese, Prentice - Hall, Inc., Englewood Cliffs, N.J [3] F Morgan, (2005) Manifolds with density, Notices Amer Math Soc., 52, 853 - 858 [4] F Morgan, (2009) Manifolds with density and Perelman’s proof of the Poincare’ Conjecture, Amer Math Monthly 116, 134 - 142 [5] Hieu, D T.; Nam, T L., (2014) Bernstein type theorem for entire weighted minimal graphs in Gn × R, J Geom Phys [6] Hieu, D T., (2011) Some calibrated surfaces in manifolds with density, J Geom Phys, 61, no.8, 1625-1629 [7] Marcos P.C, Henrique F., Márcio S (2014) On Bernstein-type properties of complete hypersurfaces in weighted warped products Annali di Mathematica [8] nei B O’Neil, (1983) Semi - Riemannian Geometry with Applications to Relativity, Academic Press, London [9] Salamanca; Juan J.; Salavessa; Isabel M C., (2015) Uniqueness of minimal hypersurfaces in warped product manifolds, J.Math Anal Appl, 422, no 2, 1376-1389 [10] R Osserman, (2002) A survey of minimal surfaces, Courier Dover Publications 40 ... khơng gian R ×w R2 Tính cực tiểu diện tích mặt cực tiểu kiểu đồ thị Trong khơng gian R ×w G2 , với w = a = const., a = 0, chứng minh mặt Helicoid mặt cực tiểu Hơn ‘fiber’ mặt cực tiểu xác định. .. định R * Trường hợp w = 1, ta có khơng gian tích quen thuộc R × R2 ≡ R3 Trong khơng gian tích cong R ×w R2 , R gọi “base” R2 gọi thớ ? ?f iber” Ngồi ra, ta gọi khơng gian {t} ×w R2 ? ?f iber”; R. .. divf (F ) xác định sau: divf (F ) = ef div(e? ?f F ) Cũng giống chương I, ta kiểm tra tính cực tiểu diện tích mặt cực tiểu kiểu đồ thị không gian R ×w G2 phương pháp định cỡ Ta có kết sau đây: Định