Về tính ổn định và đồng bộ hóa của hệ nơ ron phân thứ hopfield

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - PHÙNG VĂN THÀNH VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ĐỒNG BỘ HÓA CỦA HỆ NƠ RON PHÂN THỨ HOPFIELD LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - PHÙNG VĂN THÀNH VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ĐỒNG BỘ HĨA CỦA HỆ NƠ RON PHÂN THỨ HOPFIELD Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Mai Viết Thuận THÁI NGUYÊN - 2019 Mục lục Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Giải tích phân thứ 1.1.1 Tích phân phân thứ 1.1.2 Đạo hàm phân thứ 1.2 Các định lý tồn nghiệm hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo 11 1.3 Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi phân phân thứ 13 1.4 Một số bổ đề bổ trợ 15 Tính ổn định đồng hóa hệ nơ ron Hopfield phân thứ 17 2.1 Tính ổn định hệ nơ ron Hopfield phân thứ 17 2.2 Tính đồng hóa hệ nơ ron Hopfield phân thứ 27 LỜI NĨI ĐẦU Mơ hình mạng nơ ron Hopfield mơ tả hệ phương trình vi phân với đạo hàm bậc nguyên nghiên cứu Chua Yang vào năm 1988 (xem [5]) Mô hình nhận quan tâm nghiên cứu nhiều nhà khoa học năm gần ứng dụng rộng lớn xử lí tín hiệu, xử lí hình ảnh, tối ưu hóa lĩnh vực khác [3, 6, 14] Năm 2008, nghiên cứu mình, Boroomand Menhaj [3] lần mơ hình hóa mạng nơ ron Hopfield hệ phương trình vi phân phân thứ (Caputo Riemann–Liouville) So với mạng nơ ron Hopfield mô tả hệ phương trình vi phân với đạo hàm bậc nguyên, mạng nơ ron Hopfield mơ tả hệ phương trình vi phân phân thứ (Caputo Riemann–Liouville) mơ tả đặc tính tính chất mạng nơ ron cách xác [3, 14] Như biết, tính ổn định tính chất quan trọng hệ động lực mạng nơ ron phân phân thứ Hopfield khơng ngoại lệ Do tốn nghiên cứu tính ổn định hệ nơ ron Hopfield phân thứ nhận quan tâm nghiên cứu nhiều nhà khoa học nhiều kết thú vị sâu sắc công bố tạp chí quốc tế có uy tín năm gần (xem [15, 17, 18, 20, 21, 22]) Như biết phương pháp hàm Lyapunov phương pháp hiệu để nghiên cứu tính ổn định hệ nơ ron Hopfield với bậc nguyên Năm 2010, Li [12] cộng đưa phương pháp hàm Lyapunov hay gọi phương pháp trực tiếp Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định hệ phương trình vi phân phân thứ phi tuyến Tuy nhiên khó khăn việc áp dụng phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi phân phân thứ xây dựng hàm Lyapunov thích hợp tính đạo hàm phân thứ hàm Lyapunov Năm 2015, Duarte-Mermoud [8] cộng đưa công thức để ước lượng đạo hàm phân thứ cấp α ∈ (0, 1) hàm Lyapunov dạng V (x(t)) = xT (t)P x(t), x(t) ∈ Rn , P ∈ Rn×n ma trận đối xứng, xác định dương Dựa kết bất đẳng thức ma trận tuyến tính, tác giả [22] nghiên cứu tính ổn định hệ nơ ron Hopfield phân thứ Gần đây, cách tiếp cận sử dụng bổ đề S bất đẳng thức ma trận tuyến tính, tác giả [18] đưa vài tiêu chuẩn cho tính ổn định lớp hệ nơ ron Hopfield phân thứ với hàm kích hoạt mở rộng Tuy nhiên, hàm Lyapunov chọn để nghiên cứu tính ổn định hệ nơ ron Hopfield phân thứ cơng trình [18, 22] đơn giản Gần đây, Wang cộng [16] đưa cách chọn hàm Lyapunov hữu hiệu để nghiên cứu tính ổn định hệ nơ ron Hopfield phân thứ Ngoài ra, tác giả đưa số tiêu chuẩn cho tính đồng hóa mạng nơ ron phân thứ Luận văn tập trung trình bày tính ổn định đồng hóa cho hệ nơ ron Hopfield phân thứ sở đọc hiểu tổng hợp kết báo [16] Wang cộng cơng bố năm 2019 Luận văn gồm có chương gồm nội dung sau đây: Trong Chương 1, chúng tơi trình bày số khái niệm giải tích phân thứ tích phân đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville, tích phân đạo hàm phân thứ Caputo Sau đó, chúng tơi trình bày số định lí tồn nghiệm Cuối chương, chúng tơi trình bày số bổ đề bổ trợ Nội dung chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [8, 10, 11] Trong Chương luận văn, chúng tơi trình bày số điều kiện đủ cho tính ổn định hệ nơ ron Hopfield phân thứ cách xây dựng hàm Lyapunov lồi cách tiếp cận sử dụng bất đẳng thức ma trận tuyến tính Ngồi ra, tốn đồng hóa cho mạng nơ ron phân thứ chúng tơi trình bày chương Nội dung chương chúng tơi tham khảo tài liệu [16] Ngồi ra, chương này, chúng tơi đưa 03 ví dụ số minh họa cho kết lý thuyết chương Đây coi đóng góp luận văn Luận văn thực trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn Tiến sĩ Mai Viết Thuận Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học Người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn, tận tình dìu dắt bảo tơi suốt q trình thực đề tài Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán – tin giảng viên tham gia giảng dạy, tạo điều kiện tốt để học tập nghiên cứu Đồng thời xin gửi lời cảm ơn tới gia đình thân yêu,cảm ơn người bạn thân thiết chăm sóc động viên khích lệ tơi suốt q trình nghiên cứu Sau tơi xin kính chúc tồn thể q thầy trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên thật dồi sức khỏe, niềm tin để tiếp tục thực sứ mệnh cao đẹp truyền đạt tri thức cho hệ mai sau Xin chân thành cảm ơn Danh mục ký hiệu Rn không gian vec tơ thực Euclide n chiều A ma trận chuyển vị ma trận A I ma trận đơn vị λ(A) tập hợp tất giá trị riêng ma trận A λmax (A) = max{Reλ : λ ∈ λ(A)} A chuẩn phổ ma trận A, A = λmax (A A) A≥0 ma trận A nửa xác định dương, tức Ax, x ≥ 0, ∀x ∈ Rn A≥B nghĩa A − B ≥ A>0 ma trận A xác định dương, tức Ax, x > 0, ∀x ∈ Rn , x = LM Is bất đẳng thức ma trận tuyến tính (Linear matrix inequalities) x chuẩn Euclide véc tơ x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn Rn×r khơng gian ma trận thực cỡ (n × r) C([a, b], Rn ) khơng gian hàm liên tục trên[a, b] nhận giá trị Rn AC m [a, b] không gian hàm tuyệt đối liên tục cấp m trên[a, b] α t0 It tốn tử tích phân phân thứ Riemann - Liouville cấp α RL α t0 Dt toán tử đạo hàm phân thứ Riemann - Liouville cấp α C α t0 Dt toán tử đạo hàm phân thứ Caputo cấp α Γ(x) hàm Gamma Eα,β hàm Mittag-Leffler hai tham số α số nguyên nhỏ lớn α   l1 0    L = diag{l1 , l2 , l3 } L =  l2    0 l3 Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm kết tính ổn định ổn định hóa hệ phương trình vi phân thường Chúng tơi trình bày số kết bổ trợ sử dụng chứng minh kết luận văn cho chương sau Kiến thức sử dụng chương tham khảo [7, 8, 10, 11] 1.1 1.1.1 Giải tích phân thứ Tích phân phân thứ Trong mục này, chúng tơi trình bày sơ lược khái niệm tích phân phân thứ Khái niệm tích phân phân thứ mở rộng tự nhiên khái niệm tích phân lặp thơng thường Định nghĩa 1.1 ([11]) Cho α > [a, b] ⊂ R, tích phân phân thứ RiemannLiouville cấp α hàm x : [a, b] −→ R cho α t0 It x(t) := Γ(α) t (t − s)α−1 x(s)ds, t ∈ (a, b], t0 +∞ Γ(.) hàm Gamma xác định Γ(α) = tα−1 e−t dt, α > 0 Trong Định nghĩa 1.1 α = 0, quy ước α t0 It := I với I toán tử đồng Sự tồn tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp α với < α < cho định lý sau: Định lý 1.1 ([11]) Giả sử x : [a, b] −→ R hàm khả tích [a, b] Khi đó, tích phân α t0 It x(t) tồn với hầu hết t ∈ [a, b] Hơn nữa, α t0 It x hàm khả tích Ví dụ sau cho ta tích phân phân thứ số hàm Ví dụ 1.1 ([11]) (i) Cho x(t) = (t − a)β , β > −1 t > a Với α > 0, có α t0 It x(t) = Γ(β + 1) (t − a)α+β , Γ(α + β + 1) t > a (ii) Cho x(t) = eλt , λ > Với α > 0, có +∞ α t0 It x(t) −α =λ j=0 1.1.2 (λt)α+j , Γ(α + j + 1) t > Đạo hàm phân thứ Mục trình bày cách ngắn gọn đạo hàm Riemann–Liouville đạo hàm Caputo Đây hai loại đạo hàm sử dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực Định nghĩa 1.2 ([11]) Cho trước số thực dương α khoảng [a, b] ⊂ R Đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α hàm x : [a, b] −→ R cho RL α t0 Dt x(t) dn := n dt n−α x(t) t0 It dn = Γ(n − α) dtn t (t − s)n−α−1 x(s)ds, t0 n := α số nguyên nhỏ lớn α dn dtn đạo hàm thơng thường cấp n Ví dụ 1.2 Cho hàm bước đơn vị (unit-step function)    1, t ≥ 0, f (t) =   0, t < Bằng cách sử dụng Định nghĩa 1.2, ta tính đạo hàm phân thứ Riemann– Liouville cấp α hàm f (t) RL α Dt f (t) = t−α Γ(1 − α) Trước trình bày điều kiện cho tồn đạo hàm phân thứ Riemann– Liouville, nhắc lại số kết sau Cho [a, b] khoảng hữu hạn R AC[a, b] không gian hàm tuyệt đối liên tục [a, b] Kolmogorov Fomin mối liên hệ hàm tuyệt đối liên tục hàm khả tích Lebesgue sau: t f (t) ∈ AC[a, b] ⇔ f (t) = c + ϕ(s)ds (ϕ(s) ∈ L(a, b)), a hàm tuyệt đối liên tục f (t) có đạo hàm f (t) = ϕ(t) hầu khắp nơi [a, b] Với n ∈ N, ta định nghĩa lớp hàm AC n [a, b] sau: AC n [a, b] = {f : [a, b] −→ R, (Dn−1 f )(t) ∈ AC[a, b] D= d } dt Mệnh đề sau cho ta số đặc tính lớp hàm AC n [a, b] Mệnh đề 1.1 ([11]) Không gian AC n [a, b] chứa tất hàm f (t) có dạng sau: n−1 f (t) = α t0 It ϕ(t) ck (t − t0 )k , + k=0 ϕ(t) ∈ L(a, b), ck (k = 0, 1, , n − 1) số tùy ý α t0 It ϕ(t) = (n − 1)! t (t − s)n−1 ϕ(s)ds t0 Ngoài ra, từ điều kiện ta có ϕ(s) = f (n) (s), ck = f (k) (t0 ) (k = 0, 1, , n − 1) k! Định lý sau cho ta tiêu chuẩn cho tồn đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville Định lý 1.2 ([11]) Cho α ≥ 0, n = [α] + Nếu f (t) ∈ AC n [a, b], đạo hàm phân thứ RL α t0 Dt f (t) tồn hầu khắp nơi [a, b] biểu diễn dạng sau n−1 RL α t0 Dt f (t) = k=0 f (k) (t0 ) (t − t0 )k−α + Γ(1 + k − α) Γ(n − α) t t0 f (n) (s)ds (t − s)α−n+1 20 xi (t) αki+ s − fi (αs) ds ≥ Hoàn − αki− s ds ≥ Suy V3 (x(t)) ≥ Từ suy xi (t) fi (αs) toàn tương tự, ta có Do V (x(t)) hàm xác định dương Bước 2: Ta chứng tỏ tồn số dương α1 , α2 thỏa mãn α1 x(t) ≤ V (x(t)) ≤ α2 x(t) Thật vậy, từ cách chọn hàm Lyapunov V (x(t)) ta thấy bất đẳng thức bên thỏa mãn với α1 = λmin (sym{P1 + P2 }) , α2 = λmax (sym{P1 + P2 }) + max 1≤j≤4,1≤i≤n {dji + d∗ji } max {|ki+ |, |ki− |} 1≤i≤n α Bước 3: Ta tồn số dương α3 thỏa mãn C Dt V (x(t)) ≤ −α3 x(t) Sử dụng Bổ đề 1.3, ta thu đánh giá C α Dt V1 (x(t)) α ≤ 2xT (t) sym{P1 + P2 } C Dt x(t) = 2xT (t) P1 + P1T C α Dt x(t) + 2xT (t) P2 + P2T C α Dt x(t) = 2xT (t) P1 + P1T (Ax(t) + Bf (x(t))) + 2xT (t) P2 + P2T C α Dt x(t) = 2ξ T (t) eT1 P1 + P1T (Ae1 + Be2 ) + eT1 P2 + P2T e4 ξ(t) = ξ T (t) sym{eT1 P1 (Ae1 + Be2 ) + eT1 AT + eT2 B T P e1 + eT1 P e4 + eT4 P2 e1 }ξ(t), (2.11) T α T ξ(t) = xT (t) f T (x(t)) f T (αx(t)) C Dt x (t) α Bây ta tính C Dt V2 (x(t)) Trước hết ta chứng tỏ xi (t) xi (t) fi (s) − ki− s ds hàm lồi với biến xi (t) Đặt G(u) = ki+ s − fi (s) ds u ki+ s − fi (s) ds Ta có G (u) = ki+ u − fi (u) (2.12) Với u1 , u2 ∈ R, u1 > u2 , theo Giả thiết 1, ta có G (u1 ) − G (u2 ) = ki+ (u1 − u2 ) − (fi (u1 ) − fi (u2 )) = ki+ fi (u1 ) − fi (u2 ) (u1 − u2 ) ≥ − u1 − u2 (2.13) Suy G (u1 ) ≥ G (u2 ) Do G (u) hàm không giảm Suy G(u) hàm lồi Từ suy xi (t) ki+ s − fi (s) ds hàm lồi biến xi (t) Một 21 cách hoàn toàn tương tự, ta chứng tỏ xi (t) fi (s) − ki− s ds hàm lồi biến xi (t) Khi áp dụng Bổ đề 1.3, ta thu đánh giá C α Dt V2 (x(t)) α ≤ xT (t)K + − f T (x(t)) [D1 + D1∗ ] C Dt x(t) α + f T (x(t)) − xT (t)K − [D2 + D2∗ ] C Dt x(t) = 2ξ T (t) eT1 K + − eT2 D1 (Ae1 + Be2 ) ξ(t) + 2ξ T (t) eT1 K + − eT2 D1∗ e4 ξ(t) (2.14) + 2ξ T (t) eT2 − eT1 K − D2 (Ae1 + Be2 ) ξ(t) + 2ξ T (t) eT2 − eT1 K − D2∗ e4 ξ(t) = ξ T (t) sym{ eT1 K + − eT2 D1 (Ae1 + Be2 ) + eT1 K + − eT2 D1∗ e4 + eT2 − eT1 K − D2 (Ae1 + Be2 ) + eT2 − eT1 K − D2∗ e4 }ξ(t) Tiếp theo, ta tính đạo hàm phân thứ cấp α hàm V3 (x(t)) Trước hết, ta chứng tỏ xi (t) αki+ s − fi (αs) ds lồi theo biến xi (t) Thật vậy, đặt F (u) = xi (t) fi (αs) − αki− s ds hàm u + αki s − fi (αs) ds Ta tính đạo hàm cấp hàm F (u) F (u) = αki+ u − fi (αu) Với u1 , u2 ∈ R, u1 > u2 , theo Giả thiết 1, ta có F (u1 ) − F (u2 ) = αki+ (u1 − u2 ) − (fi (αu1 ) − fi (αu2 )) = ki+ − fi (αu1 ) − fi (αu2 ) (αu1 − αu2 ) ≥ αu1 − αu2 Suy F (u1 ) ≥ F (u2 ) Do F (u) hàm không giảm Suy F (u) hàm lồi Suy F (xi (t)) = xi (t) αki+ s − fi (αs) ds hàm lồi ẩn xi (t) Một cách hoàn toàn tương tự, ta chứng minh xi (t) fi (αs) − αki− s ds hàm lồi theo biến xi (t) Bây áp dụng Bổ đề 1.3, ta thu ước lượng 22 C α Dt V3 (x(t)) α ≤ αxT (t)K + − f T (x(t)) [D3 + D3∗ ] C Dt x(t) α + f T (αx(t)) − αxT (t)K − [D4 + D4∗ ] C Dt x(t) = 2ξ T (t) αeT1 K + − eT3 D3 (Ae1 + Be2 ) ξ(t) + 2ξ T (t) αeT1 K + − eT3 D3∗ e4 ξ(t) + 2ξ T (t) eT3 − αeT1 K − D4 (Ae1 + Be2 ) ξ(t) (2.15) + 2ξ T (t) eT3 − αeT1 K − D4∗ e4 ξ(t) = ξ T (t) sym{ αeT1 K + − eT3 D3 (Ae1 + Be2 ) + αeT1 K + − eT3 D3∗ e4 + eT3 − αeT1 K − D4 (Ae1 + Be2 ) + eT3 − αeT1 K − D4∗ e4 }ξ(t) Ngoài ra, với ma trận đường chéo chính, xác định dương S1 S2 , ta có f T (x(t)) − xT (t)K − S1 K + x(t) − f (x(t)) ≥ 0, T T f (αx(t)) − αx (t)K − + (2.16) S2 αK x(t) − f (αx(t)) ≥ Do ξ T (t) sym{ eT2 − eT1 K − S1 K + e1 − e2 }ξ(t) ≥ 0, T ξ (t) sym{ eT3 − αeT1 K − + (2.17) S2 αK e1 − e3 }ξ(t) ≥ Từ (2.3), ta có đẳng thức ξ T (t) sym{L (Ae1 + Be2 − e4 )}ξ(t) = (2.18) Kết hợp điều kiện (2.11), (2.14), (2.15), (2.17) (2.18), ta thu đánh giá 23 C α Dt V (x(t)) ≤ ξ T (t) sym{eT1 P1 (Ae1 + Be2 ) + eT1 AT + eT2 B T P1 e1 + eT1 P2 e4 + eT4 P2 e1 + eT1 K + − eT2 D1 (Ae1 + Be2 ) + (eT1 K + − eT2 )D1∗ e4 + eT2 − eT1 K − D2 (Ae1 + Be2 ) + eT2 − eT1 K − D2∗ e4 + αeT1 K + − eT3 D3 (Ae1 + Be2 ) + αeT1 K + − eT3 D3∗ e4 + eT3 − αeT1 K − D4 (Ae1 + Be2 ) + eT3 − αeT1 K − D4∗ e4 + eT2 − eT1 K − S1 K + e1 − e2 + eT3 − αeT1 K − S2 αK + e1 − e3 + L (Ae1 + Be2 − e4)} ξ(t) = ξ T (t)Φξ(t) ≤ λmax (Φ) x(t) (2.19) Vì Φ < nên điều kiện (ii) Định lý 1.9 thỏa mãn Vậy Hệ (2.3) Mittag-Leffler ổn định Nhận xét 2.1 Phương pháp hàm Lyapunov phương pháp hữu hiệu để nghiên cứu tính ổn định hệ phương trình vi phân phân thứ phi tuyến Tuy nhiên, việc tìm hàm Lyapunov phù hợp tính đạo hàm phân thứ Caputo hàm khơng đơn giản khơng giống đạo hàm bậc nguyên, qui tắc Leibniz quy tắc lấy đạo hàm hàm hợp đạo hàm phân thứ phức tạp Thơng thường để nghiên cứu tính ổn định hệ phương trình vi phân phân thứ phương pháp hàm Lyapunov, hàm Lyapunov thường chọn V (x(t)) = xT (t)P x(t) P ma trận đối xứng, xác định dương Hàm Lyapunov chọn chứng minh Định lý 2.1 có dạng tổng quát kết thu bảo thủ (less conservative) kết [18, 22] Sau đưa vài ví dụ số minh họa cho kết lý thuyết Định lý 2.1 24 Ví dụ 2.1 Xét hệ nơ ron  −6  A=  Hopfield phân thứ (2.3), α = 0.8    −3 0 5    −5  , B = −2 −0.4  ,    −2.5 3.5 −8 hàm kích hoạt thỏa mãn Giả thiết với K + = diag{1, 1, 1}, K − = diag{−1, −1, −1} Ta thấy Định lý [19] khơng áp dụng để xét tính ổn định hệ nơ ron Hopfield phân thứ xét ví dụ điều kiện Định lý khơng thỏa mãn với i = Thật vậy, theo điều kiện Định lý [19], ta có l1 = l2 = l3 = 1, |a1 | − bi1 l1 = −2 < Tuy i=1 nhiên, cách sử dụng hộp công cụ LMI Toolbox MATLAB, ta thấy điều kiện Định lý 2.1 thỏa mãn với   0.0561 −0.1693  3.7382   P1 = 103 × −0.2652 −0.2539 0.0737  ,   0.0424 0.0515 −1.5443   0.0765  −3.7374 0.0834   P2 = 103 ×  0.1276 0.2556 −0.0625   0.0506 −0.0627 1.5452 D1 = 103 × diag{−1.1771, 0.9912, 0.5017}, D2 = 103 × diag{−4.4295, 0.5593, −0.4948}, D3 = 103 × diag{−5.9934, 0.8516, 0.6754}, D4 = 103 × diag{−4.5020, 0.8268, 2.7420}, D1∗ = 103 × diag{1.1800, −0.9905, −0.4992}, D2∗ = 103 × diag{4.4298, −0.5578, 0.4961}, D3∗ = 103 × diag{5.9939, −0.8505, −0.6735}, D4∗ = 103 × diag{4.5025, −0.8258, −2.7402},   0  5.6260   S1 =  4.3784 ,   0 20.8970 25  0.2508  S2 =  0.7254  0  6.5278   0.0343    4.0566    2.6919    1.2139   −1.6854 L = 10 ×   −1.4914   −0.0000   0.0000    0.0007   −0.0346  0.4912    ,  1.7654 0.4188 −2.3841 −0.1398 −0.1733 0.3924 0.1116 0.0000 0.0248 −0.0000 0.0353 0.0012 −0.0018  −2.8204  −0.1161   0.3509    2.4602    0.4913    −0.4769   0.0000    −0.0000  −2.0666   −0.4911   0.0019   0.0007 Theo Định lý 2.1, hệ cho Mittag-Leffler ổn định Ví dụ 2.2 Xét hệ nơ ron Hopfield phân thứ C 0.5 Dt x(t) (2.20) = Ax(t) + Bf (x(t)), t ≥ 0,     −9 0 2 −3      −10  −1 −4  1     A= , B =   0   −2.5 2.5  −9     0 −6 −1 T Hàm kích hoạt f (x(t)) = (sin(x1 (t)), sin(x2 (t)), sin(x3 (t)), sin(x4 (t))) ∈ R4 Dễ kiểm tra hàm kích hoạt f (x(t)) thỏa mãn Giả thiết với K + = diag{1, 1, 1, 1}, K − = diag{0, 0, 0, 0} Bằng cách sử dụng hộp công cụ LMI Toolbox MATLAB, ta thấy điều kiện Định lý 2.1 thỏa 26 mãn với  −0.7076 −0.0250 −0.6678   0.0983 0.9457 −0.3616  P1 = 10 ×   0.5819 0.2053 −1.8003  −0.2485 −0.1931 0.0505  0.7079 −0.0222 0.0467  −0.0508 −0.9453 0.0799  P2 = 103 ×   0.0394 0.0763 1.8006  0.1310 0.1141 −0.0156 0.0055   −0.0382   −0.0239  −2.6055  0.1120  0.1174   , −0.0111  2.6058 D1 = 103 × diag{0.5364, −0.5778, −1.4807, −0.7679}, D2 = 103 × diag{0.3482, −1.7669, −0.1087, −0.9453}, D3 = 103 × diag{0.8258, 0.6662, 0.8569, 1.4259}, D4 = diag{399.8647, 76.1803, 159.4418, 641.7154}, D1∗ = 103 × diag{−0.5357, 0.5784, 1.4816, 0.7685}, D2∗ = 103 × diag{−0.3477, 1.7680, 0.1092, 0.9461}, D3∗ = 103 × diag{−0.8251, −0.6654, −0.8562, −1.4252}, D4∗ = diag{−399.1852, −75.4111, −158.7110, −640.9741},   0.7176 0     0.7062 0   S1 =  ,   0.9063   0 0.5012   0.5076 0     0.5070 0   S2 =  ,   0.5080   0 0.5082 27  0.4661   0.2853   −0.1055    0.6922    0.1705   −0.0595   −0.0576    0.0603 L = 103 ×    0.4259    0.0000   0.0000   −0.0000    0.0002    0.0359   −0.0213  0.0749 −0.3959 0.2774 −1.6466 0.1497 0.1624 4.6528 0.8935 0.0897 −0.0393 −0.0626 1.0418 −0.0840 −0.2196 −1.3268 0.1097 0.0201 0.0000 0.0000 0.5900 −0.0000 −0.0000 0.6975 0.0000 0.0000 −0.0358 0.0213 0.0002 −0.0007 0.0006 0.0002 0.1104 0.0194  −0.4308  −0.8722   −0.2011   5.2659    0.0588    −0.3401   −0.0658   0.3072    −0.0000   0.0000   0.0000    0.7842    −0.0749   −0.1103   −0.0194  0.0002 Theo Định lý 2.1, hệ cho Mittag-Leffler ổn định 2.2 Tính đồng hóa hệ nơ ron Hopfield phân thứ Trong mục này, chúng tơi trình bày tính đồng hóa hệ nơ ron Hopfield phân thứ dựa kết tính Mittag-Leffler ổn định lớp hệ Để giải tốn này, chúng tơi xét hệ nơ ron Hopfield phân thứ (2.1) hệ chủ (master system) Hệ phụ thuộc (slave system) cho C α Dt z(t) = Az(t) + Bg(z(t)) + J(t) + D(t), t ≥ 0, (2.21) D(t) = diag{d1 (t), , dn (t)} điều khiển thích hợp xác định sau Tiếp theo, điều khiển ngược tuyến tính dùng để đồng hóa Hệ (2.1) Hệ (2.21) Ta xét điều khiển ngược tuyến tính có dạng D(t) = −K (y(t) − z(t)) , t ≥ 0, (2.22) 28 K = diag{k1 , k2 , , kn } xác định sau Đặt ei (t) = yi (t) − zi (t) Khi ta thu hệ sai khác (error system) Hệ (2.1) (2.21) C α Dt e(t) = Ae(t) + B (g(y(t)) − g(z(t))) − Ke(t) t ≥ (2.23) Định nghĩa 2.1 Hệ chủ (2.1) hệ phụ thuộc (2.21) Mittag-Leffler đồng hóa b e(t) ≤ [m(e(0))Eα (−λtα )] , ∀t > 0, λ > 0, b > 0, m(x) hàm Lipschitz địa phương Rn với số Lipschitz m0 , m(0) = 0, m(e) ≥ Định lý 2.2 Hệ chủ (2.1) hệ phụ thuộc (2.21) Mittag-Leffler đồng hóa điều khiển ngược tuyến tính (2.22) tồn ma trận P1 , P2 ∈ Rn×n , ma trận đường chéo Di , Di∗ ∈ Rn×n (i = 1, 2, 3, 4), S1 , S2 ∈ Rn×n ma trận L ∈ R4n×n cho bất đẳng thức ma trận tuyến tính thỏa mãn sym{P1 + P2 } > 0, Di + Di∗ > 0, S1 > 0, S2 > 0, Ψ < 0, (2.24) Ψ = sym{eT1 P1 ((A − K)e1 + Be2 ) + eT1 (AT − K T ) + eT2 B T P1 e1 + eT1 P2 e4 + eT4 P2 e1 + eT1 K + − eT2 D1 ((A − K)e1 + Be2 ) + (eT1 K + − eT2 )D1∗ e4 + eT2 − eT1 K − D2 ((A − K)e1 + Be2 ) + eT2 − eT1 K − D2∗ e4 + αeT1 K + − eT3 D3 ((A − K)e1 + Be2 ) + αeT1 K + − eT3 D3∗ e4 + eT3 − αeT1 K − D4 ((A − K)e1 + Be2 ) + eT3 − αeT1 K − D4∗ e4 + eT2 − eT1 K − S1 K + e1 − e2 + eT3 − αeT1 K − S2 αK + e1 − e3 + L ((A − K)e1 + Be2 − e4)}, e1 = I 0 , e = I 0 , e = 0 I , e = 0 I , K + = diag{k1+ , k2+ , , kn+ }, K − = diag{k1− , k2− , , kn− } 29 Chứng minh Ta thấy hệ (2.23) viết lại thành C α Dt e(t) = (A − K) e(t) + B (g(y(t)) − g(z(t))) t ≥ Khi sử dụng kỹ thuật chứng minh tương tự Định lý 2.1, ta dễ dàng thu Định lý 2.2 Sau đây, chúng tơi đưa ví dụ số minh họa cho kết lý thuyết Định lý 2.2 Ví dụ 2.3 Xét hệ chủ (2.1) hệ phụ thuộc (2.21), α = 0.98 ma trận hệ số     −1.2  0  −1     A =  −1  , B =  1.8 1.71 1.15     −4.75 1.1 0 −1 Cho K + = diag{1, 1, 1} K − = diag{−1, −1, −1} Theo kết [19] hệ (2.23) với D(t) = có quỹ đạo hỗn loạn, tức hệ (2.23) không MittagLeffler ổn định Do hệ chủ (2.1) hệ phụ thuộc (2.21) khơng đồng hóa Với điều khiển ngược tuyến tính (2.22), K = diag{2.3, 2.1, 2}, ta thu hệ đóng (2.23) Bằng cách sử dụng phần mềm MATLAB, ta thấy điều kiện Định lý 2.2 thỏa mãn với   −0.0674 −0.0501 2.1193    P1 = 105 ×  0.1268 −0.0431 0.2089  ,   −0.3656 0.5806 −4.3222    0.0685 −0.0594 −0.8643   P2 = 105 × −0.0174 0.0436 −0.4299 ,   −0.8889 −0.3596 4.3225 D1 = 105 × diag{−0.8601, −0.4975, 1.4899}, D2 = 104 × diag{−9.8385, −4.8139, 9.9105}, D3 = 105 × diag{0.4818, 0.0147, 1.3641}, D4 = 105 × diag{1.3045, −0.3075, 0.9365}, 30 D1∗ = 105 × diag{0.8618, 0.4987, −1.4894}, D2∗ = 104 × diag{9.8571, 4.8220, −9.9077}, D3∗ = 105 × diag{−0.4801, −0.0136, −1.3637}, D4∗ = 105 × diag{−1.3027, 0.3085, −0.9362}, S1 = 103 × diag{1.3749, 0.7062, 0.2126}, S2 = diag{34.8503, 27.2694, 10.3783},   0.2328 −1.0343 −1.1937    0.8227  1.3546 −0.9242     −2.2624 −0.6593 3.9099      −1.2018 0.7880 −0.2622     −0.4981 −0.3627 0.2775       −0.1469 −0.0472 0.5492    L = 10 ×   −0.8226 0.0000 0.0000      0.0000  −0.0000 0.3222   −0.0000 0.0000 0.4275       0.0013 −0.2902 0.1697       0.2901  0.0009 −0.0434   −0.1695 0.0435 0.0004 Do hệ chủ (2.1) hệ phụ thuộc (2.21) Mittag-Leffler đồng hóa 31 Kết luận Luận văn đạt kết sau: • Trình bày lại số khái niệm giải tích phân thứ bao gồm tích phân Riemann-Liouville, đạo hàm phân thứ Caputo, hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo; • Trình bày tiêu chuẩn cho tính Mittag-Leffler ổn định hệ nơ ron Hopfield phân thứ; • Trình bày tiêu chuẩn cho tính đồng hóa hệ nơ ron Hopfield phân thứ; • Đưa 03 ví dụ số minh họa cho kết lý thuyết Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Văn Cường, Về tính ổn định số lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ, Luận văn cao học, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên [2] Hoàng Thế Tuấn (2017), Về số vấn đề định tính hệ phương trình vi phân phân thứ, Luận án tiến sĩ toán học, Viện Toán học Tiếng Anh [3] Boroomand A and Menhaj M B (2008), “Fractional-order Hopfield neural networks”, In International Conference on Neural Information Processing (pp 883-890) Springer, Berlin, Heidelberg [4] Boyd S., El Ghaoui L., Feron E and Balakrishnan V (1994), Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory, SIAM, Philadelphia [5] Chua L.O and Yang L (1998), “Cellular neural networks: Theory”, IEEE Transactions on Circuits and Systems, 35(10), 1257–1272 [6] Chua L.O and Yang L (1998), “Cellular neural networks: Applications”, IEEE Transactions on Circuits and Systems, 35(10), 1273–1290 [7] Diethelm K (2010), The Analysis of Fractional Differential Equations An Application oriented Exposition Using Differential Operators of Caputo Type, Lecture Notes in Mathematics, 2004, Springer - Verlag, Berlin 32 33 [8] Duarte-Mermoud M.A., Aguila-Camacho N., Gallegos J.A and CastroLinares R (2015), “Using general quadratic Lyapunov functions to prove Lyapunov uniform stability for fractional order systems”, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 22(1-3), 650–659 [9] Hilfer R (2000), Applications of Fractional Calculus in Physics, World Science Publishing, Singapore [10] Kaczorek T (2011), Selected Problems of Fractional Systems Theory, Springer [11] Kilbas A.A., Srivastava H.M and Trujillo J.J (2006), Theory and Applications of Fractional Differential Equations, Springer [12] Li Y., Chen Y.Q and Podlubny I (2010), “Stability of fractional- order nonlinear dynamic systems: Lyapunov direct method and generalized Mittag–Leffler stability”, Computers and Mathematics with Applications, 59(5), 1810–1821 [13] Liu S, Yang R, Zhou X.F., Jiang W., Li X and Zhao X.W (2019), “Stability analysis of fractional delayed equations and its applications on consensus of multi-agent systems”, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 73, 351–362 [14] Shuo Z, Chen Y.Q and Yu Y (2017), “A Survey of Fractional-Order Neural Network”, ASME 2017 International Design Engineering Technical Conferences and Computers and Information in Engineering Conference, American Society of Mechanical Engineers [15] Wang H., Yu Y.G and Wen G (2014), “Stability analysis of fractionalorder Hopfield neural networks with time delays", Neural Networks, 55, 98–109 [16] Wang F., Liu X., Tang M and Chen L (2019), “Further results on stability and synchronization of fractional-order Hopfield neural networks”, Neurocomputing, DOI: 10.1016/j.neucom.2018.08.089 34 [17] Wang L., Song Q., Liu Y., Zhao Z and Alsaadi F.E (2017), “Global asymptotic stability of impulsive fractional-order complex-valued neural networks with time delay”, Neurocomputing, 243, 49–59 [18] Yang Y., He Y., Wang Y and Wu M (2018), “Stability analysis of fractional-order neural networks: An LMI approach”, Neurocomputing, 285, 82–93 [19] Zhang S., Yu Y., Wang H (2015), “Mittag-Leffler stability of fractionalorder Hopfield neural networks”, Nonlinear Analysis Hybrid Systems, 16, 104–121 [20] Zhang S., Yu Y and Wang Q (2016), “Stability analysis of fractionalorder Hopfield neural networks with discontinuous activation functions”, Neurocomputing, 171, 1075–1084 [21] Zhang L., Song Q and Zhao Z (2017), “Stability analysis of fractionalorder complex-valued neural networks with both leakage and discrete delays”, Applied Mathematics and Computation, 298, 296–309 [22] Zhang S., Yu Y and Yu J (2017), “LMI conditions for global stability of fractional-order neural networks”, IEEE Transactions on Neural Networks and Learning Systems, 28(10), 2423–2433 ... 15 Tính ổn định đồng hóa hệ nơ ron Hopfield phân thứ 17 2.1 Tính ổn định hệ nơ ron Hopfield phân thứ 17 2.2 Tính đồng hóa hệ nơ ron Hopfield phân thứ 27 LỜI NĨI... cứu tính ổn định hệ nơ ron Hopfield phân thứ Ngồi ra, tác giả đưa số tiêu chuẩn cho tính đồng hóa mạng nơ ron phân thứ Luận văn tập trung trình bày tính ổn định đồng hóa cho hệ nơ ron Hopfield phân. .. Dt x(t), ∀α ∈ (0, 1), ∀t ≥ Chương Tính ổn định đồng hóa hệ nơ ron Hopfield phân thứ 2.1 Tính ổn định hệ nơ ron Hopfield phân thứ Xét hệ nơ ron Hopfield phân thứ    C Dα y(t) = Ay(t) + Bg(y(t))