các siêu mặt hyperbolic brody trong không gian xạ ảnh phức

TRANG P BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH -o0o - NGUYỄN HOÀNG YẾN CÁC SIÊU MẶT HYPERBOLIC BRODY TRONG KHÔNG GIAN XẠ ẢNH PHỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2011 HỤ BÌA BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH -o0o - NGUYỄN HOÀNG YẾN CÁC SIÊU MẶT HYPERBOLIC BRODY TRONG KHÔNG GIAN XẠ ẢNH PHỨC CHUYÊN NGÀNH: HÌNH HỌC VÀ TÔPÔ MÃ SỐ: 60.46.10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN TRỌNG HÒA Thành phố Hồ Chí Minh - 2011 LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan công trình nghiên cứu riêng sở công trình H.Fujimoto Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực xác Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 08 năm 2011 Nguyễn Hoàng Yến LỜI CẢM ƠN Tôi vô biết ơn Tiến sĩ NGUYỄN TRỌNG HÒA định hướng nghiên cứu siêu mặt hyperbolic, vấn đề quan tâm ứng dụng nhiều lĩnh vực Toán học; thầy người trực tiếp hướng dẫn thực luận văn Tôi gửi lời cảm ơn BÙI QUANG THỊNH, bạn đồng môn, chia sẻ tài liệu dẫn việc soạn thảo luận văn Latex Tôi gửi lời tri ân đến thầy cô giáo khoa Toán-Tin hướng dẫn nghiên cứu Toán học năm học trường Đại học Sư Phạm TP.HCM gia đình bạn bè hiểu, chia sẻ động viên trình thực đề tài Nguyễn Hoàng Yến MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN ii LỜI CẢM ƠN iii MỤC LỤC iv MỞ ĐẦU 1 Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu 3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu 4 Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc luận văn .4 Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ 1.1 Không gian xạ ảnh phức 1.2 Đa tạp, siêu mặt, đường cong đại số, mặt Riemann 1.3 Không gian hyperbolic 19 Chương 2: MỘT SỐ LỚP SIÊU MẶT HYPERBOLIC TRONG KHÔNG GIAN XẠ ẢNH PHỨC 22 2.1 Siêu mặt hyperbolic bậc thấp .23 2.2 Siêu mặt hyperbolic bậc cao 43 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO 56 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Lí thuyết không gian Hyperbolic, xuất vào đầu năm 60 kỉ XX, ngày quan tâm người ta tìm thấy nhiều ứng dụng quan trọng lĩnh vực Toán học như: Hình học, Hình học Đại số, Số học, Giải tích, đặc biệt mối liên hệ tính hyperbolic Brody đa tạp xạ ảnh với nghiệm phương trình Diophant S.Lang, [13], rằng: Nếu X không gian compắc X hyperbolic Brody hyperbolic Kobayashi Không gian phức compắc, từ sau, dùng khái niệm hyperbolic theo nghĩa Brody (vì tập compắc, hai khái niệm trùng nhau) Một giả thuyết tiếng Số học nói rằng: Phương trình Diophant bậc cao với số biến đủ tổng quát có hữu hạn nghiệm nguyên Trên sở đó, năm 1970, S.Kobayashi đưa giả thuyết: Giả sử D siêu mặt tổng quát bậc d n , với d đủ lớn so với n Khi đó, D hyperbolic, phần bù n \ D hyperbolic Ngoài ra, điều có cho d ≥ 2n + 1? Giả thuyết Kobayashi nhận quan tâm nhiều nhà Toán học giới Một mặt, họ cố gắng xây dựng lớp siêu mặt hyperbolic Brody cụ thể khác không gian n , nhiều công trình lớn theo hướng công bố, tiêu biểu công trình R.Brody, M.Green, A.Nadel, Y.T.Siu, J.P.Demailly, B.Shiffman, F.A Bogomolov, M.Ru, Noguchi, Hà Huy Khoái, P.Kiernan, E.I.Nochka, K.Masuda, H.Fujimoto… Hướng thứ hai, người ta cố gắng xây dựng lớp tổng quát siêu mặt hyperbolic Brody n cố gắng tìm phương pháp chung để mô tả lớp tổng quát siêu mặt hyperbolic Brody Hướng thứ ba họ nghiên cứu giả thuyết không gian xạ ảnh n-chiều trường sở không Acsimet: nhà toán học tiên phong nghiên cứu theo hướng công bố công trình Borel, Bloch, Cartan, M Ru, Noguchi, Hà Huy Khoái, … Theo hướng thứ nhất, năm 1977, R.Brody M.Green chứng minh: siêu mặt bậc chẵn ≥ 50 3 hyperbolic ([3]) Về sau, 3 , A.Nadel đưa loại siêu mặt hyperbolic bậc d = p + ≥ 21 ([18]), J.El Goul lớp siêu mặt hyperbolic với bậc d ≥ 14 ([11]), J.P.Demailly ([4]) Y.T.Siu-S.K.Yeung ([23]) chứng minh lớp siêu mặt hyperbolic bậc d ≥ 11 Trong [6], J.P.Demailly J.El Goul chứng minh siêu mặt tổng quát bậc ≥ 21 3 hyperbolic, [21], M.Shirosaki xây dựng siêu mặt hyperbolic bậc 10 Trường hợp n ≥ 4, [16], K.Masuda J.Noguchi chứng minh tồn siêu mặt hyperbolic bậc d với d ≥ d (n) , d (n) số nguyên đương phụ thuộc vào n đưa số ví dụ cụ thể siêu mặt hyperbolic n với n ≤ Ngoài ra, Siu-Yeung đưa ví dụ siêu mặt bậc 16(n − 1)2 n (]23]) Năm 1992, A.Emerenko M.Sodin, [6], mở rộng định lý Cartan phân bố giá trị đường cong chỉnh hình đến trường hợp siêu mặt, chứng minh rằng: Mọi ánh xạ chỉnh hình f :  → n không cắt 2n + siêu mặt vị trí tổng quát ánh xạ hằng, tức phần bù 2n + siêu mặt vị trí tổng quát siêu mặt hyperbolic Brody không gian xạ ảnh phức n-chiều Mở rộng kết Shirosaki [12], H.Fujimoto thành công việc xây dựng lớp cụ thể siêu mặt hyperbolic bậc 3 , bậc thấp siêu mặt hyperbolic biết đến 3 Tổng quát hơn, H.Fujimoto kết sau: Định lí 0.1 Tồn họ siêu mặt hyperbolic bậc 2n không gian xạ ảnh phức n-chiều Masuda-Noguchi rằng: Định lí 0.2: Với d ≥ × 6n (n ≥ 3), tồn họ siêu mặt hyperbolic bậc d không gian xạ ảnh phức n-chiều Gần đây, B.Shiffman M.Zaidengerg đưa cải thiện kết đề cập Siu-Yeung, cách tồn siêu mặt hyperbolic sau không xây dựng ví dụ cụ thể: Định lí 0.3 Cho m ≥ 2n − Với d ≥ (m − 1)2 h1 , , hm hàm tuyến tính tổng quát  n+1 , siêu mặt m   d X n−1 := 0  z ∈ Pn : ∑ h j ( z) = j =1   hyperbolic Như kết trên, cụ thể định lí 0.1 định lí 0.2 cải thiện không? Liệu có phương pháp chung để xây dựng siêu mặt hyperbolic với bậc tùy ý không gian xạ ảnh phức n-chiều hay không? Và dựa kết định lí 0.2 có phương pháp xây dựng cụ thể siêu mặt hyperbolic bậc d với d ≥ × 6n không gian xạ ảnh phức n-chiều hay không? Đó vấn đề mở đặt Việc nghiên cứu Giả thuyết Kobayashi theo hướng vấn đề thời nhà Toán học quan tâm Vì vậy, chọn việc nghiên cứu CÁC SIÊU MẶT HYPERBOLIC BRODY TRONG KHÔNG GIAN XẠ ẢNH PHỨC làm đề tài Trong đề tài này, giới hạn tìm hiểu tìm cách mở rộng kết B.Shiffman, M.Zaidengerg, R.Brody, M.Green, Masuda, Noguchi đặc biệt H.Fujimoto không gian xạ ảnh phức nchiều Mục đích nghiên cứu Trên sở hiểu rõ khái niệm làm rõ kết H Fujimoto công trình ông công bố năm 2003 tác giả có liên quan, xây dựng siêu mặt hyperbolic Brody bậc bậc d với d ≥ × 6n không gian xạ ảnh phức n-chiều Trên sở hiểu rõ khái niệm làm rõ kết H.Fujimoto công trình ông công bố năm 2003 tác giả có liên quan, xây dựng siêu mặt hyperbolic Brody bậc d với d ≥ × 6n không gian xạ ảnh phức n-chiều Đối tượng phạm vi nghiên cứu Luận văn nghiên cứu siêu mặt hyperbolic Brody bậc thấp bậc cao không gian xạ ảnh phức n-chiều Luận văn xây dựng số lớp siêu mặt hyperbolic bậc thấp bậc cao không gian xạ ảnh phức n-chiều theo hướng nghiên cứu H.Fujimoto vài tác giả khác, đồng thời cụ thể hóa số trường hợp đặc biệt Phương pháp nghiên cứu Tổng hợp hoàn thiện kết có từ báo, tài liệu khoa học có liên quan đến vấn đề cần nghiên cứu Đưa ví dụ minh họa cho kết trình bày Sử dụng phương pháp Hình học Đại số, đánh giá tính hyperbolic siêu mặt thông qua việc xác định giống Cấu trúc luận văn Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ Không gian xạ ảnh phức Đa tạp, siêu mặt, đường cong đại số, mặt Riemann Không gian hyperbolic Chương 2: MỘT SỐ LỚP SIÊU MẶT HYPERBOLIC TRONG KHÔNG GIAN XẠ ẢNH PHỨC Siêu mặt hyperbolic bậc thấp Siêu mặt hyperbolic bậc cao Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ Chương trình bày vấn đề liên quan đến nội dung chương Đó khái niệm không gian xạ ảnh phức; đa tạp, siêu mặt, đường cong đại số, mặt Riemann; không gian hyperbolic 1.1 Không gian xạ ảnh phức Chi tiết không gian xạ ảnh phức xem [14](tr.34), [22](tr.65), [10](tr.43) Khái niệm không gian xạ ảnh đến từ ý tưởng đồng điểm ( x, y ) ∈ với không gian tuyến tính phức chiều 3 sinh ( x, y,1) Mỗi không gian 0} , tuyến tính chiều 3 không nằm mặt phẳng {( x, y, z ) ∈ 3 | z = chứa điểm có dạng ( x, y,1) Còn không gian chiều {( x, y, z ) ∈ 3 | z = 0} xem ``các điểm vô cùng'' Định nghĩa 1.1 Tập hợp không gian chiều phức không gian vectơ  n+1 gọi không gian xạ ảnh phức n-chiều n Khi n = , ta có đường thẳng xạ ảnh phức 1 n = , ta có mặt phẳng xạ ảnh phức 2 Nhận xét 1.2 Nếu V không gian vectơ trường K không gian xạ ảnh tương ứng (V ) tập hợp tất không gian chiều V Ở đây, ta làm việc với K =  V =  n+1 cho đơn giản, ta viết n thay cho ( n+1 ) Mỗi không gian chiều U  n+1 sinh vectơ khác không u ∈U Do ta đồng n với tập tất lớp tương đương  n+1 \ {0} , quan hệ tương đương a ~ b tồn giá trị λ ∈ \ {0} cho a = λb Định nghĩa 1.3 Một vectơ ( x0 ,…, xn )  n+1 đại diện cho phần tử x n ; ta gọi ( x0 ,…, xn ) tọa độ x viết= x [ x0 : … : xn ] Khi n = {[ x0 : … : xn ] | ( x0 ,…, xn ) ∈ n+1  {0}} Định nghĩa 2.19 Một đa thức F ( x0 , x1 ,…, xm ) theo biến x0 , x1 ,…, xm gọi đa thức có trọng số với trọng số (d , d1 ,…, d m ) F (t0d0 , t1d1 ,…, tmdm ) đa thức theo biến (t0 ,…, tm ) Từ khái niệm này, đưa mệnh đề tạo sở cho việc xây dựng siêu mặt hyperbolic bậc cao thay cho việc xây dựng H-đa thức phần 2.1: Mệnh đề 2.20 Cho đa thức F := ∑a i1 ,…,im x  xmim i1 i1im theo biến x1 ,…, xm liên hợp với đa thức có trọng số: F * ( x0 , x1 ,…, xm ) := ∑ ai1im x0d −i1d1−−imdm x1i1  xmim i1 ,…,im theo biến x0 , x1 ,…, xm với trọng số (1, d1 ,…, d m ) , di số nguyên dương = d : max{i1d1 +  + im d m : ai1im ≠ 0} Giả sử rằng: (i) F * (0, x1 ,…, xm ) gồm đơn thức khác không, cụ thể ta biểu diễn F * (0, x1 ,…, xm ) =cx1j1 … xmjm với c số khác không, j1 ,…, jm số nguyên không âm Hiển nhiên d = j1d1 +  + jm d m (> 0) (ii) Nếu F (ϕ1 ,…,ϕm ) = với ϕi hàm phân hình  hàm phân hình ϕi hàm Gọi Qi ( w0 ,…, wn ) H-đa thức bậc di (1 ≤ i ≤ m) , siêu mặt { ) } ( V := w= ( w0 : … : wn ) : w0d F Q1 ( w) / w0d1 ,…, Qm ( w) / w0dm = n hyperbolic Chứng minh Ta cần chứng minh ánh xạ chỉnh hình f :  → V ánh xạ Gọi f :  → V ⊂ n ánh xạ chỉnh hình có biểu diễn rút gọn f := ( f : f1 :  : f n ) Khi đó: Q (f ) Q (f) f 0d F  d1 ,…, m dm  = (2.10) f0   f0  Q1 ( f )i1 Qm ( f )im  imdn ⇔ f  ∑ ai1im i1d1 f f0 , , … i i 1 m d ⇔ ∑a i1 ,…,im i1im  =  (2.11) f 0d −i1d1 −−imdm Q1 ( f )i1 Qm ( f )im = Nếu f ≡ , ta có (2.11) ⇔ Q1 (0, f1 ,…, f n ) j1 Qm (0, f1 ,…, f n ) jm = Khi đó, tồn jk cho Q jk (0, f1 ,…, f n ) ≡ Mà Q jk H-đa thức nên f ánh xạ Ngược lại, f ≡/ , Q (f ) Q (f) (2.10) ⇔ F  d1 ,…, m dm  = f0   f0 Đặt ϕi : Qi ( f , f1 ,…, f n ) / f 0di , ϕi hàm phân hình Mà F thỏa mãn = điều kiện (ii) nên tồn i0 cho ϕi0 hàm Ta viết lại Qi0 ( f , f1 ,…, f n ) = cf i0 d với c số Mà Qi0 H-đa thức nên f ánh xạ  Để minh họa mệnh đề 2.20, trước hết, đưa ví dụ đa thức F thỏa mãn điều kiện (i) (ii) mệnh đề 2.20: Mệnh đề 2.21 Cho đa thức F ( x, y ) := x p + y p + x r y s + với p,r,s số nguyên dương Giả sử = p ≤ t : min(r , s ), + < p t (2.12) Khi F(x,y) thỏa mãn điều kiện (i) (ii) mệnh đề 2.20 với d1 , d số nguyên dương tùy ý Chứng minh Ta cần kết sau (chứng minh tham khảo [7] (mệnh đề 3.4.7)) Định lí 2.22 Giả sử f , f1 ,…, f n hàm chỉnh hình khác không  thỏa mãn đẳng thức: f 0p + f1 p +  + f np = với p số nguyên ≥ n Xét phân hoạch {0,1,…, n} = I1 ∪ I ∪  ∪ I k cho i j thuộc lớp I l fi / f j hàm Khi ∑f i∈I l p i =0 với l Ta chứng minh mệnh đề 2.21: Theo định nghĩa, đa thức liên hợp với F có trọng số với trọng số (d1 , d ) xác định sau: F * (t , x, y )=: t d − pd1 x p + t d − pd2 y p + x r y s + t d , với = d : rd1 + sd (> max( pd1 , pd )) Vì F * (0, x, y ) = x r y s nên F thỏa mãn điều kiện (i) Để chứng minh F thỏa mãn điều kiện (ii), giả sử ϕ , ψ hàm phân hình khác F (ϕ ,ψ )= ϕ p + ψ p + ϕ rψ s + 1= (2.13) Ta đặt lại = ϕ: f1 f = ,ψ : f0 f0 với f , f1 , f hàm nguyên không điểm chung f ≡/ Xét ánh xạ chỉnh hình Φ : ( f 0p : f1 p : f 2p ) :  → 2 siêu phẳng vị trí tổng quát H = w0 0}, H= w1 0}, H= w2 0}, H= w2 0} : {= : {= : {= : {w0 + w1 + = 2 , nghĩa ba siêu phẳng số giao rỗng Khi đó, kéo lại Φ* ( H j ) H j (j=1,2,3), có ước xác định không điểm (xét số bội) hàm nguyên f jp Vì không điểm có số bội chia hết cho p nên chúng có số bội dương ≥ p Tiếp theo, ta xét ước Φ* ( H ) xác định không điểm hàm số H := f 0p + f1 p + f 2p Khi (2.13) ⇔ f1 + f + p ⇔H= − f1r f 2s p f 0( r + s )− p f1r f 2s f ( r + s )− p + f 0p = (do p ≤ r , s ) (2.14) Xét z0 ∈ (Φ* ( H )) −1 , nghĩa Φ ( z0 ) ∈ ( H ) Khi f ( z0 ) p + f1 ( z0 ) p + f ( z0 ) p = (2.15) Vì H ( z0 ) = Do (2.14) ⇒ f1 ( z0 ) r f ( z0 ) s (2.16) = f ( z0 ) ( r + s ) − p (I) Trường hợp f ( z0 ) ≠ : Từ (2.16), ta suy f1 ( z0 ) = hay f ( z0 ) = Khi đó, H có không điểm z0 với số bội ≥ t (do t=min(r,s)) (II) Trường hợp f ( z0 ) = : (i) Nếu f1 ( z0 ) = f ( z0 ) ≠ f , f1 , f không điểm chung Do đó, ∑f j =0 j ( z0 ) p ≠ (mâu thuẫn với (2.15)) (ii) Trường hợp f1 ( z0 ) ≠ : Nếu f ( z0 ) = lập luận (II)(i) để dẫn đến mâu thuẫn Ngược lại, f ( z0 ) ≠ điều xảy Thật vậy, vế trái (2.14) chỉnh hình vế phải không chỉnh hình z0 Như vậy, ước Φ* ( H ) có số bội dương ≥ t Nếu Φ không suy biến theo định lí 2.11, ta có    2 1 −  + 1 −  ≤ p  t   ⇔ 4− ⇔ − ≤3 p t + ≥1 p t Điều mâu thuẫn với giả thiết Vì Φ suy biến, nghĩa ảnh Φ chứa siêu phẳng n Khi đó, tồn số c0 , c1 , c2 không đồng thời không cho c0 f 0p + c1 f1 p + c2 f 2p = (2.17) Mà f ≡/ nên (2.17) ⇔ c0 + c1ϕ p + c2ψ p = (2.18) Nếu c1 (hoặc c2 ) không ψ (hoặc ϕ ) hiển nhiên hàm Do F thỏa mãn điều kiện (ii) Ngược lại, c1 c2 khác không, ta xét hai trường hợp: (I) Nếu c0 = c (2.18) ⇔ ϕ p = − 2ψ p c1 ⇒ϕ = c3ψ (2.19) Thế (2.19) vào (2.13), ta suy − c2 p ψ + ψ p + c3rψ r + s + =0 c1  c  ⇔ c3rψ r + s + 1 − ψ p + =  c1  Do ψ nghiệm phương trình  c  c3r z r + s + 1 −  z p + =  c1  nên ψ số, ϕ số Khi F thỏa mãn điều kiện (ii) (II) Nếu c0 ≠ , ta xét phương trình (2.17) Nếu f1 f không ta có ϕ ψ không Khi F thỏa mãn điều kiện (ii) Ngược lại f1 f khác không, kết hợp với p ≥ 22 = (do (2.12)), ta áp dụng định lí 2.22 cho hàm chỉnh hình khác không c '0 f , c '1 f1 , c '2 f với p p = c '0p c= c= c2 , c '1′ , c '2′ Ta nhận thấy lớp phân hoạch phải có hàm chỉnh hình Vì tồn lớp I l gồm hàm chỉnh hình từ định lí 2.22, ta suy hàm chỉnh hình không (mâu thuẫn với giả thiết) Từ suy phân hoạch xét có lớp, hay nói cách khác c '0 f , c '1 f1 , c '2 f thuộc lớp Do ϕ f= = f / f số Khi F thỏa mãn điều / f ,ψ kiện (ii)  Theo kết phần 2.1, ta xây dựng H-đa thức n với n ≥ Vì từ mệnh đề 2.20 2.21, ta đưa minh họa cụ thể mệnh đề 2.20: Mệnh đề 2.23 Giả sử Qi ( w) H-đa thức bậc di (i=1,2) theo n+1 biến = w ( w0 , w1 ,…, wn ) p,r,s số nguyên dương thỏa mãn điều kiện (2.12) Khi đó, tập không điểm đa thức = R ( w) : Q1 ( w) p w0d − pd1 + Q2 ( w) p w0d − pd2 + w0d + Q1 ( w) r Q2 ( w) s siêu mặt hyperbolic bậc = d : rd1 + sd n Như vậy, với n ≥ , n , xây dựng siêu mặt hyperbolic bậc = d rd1 + sd lớn tùy ý (phụ thuộc vào lựa chọn p, r, s ) Ví dụ 2.24 Trong 3 , lấy hai H-đa thức có bậc 15: Q1 (u0 , u1 , u2 , u3 ) = b1u07u3 + b2u38 − (a1u14 + a2u0u23 + a3u02u1u2 ) Q2 (u0 , u1 , u2 , u3 ) = e1u014u3 + e2u315 − (c1u04u1 + c2u14u2 + c3u25 )3 , b j , ci , e j (i=1,2,3;j=1,2) số khác không Ta chọn p=r=s=9 số nguyên dương thỏa mãn điều kiện (2.12) Khi đó, tập không điểm đa thức R= ( w) : Q1 ( w)9 w0135 + Q2 ( w)9 w072 + w0207 + Q1 ( w)9 Q2 ( w)9 siêu mặt hyperbolic bậc d=207 3 Câu hỏi đặt không gian xạ ảnh phức có số chiều lớn 1, liệu xây dựng họ siêu mặt hyperbolic với bậc d cho trước hay không? Câu trả lời có d đủ lớn Cụ thể là, với n ≥ , n , tồn số nguyên dương d(n) cho với d ≥ d (n) tồn siêu mặt hyperbolic bậc d Để minh họa điều này, đưa định lí 2.25, đồng thời định lí cải thiện định lí 0,2 Định lí 2.25 Với n ≥ , ta số nguyên dương d(n) cho với d ≥ d (n) tồn siêu mặt hyperbolic bậc d n Ví dụ: ) : 9(2n + × 3n−2 ) + 2n (5 × 3n−2 − 1) + × 3n−2 (2n − 1) ≤ × 6n (2.20) d (n= Chứng minh Trước hết ta chứng minh với n ≥ , d (n) ≤ × 6n Ta có d (n) =8 × 2n + 40 × 3n−2 + 10 × 2n × 3n−2 40 10  n 8 = +  n+ 6 n 9 ×    40 10  n ≤ + + 6  27 72  = (do n ≥ 3) 53 n × ≤ × 6n 27 Trong chứng minh, ta sử dụng bổ đề sau: Bổ đề 2.26 Giả sử d1 , d , m0 số nguyên dương, d1 d hai số nguyên tố Khi với số nguyên d cho d ≥ m0 (d1 + d ) + d1 (d − 1) + d (d1 − 1) (2.21) viết dạng = d : rd1 + sd với r , s ≥ m0 Ta chứng minh bổ đề này: Đặt vế phải (2.21) n0 , gọi d số nguyên dương ≥ n0 Khi tồn số nguyên t,l cho d − n0 = td1 + l với t ≥ 0,0 ≤ l < d1 (I) Nếu l=0, ta có d = n0 + td1 = m0 (d1 + d ) + d1 (d − 1) + d (d1 − 1) + td1 = (t + m0 + d − 1)d1 + (m0 + d1 − 1)d Do d1 d hai số nguyên tố nên d1 , d ≥ Khi t + d − ≥ (do t ≥ 0) t + m0 + d − ≥ m0 ⇒  d − ≥  m0 + d1 − ≥ m0 (II) Trường hợp l ≠ Ta cần chứng minh l viết dạng = l rd1 + sd (2.22) với r,s số nguyên thỏa mãn điều kiện r < d , s < d1 Do d1 d hai số nguyên tố nên tồn số nguyên r' s' cho =l r 'd1 + s 'd , r' s' biểu diễn dạng: r ' =ud + r1 , s ' =vd + s1 với u,v, r1 s1 số nguyên, ≤ r1 < d ≤ s1 < d1 Khi đó, ta có l =(u + v)d1d + r1d1 + s1d (2.23) (i) Nếu r= s= , ta có = l (u + v)d1d , mà < l < d1 nên < u + v < (vô lí u,v 1 số nguyên) (ii) Nếu (r1 , s1 ) ≠ (0,0), ta có l =(u + v)d1d + r1d1 + s1d Vì < l < d1 ,0 ≤ r1 < d ≤ s1 < d1 , ta suy u + v ≤ Nếu u+v=0, ta có (2.22) với r := r1 s := s1 Nếu u + v ≤ −2 l ≤ −2d1d + r1d1 + s1d 2= (r1 − d )d1 + ( s1 − d1 )d < (do r1 < d , s1 < d1 ) Điều mâu thuẫn với l >0 Trường hợp u+v=-1, ta có l= −d1d + r1d1 + s1d = (r1 − d )d1 + s1d =+ r1d1 ( s1 − d1 )d Nếu < s1 < d1 −d1 < s1 − d1 < , suy | s1 − d1 |< d1 Nếu < r1 < d −d < r1 − d < , suy | r1 − d |< d Như vậy, l biểu diễn dạng= l rd1 + sd với r,s số nguyên dương thỏa mãn điều kiện | r |< d ,| s |< d1 Do đó, ta có d = n0 + td1 + rd1 + sd = m0 (d1 + d ) + d1 (d − 1) + d (d1 − 1) + rd1 + sd + td1 = (m0 + d − + t + r )d1 + (m0 + d1 − + s )d Mà r > −d d + r > d − + t + r ≥ (do t ≥ 0) ⇒ ⇒  s d d s > − + >  d1 − + s ≥  Nên m0 + d − + t + r ≥ m0  m0 + d1 − + s ≥ m0 Ta đặt lại r =: m0 + d − + t + r s =: m0 + d1 − + s Khi r , s ≥ m0 Như vậy, ta kết thúc phần chứng minh bổ đề  Tiếp theo, ta chứng minh định lí 2.25 Với n (≥ 3) , ta đặt d1 (n) := 2n d (n) := × 3n−2 Ta nhận thấy d1 (n), d (n) hai số nguyên tố Như đề cập, n , ta tìm H-đa thức Q1 Q2 có bậc d1 (n) d (n) Ta xác định d(n) (2.20) Vì d1 (n) d (n) hai số nguyên tố nên theo bổ đề 2.26, với d ≥ d (n) , ta biểu diễn = d rd1 (n) + sd (n) với r , s ≥ m0 := Chọn p:=8, r,s,p thỏa mãn điều kiện (2,12) Vì vậy, theo mệnh đề 2.23, đa thức R bậc = d rd1 + sd , xác định mệnh đề, có tập không điểm siêu mặt hyperbolic n  Ví dụ 2.27 Với n=3, ta đặt d1 (3) = , d (3) = 15 Dễ thấy, d1 (3), d (3) hai số nguyên tố Thế d1 (3), d (3) vào (2.20), ta có d (3)=: 9(23 + × 33−2 ) + 23 (5 × 33−2 − 1) + × 33−2 (23 − 1) = 424 Theo bổ đề 2.26, với d ≥ d (3) = 424 , ta biểu diễn d=8r+15s với r , s ≥ Ta xác định r,s lặp luận chứng minh bổ đề 2.26 Chọn p=8 để p,r,s thỏa mãn (2.12) áp dụng mệnh đề 2.23: Ta lấy hai H-đa thức Q1 Q2 có bậc d1 (3), d (3) sau: Q1 (u0 , u1 , u2 , u3 ) := b1u07u3 + b2u38 − (a1u14 + a2u0u23 + a3u02u1u2 ) Q2 (u0 , u1 , u2 , u3 ) := e1u014u3 + e2u315 − (c1u04u1 + c2u14u2 + c3u25 )3 , b j , ci , e j (i=1,2,3;j=1,2) số khác không Khi đó, tập không điểm đa thức theo biến u = (u0 , u1 , u2 , u3 ) Q1 (u )8 u0d −64 + Q2 (u )8 u0d −120 + u0d + Q1 (u ) r Q2 (u ) s siêu mặt hyperbolic bậc d 3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Luận văn làm rõ kết H.Fujimoto công trình ông công bố năm 2003 tác giả có liên quan Shirosaki, MasudaNoguchi Luận văn có đóng góp sau đây: Dựa vào khái niệm H-đa thức, tìm hiểu làm rõ phương pháp xây dựng siêu mặt hyperbolic bậc d ≥ mặt phẳng xạ ảnh 2 Từ đó, dùng phương pháp qui nạp để xây dựng tiếp siêu mặt hyperbolic không gian xạ ảnh phức với số chiều tăng dần Kết đưa số ví dụ cụ thể siêu mặt hyperbolic bậc d ≥ 2 đưa ví dụ để minh họa phương pháp xây dựng siêu mặt hyperbolic n từ siêu mặt hyperbolic có n−1 với n=3,4 Đồng thời làm rõ kết Fujimoto (2001) tồn họ siêu mặt hyperbolic bậc 2n n với n ≥ 3, bậc thấp siêu mặt hyperbolic biết đến n với n ≥ Tìm hiểu làm rõ phương pháp xây dựng siêu mặt hyperbolic bậc cao không gian xạ ảnh phức từ H-đa thức có Từ đó, đưa ví dụ minh họa siêu mặt hyperbolic bậc cao 3 Cuối cùng, nghiên cứu cải thiện kết Masuda-Noguchi tồn họ siêu mặt hyperbolic bậc d ≥ × 6n n ; đồng thời đưa ví dụ minh họa cho kết Vì lí thời gian khuôn khổ luận văn, không nêu chi tiết số khái niệm chứng minh số kết mặt Riemann, đường cong đại số, giống đường cong đại số hàm chỉnh hình mà tài liệu có trình bày chi tiết nội dung Hướng nghiên cứu đề tài: • Xây dựng lớp H-đa thức 2 nói riêng n nói chung • Xây dựng ví dụ đa thức F thỏa mãn điều kiện (i) (ii) mệnh đề 2.20 • Tìm thêm số nguyên dương d(n) với n ≥ cho tồn siêu mặt hyperbolic bậc d với d ≥ d (n) n TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Xi Chen, Algebraic hyperbolicity and Kobayashi conjecture [2] R.Brody (1978), Compact manifolds and hyperbolicity, Trans Amer Math Soc 235, 213-219 [3] R.Brody, M.Green (1977), A family of smooth hyperbolic hypersurfaces in 3 , Duke Math J 44 , 873-874 [4] J.P.Demailly (1997), Algebraic criteria for Kobayashi hyperbolic projective varieties and jet differentials, Proc Sympos Pure Math, Vol 62, Part 2, Amer Math Soc., Providence, RI, 285-360 [5] J.P.Demailly, J.El Goul (2000), Hyperbolicity of general surfaces of high degree in projective 3-space, Amer J Math 122 , 513-546 [6] A.Emerenko, M.Sodin (1992), The value - distribution of meromorphic functions and meromorphic curves from the point of potential theory, St.~Petersbourg Math J.3, No.1, 109-136 [7] H.Fujimoto (1993), Value distribution theory of the Gauss map of minimal surfaces in  m , Aspect of Math E21, Vieweg [8] H.Fujimoto (2001), A family of hyperbolic hypersurfaces in the complex projective space, Complex Variables, 43, 273-283 [9] H.Fujimoto (2003), Some examples of hyperbolic hypersurfaces in the complex projective space, J.~Korean Math Soc 40, No.4, 595-607 [10] William Fulton (2008), Algebraic curves [11] J.El Goul (1996), A families of smooth hyperbolic surfaces of low degree in 3 , Manuscripta Math 90, 521-532 [12] Phillip A.Griffiths, Introduction to algebraic curves, American Math So., Translation of mathematical monographs v.76 [13] S.Lang (1986), Introduction to complex hyperbolic spaces, Bull Amar Soc 14, 779-787 [14] Frances Kirwan (1992), Complex Algebraic Curves, London Math Soc.23 [15] S.Kobayashi (1970), Hyperbolic manifolds and holomorphic mappings, Marcel Dekker [16] K.Masuda, J.Noguchi (1996), A construction of hyperbolic hypersurface of n , Math Ann., No 304, 339-362 [17] Rick Miranda (1995), Algebraic curves and Riemann surfaces, American Math Soc., USA [18] A.Nadel (1989), Hyperbolic surfaces in 3 , Duke Math J 58, 749-771 [19] I.R.Shafarevich (Ed.), Algebraic Geometry I, Springer-Verlag [20] B.Shiffman, M.Zaidenberg (2001), Hyperbolic hypersurfaces in of FermatWaring type, Proc Amer Math Soc 130, 2031-2035 [21] M.Shirosaki (2000), A hyperbolic hypersurface of degree 10, Kobai Math J 23, 376-379 [22] Phạm Tiến Sơn (2008), Hình học đại số tính toán 1, Đà Lạt [23] Y.T.Siu, S.K.Yeung (1997), Defects for ample divisors of abelian varieties, Schwarz lemma, and Hyperbolic hypersurfaces of low degrees, Amer J Math 119, 1139-1172 NHẬN XÉT CỦA NGƯỞI HƯỚNG DẪN Thành phố Hồ Chí Minh, tháng năm 2011 TS Nguyễn Trọng Hòa [...]... LỚP SIÊU MẶT HYPERBOLIC TRONG KHÔNG GIAN XẠ ẢNH PHỨC Chương này là nội dung chính của luận văn, gồm hai phần: siêu mặt hyperbolic bậc thấp và siêu mặt hyperbolic bậc cao Phần thứ nhất trình bày cách xây dựng một họ siêu mặt hyperbolic trong n với mỗi n ≥ 2 bằng cách xây dựng H-đa thức Phần thứ hai nêu ra phương pháp tổng quát xây dựng siêu mặt hyperbolic bậc cao từ đa thức F thỏa mãn điều kiện trong. .. với X là xuyến phức  n / Λ Định nghĩa 1.47 Một đa tạp phức là hyperbolic theo quan điểm của Kobayashi nếu ρ X là một metric Một đa tạp phức X là hyperbolic Brody (B -hyperbolic) nếu mọi ánh xạ chỉnh hình f :  → X đều là ánh xạ hằng Nếu đa tạp phức X là hyperbolic thì X là B -hyperbolic Chiều ngược lại chỉ đúng đối với đa tạp phức compắc: Định lí 1.48 (R .Brody) Một đa tạp phức compắc là hyperbolic khi... afin, ta có thể định nghĩa tương tự cho đường cong xạ ảnh tương ứng với đường cong afin cộng thêm ` `các điểm ở vô cùng '' Sau đây, chúng ta tìm hiểu về giống của đường cong: Một đường cong xạ ảnh phức C = {[ x : y : z ] ∈ 2 | P( x, y, z ) = 0} là tập con của mặt phẳng xạ ảnh 2 , có một tôpô tự nhiên Đường cong xạ ảnh trơn (không kì dị) trong 2 là một mặt cầu tôpô với g quai Số g này gọi là giống của... n ≥ 2 Như vậy, trong không gian xạ ảnh phức bất kì với số chiều n ≥ 2 , chúng ta có thể xây dựng một siêu mặt hyperbolic bậc = d rd1 + sd 2 lớn tùy ý (phụ thuộc vào sự lựa chọn r,s ) từ đa thức F đã nêu và hai H-đa thức bậc lần lượt là d1 , d 2 (mệnh đề 2.23) Câu hỏi đặt ra ở đây là trong n với mỗi n ≥ 3 , chúng ta có thể xây dựng một họ siêu mặt hyperbolic với bậc d cho trước hay không? Câu trả lời... Nếu f : X → Y là một ánh xạ liên tục giữa các không gian tôpô và X là compắc thì f ( X ) là compắc (iii) Từ (i) và (ii) suy ra nếu X là không gian tôpô compắc và f : X →  là một hàm liên tục thì f bị chặn và đạt giá trị biên (iv) Một tập con đóng của một không gian compắc là compắc (v) Một tập con compắc của một không gian Hausdorff là đóng (vi) Một hợp hữu hạn của các không gian compắc là compắc Mệnh... là một không gian vectơ trên trường số phức Ta cũng có kết quả sau đây: Bổ đề 1.11 Giả sử W là không gian vectơ con của một không gian vectơ hữu hạn chiều V Khi đó W và V / W cũng là các không gian vectơ hữu hạn chiều và = dim V dim W + dim V / W Với mỗi số nguyên s , ta kí hiệu [ x0 , x1 ,…, xn ]s = { f ∈ [ x0 , x1 ,…, xn ] | deg ( f ) ≤ s} \ {0} n + s Ta có [ x0 , x1 ,…, xn ]s là không gian vectơ... tại một hàm f nd+1 Mà Q là H-đa thức nên f là ánh xạ hằng nguyên f n+1 sao cho Q(0, f1 ,…, f n ) = Từ đó suy ra n−1 \ W là B -hyperbolic  Trên cơ sở định lí 2.2, chúng ta đưa bài toán xây dựng các siêu mặt hyperbolic về bài toán xây dựng các H-đa thức trong không gian xạ ảnh phức Trước hết, chúng ta cần nhắc lại khái niệm Hessian: Định nghĩa 2.3 Giả sử P(x, y, z) là một đa thức thuần nhất bậc d Khi... Riemann: Định nghĩa 1.37 Mặt Riemann là đa tạp phức 1-chiều Một số ví dụ của mặt Riemann compắc là: đường thẳng xạ ảnh P1 , xuyến phức = X  / Λ trong đó= Λ {m1ω1 + m2ω2 | m1 , m2 ∈ } với ω1 , ω2 là hai số phức độc lập tuyến tính trên ,… Định lí 1.38 ([17] Định lí 2.3) Giả sử X là đường cong afin trong  2 xác định bởi đa thức f(x,y) Nếu đa thức f bất khả qui và không kì dị thì X là mặt Riemann Chú ý rằng... hằng số, hai biến với các hệ số phức và không có thành phần bội Khi đó đường cong đại số trong  2 được định nghĩa như sau: C= {( x, y ) ∈  2 | p( x, y ) = 0} Lí do trong định nghĩa 1.17 có giả thiết p ( x, y ) không có thành phần bội là do định lí không điểm của Hilbert Định lí 1.18 (Định lí Hilbert về không điểm) Giả sử p(x,y) và q(x,y) là các đa thức với hệ số phức Khi đó, các đường cong {( x, y... bậc d của đa thức P(x,y,z) Nhận xét 1.27 (i) Đường cong xạ ảnh là siêu mặt trong 2 (ii) Tương tự như với đường cong trong  2 , hai đa thức thuần nhất không có thành phần bội P(x,y,z) và Q(x,y,z) định nghĩa cùng một đường cong xạ ảnh trong 2 khi và chỉ khi mỗi đa thức bằng tích của đa thức kia với một vô hướng, và một đa thức thuần nhất với các thành phần bội có thể xem như một đường cong có những ... chương Đó khái niệm không gian xạ ảnh phức; đa tạp, siêu mặt, đường cong đại số, mặt Riemann; không gian hyperbolic 1.1 Không gian xạ ảnh phức Chi tiết không gian xạ ảnh phức xem [14](tr.34),... LỚP SIÊU MẶT HYPERBOLIC TRONG KHÔNG GIAN XẠ ẢNH PHỨC Chương nội dung luận văn, gồm hai phần: siêu mặt hyperbolic bậc thấp siêu mặt hyperbolic bậc cao Phần thứ trình bày cách xây dựng họ siêu mặt. .. 1.1 Không gian xạ ảnh phức 1.2 Đa tạp, siêu mặt, đường cong đại số, mặt Riemann 1.3 Không gian hyperbolic 19 Chương 2: MỘT SỐ LỚP SIÊU MẶT HYPERBOLIC TRONG KHÔNG GIAN