Mặt trò xoay trong không gian

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN ====== ĐỖ THỊ KIM HOA MẶT TRÒN XOAY TRONG KHÔNG GIAN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học Ngƣời hƣớng dẫn khoa học ThS. GVC. PHAN HỒNG TRƢỜNG HÀ NỘI - 2014 LỜI CẢM ƠN Sau một thời gian miệt mài nghiên cứu cùng với sự hướng dẫn chỉ bảo tận tình của thầy giáo Ths.GVC. Phan Hồng Trƣờng khóa luận của em nay đã được hoàn thành Khóa luận được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo- Ths.GVC. Phan Hồng Trƣờng. Nhân dịp này em xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy, người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo và đóng góp nhiều ý kiến quý báu trong thời gian em thực hiện khóa luận này. Đồng thời em xin cám ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán- Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, cám ơn gia đình bạn bè đã tạo điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành khóa luận. Do sự hạn chế về thời gian cũng như năng lực của bản thân nên khóa luận không tránh khỏi những sai sót, rất mong được sự đánh giá phê bình và góp ý của các thầy cô giáo và bạn bè Em xin chân thành cảm ơn! Hµ Néi, th¸ng 05 n¨m 2014 Sinh viªn thùc hiÖn Đỗ Thị Kim Hoa LỜI CAM ĐOAN Em xin cam kết khóa luận “ Mặt tròn xoay trong không gian” Khóa luận tốt nghiệp này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy giáo Ths.GVC. Phan Hồng Trƣờng. Đây là kết quả nghiên cứu của riêng em, không có sự trùng lặp với bất kì kết quả nào khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm. Sinh viªn thùc hiÖn Đỗ Thị Kim Hoa MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU 1 1. Lý do chọn đề tài 1 2. Mục đích nghiên cứu 1 3. Đối tượng nghiên cứu,phạm vi nghiên cứu 1 4. Nhiệm vụ nghiên cứu 1 5. Phương pháp nghiên cứu 2 Chương 1: Mặt trong không gian E 3 3 1.1.Mảnh tham số. Mảnh. Mảnh hình học 3 1.1.1. Mảnh tham số 3 1.1.2. Mảnh tham số chính quy 3 1.1.3. Mảnh 5 1.1.4. Mảnh hình học 6 1.2. Đa tạp hai chiều trong E n 12 1.2.1.Định nghĩa 12 1.2.2. Tiêu chuẩn nhận biết đa tạp hai chiều trong E n 12 1.2.3. Mặt xác định bởi phương trình ẩn trong E 3 13 1.3. Đa tạp hai chiều định hướng trong E 3 14 1.3.1. Trường vectơ và trường vectơ tiếp xúc trên đa tạp. 14 1.3.2. Hướng trên đa tạp hai chiều trong E n 14 1.3.3.Tính chất 15 1.4. Ánh xạ Weingarten (vain-gac-ten) và độ cong của mặt định hướng trong E 3 . 16 1.4.1. Ánh xạ Weingarten 16 1.4.2. Độ cong Gauss, độ cong trung bình của mặt định hướng 17 1.4.3. Các công thức tính độ cong 18 1.4.4. Độ cong pháp dạng. Công thức Meusnier ( Mơ- nhi- ê) và công thức Euler ( Ơ- le) 21 1.5. Những đường đáng chú ý trên mặt định hướng trong E 3 22 1.5.1. Đường chính khúc 22 1.5.2.Đường tiêm cận 25 1.5.3.Độ cong trắc địa của cung trên mặt và đường tiền trắc địa trên mặt S trong E 3 26 1.5.4. Cung trắc địa. 28 Chương 2: Một số mặt tròn xoay trong E 3 29 2.1. Mặt Cầu 29 2.1.1.Phương trình tham số hóa 29 2.1.2. Định hướng mặt 29 2.1.3.Ánh xạ Weingarten 29 2.1.4. Các dạng cơ bản I và II. Độ cong Gauss và độ cong trung bình 30 2.1.5. Những đường đáng chú ý 31 2.2. Mặt trụ tròn xoay 33 2.2.1. Phương trình tham số hóa 33 2.2.2. Dạng cơ bản I và II. Độ cong Gauss và độ cong trung bình 33 2.2.3. Những đường đáng chú ý 34 2.3. Mặt ellipsoid tròn xoay 37 2.3.1. Phương trình tham số hóa 37 2.3.2. Dạng cơ bản I và II. Độ cong Gauss và độ cong trung bình 38 2.4.Mặt paraboloid tròn xoay 40 2.4.1. Tham số hóa 40 2.4.2.Dạng cơ bản I và II. Độ cong Gauss và độ cong trung bình 41 2.4.3. Những đường đáng chú ý trên mặt paraboloid tròn xoay 42 2.5. Mặt hyperboloid 1 tầng tròn xoay 43 2.5.1. Tham số hóa 43 2.5.2.Dạng cơ bản I và II. Độ cong Gauss và độ cong trung bình 43 2.5.3. Những đường đáng chú ý 44 2.6. Mặt hyperboloid 2 tầng tròn xoay 45 2.6.1.Tham số hóa 45 2.6.2. Dạng cơ bản I và II. Độ cong Gauss và độ cong trung bình 46 2.6.3. Những đường đáng chú ý 47 2.7. Mặt xuyến 47 2.7.1. Mảnh tham số 47 2.7.2. Dạng cơ bản I và II.Độ cong Gauss và độ cong trung bình 48 2.7.3. Những đường đáng chú ý 49 2.8. Mặt nón tròn xoay 49 2.8.1.Tham số hóa 49 2.8.2. Độ cong Grauss và độ cong trung bình 50 2.8.3.Những đường đáng chú ý 51 KẾT LUẬN 53 TÀI LIỆU THAM KHẢO 54 1 LỜI MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Hình học là môn khoa học nghiên cứu về tính chất định tính và định lượng các hình.Tùy vào phương pháp nghiên cứu khác nhau mà có những ngành hình học khác nhau. Hình học vi phân là một nhánh của toán học sử dụng các công cụ phép tính vi phân, tích phân cũng như đại số tuyến tính và đại số đa tuyến để cứu các vấn đề hình học. Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về hình học vi phân và đặc biệt lí thuyết mặt trong không gian E 3 , được sự hướng dẫn của thầy em quyết định đi tìm hiểu và nghiên cứu sâu hơn về ứng dụng lí thuyết cho các mặt tròn xoay trong không gian E 3 Đề tài khóa luận “ Mặt tròn xoay trong không gian ” 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu của khóa luận là nghiên cứu và ứng dụng lí thuyết mặt trong 3 E vào lớp mặt tròn xoay. 3. Đối tƣợng nghiên cứu,phạm vi nghiên cứu a,Đối tƣợng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu là: lí thuyết mặt và ứng dụng lí thuyết đó vào lớp mặt tròn xoay trong không gian E 3 b,Phạm vi nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu là: ứng dụng lí thuyết mặt E 3 trong lớp mặt tròn xoay. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu về mặt trong E 3 Nghiên cứu lí thuyết mặt tròn xoay trong không gian 2 Nghiên cứu ứng dụng lí thuyết mặt trong không gian E 3 vào mặt tròn xoay trong không gian. 5. Phƣơng pháp nghiên cứu Cơ sở lí luận,phân tích tổng hợp,đánh giá và đọc sách. 3 Chƣơng 1: Mặt trong không gian E 3 1.1.Mảnh tham số. Mảnh. Mảnh hình học 1.1.1. Mảnh tham số a, Cho U là một tập mở khác rỗng của R 2 . Ta gọi mỗi ánh xạ khả vi : ( , ) ( , ) n r U E u v r u v   là một mảnh tham số trong E n b, Các đường tọa độ: Với mỗi điểm ( , ) oo u v U thì các tập     ( , ) , ( , ) U oo I u R u v U J v R u v      là những tập mở trong R. Khi đó, mỗi ánh xạ 11 22 : , ( ) ( , ) : , ( ) ( , ) n o n o r I E u r u r u v r J E v r v r u v       Là hợp của những cung tham số nào đó trong E n . Ta gọi chúng là hai cung tọa độ hay hai đường tọa độ của mảnh tham số r tại điểm ( , ). oo uv Cung r 1 còn gọi là cung v= v o (hay đường tọa độ u đi qua (u o ,v o )) Cung r 2 còn gọi là cung u= u o (hay đường tọa độ v đi qua (u o ,v o )). 1.1.2. Mảnh tham số chính quy 1.1.2.1. Các định nghĩa Các trường vectơ tiếp xúc '' : ( , ) u u o r u r u v dọc đường tọa độ u, '' : ( , ) v v o r v r u v dọc đường tọa độ v, khi cho ( , ) oo uv thay đổi ta được các trường vectơ '' ( , ) ( , ),r ( , ) uv u v r u v u v gọi là những trường dọc r. Điểm ( , ) oo uv gọi là một điểm chính quy của mảnh tham số r nếu r dìm tại ( , ) oo uv tức là nếu hai vectơ '' ( , ),r ( , ) u o o v o o r u v u v độc lập tuyến tính Một điểm không chính quy của mảnh tham số r sẽ được gọi là điểm kì dị Mảnh tham số r mà mọi điểm của nó đều là điểm chính quy được gọi là mảnh tham số chính quy. Giả sử ( , ) oo uv là một điểm chính quy của mảnh tham số 4 : ( , ) ( , ) n r U E u v r u v   Đặt ( , ), ( ) oo p r u v S r U thì không gian vectơ hai chiều sinh ra bởi hệ hai vectơ độc lập tuyến tính '' ( , ), ( , ) u o o v o o r u v r u v được gọi là vectơ tiếp xúc với S tại p và kí hiệu T p S. Như vậy ' ( , ), ( , ) . p u o o v o o T S r u v r u v Mặt phẳng α trong E n đi qua p và có không gian vectơ chỉ phương là T p S được gọi là tiếp xúc của S tại p (hay còn gọi là tiếp diện của S tại p). Khi n=3 thì đường thẳng đi qua p và thẳng góc với tiếp diện của S tại p được gọi là một pháp tuyến của S tại p. Trong hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxyz của E 3 , nếu mô tả r(u, v) bởi các hàm tọa độ:   (u,v) ( , ), ( , ),z(u,v)r x u v y u v tiếp diện của mảnh tham số r tại ( , ) ( , , ) o o o o o r u v x y z có phương trình là: ' ' ' ' ' ' ( , ) ( , ) ( , ) 0 ( , ) ( , ) ( , ) o o o u o o u o o u o o v o o v o o v o o x x y y z z x u v y u v z u v x u v y u v z u v     Còn pháp tuyến của mảnh tham số r tại ( , ) ( , , ) o o o o o r u v x y z có phương trình là: '' '' ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) o u o o u o o v o o v o o xx y u v z u v y u v z u v   '' '' ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) o u o o u o o v o o v o o yy z u v x u v z u v x u v   '' '' ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) o u o o u o o v o o v o o zz x u v y u v x u v y u v  Ví dụ: Cho điểm O ,, nn EE   Ánh xạ [...]... số hóa trắc địa của S 28 Chƣơng 2: Một số mặt tròn xoay trong E3 2.1 Mặt Cầu 2.1.1.Phƣơng trình tham số hóa Trong E3, với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxyz, xét mảnh tham số  : R  E3, v  (v)  O  (v)i  (v) j có ảnh nằm trong mặt Oxz thì mảnh tham số  x  R cosucosv  r : R2  E3 (u, v)  r(u, v)   y  R sin u cos v  z  R sin v  Gọi là mảnh mặt tròn xoay, trục quay Oz Nó có ảnh nhận được do... cũng như không gian vectơ tiếp xúc tại một điểm bất kì của nó tại điểm p thuộc mảnh hình học S thì không gian ấy là: Tp S   Tp E n  (   không gian vectơ chỉ phương của tiếp diện tại p của S) 1.2 Đa tạp hai chiều trong En 1.2.1.Định nghĩa a, Định nghĩa Cho S là một tập con khác rỗng của En Nếu với mỗi điểm p ∈ S đều có tập mở V trong En, V chứa p sao cho V ∩ S là một mảnh hình học trong En thì... vĩ tuyến của mặt tròn xoay đó Trong đó R là một hằng số dương, là một mảnh tham số Với e(u)  cos ui  sin uj Thì r(u, v)  O  R cos ve (u)  R sin vk là phương trình tham số 2.1.2 Định hƣớng mặt Mặt cầu S, tâm I bán kính R trong E3có hướng định hường được,  Ip  bởi trường vectơ pháp tuyến “ hướng ra ngoài” p  n( p)   p;  hay  R  Ip  trường vectơ pháp tuyến đơn vị hướng vào trong: p  n(... cận hoàn toàn xác định nên dễ thấy trong lân cận một điểm p như thế của S, có tham số hóa địa phương r : U → S, r(U) ∋ p, sao cho cá đường tọa độ là các đường tiệm cận của S trong lân cận đó 1.5.3.Độ cong trắc địa của cung trên mặt và đƣờng tiền trắc địa trên mặt S trong E3 a, Định nghĩa Xét tham số hóa t → ρ(t) ϵ S của một cung chính quy định hướng γ trên mặt S trong E3( S định hướng bởi trường vectơ... số hóa tự nhiên của γ Xét mặt trụ S1 nhận γ là một đường chuẩn, có các đường thẳng sinh có phương n( ) (p =ρ(s)) thì γ1 là một tiết diện vuông góc của S1 b, Tính chất 27 Cho γ là cung chính quy, định hướng, nằm trên mặt S trong E3 có hướng, và mặt S được định hướng được bởi trường vectơ pháp tuyến đơn vị khả vi n Khi đó: a, Nếu đổi hướng của cung hay mặt S, hay của không gian E3 thì độ cong trắc địa... tạp 2 chiều trong E3 với tọa độ afin (x1,x2,x3) thì mỗi p  S có lân cận mở là đồ thị của hàm số (x1,x2) → ψ(x1,x2) = x3 khi đó φ là hàm số Ví dụ: Mặt elipxoit trong E3 là một đa tạp hai chiều Thật vậy trong hệ tọa đô afin Oxyz của E3, elipxoit S có phương trình x2 y 2 z 2   1 a2 b2 c2 Trong dố a,b,c là hằng số dương Với mỗi po  ( xo , yo , zo )  S lấy V  E3 \ (0,0,0) thì V là tập mở trong E3... 1.2.3 Mặt xác định bởi phƣơng trình ẩn trong E3 a, Định nghĩa Trong E3 với hệ tọa độ afin Oxyz, cho hàm số khả vi φ xác định trên tập mở V của E3,  : V  R,(x,y,z) (x,y,z) Tập hợp S=φ-1(0)=  p  ( x, y, z) V \ ( x, y, z)  0 được gọi là một mặt trong E3 được xác định bởi phương trình (x, y, z)  0 Điểm p ∈ S mà tại đó    ( p)  ( p)  ( p)  0 được gọi là một x y z điểm kì dị của mặt. .. một mảnh (mảnh định hướng) trong En Mỗi mảnh tham số trong lớp tương đương – mảnh đó được gọi là mảnh tham số hóa của mảnh Để cho một mảnh ( hay mảnh định hướng) trong En ta chỉ cần cho một mảnh tham số đại diện cho nó Đối với mảnh định hướng trong E3 có hướng xác định trong tham số hóa (u, v)  r(u, v) thì tại điểm chính quy (u, v) của nó vectơ n r 'u  r ' v r 'u  r ' v không phụ thuộc vào tham số... là một đa tạp hai chiều trong E n Mỗi tham số hóa của mảnh hình học V ∩ S được gọi là một tham số hóa địa phương của S tại điểm p Mỗi đa tạp hai chiều còn gọi đơn giản là một mảnh Ví dụ: Mỗi mảnh hình học đều là đa tạp hai chiều 1.2.2 Tiêu chuẩn nhận biết đa tạp hai chiều trong En a, Cho tọa độ afin (x1,x2,…, xn) trong En thì tập con không rỗng S của En là một đa tạp hai chiều trong En khi và chỉ khi... En là một đa tạp hai chiều trong En khi và chỉ khi mỗi điểm p  S có lân cận mở (trong S) là môt mảnh hình học với tham số hóa kiểu đồ thị có dạng (x1, x2) → r(x1, x2) = (x1,x2,φ3(x1, x2),…, φn(x1, x2)) b, Tập con không rỗng S trong E3 là một đa tạp hai chiều trong E3 khi và chỉ khi với mỗi điểm po  S, có một tập mở V trong E3, V chứa po và một hàm số khả vi  :V  R,(x, y, z) (x, y, z) sao cho với . Nghiên cứu về mặt trong E 3 Nghiên cứu lí thuyết mặt tròn xoay trong không gian 2 Nghiên cứu ứng dụng lí thuyết mặt trong không gian E 3 vào mặt tròn xoay trong không gian. 5. Phƣơng. là: lí thuyết mặt và ứng dụng lí thuyết đó vào lớp mặt tròn xoay trong không gian E 3 b,Phạm vi nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu là: ứng dụng lí thuyết mặt E 3 trong lớp mặt tròn xoay. 4. Nhiệm. mặt trong không gian E 3 , được sự hướng dẫn của thầy em quyết định đi tìm hiểu và nghiên cứu sâu hơn về ứng dụng lí thuyết cho các mặt tròn xoay trong không gian E 3 Đề tài khóa luận “ Mặt