Mặt cực tiểu trong không gian tích với một nhân tử có mật độ Gauss

Lời cảm ơn Khóa luận hoàn thành hướng dẫn Thầy giáo, PGS TS ĐOÀN THẾ HIẾU Tôi xin gửi đến Thầy kính trọng, lòng biết ơn sâu sắc nguyện vọng tiếp tục nghiên cứu Toán hướng dẫn Thầy Chúng xin bày tỏ lòng biết ơn đến quý Thầy cô giáo giảng dạy lớp Toán B khóa 2005-2009 Trường ĐHSP Huế toàn thể thầy cô Khoa Toán Trường ĐHSP Huế giảng dạy tận tình quan tâm, động viên, khích lệ suốt trình học tập thực đề tài Cuối cùng, gửi trân trọng biết ơn đến tất người thân, bạn bè quan tâm, động viên, giúp đỡ cho suốt trình học tập vừa qua Huế, tháng năm 2009 TRƯƠNG THỊ THÙY TRANG i Mục Lục Lời cảm ơn i Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Mặt không gian R3 1.2 Mặt cực tiểu không gian R3 1.3 Không gian mật độ Mặt cực tiểu không gian tích với nhân tử có mật độ Gauss 2.1 Mặt cực tiểu không gian Gauss G3 2.2 Mặt cực tiểu không gian G2 × R 22 2.3 Mặt cực tiểu không gian G × R2 31 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 37 Mở đầu Trong đối tượng hình học, mặt cực tiểu có lẽ mặt nghiên cứu nhiều hình học vi phân Trong hình học vi phân cổ điển ta biết số mặt cực tiểu không gian R3 là: mặt catenoid, mặt helicoid, mặt Enneper, mặt Heneberg, mặt Catalan, mặt Scherk Bây ta không xét không gian R3 mà xét không gian với mật độ có mặt cực tiểu nào? Đa tạp với mật độ đa tạp Riemann với hàm mật độ trơn, xác định dương dùng làm trọng số cho thể tích chu vi Người ta nhiều kết hình học vi phân cổ điển không cho đa tạp với mật độ Chẳng hạn, đường thẳng mặt phẳng với mật độ tổng quát độ cong hằng; tồn đường cong có ϕ-độ cong mặt phẳng Gauss đường tròn Với lý nêu trên, vấn đề đặt là: Liệu có mặt cực tiểu không gian R3 mặt cực tiểu không gian mật độ? Những mặt mặt có ϕ-độ cong hằng, mặt mặt cực tiểu không gian mật độ? Xuất phát từ nhu cầu tìm hiểu giải phần vấn đề trên, chọn đề tài: "Mặt cực tiểu không gian tích với nhân tử có mật độ Gauss" làm khoá luận tốt nghiệp Khoá luận tập trung nghiên cứu tìm mặt có độ cong hằng, mặt cực tiểu không gian Gauss, không gian tích với nhân tử có mật độ Gauss Nghiên cứu mặt tròn xoay, mặt translation, mặt đa thức, tìm điều kiện để mặt trở thành mặt cực tiểu tìm mặt cực tiểu Khóa luận gồm có hai chương Trong chương I trình bày kiến thức mặt R3 , mặt cực tiểu cổ điển kiến thức không gian mật độ Chương II nội dung khóa luận Trong chương chia thành ba phần, ba phần tập trung nghiên cứu tìm mặt cực tiểu mặt có độ cong ba không gian: không gian Gauss, không gian G2 × R không gian G × R2 CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Mặt không gian R3 Trong mục này, trình bày khái niệm liên quan đến mặt không gian R3 , khái niệm độ cong chính, phương chính, độ cong Gauss G độ cong trung bình H Cho ánh xạ Gauss N : S −→ S mặt định hướng S v ∈ Tp S Chọn α : (−ε, ε) −→ R cho α(0) = p α (0) = v Khi đạo hàm ánh xạ N điểm p ánh xạ tuyến tính dNp : Tp S −→ TN (p) S v −→ (N ◦ α) (0) Ánh xạ dNp liên hợp nên tồn sở trực chuẩn {e1 , e2 } cho dNp (e1 ) = −k1 e1 , dNp (e2 ) = −k2 e2 Tức −k1 , −k2 giá trị riêng e1 , e2 vectơ riêng đơn vị ứng với giá trị riêng −k1 , −k2 dNp Ta giả thiết (k1 ≤ k2 ) Khi giá trị k1 , k2 gọi độ cong e1 , e2 xác định phương gọi phương Cho S mặt quy định hướng, p ∈ S dNp đạo hàm ánh xạ Gauss điểm p, ta gọi 1) Định thức dNp độ cong Gauss S p, kí hiệu K (p) 2) Một nửa vết −dNp , − tr(dNp ) độ cong trung bình S p, kí hiệu H (p) Từ ta có K = k1 k2 H = 21 (k1 + k2 ) 1.2 Mặt cực tiểu không gian R3 Trong mục này, trình bày khái niệm mặt kẻ, mặt tham số đồ thị, mặt tịnh tiến mặt cực tiểu không gian R3 Ngoài giới thiệu mặt cực tiểu cổ điển không gian Cho α, ω : I → R3 hai hàm khả vi với I khoảng mở R ω (u) = 0, ∀u ∈ I Chúng ta xem α(u), u ∈ I điểm ω (u), u ∈ I vector R3 Mặt tham số X (u, v ) = α(u) + vω (u), u ∈ I, v ∈ R gọi mặt kẻ sinh α ω Mặt tham số kiểu đồ thị mặt tham số cho công thức X (u, v ) = (u, v, f (u, v )) Một mặt M gọi mặt translation cho công thức X : U ⊂ R2 −→ R3 , (x, y ) −→ (x, y, f (x) + g (y )) Ta biết, mặt tham số quy X : U → R3 gọi mặt cực tiểu độ cong trung bình điểm không có số kết sau Định lý 1.2.1 [1, tr 11] Mặt Catenoid xác định tham số X (u, v ) = (cosh v cos u, cosh v sin u, v ) mặt cực tiểu tròn xoay khác mặt phẳng Định lý 1.2.2 [1, tr 11] Mặt Helicoid xác định tham số X (u, v ) = (sinh v cos u, sinh v sin u, cu), c = mặt kẻ cực tiểu khác mặt phẳng Định lý 1.2.3 [4, tr 1] Mặt Scherk xác định tham số X (u, v ) = (u, v, log | a cos ax |), a = cos ay mặt cực tiểu khác mặt phẳng lớp mặt translation 1.3 Không gian mật độ Đa tạp với mật độ đa tạp Riemann trơn với hàm mật độ dương thường viết dạng eϕ sử dụng làm trọng số cho thể tích chu vi Giả sử dV dP phần tử thể tích chu vi Riemann Khi đó, phần tử thể tích chu vi theo mật độ eϕ cho công thức dVϕ = eϕ dV dPϕ = eϕ dP Đa tạp với mật độ xuất nhiều nơi toán học không gian Gauss Không gian Gauss Gm không gian Rm với mật độ Gauss (2π ) −m e −r 2 , r khoảng cách từ điểm đến gốc tọa độ Mặt phẳng G2 gọi mặt phẳng Gauss Không gian Rn với mật độ eϕ(r) , r khoảng cách từ gốc tọa độ đến điểm gọi đa tạp với mật độ cầu n-chiều Để tính độ cong trung bình độ cong Gauss không gian với mật độ có công thức tương ứng Trên đa tạp Riemann m-chiều với mật độ eϕ , độ cong trung bình theo mật độ hay ϕ-độ cong trung bình, kí hiệu Hϕ , siêu mặt với pháp vector đơn vị N cho công thức Hϕ = H − dϕ , m − dN H độ cong trung bình Riemann Ta viết Hϕ = H − (∇ϕ , N ) (1.3.1) Nhận xét 1.3.1 Hϕ = m−1 k1 + k2 + · · · + km−1 − (∇ϕ , N ) (1.3.2) với k1 , k2 , , km−1 độ cong siêu mặt Rm Cũng khái niệm mặt cực tiểu không gian R3 , siêu mặt S không gian Rn với mật độ eϕ gọi mặt siêu cực tiểu độ cong trung bình theo mật độ S triệt tiêu điểm CHƯƠNG MẶT CỰC TIỂU TRONG KHÔNG GIAN TÍCH VỚI MỘT NHÂN TỬ CÓ MẬT ĐỘ GAUSS 2.1 Mặt cực tiểu không gian Gauss G3 Trong mục này, trình bày ý nghĩa hình học đại lượng (∇ϕ , N ), từ mặt phẳng qua gốc tọa độ mặt cực tiểu Chúng chứng minh mặt trụ có trục quay qua O mặt cầu tâm O có độ cong trung bình theo mật độ số Từ mặt cầu tâm O √ với bán kính mặt trụ tròn xoay có trục quay qua O bán kính đường chuẩn mặt cực tiểu tròn xoay Ngoài ra, trình bày điều kiện để mặt tròn xoay, mặt tham số kiểu đồ thị, mặt translation mặt kẻ trở thành mặt cực tiểu Định lý 2.1.1 Trong không gian R3 với mật độ e−ar +c , |(∇ϕ , N )| 2a khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng tiếp xúc điểm mặt S Chứng minh Với điểm M (x, y, z ) thuộc mặt S Giả sử N (a1 , b1 , c1 ) pháp vector đơn vị S M Khi đó, phương trình mặt phẳng tiếp xúc S M α : a1 x + b1 y + c1 z + d1 = Ta có, khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng α d(O, α) = |d1 | a21 + b21 + c21 = |d1 | Mặt khác, từ phương trình mặt (α) ta có: d1 = −(a1 x + b1 y + c1 z ) = (−x, −y, −z )(a1 , b1 , c1 ) = Từ đó, ta có d(O, α) = (∇ϕ , N ) 2a |(∇ϕ , N )| 2a Nhận xét 2.1.2 Trong không gian R3 với mật độ e −r 2 , mặt phẳng qua gốc tọa độ mặt cực tiểu Chứng minh Thật vậy, theo phương trình (1.3.1) ta có Hϕ = H − (∇ϕ , N ) Vì mặt phẳng có độ cong trung bình H = mặt phẳng qua gốc tọa độ có (∇ϕ , N ) = nên Hϕ = Vậy mặt phẳng qua gốc tọa độ mặt cực tiểu Định lý 2.1.3 [3, tr 13] Trong không gian R3 với mật độ eϕ = e−ar +c , mặt trụ có trục qua gốc tọa độ O có bán kính đường chuẩn d có độ cong trung bình theo mật độ số Hϕ = ad − 2d Chứng minh Không tính tổng quát ta giả sử trục quay mặt trụ qua gốc tạo độ O trục Oz Ta biết không gian R3 mặt trụ có hai độ cong là: k1 = k2 = − d Với điểm M (x, y, z ) thuộc mặt trụ ta có hình chiếu M xuống mặt phẳng Oxy điểm M (x, y, 0) Khi pháp vector đơn vị M M trùng x y) N ( , , 0) x2 + y x2 + y Định lý 2.2.2 Trong không gian G2 × R, mặt phẳng song song với trục Oz có giá trị tuyệt đối độ cong theo mật độ số Chứng minh Theo phương trình (1.3.1) ta có Hϕ = H − (∇ϕ , N ) Vì mặt phẳng có độ cong trung bình H = nên Hϕ = (∇ϕ , N ) Mặt khác S mặt phẳng song song với trục Oz nên ∀M ∈ S ta có d(M , S ) =const với M hình chiếu M lên trục Oz Do theo Định lý 2.2.1 ta có |(∇ϕ , N )| =const Vậy |Hϕ | số Hệ 2.2.3 Trong không gian G2 × R, mặt phẳng chứa trục Oz mặt cực tiểu Định lý 2.2.4 Trong không gian G2 × R, mặt trụ có trục quay Oz có bán kính d có độ cong trung bình theo mật độ số Hϕ = d − 2d Chứng minh Xét mặt trụ có trục quay Oz có bán kính d Ta biết không gian R3 mặt trụ có hai độ cong k1 = k2 = − d Với điểm M (x, y, z ) thuộc mặt trụ ta có pháp vector đơn vị M x y N ( , , 0) x2 + y x2 + y Do (∇ϕ , N ) = ((−x, −y, 0), (x, y, 0) x2 + y2 )=− x2 + y = −d Theo phương trình (1.3.2) ta có Hϕ = 0− d − (−d) Hϕ = d 23 − = 2d d − 2d Hệ 2.2.5 Trong không gian G2 × R, mặt trụ có trục quay Oz bán kính mặt cực tiểu Định lý 2.2.6 Trong không gian G2 × R, mặt tròn xoay S sinh đường α(t) = (0, f (t), t) quay quanh trục Oz mặt cực tiểu hàm f thỏa mãn phương trình f f ” + (f + 1)(f − 1) = (2.2.1) Chứng minh Phương trình tham số mặt tròn xoay S X (u, v ) = (f (u) sin v, f (u) cos v, u) Ta có N= (f sin v, f cos v, −f f ) f (1 + f ) độ cong trung bình mặt S f f − f (1 + f ) H= [f (1 + f )] 32 Hơn ta có −f (∇ϕ , N ) = f (1 +f ) Từ ta có độ cong trung bình theo mật độ mặt S 2 f f − f (1 + f ) + f ((1 + f )) Hϕ = [f (1 + f )] Do Hϕ = ⇔ f f ” + (f + 1)(f − 1) = Vậy mặt tròn xoay S mặt cực tiểu không gian G2 × R hàm f (t) thoả mãn phương trình f f ” + (f + 1)(f − 1) = 24 Mệnh đề 2.2.7 Trong không gian G2 × R mặt tròn xoay S sinh đường α(t) = (0, f (t), t) quay quanh trục Oz mặt cực tiểu, f (t) = g −1 (t) với f2 e2 g (f ) = f2 df f −e Chứng minh Theo Định lý 2.2.6, mặt tròn xoay S sinh đường α(t) = (0, f (t), t) quay quanh trục Oz mặt cực tiểu hàm f thỏa mãn f f ” + (f + 1)(f − 1) = d2 f dp df dp df Đặt p = , ta có = =p dt dt df dt df Thế vào phương trình ta có fp pdp − f2 dp + (p2 + 1)(f − 1) = ⇔ = df df p +1 f Tích phân hai vế ta có ln p2 + = ln f − f2 df nên ta có dt = Vì p = dt ⇔ p2 + = f f2 f2 ⇔p= e2 f −e f2 e2 f2 e2 f2 df f −e f2 e2 Tích phân hai vế ta có t = f2 df f −e f2 Đặt g (f ) = e2 f2 df Khi f (t) = g −1 (t) f −e Vậy ta có điều phải chứng minh Định lý 2.2.8 Trong không gian G2 × R mặt cầu mặt cực tiểu Chứng minh Không tính tổng quát ta giả sử mặt cầu S sinh nửa đường tròn C : α(t) = (0, r2 − t − a2 , t) quay quanh trục Oz Theo 25 Định lý 2.2.6, hàm f (u) = √ r2 − u − a2 , r > 0, phải thoã mãn phương trình (2.2.1) Điều tương đương với phương trình r2 (r2 − a2 − u2 + 2au − 2) = 0, r2 − a2 − u2 + 2au ∀u Phương trình vô nghiệm Vậy không gian G2 × R mặt cầu mặt cực tiểu Định lý 2.2.9 Trong không gian G2 × R, S mặt cực tiểu sinh đường cong α(t) = (0, f (t), t) quay quanh Oz với f đa thức theo t S mặt trụ trục Oz, bán kính Chứng minh Giả sử f (t) = an tn + · · · + a0 , n ∈ N, an = Do S mặt cực tiểu nên hàm f (t) phải thỏa mãn phương trình (2.2.1) Nếu n = hay f (t) = c =const Thay vào phương trình (2.2.1), ta có c2 − = ⇔ c = ± hay S mặt trụ bán kính    a 2=0   Nếu n = ta có hệ phương trình 2a1 a0 = (Vô nghiệm)     1+a =0 Nếu n ≥ ta đồng thức n2 an u4n−2 + p(t) = với p(t) đa thức có bậc nhỏ 4n − Điều xảy Vậy S mặt trụ bán kính Tập trung vào tìm hiểu tính chất nghiệm phương trình (2.2.1) thu kết ban đầu sau Định lý 2.2.10 Cho f (t) hàm số thỏa mãn phương trình (2.2.1) t0 số thực cho f (t0 ) = ta có khẳng định sau 26 1) f (t0 ) > điểm (0, f (t0 ), t0 ) điểm lồi đường cong α(t) = (0, f (t), t); 2) f (t0 ) = điểm (0, f (t0 ), t0 ) điểm uốn đường cong α(t) = (0, f (t), t); 3) < f (t0 ) < điểm (0, f (t0 ), t0 ) điểm lõm đường cong α(t) = (0, f (t), t) Chứng minh Do f (t) thỏa mãn phương trình (2.2.1) nên ta có f” = (1 − f (t))(f t + 1) f Giả sử f (t0 ) = (1 − f (t0 )) f ”(t0 ) = f (t0 ) (2.2.2) Từ phương trình (2.2.2) ta suy điều phải chứng minh Định lý 2.2.11 Trong không gian G2 × R, cho S mặt có phương trình tham số X (u, v ) = (u, v, f (u, v )) Khi đó, S mặt cực tiểu hàm f thỏa mãn phương trình: (1 + fu2 )fvv + (1 + fv2 )fuu − 2fu fv fuv − (ufu + vfv )(1 + fu2 + fv2 ) = (2.2.3) Chứng minh Xét mặt S có phương trình tham số X (u, v ) = (u, v, f (u, v )) Ta có N= (−fu , −fv , 1) + fu2 + fv2 , độ cong trung bình mặt S (1 + fu2 )fvv + (1 + fv2 )fuu − 2fu fv fuv H= [1 + fu2 + fv2 ] Tính toán trực tiếp ta có (∇ϕ , N ) = (ufu + vfv ) + fu2 + fv2 27 Độ cong trung bình theo mật độ Hϕ = (1 + fu2 )fvv + (1 + fv2 )fuu − 2fu fv fuv − (ufu + vfv )(1 + fu2 + fv2 ) [1 + fu2 + fv2 ] Ta có Hϕ = ⇔ (1 + fu2 )fvv + (1 + fv2 )fuu − 2fu fv fuv − (ufu + vfv )(1 + fu2 + fv2 ) = Vậy mặt S mặt cực tiểu hàm f (u, v ) thoả mãn phương trình: (1 + fu2 )fvv + (1 + fv2 )fuu − 2fu fv fuv − (ufu + vfv )(1 + fu2 + fv2 ) = Hệ 2.2.12 Trong không gian G2 × R, cho S mặt translation có dạng tham số X (u, v ) = (u, v, g (u) + h(v )) Khi đó, S mặt cực tiểu hàm f hàm g thỏa mãn phương trình (1 + g )h” + (1 + h )g ” − (ug + vh )(1 + g + h ) = (2.2.4) Mệnh đề 2.2.13 Trong không gian G2 ×R, cho S mặt cực tiểu translation có dạng tham số X (u, v ) = (u, v, g (u) + h(v )) với g (u) h(v ) đa thức S lớp mặt phẳng chứa trục Oz Chứng minh Giả sử g (u) = an un + · · · + a0 h(v ) = bm v m + · · · + b0 , với m, n ∈ N, an = 0, bm = Do S mặt cực tiểu nên g (u) h(v ) thỏa mãn phương trình (2.2.4) Nếu n = m = tham số hoá mặt S X (u, v ) = (u, v, a1 u + a0 + b1 v + b0 ) Do S mặt phẳng Theo Hệ 2.2.3 ta có mặt S lớp mặt phẳng chứa trục Oz 28 Nếu n ≥ m ≥ ta đồng thức n3 an u3n−2 + p(u) + q (v ) = với p(u), q (v ) đa thức có bậc u khác 3n − Điều xảy Mệnh đề 2.2.14 Mặt S có dạng tham số X (u, v ) = (u, v, f (u)) với √ f (u) = Ae−u2 − du + B A, B số mặt cực tiểu không gian G2 × R Chứng minh Theo Định lý 2.2.11 ta có, mặt S có dạng tham số X (u, v ) = (u, v, f (u)) mặt cực tiểu hàm f (u) thỏa mãn phương trình f ” − uf (1 + f ) = d2 f dp dp df df , ta có = p = Giả sử f = Đặt p = du du2 df du df Thế vào phương trình ta có p dp dp − up(1 + p2 ) = ⇐⇒ = u(1 + p2 ) df df ⇐⇒ dp dp = udf ⇐⇒ = updu + p2 + p2 dp = udu ⇐⇒ p(1 + p2 ) Tích phân hai vế ta u2 = ln p − ln 1+ ⇐⇒ −u2 = ln p2 + C ⇐⇒ −u2 = ln + p2 p p2 + C (p2 + 1) −u2 ⇐⇒ e = p2 Ap2 ⇐⇒ p = √ Ae−u2 − Từ ta có f= C √ Ae−u2 − với A, B số tùy ý 29 du + B Hệ 2.2.15 Mặt S có dạng tham số X (u, v ) = (u, v, g (v )) với g (v ) = √ Ae−v2 − dv + B A, B số mặt cực tiểu không gian G2 × R 30 2.3 Mặt cực tiểu không gian G × R2 Không gian G × R2 không gian R3 với mật độ e −r 2 với r = √ x2 Trong mục này, trình bày ý nghĩa hình học đại lượng (∇ϕ , N ), từ tìm mặt phẳng có độ cong mặt phẳng cực tiểu Chúng chứng minh mặt trụ có trục quay song song với trục Ox có độ cong trung bình theo mật độ số Hơn nữa, trình bày điều kiện để mặt tròn xoay, mặt tham số kiểu đồ thị, mặt translation mặt kẻ trở thành mặt cực tiểu Từ điều kiện đó, tìm thêm số mặt cực tiểu không gian Định lý 2.3.1 Trong không gian G × R2 , |(∇ϕ , N )| khoảng cách từ hình chiếu điểm M ∈ S lên mặt phẳng Oyz đến mặt phẳng tiếp xúc mặt S điểm M Chứng minh Với điểm M (x, y, z ) thuộc mặt S Giả sử N (a1 , b1 , c1 ) pháp vector đơn vị S M Khi đó, phương trình mặt phẳng tiếp xúc S M α : a1 x + b1 y + c1 z + d1 = Ta có, khoảng cách từ M (0, y, z ) hình chiếu điểm M (x, y, z ) lên mặt phẳng Oyz, đến mặt phẳng α d(M , α) = |b1 y + c1 z + d1 | a21 + b21 + c21 = |b1 y + c1 z + d1 | Mặt khác, từ phương trình mặt α ta có b1 y + c1 z + d1 = −a1 x = (−x, 0, 0)(a1 , b1 , c1 ) = (∇ϕ , N ) Từ đó, ta có d(M , α) = |(∇ϕ , N )| Hệ 2.3.2 Trong không gian G × R2 , mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng Oyz mặt cực tiểu Định lý 2.3.3 Trong không gian G × R2 , mặt phẳng song song với mặt Oyz (x = a) có độ cong theo mật độ số 31 Chứng minh Theo phương trình (1.3.1) ta có Hϕ = H − (∇ϕ , N ) Vì mặt phẳng có độ cong trung bình H = nên Hϕ = (∇ϕ , N ) Mặt khác S mặt phẳng song song với mặt Oyz (x = a) nên ∀M ∈ S ta có d(M , S ) = |a| với M hình chiếu M xuống Oyz Do theo Định lý 2.3.1 ta có |(∇ϕ , N )| = |a| a Vậy |Hϕ | = | | Hệ 2.3.4 Trong không gian G × R2 , mặt phẳng Oyz mặt cực tiểu Định lý 2.3.5 Trong không gian G × R2 , mặt trụ có trục quay song song với trục Ox bán kính d có độ cong trung bình theo mật độ số Hϕ = − 2d Chứng minh Xét mặt trụ có trục quay song song với trục Ox có bán kính d Ta biết không gian R3 mặt trụ có hai độ cong là: k1 = k2 = − d Với điểm M (x, y, z ) thuộc mặt trụ ta có hình chiếu M lên mặt phẳng Oyz M thuộc đường tròn giao S mặt phẳng Oyz Do khoảng cách từ M đến mặt phẳng tiếp xúc S M không Theo Định lý 2.3.1 ta có (∇ϕ , N ) = Mặt khác theo phương trình (1.3.2) ta có Hϕ = 0− d − (0) =− 2d Định lý 2.3.6 Trong không gian G × R2 , cho S mặt có phương trình tham số X (u, v ) = (u, v, f (u, v )) Khi đó, S mặt cực tiểu hàm f thỏa mãn phương trình: (1 + fu2 )fvv + (1 + fv2 )fuu − 2fu fv fuv − ufu (1 + fu2 + fv2 ) = 32 (2.3.1) Chứng minh Xét mặt S có phương trình tham số X (u, v ) = (u, v, f (u, v )) Ta có N= (−fu , −fv , 1) + fu2 + fv2 độ cong trung bình mặt S H= (1 + fu2 )fvv + (1 + fv2 )fuu − 2fu fv fuv [1 + fu2 + fv2 ] Tính toán trực tiếp ta có (∇ϕ , N ) = ufu + fu2 + fv2 Độ cong trung bình theo mật độ (1 + fu2 )fvv + (1 + fv2 )fuu − 2fu fv fuv − ufu (1 + fu2 + fv2 ) Hϕ = [1 + fu2 + fv2 ] Ta có Hϕ = ⇔ (1 + fu2 )fvv + (1 + fv2 )fuu − 2fu fv fuv − ufu (1 + fu2 + fv2 ) = Vậy mặt S mặt cực tiểu hàm f (u, v ) thoả mãn phương trình (1 + fu2 )fvv + (1 + fv2 )fuu − 2fu fv fuv − ufu (1 + fu2 + fv2 ) = Hệ 2.3.7 Trong không gian G2 × R, cho S mặt translation có dạng tham số X (u, v ) = (u, v, g (u) + h(v )) Khi đó, S mặt cực tiểu hàm f hàm g thỏa mãn phương trình (1 + g )h” + (1 + h )g ” − ug (1 + g + h ) = (2.3.2) Mệnh đề 2.3.8 Trong không gian G × R2 , cho S mặt cực tiểu translation có dạng tham số X (u, v ) = (u, v, g (u) + h(v )) với g (u) h(v ) đa thức S lớp mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng Oyz 33 Chứng minh Giả sử g (u) = an un + · · · + a0 h(v ) = bm v m + · · · + b0 , với m, n ∈ N, an = 0, bm = Do S mặt cực tiểu nên g (u) h(v ) thỏa mãn phương trình (2.3.1) Nếu n = m = tham số hoá mặt S X (u, v ) = (u, v, a1 u + a0 + b1 v + b0 ) Do S mặt phẳng (không song song với mặt phẳng Oyz) Theo Hệ 2.3.2 ta có mặt S lớp mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng Oyz Nếu n ≥ m ≥ ta đồng thức n3 an u3n−2 + p(u) + q (v ) = với p(u), q (v ) đa thức có bậc u khác 3n − Điều xảy Mệnh đề 2.3.9 Mặt S có dạng tham số X (u, v ) = (u, v, f (u)) với f (u) = √ Ae−u2 − du + B A, B số mặt cực tiểu không gian G × R2 Chứng minh Hoàn toàn tương tự chứng minh Mệnh đề 2.2.14 Mệnh đề 2.3.10 Mặt S có dạng tham số X (u, v ) = (u, v, f (u) + v ) với √ √ f (u) = du + B Ae−u2 − A, B số mặt cực tiểu không gian G × R2 Chứng minh Theo Hệ 2.3.7 ta có mặt S mặt cực tiểu hàm f, g với g (v ) = v thỏa mãn phương trình (1 + f )g ” + (1 + g )f ” − uf (1 + f + g ) = 0, hay 2f ” − uf (2 + f ) = df d2 f dp df dp Giả sử f = Đặt p = , ta có = =p du du df du df 34 Thế vào phương trình ta có 2p dp − up(2 + p2 ) = df ⇐⇒ 2pdp − up(2 + p2 )df = ⇐⇒ dp p(2 + p2 ) = udu Lấy tích phân hai vế ta −u2 2 + p2 = ln Cp ⇐⇒ e−u = ⇐⇒ p = √ Từ ta có √ f= √ + p2 Ap2 √ Ae u2 Ae−u2 − với A, B số tùy ý 35 −1 du + B Kết luận Trong khóa luận này, ý nghĩa hình học đại lượng (∇ϕ , N ) ba không gian Định lý 2.1.1, Định lý 2.2.1, Định lý 2.3.1, từ xác định mặt phẳng có độ cong hằng, mặt phẳng cực tiểu Từ việc tìm điều kiện để mặt tròn xoay, mặt translation, mặt tham số kiểu đồ thị, mặt kẻ trở thành mặt cực tiểu, số kết sau: Trong không gian G3 , từ việc tổng hợp chứng minh kết tài liệu tham khảo [1], [3], mặt cầu, mặt trụ có độ cong √ Từ thấy mặt cầu tâm O bán kính mặt trụ có trục quay qua O có bán kính đường chuẩn mặt cực tiểu Trong không gian G2 × R, mặt trụ có độ cong Định lý 2.2.5 thấy mặt trụ có trục quay qua O mặt cực tiểu, đồng thời mặt cầu mặt cực tiểu Ở mặt tròn xoay cực tiểu Mệnh đề 2.2.8 mặt Translation cực tiểu hai trường hợp đặc biệt Mệnh đề 2.2.15 Mệnh đề 2.2.16 Trong không gian G × R2 , tìm mặt trụ có độ cong Định lý 2.3.6 mặt Translation cực tiểu hai trường hợp đặc biệt Mệnh đề 2.3.10 Mệnh đề 2.3.11 Do thời gian nghiên cứu lực hạn chế nên nhiều vấn đề nội dung khóa luận chưa giải triệt để: Mặt kẻ cực tiểu, giải phương trình điều kiện, kết thu phức tạp Kính mong quý thầy cô, bạn quan tâm góp ý, bổ sung để đề tài hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn 36 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Đoàn Thế Hiếu, Trần Lê Nam, Bài toán đẳng chu toán liên quan không gian với mật độ, Tạp chí khoa học giáo dục, ĐHSP Huế 2008 [2] Trần Lê Nam, Đường mặt với mật độ, Luận văn thạc sĩ (2007) Tiếng Anh [3] Ivan Corwin, Neil Hoffman, Stephanie Hurder, Vojislav Sesum, and Ya Xu (2006), Differential geometry of manifolds with density, Rose-Hulman Und Math J [4] Frank Morgan (2005), Manifolds with density, Notices Amer Math Soc 52, 853-858 [5] Michelle Lee (2006), Isoperimetric regions in sufaces and in surfaces with density, Honors thesis Williams College [6] L.Verstraelen, J Walrave and S Yapraka, The Minimal Translation surfaces in Euclidean space, Soc Math J 20 37 [...]... có bán kính bằng d có 1 độ cong trung bình theo mật độ là Hϕ = ad − d Do đó Hϕ = 0 ⇔ ad − ⇔ d2 = 1 d 1 = 0 ⇔ ad = 11 d 1 ⇔d= √ a a Vậy mặt cầu tâm tại gốc toạ độ O và có bán kính nhất trong lớp các mặt cầu 1 1 a là mặt cực tiểu duy Hệ quả 2.1.8 [2, tr 43] Trong không gian R3 với mật độ e √ O có bán kính bằng 2 là mặt cực tiểu −r 2 2 mặt cầu tâm 2 Mệnh đề 2.1.9 [2, tr 42] Trong không gian R3 với mật. .. bằng 1 là các mặt cực tiểu tròn xoay Hơn nữa, chúng tôi đã chứng minh được rằng trong không gian này không có mặt cầu nào là mặt cực tiểu Ngoài ra, chúng tôi còn trình bày điều kiện để mặt tròn xoay, mặt tham số kiểu đồ thị, mặt translation và mặt kẻ trở thành mặt cực tiểu Từ các điều kiện đó, chúng tôi đã tìm thêm được một số mặt cực tiểu trong không gian này Định lý 2.2.1 Trong không gian G2 × R,... 2.2.15 Mặt S có dạng tham số X (u, v ) = (u, v, g (v )) với g (v ) = √ 1 Ae−v2 − 1 dv + B và A, B là các hằng số là mặt cực tiểu trong không gian G2 × R 30 2.3 Mặt cực tiểu trong không gian G × R2 Không gian G × R2 là không gian R3 với mật độ e −r 2 2 với r = √ x2 Trong mục này, chúng tôi trình bày ý nghĩa hình học của đại lượng (∇ϕ , N ), từ đó tìm được các mặt phẳng có độ cong hằng và các mặt phẳng cực. .. theo mật độ là Hϕ = ad − 1 2d Do đó 1 1 = 0 ⇔ ad = 2d 2d 1 1 ⇔ d2 = ⇔d= √ 2a 2a 1 Hϕ = 0 ⇔ ad − Vậy mặt trụ có trục quay qua O và có bán kính √ 2a là mặt cực tiểu Hệ quả 2.1.5 [2, tr 44] Trong không gian R3 với mật độ e −r 2 2 , mặt trụ trục quay qua O có bán kính đường chuẩn bằng 1 là mặt cực tiểu Định lý 2.1.6 [3, tr 14] Trong không gian R3 với mật độ eϕ = e−ar 2 +c , một mặt cầu tâm là gốc toạ độ. .. quyết được 21 2.2 Mặt cực tiểu trong không gian G2 × R Không gian G2 × R là không gian R3 với mật độ e −r 2 2 với r = x2 + y 2 Từ việc đánh giá đại lượng (∇ϕ , N ), chúng tôi tìm được các mặt phẳng có độ cong hằng và các mặt phẳng cực tiểu Chúng tôi đã chứng minh được các mặt trụ có trục quay Oz có độ cong trung bình theo mật độ là hằng số Từ đó đã chỉ ra rằng mặt trụ tròn xoay có trục quay Oz và... mặt phẳng cực tiểu Chúng tôi đã chứng minh được các mặt trụ có trục quay song song với trục Ox có độ cong trung bình theo mật độ là hằng số Hơn nữa, chúng tôi còn trình bày điều kiện để mặt tròn xoay, mặt tham số kiểu đồ thị, mặt translation và mặt kẻ trở thành mặt cực tiểu Từ các điều kiện đó, chúng tôi đã tìm thêm được một số mặt cực tiểu trong không gian này Định lý 2.3.1 Trong không gian G × R2 ,... ta có Hϕ = 1 m−1 k1 + k2 + · · · + km−1 − (∇ϕ , N ) nên Hϕ = 0− 1 d − (−2ad) 2 = ad − 1 2d Vậy Hϕ = ad − 1 2d Mệnh đề 2.1.4 [3, tr 13] Trong không gian R3 với mật độ eϕ = e−ar 1 một mặt trụ có trục quay qua O và có bán kính đường chuẩn √ 2a 2 +c , là mặt cực tiểu Chứng minh Mặt S là mặt cực tiểu khi và chỉ khi Hϕ = 0 Theo Định lý 2.1.3 ta có mặt trụ S có trục quay qua O và có bán kính bằng d có độ. .. (1.3.2) ta có Hϕ = 1 k1 + k2 + · · · + km−1 − (∇ϕ , N ) m−1 nên Hϕ = − d1 − 1 d − (−2ad) 1 = ad − d 2 Vậy 1 Hϕ = ad − d Mệnh đề 2.1.7 [3, tr 14] Trong không gian R3 với mật độ eϕ = e−ar một mặt cầu tâm tại gốc toạ độ O và có bán kính 1 a 2 +c , là mặt cực tiểu duy nhất trong lớp các mặt cầu Chứng minh Mặt cầu tâm tại gốc toạ độ O là mặt cực tiểu khi và chỉ khi Hϕ = 0 Theo Định lý 2.1.6 ta có mặt cầu... b21 + c21 = |b1 y + c1 z + d1 | Mặt khác, từ phương trình mặt α ta có b1 y + c1 z + d1 = −a1 x = (−x, 0, 0)(a1 , b1 , c1 ) = (∇ϕ , N ) Từ đó, ta có d(M , α) = |(∇ϕ , N )| Hệ quả 2.3.2 Trong không gian G × R2 , các mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng Oyz là mặt cực tiểu Định lý 2.3.3 Trong không gian G × R2 , các mặt phẳng song song với mặt Oyz (x = a) có độ cong theo mật độ là hằng số 31 1 2 Chứng minh... có Hϕ = H − (∇ϕ , N ) Vì mặt 1 2 phẳng có độ cong trung bình H = 0 nên Hϕ = (∇ϕ , N ) Mặt khác S là mặt phẳng song song với mặt Oyz (x = a) nên ∀M ∈ S ta luôn có d(M , S ) = |a| với M là hình chiếu của M xuống Oyz Do đó theo Định lý 2.3.1 ta có |(∇ϕ , N )| = |a| a Vậy |Hϕ | = | | 2 Hệ quả 2.3.4 Trong không gian G × R2 , mặt phẳng Oyz là mặt cực tiểu Định lý 2.3.5 Trong không gian G × R2 , mặt trụ có ... "Mặt cực tiểu không gian tích với nhân tử có mật độ Gauss" làm khoá luận tốt nghiệp Khoá luận tập trung nghiên cứu tìm mặt có độ cong hằng, mặt cực tiểu không gian Gauss, không gian tích với nhân. .. chuẩn mặt cực tiểu Trong không gian G2 × R, mặt trụ có độ cong Định lý 2.2.5 thấy mặt trụ có trục quay qua O mặt cực tiểu, đồng thời mặt cầu mặt cực tiểu Ở mặt tròn xoay cực tiểu Mệnh đề 2.2.8 mặt. .. chuẩn bị 1.1 Mặt không gian R3 1.2 Mặt cực tiểu không gian R3 1.3 Không gian mật độ Mặt cực tiểu không gian tích với nhân tử có mật