luận văn tốt nghiệp ĐHSP: mặt cực tiểu và mặt cực tiểu diện tích trong không gian R3 với mật độ e mủ r2

luận văn tốt nghiệp ĐHSP: mặt cực tiểu và mặt cực tiểu diện tích trong không gian R3 với mật độ e mủ r2

LỜI CẢM ƠN

Trải qua bốn năm học tập và rèn luyện tại giảng đường trường ĐHSư Phạm Huế, dưới sự dìu dắt của quý Thầy Cô giáo, tôi đã tích lũycho mình rất nhiều kiến thức và kinh nghiệm quý báu cả về chuyên mônvà nghiệp vụ Khóa luận này chính là thành quả quan trọng của cả quátrình đó.

Đầu tiên, tôi xin được gửi lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy giáo, PGS.TS Đoàn Thế Hiếu, người đã hướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình, chu đáocho tôi trong suốt thời gian thực hiện khóa luận.

Tôi xin được gửi lòng biết ơn chân thành đến quý Thầy Cô đã giảngdạy lớp Toán B khóa 2007 - 2011 trường ĐHSP Huế, đặc biệt là toànthể quý Thầy Cô Khoa Toán trường ĐHSP Huế, những người khôngnhững cho tôi kiến thức mà còn quan tâm động viên và nhiệt tình giúpđỡ tôi trong suốt quá trình học tập cũng như trong thời gian thực hiệnkhóa luận.

Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn đến tất cả người thân, bạnbè đã quan tâm động viên và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tậpvừa qua.

Huế, tháng 5 năm 2011

Trần Thị Nhã Trang

1 MẶT CỰC TIỂU TRONG KHÔNG GIAN R3 VỚI MẬT ĐỘ er2 5

1.1 Không gian R3 với mật độ eϕ - Độ cong trung bình theo mật độ 5

1.2 Biến phân thứ nhất của phiếm hàm diện tích 6

1.2.1 Biến phân thứ nhất của phiếm hàm diện tích trong khônggian R3 7

1.2.2 Biến phân thứ nhất của hàm diện tích trong không gian R3với mật độ eϕ(r) 9

1.3 Mặt cực tiểu trong không gian R3 với mật độ er2 10

1.3.1 Một số mặt cực tiểu cổ điển trong không gian R3 11

1.3.2 Mặt cực tiểu trong không gian R3 với mật độ er2 13

2 MẶT CỰC TIỂU DIỆN TÍCH TRONG KHÔNG GIAN R3 252.1 Bong bóng xà phòng và mặt cực tiểu diện tích với biên là đườngcong đóng cho trước 25

2.2 Điều kiện cần để một mặt có diện tích nhỏ nhất trong tất cả cácmặt có cùng biên 26

2.3 Biến phân thứ hai của hàm diện tích 28

2.4 Định lý Stokes và phương pháp dạng cỡ 31

2.4.1 Dạng vi phân 32

2.4.2 Tích ngoài của m - vector, covetor trong không gian R3 33

2.4.3 Định lý Stokes trong không gian R3 34

2.4.4 Dạng cỡ trong không gian R3 37

2.4.6 Một số ví dụ 38

3 MẶT CỰC TIỂU DIỆN TÍCH TRONG KHÔNG GIAN R3 VỚI MẬT ĐỘ er 413.1 Định lý Stokes với mật độ và phương pháp dạng cỡ trong không

gian R3 với mật độ er2 413.2 Biến phân thứ hai trong không gian R3 với mật độ er2 443.3 Một số kết quả 46

MỞ ĐẦU

Hiện nay, mặt cực tiểu là đối tượng thu hút được rất nhiều sự quan tâm vànghiên cứu trong hình học vi phân Đặc biệt hơn, đó là các vấn đề liên quan đếnmặt cực tiểu và mặt cực tiểu diện tích trong không gian với mật độ Thuật ngữminimal surfaces được dùng để chỉ các mặt có độ cong trung bình bằng không cònthuật ngữ area-minimizing surfaces lại được dùng để chỉ các mặt có diện tích nhỏnhất trong lớp các mặt cùng biên đồng đều hay dưới những sự biến dạng compact,bảo toàn thể tích cho trước Người ta đã chỉ ra rằng các mặt cực tiểu diện tích córất nhiều tính chất thú vị Ví dụ như trong không gian R3 mặt có diện tích nhỏnhất với biên là một đường cong cho trước có độ cong trung bình bằng không haymặt có diện tích nhỏ nhất ứng với một thể tích cho trước bất kì có độ cong trungbình là hằng số Bên cạnh đó, các phương pháp được dùng để tìm và chứngminh một mặt là cực tiểu diện tích cũng đang rất thu hút rất nhiều sự quan tâm,đặc biệt là phương pháp dạng cỡ và phương pháp biến phân.

Chúng ta đã biết không gian với mật độ là không gian được trang bị mộthàm dương gọi là hàm mật độ được dùng làm trọng số cho cả thể tích và chu vi.Khi chuyển từ không gian thông thường sang nghiên cứu không gian với mật độ,một câu hỏi luôn được đặt ra, là: Liệu rằng các kết quả, các tính chất trong khônggian thông thường có còn đúng với không gian với mật độ nữa không?

Với mong muốn được tìm hiểu và trả lời những câu hỏi đó, dưới sự hướngdẫn và giúp đỡ của Thầy giáo, PGS TS Đoàn Thế Hiếu, tôi đã chọn đề tài: "Mặtcực tiểu và mặt cực tiểu diện tích trong không gian R3 với mật độ er2".

Nội dung chính của khóa luận gồm có ba chương.

Chương I trình bày một số vấn đề liên quan đến mặt cực tiểu trong khônggian R3 với mật độ er2 như mặt có độ cong trung bình hằng, điều kiện để các mặttròn xoay, mặt tịnh tiến, mặt kẻ, là mặt cực tiểu và một số mặt cực tiểu đạisố Bên cạnh đó, chúng tôi trình bày biến phân thứ nhất của phiếm hàm diện tíchcủa một mặt tham số chính quy trong R3 và trong R3 với mật độ.

Chương II trình bày một số vấn đề liên quan đến mặt cực tiểu diện tích trongkhông gian R3 Cụ thể đó là biến phân thứ hai của phiếm hàm diện tích của mộtmặt tham số chính quy, phương pháp dạng cỡ và một số ví dụ về mặt định cỡ.

Chương III trình bày mặt cực tiểu diện tích trong không gian R3 với mật độer2 Cụ thể chúng tôi trình bày phương pháp dạng cỡ và phương pháp biến phândùng để chứng minh một mặt là cực tiểu diện tích trong không gian với mật độ.Cuối cùng là một số kết quả về mặt cực tiểu diện tích trong lớp các mặt cùng biênđồng đều và các mặt cực tiểu diện tích ứng với một thể tích cho trước bất kì.

Thông qua khóa luận, tác giả hi vọng người đọc sẽ phát hiện ra một vài điềulí thú và bổ ích.

Thân mến!

dVϕ = eϕdV,dPϕ =eϕdP.

Trong không gian R3 với mật độ eϕ, độ cong trung bình theo mật độ, kí hiệu làHϕ, của mặt S được định nghĩa như sau

Hϕ = H −12

dϕdN,

với H là độ cong trung bình và N là trường pháp vector đơn vị của mặt S Vì

với ∇ϕ = (ϕx, ϕy, ϕz) và k1, k2 là các độ cong chính của mặt S.

Trong phần này chúng tôi trình bày biến phân thứ nhất của phiếm hàm diệntích của một mặt tham số chính quy trong không gian R3 và trong không gian R3với mật độ bằng cách sử dụng biến phân chuẩn tắc Từ đó làm cơ sở nêu lên mốiliên hệ giữa một mặt cực tiểu với biến phân thứ nhất của phiếm hàm diện tíchcũng như trong chương II nêu lên điều kiện cần để một mặt là cực tiểu diện tíchtrong tất cả các mặt có cùng biên.

Trước khi giới thiệu biến phân thứ nhất của phiếm hàm diện tích của một mặtchính quy chúng ta có định nghĩa phần tử diện tích và biến phân chuẩn tắc nhưsau

Định nghĩa 1.2.1 (Phần tử diện tích)

Cho S là một mặt chính quy, R ⊂ S là một miền bị chặn chứa trong lân cận tọađộ xác định bởi tham số X : U ⊂ R2 −→ S (với U là miền mở liên thông với baođóng compact và biên trơn trong R2) Khi đó với Q= X−1(R), số dương

A(R) =Z Z

|Xu∧ Xv|dudv

được gọi là diện tích của miền R.

Tương tự, diện tích của miền R trong không gian R3 với mật độ eϕ được địnhnghĩa là

EG − F2dudv

ϕ(u, v, t) =X(u, v) +th(u, v)N(u, v), (u, v)∈ D, t ∈ (−ε, ε).Khi đó với mỗi t xác định, ánh xạ

Xt : D −→ R3Xt(u, v) =ϕ(u, v, t)là một mặt tham số.

Hình 1.1: Các biến phân chuẩn tắc của X(u, v)

1.2.1 Biến phân thứ nhất của phiếm hàm diện tích trong không gianR3

Xét mặt chính quy S với tham số hóa X : Ω ⊂ R2 −→ S, D ⊂ Ω và một biếnphân chuẩn tắc Xt của X(D) Ta có

Xut =Xu+thNu+thuN,Xvt = Xv+thNv+thvN.

Kí hiệu Et, Ft, Gt là các hệ số của dạng cơ bản thứ nhất của Xt, ta cóEt =E+ 2thhXu, Nui+t2h2Nu2+t2h2u,

Ft =F + 2thhXu, Nvi+t2h2hNu, Nvi+t2huhv,

với R(t) là một đa thức theo t, bậc ≥2và R(t) = EG−FR(t) 2.

Với ε đủ nhỏ thì Xt là một mặt tham số chính quy Do đó diện tích của mặttham số Xt

A(t) =Z

1−4thH+R(t)pEG − F2dudv

−4hH+R0(t)2

Chứng minh Nếu X là mặt cực tiểu thì H = 0 Do đó A0(0) = 0.

Ngược lại, giả sử A0(0) = 0 và ∃p ∈ D : H(p)6= 0 Không mất tính tổng quát, tagiả sử H(p)>0 Chọn h: D −→ R sao cho h(p)> 0và h đồng nhất bằng 0 ngoàimột lân cận đủ nhỏ của p Khi đó A0(0) < 0 với biến phân xác định bởi h Mâuthuẫn.

1.2.2 Biến phân thứ nhất của hàm diện tích trong không gian R3 vớimật độ eϕ(r)

Xét không gian R3với mật độ eϕ(r) với r là khoảng cách từ gốc tọa độ đến điểm.Diện tích của mặt tham số Xt trong không gian R3 với mật độ eϕ(r) là

Aϕ(t) =Z

1−4thH+R(t)pEG − F2dudv

Khi đó A0ϕ(t) ==

eϕthh∇ϕt, N iq

chính là biến phân thứ nhất của hàm diện tích của mặt tham số Xt trong khônggian R3 với mật độ eϕt(r).

A0ϕ(0) =Z

eϕhh∇ϕ, N idA+Z

Nhận xét 1.2.1 Nếu S là mặt cực tiểu với mật độ thì A0ϕ(0) = 0.

Trước khi đi vào tìm hiểu các mặt cực tiểu trong không gian R3 với mật độ er2,chúng tôi trình bày định nghĩa mặt cực tiểu trong không gian với mật độ, địnhnghĩa mặt tròn xoay, mặt kẻ và mặt tịnh tiến Đồng thời, chúng tôi cũng xin giớithiệu một số mặt cực tiểu cổ điển trong không gian R3.

Định nghĩa 1.3.1 (Mặt cực tiểu trong không gian với mật độ)

Một mặt chính qui là mặt cực tiểu với mật độ nếu độ cong trung bình theo mậtđộ của nó tại mọi điểm đều bằng không.

Định nghĩa 1.3.2 (Mặt tròn xoay)

Cho C là một đường cong chính qui trong mặp phẳng xz và không cắt trục z.Quay C quanh trục z ta nhận được một tập S ⊂ R3 Giả sử

x= f(u), z =g(u)với a < u < b, f(u)>0

là một tham số hóa của C và v là góc quay quanh trục z Như vậy tham số hóacủa mặt S là

X(u, v) = (f(u) cosv, f(u) sinv, g(u))

xác định trên tập U = {(u, v)∈ R2 : 0 < v <2π, a < u < b} vào S.

Mặt S như vậy được gọi là mặt tròn xoay, đường cong C được gọi là đường sinh,trục z được gọi là trục quay.

Định nghĩa 1.3.3 (Mặt kẻ)

Cho I ⊂ R3 là một khoảng mở; α, β : I −→ R3 là hai hàm số khả vi đến cấp cầnthiết, α0(u)6= 0, β(u)6= 0 ∀u ∈ I Ta xem α(u)như là một điểm, β(u)như là mộtvector trong R3 Lúc đó mặt tham số được cho bởi

được gọi là mặt kẻ sinh bởi α và β.

Đường cong α(u) được gọi là đường chuẩn của mặt kẻ Với mỗi u ∈ I, đườngthẳng đi qua điểm α(u)và nhận β(u)làm vector chỉ phương được gọi là một đườngsinh của mặt kẻ.

Nhận xét 1.3.1 Ta luôn có thể chọn α(u)là đường cong trực giao với họ các đườngthẳng của mặt S, β(u) là trường vector đơn vị dọc α và là vector chỉ phương củacác đường thẳng đi qua α(u) đồng thời giả sử u là tham số hóa độ dài cung củaα Do đó luôn giả thiết được rằng một mặt kẻ bất kì trong R3 có tham số hóa

với |α0(u)|= 1, |β(u)| = 1 và α0(u)⊥ β(u)∀u ∈ I.Định nghĩa 1.3.4 (Mặt tịnh tiến)

Mặt tịnh tiến là mặt có tham số hóa dạng

X(u, v) = (u, v, f(u) +h(v))với f, h là các hàm khả vi.

1.3.1 Một số mặt cực tiểu cổ điển trong không gian R3

Sau đây, chúng tôi xin giới thiệu một số mặt cực tiểu cổ điển khá nổi tiếng trongkhông gian R3 Đó là

1 Mặt phẳng.

2 Mặt catenoid xác định bởi tham số

X(u, v) = (acoshucosv, acoshusinv, au),

với 0 < v < 2π, −∞ < u < +∞, a > 0, là mặt tròn xoay cực tiểu duy nhấtkhác mặt phẳng.

Hình 1.2: Mặt catenoid

3 Mặt helicoid xác định bởi tham số

X(u, v) = (asinhucosv, asinhusinv, av),với0< v <2π, −∞ < u <+∞, a >0 hoặc

X(u, v) = (aucosv, ausinv, av),với a >0,0< v <2π, −∞ < u <+∞,

Hình 1.5: Mặt enneper

1.3.2 Mặt cực tiểu trong không gian R3 với mật độ er2

Định lý 1.3.1 Trong không gian R3 với mật độ er2, giá trị 12|h∇ϕ, N i| là khoảngcách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng tiếp xúc tại mỗi điểm của mặt S.

Chứng minh Với mọi điểm M(x, y, z)thuộc mặt S, gọi N(a1, b1, c1)là pháp vectorđơn vị của S tại M Khi đó phương trình mặt phẳng tiếp xúc của S tại M là

(α) :a1x+b1y+c1z+d1= 0.

Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng (α)làd(O, α) = q |d1|

Vì mặt phẳng có độ cong trung bình H = 0 nênHϕ =−1

N = (sinucosv,sinusinv,cosu),

Xvv = (−Rsinucosv, −Rsinusinv,0),Xuv = (−Rcosusinv, Rcosucosv,0).

Các hệ số của dạng cơ bản thứ nhất và thứ hai làE =R2, F = 0, G=R2sin2u,e=−R, f = 0, g = −Rsin2u.Độ cong trung bình là

H = 12

eG+Eg −2f F

EG − F2 =−1R.

Với mọi điểm p(x, y, z)∈ S, pháp vector đơn vị Np của S tại p làNp= (p x

x2+y2+z2,p y

x2+y2+z2,p z

x2+y2+z2).Độ cong trung bình theo mật độ của S là

X(u, v) = (Rcosv, Rsinv, u)) với0< v <2π, −∞ < u <+∞.Ta có

Xu = (0,0,1),

Xv = (−Rsinv, Rcosv,0),N = (−cosv, −sinv,0),Xuu = (0,0,0),

Xuv = (0,0,0).

Các hệ số của dạng cơ bản thứ nhất và thứ hai là

Độ cong trung bình là

H = 12

eG+Eg −2f FEG − F2 = 1

X(u, v) = (u, v, f(u, v)).

Ta có

Xu = (1,0, fu),Xv = (0,1, fv),N =−p 1

1 +f2u +f2

(fu, f v, −1),Xuu = (0,0, fuu),

Xvv = (0,0, fvv),Xuv = (0,0, fuv).

Các hệ số của dạng cơ bản thứ nhất và thứ hai làE = 1 +fu2, F =fufv, G= 1 +fv2,e= p fuu

1 +f2u +f2

, f = p fvv1 +f2

u +f2v

, g = p fuv1 +f2

u +f2v

.Ta có độ cong trung bình là

H = 12

eG+Eg −2f FEG − F2 = 1

(1 +fv2)fuu+ (1 +fu2)fvv−2fufvfuv(1 +f2

u +f2v)32

và ∇ϕ = (2u,2v,2f) nên

h∇ϕ, N i =−(2u,2v,2f)p 11 +f2

u +f2v

(fu, f v, −1)

1 +f2u +f2

(ufu+vfv − f).Do đó độ cong trung bình theo mật độ là

u +f2v)32

.Hϕ = 0⇔

(1 +fu2)fvv+ (1 +fv2)fuu−2fufvfuv + 2(ufu+vfv− f)(1 +fu2+fv2) = 0.

Từ định lý trên ta có một số hệ quả sau

Hệ quả 1.3.5.1 Trong không gian R3 với mật độ er2, các mặt tịnh tiến là nhữngmặt cực tiểu với mật độ khi và chỉ khi các hàm f và h thỏa mãn phương trình

(1 +f02)h00+ (1 +h02)f00+ 2(uf0+vh0− f − h)(1 +f02+h02) = 0.

Hệ quả 1.3.5.2 Trong không gian R3 với mật độ er , mặt có tham số hóa dạngX(u, v) = (u, v, f(u)) với f là hàm khả vi

là mặt cực tiểu khi và chỉ khi hàm f thỏa mãn phương trìnhf00+ 2(uf0− f)(1 +f02) = 0.

Mệnh đề 1.3.1 Trong không gian R3 với mật độ er2, nếu mặt tròn xoay S là mặtcực tiểu với mật độ thì trục quay của S phải đi qua gốc tọa độ.

Chứng minh Không mất tính tổng quát, giả sử trục quay của S trùng với phươngcủa trục z Gọi C là giao tuyến của S với mặt phẳng xy, khi đó với mọi M(x, y, z)∈C ta đều có H = const

Vì S là mặt cực tiểu nên

Hϕ = 0⇔ H − 1

2h∇ϕ, N i = 0⇔ H = 1

2h∇ϕ, N i⇔ |H| = 1

2|h∇ϕ, N i|.

Mặt khác, theo Định lý (1.3.1) ta có giá trị 12|h∇ϕ, N i| là khoảng cách từ gốctọa độ đến mặt phẳng tiếp xúc của S tại mỗi điểm M(x, y, z) nên O phải là tâmcủa đường tròn C Vậy trục z là trục quay của S.

Định lý 1.3.6 (Điều kiện để mặt tròn xoay là mặt cực tiểu)

Trong không gian R3 với mật độ er2, các mặt tròn xoay là những mặt cực tiểu vớimật độ khi và chỉ khi hàm f và g thỏa mãn phương trình

f(f0g00− g0f00) + [g0+ 2(f g0− gf0)](f02+g02) = 0.Chứng minh Xét mặt tròn xoay S có tham số hóa là

X(u, v) = (f(u) cosv, f(u) sinv, g(u)).Ta có

Xu = (f0cosv, f0sinv, g0),Xv = (−fsinv, fcosv,0),

N =−p 1

f02+g02(g0cosv, g0sinv, −f0),Xuu = (f00cosv, f00sinv, g00),

Xvv = (−fcosv, −fsinv,0),Xuv = (−f0sinv, f0cosv,0).

Các hệ số của dạng cơ bản thứ nhất và thứ hai làE =f02+g02, F = 0, G=f2,e= f

0g00− g0f00p

f02+g02.Độ cong trung bình là

H = 12

eG+Eg −2f FEG − F2 = 1

f2(f0g00− g0f00) +f g0(f02+g02)f2(f02+g02)32

f(f0g00− g0f00) +g0(f02+g02)f(f02+g02)32

và ∇ϕ = (2fcosv,2fsinv,2g)nên

h∇ϕ, N i=−(2fcosv,2fsinv,2g)p 1

f02+g02(g0cosv, g0sinv, −f0)

f02+g02(f g0− f0g).Do đó độ cong trung bình theo mật độ là

.Hϕ = 0⇔ f(f0g00− g0f00) + [g0+ 2f(f g0− gf0)](f02+g02) = 0.

Hệ quả 1.3.6.1 Xét mặt tròn xoay S được sinh ra bởi đường α(t) = (f(t),0, t)khi quay quanh trục z có phương trình tham số là

X(u, v) = (f(u) cosv, f(u) sinv, u)với f ≥0, khả vi ∀u ∈ R và 0< v <2π.

Khi đó S là mặt cực tiểu khi và chỉ khi hàm f thỏa mãn phương trìnhf f00−[1 + 2(f − uf0)](1 +f02) = 0 ∀u.

Định lý 1.3.7 (Điều kiện để mặt kẻ là mặt cực tiểu)Trong không gian R3 với mật độ er2, mặt kẻ có tham số hóa dạng

với |α0(u)| = 1, |β(u)| = 1 và α0(u)⊥ β(u)∀u ∈ I là mặt cực tiểu với mật độ khivà chỉ khi

hα0∧ β, α00i −2{hα0∧ β, αi= 0

hα0∧ β, β00i+hβ0∧ β, α00i −4hα0∧ β, αihα0, β0i= 0hβ0∧ β, β00i −2hα0∧ β, αiβ02 = 0

hβ0∧ β, αi= 0

hα0∧ β, α00−2αi= 0β0 = 0

Xvv = 0,Xuv =β0.

Các hệ số của dạng cơ bản thứ nhất và thứ hai là

E = (α0+vβ0)2, F = 0, G=β2 = 1,N = Xu∧ Xv

|Xu∧ Xv| =

(α0∧ β) +v(β0∧ β)√

EG − F2 = (α

0∧ β) +v(β0∧ β)|α0+vβ0| ,e= hα

H = 12

eG+Eg −2f FEG − F2

hα0∧ β, α00i+v[hα0∧ β, β00i+hβ0∧ β, α00i] +v2hβ0∧ β, β00i(α0+vβ0)3

h∇ϕ, N i= 2hα

0∧ β, αi+vhβ0∧ β, αi|α0+vβ0| .

Do đó độ cong trung bình theo mật độ làHϕ =H − 1

2h∇ϕ, N i

hα0∧ β, α00i+v[hα0∧ β, β00i+hβ0∧ β, α00i] +v2hβ0∧ β, β00i(α0+vβ0)3

− 122

hα0∧ β, αi+vhβ0∧ β, αi|α0+vβ0| .Hϕ = 0

⇔ hα0∧ β, α00i+v[hα0∧ β, β00i+hβ0∧ β, α00i] +v2hβ0∧ β, β00i−2[hα0∧ β, αi+vhβ0∧ β, αi](α0+vβ0)2 = 0⇔ hα0∧ β, α00i+v[hα0∧ β, β00i+hβ0∧ β, α00i] +v2hβ0∧ β, β00i

−2[hα0∧ β, αi+vhβ0∧ β, αi](1 + 2vhα0, β0i+v2β02) = 0⇔ hα0∧ β, α00i+v[hα0∧ β, β00i+hβ0∧ β, α00i] +v2hβ0∧ β, β00i

−2{hα0∧ β, αi+v[hβ0∧ β, αi+ 2hα0∧ β, αihα0, β0i] +v2[hα0∧ β, αiβ02+ 2hβ0∧ β, αihα0, β0i] +v3hβ0∧ β, αiβ02} = 0

⇔ hα0∧ β, α00i −2hα0∧ β, αi+v[hα0∧ β, β00i+hβ0∧ β, α00i −2hβ0∧ β, αi−4hα0∧ β, αihα0, β0i] +v2[hβ0∧ β, β00i −2hα0∧ β, αiβ02−4hβ0∧ β, αihα0, β0i]−2v3hβ0∧ β, αiβ02 = 0.

Xem phương trình trên như là một đa thức theo biến v, ta kết luận S là mặtcực tiểu với mật độ

hα0∧ β, α00i −2hα0∧ β, αi= 0

hα0∧ β, β00i+hβ0∧ β, α00i −2hβ0∧ β, αi −4hα0∧ β, αihα0, β0i= 0hβ0∧ β, β00i −2hα0∧ β, αiβ02−4hβ0∧ β, αihα0, β0i= 0

hβ0∧ β, αiβ02 = 0

hα0∧ β, α00−2αi= 0

hα0∧ β, β00i+hβ0∧ β, α00i −4hα0∧ β, αihα0, β0i = 0hβ0∧ β, β00i −2hα0∧ β, αiβ02 = 0

hβ0∧ β, αi= 0

hα0∧ β, α00−2αi= 0β0 = 0

.

Tìm cách giải quyết hệ phương trình (1.3.2)và chọn β = (0,0, a) ta có hệ quảsau

Hệ quả 1.3.7.1 Trong không gian R3 với mật độ er2, mặt kẻ có tham số hóa dạng

mặt cực tiểu với mật độ nếu phương trìnhx00−2x

x0 = y

00−2yy0thỏa mãn với mọi z(u).

Nhận xét 1.3.2 Xét phương trình được nêu trong Hệ quả (1.3.7.1) ta có nhận xétsau

1 Nếu x(u) =y(u) ∀u ∈ I thì phương trình trên nghiệm đúng.2 Đặt

x00−2xx0 = y

y0 =t(u),với t(u) là một hàm theo biến u.

Việc giải phương trình trên đưa ta về việc giải phương trình vi phânx00− t(u)x0−2x= 0.

• Nếu t(u) =a= const ∀u thì ta có phương trìnhx00− ax0−2x= 0.

Đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng Nghiệm củaphương trình này là

x(u) =C1ea−

a2+82u,với C1, C2 là các hằng số bất kì.

Mặt kẻ thu được trong trường hợp này là mặt phẳng.

• Nếu t(u)6= const ∀u thì phương trình trên muốn giải được thì phải biếttrước một nghiệm của nó rồi dùng công thức Ostrogradski − Liouvilleđể tìm nghiệm Hiện tại công viêc này chúng tôi vẫn chưa giải quyếtđược.

Nhận xét 1.3.3 Xét hệ phương trình (1.3.1)

hα0∧ β, β00i+hβ0∧ β, α00i −4hα0∧ β, αihα0, β0i= 0 (1.3.1.2)hβ0∧ β, β00i −2hα0∧ β, αiβ02 = 0 (1.3.1.3)

Từ phương trình cuối ta có α, β và β0 đồng phẳng Khi đó tồn tại hai số thực k, lkhông đồng thời bằng 0 sao cho α=kβ+lβ0 Với lưu ý α0 ⊥ β, α0 ⊥ α00, β ⊥ β0và|β0| 6= 0 ta có được hα, βi=k và 0 =hα0, βi= khβ0, βi+lhβ00, βi =lhβ00, βi.

Thay vào phương trình (1.3.1.3) ta có

hβ0∧ β, β00i −2hα0∧ β, αiβ02 = 0

⇔ hβ0∧ β, β00i −2hk(β0∧ β) +l(β00∧ β), kβ+lβ0iβ02= 0⇔ hβ0∧ β, β00i −2l2hβ00∧ β, β0iβ02 = 0

⇔ hβ0∧ β, β00i(1 + 2l2β02) = 0⇔ hβ0∧ β, β00i = 0.

Nếu l= 0 hoặc hβ0∧ β, β00i = 0 thì β là đường cong phẳng và vì |β|= 1 nên tacó thể giả sử β(u) = (cosu,sinu,0) Khi đó α và β đều nằm trong mặt phẳng xOy.Ta lại có β0(u) = (−sinu,cosu,0) và α(u) = (kcosu − lsinu, ksinu+lcosu,0),dễ dàng kiểm tra được chúng đều thỏa mãn các phương trình còn lại của hệ phươngtrình (1.3.1) Lúc này mặt kẻ thu được là mặt phẳng xy.

Sau đây, ta tìm hiểu thêm về một số mặt cực tiểu đại số với mật độ như sauĐịnh lý 1.3.8 Trong không gian R3 với mật độ er2, mặt tịnh tiến S : X(u, v) =(u, v, f(u) +h(v)) với

f(u) =anun+an−1un−1+ +a0,h(v) =bmvm+bm−1vm−1+ +b0,m, n ∈ N, an 6= 0, bm 6= 0.

Khi đó S là mặt cực tiểu với mật độ khi và chỉ khi S là mặt phẳng đi qua gốc tọađộ.

Chứng minh ⇐)Dễ dàng kiểm tra được.

⇒)Theo Hệ quả (1.3.5.1) ta có S là mặt cực tiểu với mật độ khi và chỉ khi f vàh thỏa mãn phương trình

(1 +f02)h00+ (1 +h02)f00+ 2(uf0+vh0− f − h)(1 +f02+h02) = 0.

Nếu n =m= 1 thì tham số của S là

Mâu thuẫn với giả thiết.

Định lý 1.3.9 Trong không gian R3 với mật độ er2, mặt tròn xoay S được sinhra bởi : α(u) = (f(u),0, u) với

f(u) =anun+an−1un−1+ +a0,n ∈ N, an 6= 0 khi quay quanh trục z có tham số hóa là

X(u, v) = (f(u) cosv, f(u) sinv, u).

Khi đó S là mặt cực tiểu với mật độ khi và chỉ khi S là mặt trụ bán kính 12.Chứng minh ⇐)Dễ dàng kiểm tra được.

⇒)Theo Hệ quả (1.3.6.1) ta có S là mặt cực tiểu với mật độ khi và chỉ khi thỏamãn phương trình

X(u, v) = (f(u) cosv, f(u) sinv, u).Với n= 0 hoặc n= 1, thì tham số hóa của S là

2cosv, −1

2sinv, u).Khi đó S là mặt trụ bán kính 12.

Với n ≥2, thay phương trình của f vào phương trình trên ta được2n2(n −1)a3nu3n−2+p(u) = 0

với bậc của p(u)< 3n −2 Phương trình trên⇔ an = 0.Mâu thuẫn với giả thiết.