2 MẶT CỰC TIỂU DIỆN TÍCH TRONG KHÔNG GIAN R3
2.4.2Tích ngoài của m vector, covetor trong không gian R3
Xét cơ sở trực chuẩn củaR3 là{e1, e2, e3}, tích ngoài củam - vectorv1, . . . , vm ∈
R3(m= 1,2,3), kí hiệu là v1∧. . .∧vm có những tính chất sau + đa tuyến tính, ví dụ với m = 3,∀i ∈ {1,2,3}, c là hằng số ta có
v1∧cv2∧v3 = cv1∧v2∧v3,
v1∧(v2+v20)∧v3 = v1∧v2∧v3+v1∧v20 ∧v3.
+ tính thay phiên, ví dụ với m= 3 ta có
v1∧v3∧v2 =−v1∧v2∧v3, v2∧v1∧v3 =−v1∧v2∧v3.
Với w ∈R3 có dạng w= v1∧. . .∧vm thìw được gọi là một m−vector. Kí hiệu ei1...im = ei1 ∧. . .∧eim, i1 < . . . < im và Am(R3) là tập hợp tất cả các m
- vector trong R3 có cơ sở trực chuẩn là {ei1...im}, có số chiều là C3m. Ví dụ như
A2(R3) có cơ sở trực chuẩn là {e1∧e2, e2∧e3, e1∧e3} và có số chiều là 3.
Một m - vector được gọi là đơn nếu nó có thể biểu diễn dưới dạng tích ngoài của
m - vector ∈R3. Cụ thể, tất cả các m - vector, m= 1,2,3 trong R3 đều đơn. Nhận xét 2.4.1. Mọi mặt phẳng được định hướng đi qua gốc tọa độ đều có thể đồng nhất với 2- vector đơn, đơn vị trong A2(R3).
Hình 2.3: Mặt phẳng được đồng nhất với 2-vector đơn, đơn vị
Gọi R3∗ là không gian đối ngẫu của R3 có cơ sở trực chuẩn là {e∗1, e∗2, e∗3} với
e∗i(ej) = 1 nếu i= j 0 nếu i6= j
và gọi Am(R3) là không gian đối ngẫu của Am(R3). Ta đồng nhất Am(R3) với
Am(R3∗),1≤m≤3.
Mỗi phần tử của Am(R3) được gọi là một m - covector. Ví dụ như cơ sở trực chuẩn của A2(R3) là {e∗1∧e∗2, e∗2∧e∗3, e∗1∧e∗3} với
e∗i ∧e∗j(ek∧el) = ±1 nếu {i, j} ={k, l} 0 nếu {i, j} 6={k, l} .
Ta kí hiệu e∗i =dxi và thay vì phải viết dxi∧dxj ta sẽ viết dxidxj, khi đó có thể viết lại 2 - dạng vi phân trên R3 như sau
w =P e∗1∧e∗2+Qe∗2∧e∗3+Re1∗∧e∗3 =P dx1dx2+Qdx2dx3+Rdx1dx3. Xét một 2 - covector trong R3, ta có w =X i<j aije∗i ∧e∗j =X i<j aijdxidxj
với aij ∈R. Do đó một m - covetor là một m - dạng vi phân hệ số hằng.