Luận văn ĐHSP_Rèn luyện và phát triển năng lực

Luận văn ĐHSP_Rèn luyện và phát triển năng lực

Lời cảm ơn !

Sau thời gian học tập và rèn luyện, để có kiến thức như ngày hôm nay, tôi xinchân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán và trường ĐHSP Huế đã tậntình dạy dỗ, truyền đạt kiến thức và tạo mọi điều kiện để tôi hoàn thành tốt khóa luậntốt nghiệp này.

Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành và sâu sắc đến thầy giáo TrầnKhánh Hưng, người đã tận tình giúp đỡ và hướng dẫn tôi trong suốt quá trình thực

hiện khóa luận.

Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn các thầy và các em học sinh trườngTHPT Nguyễn Đình Chiểu-Phong Điền- Huế đã đóng góp ý kiến giúp đỡ tôi để khóaluận này được hoàn thành.

Mục lục

TrangMở đầu 3

Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn 5

1 Một số khái niệm cơ bản 5

1.1 Phương pháp suy luận 5

1.2 Suy luận suy diễn 5

1.3 Suy luận quy nạp 5

2 Mối quan hệ cuâ phương pháp quy nạp với phương pháp suy luận suy diễn trong dạy học toán 7

2.1 Hai kiểu suy luận này hết sức khác nhau 8

2.2 Hai loại suy luận này thống nhất với nhau 8

3.Vai trò và tác dụng của phương pháp quy nạp trong dạy học toán 10

4 Mục đích của dạy học toán 13

5 Sơ lược tình hình rèn luyện quy nạp cho học sinh phổ thông 14

5.1 Sách giáo khoa với việc rèn luyện năng lực quy nạp cho học sinh 14

5.2 Sơ lược tình hình rèn luyện năng lực quy nạp cho học sinh ở trường phổ thông 17

chương 2: Một số biện pháp thực hiện 19

1 Làm cho học sinh biết và thực hiện được các thao tác tư duy thường gặp 19

2.2.2 Tập dự đoán qua khái quát hóa và đặc biệt hóa 25

2.3.2 tập dự đoán qua tương tự 33

2.3.3 tập dự đoán qua xét một mệnh đề đảo 36

3 Rèn luyện năng lực quy nạp cho học sinh qua giải bài tập toán 37

3.1 Giải thích 37

3.2 Tác dụng đối với học toán 38

3.3 Ví dụ minh họa 39

Kết luận 45

Phụ lục I: Phiếu xin ý kiến 46

Phụ lục II: Phiếu tổng hợp kết quả điều tra 48

Phụ lục III: Giáo án thực nghiệm 51

mở đầu

1 lí do chọn đề tài

Tại đại hội Đảng CSVN lần thứ IX năm 2001, trong chiến lược phát triển kinhtế xã hội 2001-2010 có nhắc đến nhiệm vụ của giáo dục là: “ Đổi mới phương phápdạy và học, phát huy tư duy sáng tạo và năng lực tự đào tạo của người học, coi trọngthực hành, thực nghiệm, ngoại khoá, làm chủ kiến thức, tránh học chay, học vẹt.”

Nhà toán học lớn của chúng ta, GS.TSKH Nguyễn Cảnh Toàn đã khẳng định:“Toán học là môn học hết sức thuận lợi trong việc rèn luyện tư duy logic, nhưng cáchdạy của chúng ta lại chỉ chú ý rèn luyện khả năng suy diễn coi nhẹ khả năng quy nạp”.(Gs Nguyễn Cảnh Toàn, thế giới mới số 53, năm 1993).

Trong “Phương pháp dạy học toán ở trường THCS” (xem [5], tr.36) GS HoàngChúng có trích dẫn theo R.Courant: “Trong việc học tập toán, phương pháp suy diễnđúng là giúp chúng ta bao quát được nhanh một lĩnh vực rộng Song phương pháp xâydựng, đi từ cái riêng đến cái chung sẽ dẫn dắt tới những tư duy độc lập và sáng tạo mộtcách vững chắc hơn.”

Theo GS Phạm Văn Hoàn, “Giáo dục học môn toán” (xem [14], tr.22): “Tuysuy diễn logic đóng vai trò chủ yếu trong phương pháp toán học, nhưng vai trò của quynạp cũng không phải là không quan trọng Vai trò của quy nạp thể hiện trong khi xâydựng khái niệm mới, chọn lọc các tiên đề trước khi chứng minh một định lí, có thể nóirằng những lúc các nhà toán học dùng phương pháp quy nạp là những lúc quan trọngtrong sự phát triển toán học”.

Mặc dù vậy trên thực tế dạy học, chúng ta chỉ mới chú trọng đến suy diễn, suyluận chứng minh, chứng minh mà chưa chú ý đến quy nạp, đến khả năng tư duy độclập sáng tạo, phát hiện ra cái mới của học sinh Điều này sẽ được trình bày rõ hơn trongphần sau của khoá luận này.

Là một sinh viên sư phạm toán, tôi mong muốn góp một phần nhỏ vào vấn đềđổi mới phương pháp, nâng cao hiệu quả dạy và học, đáp ứng yêu cầu ngày càng caocủa khoa học kỉ thuật, của đời sống xã hội về con người lao động mới phục vụ cho

công tác xã hội sau này nên tôi chọn đề tài: “Rèn luyện và phát triển năng lực suy

luận quy nạp cho học sinh trong dạy học toán ở trường phổ thông”.2 Mục đích nghiên cứu

- Cố gắng làm rõ phương pháp quy nạp thể hiện trong sách giáo khoa thí điểmphân ban ở THPT với vai trò của nó trong giảng dạy toán học.

- Đưa ra một số biện pháp để thực hiện mục đích trên.

4 Phương pháp nghiên cứu

- Đọc tài liệu và vận dụng vào thực tế.

- Đề xuất phương pháp và thể hiện trên thực tế.

Chương I

cơ sở lí luận và thực tiễn

1 Một số khái niệm cơ bản

Trước khi đi vào nội dung chính của khoá luận, xin được làm rõ một số kháiniệm cơ bản có liên quan.

1.1 Phương pháp suy luận

Suy luận là một hình thức tư duy mà từ một hay nhiều phán đoán đã có (tiên đề)ta rút ra được một số phán đoán mới (kết luận) Suy luận là một quá trình nhận thứchiện thực gián tiếp Nói chung có hai loại suy luận cơ bản: suy luận suy diễn và suyluận quy nạp ( xem [13]).

1.2 Suy luận suy diễn.

Suy luận suy diễn là cách suy luận đi từ cái tổng quát đến cái riêng, từ quy luậtphổ biến đến trường hợp cụ thể Do vậy kết luận bao giờ cũng đúng Chẳng hạn mộtquy tắc suy luận thường dùng là:

AB A,

( tam đoạn luận khẳng định).

1.3 Suy luận quy nạp.

Theo từ điển toán học thông dụng (xem [7], tr 494), phương pháp quy nạp làphương pháp suy luận dựa trên quan sát và thí nghiệm, xuất phát từ những trường hợpriêng lẽ, rồi mở rộng các kết quả có tính chất quy luật ra cho trường hợp tổng quát.Sau đây là các loại suy luận quy nạp.

a) Quy nạp toán học

Quy nạp toán học là một phương pháp suy luận chặt chẽ, thực chất của nó là suydiễn, nhưng nó chứa yếu tố quy nạp, cụ thể là bước thử trực tiếp mệnh đề đúng với n=0 (hoặc n = p) Phương pháp quy nạp toán học là một phương pháp chứng minh quantrọng trong toán học, cơ sở của nó là nguyên lí quy nạp toán học (Phương pháp nàyđược đưa vào chương trình đại số và giải tích 11).

b) Quy nạp hoàn toàn

Quy nạp hoàn toàn là suy luận trong đó kết luận chung, khái quát được rút ratrên cơ sở nghiên cứu tất cả các đối tượng của lớp đó.

Quy nạp hoàn toàn được đặc trưng bởi sự nghiên cứu toàn bộ các đối tượngthuộc phạm vi xem xét để rút ra kết luận chung về chúng Ta có sơ đồ khái quát nhưsau:

S là P2

S là P

nS là P _ S là P.

tức là khi mỗi đối tượng của lớp S đều có tính chất P thì cả lớp có tính chất P Phương

pháp này được đưa vào chương trình toán phổ thông ở dạng ẩn tàng Ví dụ:

- Chương trình hình học 9, NXBGD 1994, tr.34 trình bày chứng minh định lí:Trong một đường tròn, số đo của một góc nội tiếp bằng nửa số đo của góc ở tâm cùngchắn một cung.

- Chương trình hình học 10, sách giáo khoa thí điểm ban KHTN, NXBGD 2003,Đoàn Quỳnh tổng chủ biên, tr.42 trình bày chứng minh định lý sin trong tam giác:

c) Quy nạp không hoàn toàn.

Quy nạp không hoàn toàn là suy luận mà trong đó kết luận khái quát chung vềlớp đối tượng nhất định được rút ra trên cơ sở nghiên cứu không đầy đủ các đối tượngcủa lớp ấy.

Thực chất là việc nghiên cứu chỉ tiến hành cho một số đối tượng của lớp songkết luận lại rút ra chung cho cả lớp đó Chúng ta dự đoán kết quả tổng quát sau khi mớichỉ xem xét một số trường hợp riêng mà thôi.

Quy nạp không hoàn toàn không thể xem là một phương pháp chứng minh trongtoán học Nó chỉ là một phương pháp có hiệu lực để phát hiện chân lí mới, có thể đưađến kết luận đúng Chẳng hạn, để tìm công thức của tổng n số lẽ đầu tiên, ta xét cáctrường hợp riêng:

21 3 5 7 16 4    

Trong toán học, phương pháp quy nạp hoàn toàn nói chung, chỉ được sử dụngmột cách có giới hạn vì đa số mệnh đề toán học được bao gồm vô số trường hợp riêng.Do đó nói chung không thể sử dụng phương pháp quy nạp hoàn toàn được Cònphương pháp quy nạp không hoàn toàn, tuy kết luận của nó có thể sai nhưng lại có ýnghĩa to lớn trong việc tìm tòi, dự đoán, tìm ra tri thức mới.

Polya khẳng định: Suy luận quy nạp là một trường hợp riêng của suy luận có líhay còn được giáo sư Hoàng Chúng gọi là “suy luận nghe có lí” Trong khoá luận nàychỉ dám đề cập đến quy nạp, chủ yếu là quy nạp không hoàn toàn.

2 Mối quan hệ của phương pháp quy nạp với phương pháp suy luận suy diễntrong dạy học toán

Mục này được trình bày theo G.Polya (xem [4] ở Lời nói đầu).

Phương pháp quy nạp là một trường hợp riêng của suy luận có lí, còn suy luậnsuy diễn là một trường hợp riêng của suy luận chứng minh Để làm rõ mối quan hệ củachúng, ta hãy xét mối quan hệ tổng thể của suy luận chứng minh và suy luận có lí.

Trong toán học, chúng ta củng cố các kiến thức bằng suy luận chứng minhnhưng viện trợ các giả thuyết bằng các suy luận có lí.

Một chứng minh toán học là suy luận chứng minh còn kết luận quy nạp của cácnhà vật lí, hoá học hay sinh học, các bằng chứng gián tiếp của các luật sư, những dẫnchứng tài liệu của nhà sử học và kết luận thống kê của nhà kinh tế học, đều thuộc vềcác suy luận có lí.

2.1 Hai kiểu suy luận này hết sức khác nhau

a) Suy luận chứng minh là suy luận đáng tin cậy, không chối cãi được và dứtkhoát, còn suy luận có lí là suy luận bấp bênh, phải tranh cãi và có điều kiện.

b) Đối với toán học cũng như các môn khoa học khác, vai trò của suy luậnchứng minh là như nhau, tuy nhiên tự nó (cũng như tự bản thân toán học) không có khảnăng cung cấp các hiểu biết căn bản mới về thế giới xung quanh Mọi cái mới màchúng ta hiểu biết được về thế giới đều có liên hệ với suy luận có lí.

c) Suy luận chứng minh có những tiêu chuẩn chặt chẽ được ghi lại thành luật vàđược giải thích bằng logic (logic hình thức hay logic chứng minh), logic này là thuyếtcủa các suy luận chứng minh Những tiêu chuẩn của các suy luận có lí rất linh động vàkhông một lí thuyết nào về các suy luận như vậy lại rõ ràng bằng logic chứng minh vàcó sự nhất quán như logic chứng minh.

2.2 Hai loại suy luận này thống nhất với nhau

Mặc dù khác nhau như vậy nhưng hai loại suy luận này không mâu thuẫn màtrái lại bổ sung cho nhau Trong suy luận chặt chẽ điều chủ yếu là phân biệt chứngminh với dự đoán, chứng minh có căn cứ với dự đoán không có căn cứ Trong một suyluận có lí điều chủ yếu là phân biệt dự đoán với dự đoán, dự đoán hợp lí hơn với dựđoán ít hợp lí hơn Trong “toán học và những suy luận có lí” (xem [4] tr.6), Polya nhấn

mạnh mối liên hệ chặt chẽ giữa suy luận chứng minh và suy luận quy nạp như sau:“Toán học được xem là một môn khoa học chứng minh Tuy nhiên đó chỉ là một khíacạnh của nó Toán học, trình bày dưới hình thức hoàn chỉnh, chỉ bao gồm chứng minh(đó là cách trình bày trong các sách giáo khoa) Nhưng toán học trong quá trình hìnhthành gợi lại mọi kiến thức khác của nhân loại trong quá trình hình thành Chúng ta cầnphải dự đoán về một định lí toán học trước khi chứng minh nó, phải dự đoán về đườnglối và tư tưởng chủ đạo của chứng minh trước khi chứng minh, cần phải đối chiếu cáckết quả quan sát được và suy ra những điều tương tự, phải mò mẫm và thử đi thử lạinhiều lần Kết quả công tác sáng tạo của nhà toán học là suy luận chứng minh, là chứngminh, nhưng người ta tìm ra cách chứng minh nhờ suy luận có lí, nhờ dự đoán Nếuviệc dạy toán phản ánh ở mức độ nào đó việc hình thành toán học như thế nào thì trongviệc giảng dạy đó phải dành chổ cho dự đoán, cho suy luận có lí”.

Qua đó nhận thấy rằng, tuy phương pháp suy luận quy nạp và phương pháp suyluận suy diễn có những nét trái ngược song chúng lại có mối quan hệ mật thiết vớinhau, thống nhất với nhau trong quá trình nhận thức Chúng là một cặp phương phápluôn được áp dụng trong một thể thống nhất kế thừa và làm tiền đề của nhau, hỗ trợcho nhau Vì nếu diễn dịch là đi từ cái chung đến cái riêng, thì trước đó cần phải cóquy nạp (quy nạp không hoàn toàn) để dự đoán ra cái chung đã Nói cách khác, quynạp cung cấp nguyên liệu cho diễn dịch, diễn dịch lại đặt ra nhu cầu mới cho quy nạp,khẳng định hay phủ định những dự đoán (giả thuyết) của bước quy nạp Cứ như thế,mỗi bước quy nạp sau, con người lại đi gần thêm vào bản chất chung của sự vật, hiệntượng, hiểu biết càng nhiều về bản chất chung của thế giới.

Trong từ điển toán học thông dụng (xem [7], tr.496) đã khẳng định: “Suy diễnvà quy nạp là hai phương pháp suy luận có liên quan mật thiết với nhau, mặc dù bềngoài chúng có vẻ tương phản Mọi phép suy diễn đều bao hàm trong nó yếu tố quynạp, vì bất cứ suy diễn khoa học nào cũng đều bắt nguồn từ sự nghiên cứu các sự vậtmột cách quy nạp Ngược lại, phép quy nạp chỉ có giá trị khoa học khi nó dẫn tới sựnhận thức của quy luật chung” Có thể nói: trong thực tế, quy nạp và diễn dịch bao giờcũng thống nhất với nhau trong quá trình nhận thức.

Ví dụ:

Bài toán định lí lớn Fermat: Phương trình xnyn zn (1) không có nghiệmnguyên khác không, với bất kì số nguyên n  3

Ta biết với n = 1: x+y = z có vô số nghiệm nguyên.

Với n = 2: x2y2 z2 Ta biết rằng nếu a, b, c là các cạnh của một tam giácvuông, với cạnh huyền a thì luôn có b2c2 a2 Đây chính là nội dung định líPythagore.

Với n = 3: x3y3 z3 là một trường hợp riêng của (1) được Euler chứng minhnăm 1770.

Với n = 4: x4y4 z4cũng là một trường hợp riêng của (1) do chính Fermatchứng minh.

Mãi đến năm 1993 - 1994, Andrew Wiles, nhà toán học người Anh, sau gần 350năm mới chứng minh hoàn toàn định lí này.

Lịch sử toán học đã để lại nhiều sự kiện thú vị xoay quanh các giả thuyết cóđược bằng suy luận quy nạp không hoàn toàn Có những giả thuyết đã bị bác bỏ, cónhiều giả thuyết đã được chứng minh, có những giả thuyết mà vài trăm năm sau vẫnkhông được chứng minh hay bác bỏ Tuy nhiên việc tìm cách chứng minh hay bác bỏnhiều giả thuyết đã có tác dụng thúc đẩy sự phát triển của toán học Ví dụ “Một chântrời mới cho giả thuyết Gôn - bac”, (xem Toán học  Tuổi trẻ, số 7/2004).

3 Vai trò và tác dụng của phương pháp quy nạp trong dạy học toán.

“Chúng ta cần chú ý rằng toán học có thể xét theo hai phương diện Nếu chỉtrình bày lại những kết quả toán học đã đạt được thì nó là một khoa học suy diễn vàtính logic nổi bật lên Nhưng nếu nhìn toán học trong quá trình hình thành và pháttriển, trong quá trình tìm tòi phát minh thì trong phương pháp của nó vẫn có mò mẫm,dự đoán, vẫn có “thực nghiệm” và quy nạp Phải chú ý cả hai phương diện đó mới cóthể hướng dẫn học sinh hoc toán, mới khai thác được đầy đủ tiềm năng môn toán đểthực hiện giáo dục toàn diện.” (Theo Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy ở [9], tr.25).

Các tác dụng to lớn của việc rèn luyện và phát triển quy nạp với kết quả họctoán của học sinh được thể hiện cụ thể như sau:

a) Nhờ quy nạp, ta có thể rèn luyện cho học sinh các thao tác tư duy như phântích, tổng hợp, so sánh, tương tự, khái quát hoá, đạc biệt hoá, trừu tượng hoá, khôngnhững cần thiết cho việc học toán mà còn cần thiết cho các môn khoa học khác, chocông tác và hoạt động của con người.

Ví dụ: Khi dạy học định lí cosin trong tam giác (hình học 10), người ta đi từ tamgiác ABC có góc A vuông để đi đến biểu thức 222

BC  AC  AB 

nhờ định líPythagore, rồi tổng quát lên cho tam giác ABC không phải là tam giác vuông thì

BC  AC  AB 

và cụ thể sẽ bằng bao nhiêu?

Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh phân tích, so sánh, tổng hợp và tương tựnhư sau:

- Tam giác ABC vuông nên a2 b2c2 Vơí tam giác ABC không vuông thì a2

sẽ bằng b2c2 thêm bớt một lương nào đó (xem hình vẽ) Vấn đề của ta là tìm xemlượng đó bằng bao nhiêu?

sinh thấy được toán học bắt nguồn từ thực tế và quay về phục vụ thực tế, chẳng hạntrong xây dựng ta cần đo chiều cao của một cái cây mà yêu cầu là không được chặt nóxuống, việc này người ta không thể đo đạc trực tiếp mà phải mở rộng, nghiên cứuhình học, giải tam giác và sau đó tiến hành đo đạc, tính toán trên thực tế Đồng thờithấy được toán học bắt nguồn từ nhu cầu phát triển của nội bộ toán học, của các ngànhkhoa học khác, thấy được mối liên hệ giữa toán học với thực tế và các ngành khoa họcnhư vật lí, hoá học, sinh học, kĩ thuật, kinh tế, Ví dụ như tri thức về tương quan tỉ lệ

thuận biểu thị bởi công thức y ax được sử dụng trong:

- Tính diện tích S của một thửa ruộng hình tam giác có một cạnh bằng a với

đường cao tương ứng h: 1

Ví dụ: Khi dạy định lí đảo về dấu tam thức bậc hai theo sách giáo khoa thí điểm,ta không đưa ngay nội dung định lí như đối với sách giáo khoa hiện hành (chỉnh lí hợpnhất 2000) mà ta dựa vào định lý dấu tam thức bậc hai với nhận xét trường hợp

4 Mục đích của dạy học toán

Trong "Phương pháp dạy học môn toán" (xem [9], tr.45-62), GS.TSKH NguyễnBá Kim đã nêu nhiệm vụ của dạy học toán ở trường trung học phổ thông là:

- Truyền thụ tri thức, kỹ năng toán học và kỹ năng vận dụng toán học vào thựctiễn bởi thông qua bộ môn toán chúng ta có thể cung cấp cho học sinh một hệ thốngvững chắc các tri thức, phương pháp, kỹ năng đồng thời rèn luyện khả năng vận dụngnhững hiểu biết toán học vào các môn học khác, vào đời sống lao động sản xuất.

- Phát triển năng lực trí tuệ chung như tư duy trừu tượng, tư duy logic, tư duybiện chứng, rèn luyện các thao tác tư duy như trừu tượng, phân tích, tổng hợp, so sánh,khái quát, ,các phẩm chất tư duy như tính linh hoạt, tính độc lập sáng tạo,

- Giáo dục tư tưởng chính trị, phẩm chất đạo đức và thẩm mỹ Môn toán gópphần bồi dưỡng cho học sinh thế giới quan duy vật biện chứng, rèn luyện các phẩmchất của người lao động mới trong học tập và sản xuất như tính cẩn thận, chính xác, cómục đích, có kế hoạch, phương pháp, kỷ luật, sáng tạo, có óc thẩm mỹ,

Phương pháp quy nạp có tác dụng to lớn nhằm phục vụ đắc lực cho việc thựchiện các mục đích nêu trên Cụ thể:

- Qua thực hiện phương pháp quy nạp, học sinh tự mình tìm tòi, khám phá, rútra các tri thức “mới” nên học sinh sẽ hiểu sâu, nhớ lâu các kiến thức dẫn đến vận dụngtốt hơn.

- Học sinh sẽ có kĩ năng thành thạo hơn, rèn luyện các thao tác tư duy, đặc biệtlà khái quát hóa, trừu tượng hóa, tương tự dẫn đến sáng tạo Ngoài ra học sinh còn rèn

luyện được các phẩm chất trí tuệ nêu trên, khả năng so sánh, lựa chọn nhằm phát triểnnăng lực phê phán.

- Ngoài ra học sinh sẽ có hứng thú học tập, có niềm tin trong sáng tạo và khámphá

5 Sơ lược tình hình rèn luyện quy nạp cho học sinh phổ thông

5.1 Sách giáo khoa với việc rèn luyện năng lực quy nạp cho học sinh

Rèn luyện và phát triển năng lực lập luận, chứng minh cho học sinh là một việcphải làm thường xuyên của giáo viên trung học nhất là THPT

Vì vậy sách giáo khoa toán ở bậc học này đã trình bày kiến thức theo xu hướngtiên đề hóa nhằm tạo điều kiện cho giáo viên rèn luyện năng lực quan trọng này chohọc sinh Ví dụ như việc yêu cầu học sinh biết chứng minh các tính chất, định lý từsớm ( ngay từ lớp 7)

Nhưng nếu không chú ý đúng mức đến việc rèn luyện phương pháp quy nạp chohọc sinh lại là một thiếu sót, như ý kiến của GS Nguyễn Cảnh Toàn có nêu: “Toán họclà một môn học rất thuận lợi trong việc rèn luyện tư duy lôgic, nhưng cách dạy củachúng ta lại chỉ chú ý đến rèn luyện khả năng suy diễn, coi nhẹ khả năng quy nạp”

Ngành Giáo dục và Đào tạo của nước ta trong mấy năm gần đây đã và đang đẩymạnh đổi mới phương pháp dạy học Sách giáo khoa cũng đang được chỉnh sửa chophù hợp với xu hướng này Sách giáo khoa thí điểm phân ban hiện nay đã thay đổicách trình bày kiến thức nhằm tạo cơ sở thuận tiện để giáo viên rèn luyện phương phápquy nạp cho học sinh và thực hiện đổi mới phương pháp dạy và học Cụ thể như sau:

a) Cố gắng giảm bớt tính áp đặt cho học sinh, tổ chức các hoạt động, dẫn dắt đểhọc sinh phát hiện vấn đề, so sánh, nhận xét, khái quát hóa hay trừu tượng hóa.

Ví dụ 1: Trong chương trình toán 7, khi dạy định lý “Tổng các góc trong củamột tam giác bằng 1800”

- Sách giáo khoa cũ đưa ngay định lý và chứng minh.- Sách giáo khoa mới:

+ Vẽ hai tam giác bất kỳ, và yêu cầu học sinh đo các góc của mỗi tam giác đó,tính tổng số đo của ba góc mỗi tam giác, rồi nhận xét kết quả.

+ Dùng tấm bìa cắt hình tam giác bất kỳ, cắt rời hai góc rồi đặt nó kề với góccòn lại Giáo viên yêu cầu học sinh dự đoán kết quả.

+ Tạo một đường thẳng song song với đáy tam giác tại đỉnh và so sánh góc mớitạo thành với tổng các góc trong của tam giác đó

Ví dụ 2: Khi trình bày định nghĩa hàm số ( Đại số 10)

- Sách giáo khoa hiện hành (Chỉnh lý hợp nhất 2000) đưa trực tiếp định nghĩa - Sách giáo khoa mới (thí điểm): Đưa các ví dụ cụ thể từ hai đại lượng tỷ lệthuận: Quảng đường s đi được trong thời gian t, hay hai đại lượng tỷ lệ nghịch: thờigian hoàn thành một khối lượng công việc với năng suất thực hiện công việc đó, bảngnhiệt độ trong năm của một tỉnh, thành phố nào đó

Qua đó giáo viên hướng dẫn học sinh phân tích, tổng hợp để nhận biết: ở mỗitrường hợp đều có một đại lượng nhận giá trị trong một tập hợp số và một đại lượngnữa có giá trị tương ứng thuộc một tập hợp số thứ hai

Từ đó hướng dẫn học sinh nhận xét để rút ra dấu hiệu bản chất: Với mỗi phầntử x thuộc tập số A đều tương ứng với mỗi phần tử xác định y thuộc tập hợp số B.

Sau cùng giáo viên gợi ý để học sinh phát biểu định nghĩa có nội dung như trongsách giáo khoa

Ví dụ 3: Chẳng hạn như khi dạy bài vị trí tương đối của một mặt cầu với đườngthẳng và mặt phẳng (Hình học 11):

- Trước tiên ta phải làm cho học sinh thấy được vì sao cần phải xét các vị trítương đối này? Do ở bài trước ta đã biết được vị trí tương đối của một điểm đối vớimột mặt cầu, mà đối tượng nghiện cứu của hình học không gian là điểm, đường thẳngvà mặt phẳng Ta đã có vị trí tương đối của một điểm với một mặt cầu, giờ cần nghiêncứu vị trí tương đối của hai đối tượng còn lại (đường thẳng và mặt phẳng) với mặt cầu.

- Từ kết quả trong mặt phẳng về vị trí tương đối của đường thẳng và đường trònđã biết, bằng phương pháp tương tự ta xét vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầutrong không gian

- Giới thiệu cho học sinh thấy các mô hình trong thực tế, ví dụ như khi bổ mộtquả cam hay xem xét vị trí tương đối của trái bóng với mặt nước của một chậu nước,cũng có thể giáo viên cho học sinh quan sát hình vẽ các vị trí tương đối giữa mặt phẳngvà mặt cầu.

- Qua đó học sinh có thể rút ra kết luận cuối cùng về các vị trí tương đối của mộtmặt phẳng với một mặt cầu.

Việc đổi mới này nhằm giúp học sinh không thụ động khi nghe giảng, học sinhphải động não và hoạt động theo những mức độ khác nhau để có thể trả lời các câu hỏi,qua đó thực hiện các hoạt động tích cực xây dựng bài học.

b) Sách giáo khoa hiện nay cũng đã cố gắng giảm bớt yêu cầu về tính logic củavấn đề mà chú trọng đến tính thực tế.

Sách giáo khoa hiện nay đã cố gắng giảm nhẹ phần lý thuyết, chủ yếu là giảmnhẹ các chứng minh của các tính chất hoặc định lí Các tính chất và định lí này nhiềulúc rất hiển nhiên, hoàn toàn có thể thấy được bằng trực giác, nhưng thực ra chứngminh nó lại không đơn giản và không mang lại lợi ích gì nhiều Chẳng hạn tính chấtduy nhất của vectơ đối (hình học 10) Chúng ta chú trọng hơn đến tính thực tế, tính liênhệ thực tiễn sự cần thiết phải có chúng trong thực tế.

Ví dụ 1: Trong chương trình toán 8, khi dạy về phương trình:

- Sách giáo khoa cũ đưa ngay định nghĩa bao gồm cả tập xác định của phươngtrình.

- Sách giáo khoa mới thì ngược lại, không đưa tập xác định vào ngay mà đợiđến khi có vấn đề do không có tập xác định nên dẫn đến sai sót mới đưa vào, điều đóvừa có tác dụng nhấn mạnh cho học sinh, làm cho học sinh nhớ lâu, vừa có tác dụnggiải thích lí do, học sinh thấy được sự cần thiết của việc tìm tập xác định của phươngtrình.

Ví dụ 2: Dạy một tính chất của hàm số liên tục trên một đoạn [a,b] (Đại số vàgiải tích 11).

- Sách giáo khoa hiện hành (chỉnh lí hợp nhất 2000), tr.134-136 nêu ngay địnhlí:

f(x) liên tục trên [a, b] và f(a).f(b) < 0 suy ra  c ( , ) : ( ) 0a bf c 

- Sách giáo khoa thí điểm do Trần Văn Hạo tổng chủ biên, tr 190-191 sau khinêu định lí 2 (định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục) có nêu ý nghĩa hình họccủa định lý, nhắc lại một hình ảnh thưc tế để nêu lên hệ quả khi đường thẳng y = m lạilà y = 0 (trục hoành).

Tóm lại, sách giáo khoa thí điểm :

- Đã chú ý nhiều khi xây dựng kiến thức toán qua con đường quy nạp - thể hiệnmột yêu cầu cần phải đạt dược trong khi dạy học toán, đồng thời cũng là một gợi ý đểkhuyến khích chúng ta tìm nhiều cách dạy thích hợp khác nhằm thực hiện được yêucầu này.

- Cách xây dựng như vậy ở lớp 10 rõ nét hơn, nhiều hơn so với lớp 11 Đâycũng là một điều dễ hiểu, vì phải phù hợp với sự phát triển tâm sinh lí của học sinh.

5.2 Sơ lược tình hình rèn luyện năng lực quy nạp cho học sinh ở trường phổthông

a) Qua trao đổi, dự giờ chúng tôi nhận thấy một trong những yếu điểm của hoạtđộng dạy và học của chúng ta là phương pháp dạy – học, phần lớn là kiểu thầy giảngtrò ghi, thầy đọc trò chép, vai trò của học sinh có phần thụ động Phương pháp đó làmcho học sinh có thói quen học vẹt, thiếu suy nghĩ sáng tạo, thói quen học lệch, học tủ,học để đi thi mà thôi.

Trước đây khi sử dụng sách giáo khoa cũ, giáo viên cũng đã cố gắng tìm tòi làmcho toán học gần gũi với thực tế, giảm bớt yêu cầu chặt chẽ, cứng nhắc hơn cho họcsinh song cũng chưa nhiều và chưa đầy đủ, phương pháp quy nạp vẫn chưa được sửdụng hiệu quả và khai thác triệt để.

Tuy nhiên, trong những năm gần đây, khi chúng ra đẩy mạnh phương pháp dạyvà học, chú trọng đến tính tích cực, tự giác, sáng tạo, tính linh hoạt trong tư duy củahọc sinh, đặc biệt là có sự tiếp cận, ứng dụng rộng rãi khoa học kĩ thuật và công nghệthông tin vào dạy học, phương pháp quy nạp đã được sử dụng nhiều hơn, rộng rãi hơn.

Ví dụ như nhờ ứng dụng của các phần mềm toán học (Maple, Geometer’s Sketchpad,Geospack, ), giáo viên có thể biểu diễn trực quan cho học sinh thấy được các hình ảnh

không gian 2 chiều, 3 chiều, các hình ảnh động, qua đó học sinh dễ dàng phát hiện,dự đoán các kiến thức “mới” phù hợp với trình độ theo yêu cầu của nội dung chươngtrình giảng dạy Đặc biệt là sách giáo khoa thí điểm khi đưa vào thực hiện đại trà sẽ làmột chổ dựa tin cậy cho giáo viên tiến hành rèn luyện và phát triển phương pháp quynạp cho học sinh

b) Kết quả cuộc thăm dò ý kiến về việc rèn luyện năng lực quy nạp cho học sinhtrong dạy học toán của giáo viên tại 3 trường: trung học phổ thông Nguyễn Đình Chiểu- Phong Điền - Huế, trung học phổ thông Hải Lăng - Quảng Trị và trung học phổ thôngĐào Duy Từ - Đồng Hới - Quảng Bình cũng đã thu thập được nhiều số liệu đáng lưuý:

*) Tất cả giáo viên được phỏng vấn đều nhất trí cho rằng: việc rèn luyện nănglực suy luận quy nạp cho học sinh là cần thiết, thậm chí rất cần thiết, không thể xemnhẹ Điều này rất có ý nghĩa, vì đó là một tiền đề quan trọng cho việc rèn luyện nănglực này khi học theo sách giáo khoa thí điểm.

*) Nhưng các giáo viên cũng đã thấy được những khó khăn sẽ gặp phải khi tiếnhành rèn luyện và phát triển năng lực quy nạp cho học sinh như sau:

+ Học sinh cần phải thay đổi cách học cũ lâu nay.

Tuy nhiên, khá nhiều giáo viên đều nhất trí là phải nâng cao năng lực chuyênmôn, phải phấn đấu thi đua đổi mới phương pháp dạy học Đồng thời họ cũng mongcấp trên sẽ điều chỉnh sao cho phù hợp giữa số lượng kiến thức, yêu cầu đạt được vàthời gian thực hiện (kể cả thời gian chữa bài tập cho học sinh).

*) Đại đa số giáo viên đều nhận thấy tác dụng to lớn nếu rèn luyện được cho họcsinh năng lực quy nạp, đặc biệt là: học sinh hiểu bài dễ dàng hơn, hiểu sâu và nhớ lâunhững điều do tự mình thu nhận, tự mình chủ động tìm tòi, phát hiện ra.

*) Hầu hết giáo viên cũng cho rằng khi sử dụng phương pháp quy nạp trong giờhọc nên tập trung vào những kiến thức trừu tượng, khó hình dung, những tiên đề định líkhông chứng minh.

*) Rất nhiều giáo viên cũng cho rằng cần lưu ý rèn luyện cho học sinh các thaotác tư duy, đặc biệt là tập cho họ khái quát, dự đoán và nêu giả thuyết.

Chương 2

Một số biện pháp thực hiện

Phương pháp quy nạp được tiến hành theo con đường từ thực tiễn , từ các ví dụminh họa, các kiến thức cũ, các vấn đề đặt ra, các trường hợp đặc biệt, cùng với hệthống câu hỏi, sự hướng dẫn của giáo viên, học sinh nhận xét để rút ra các khái niệm,các định lí, các kiến thức mới.

Để rèn luyện năng lực quy nạp, khả năng sử dụng phương pháp suy luận cho

học sinh, ta cần thực hiện một số biện pháp sau đây:

1 Làm cho học sinh biết và thực hiện được các thao tác tư duy thường gặp1.1 Phân tích và tổng hợp

1.1.2 Tác dụng của việc thực hiện các thao tác trên trong dạy học toán

- Giúp học sinh hiểu sâu và đầy đủ những thuộc tính, những trường hợp riêng lẽnằm trong một khái niệm, một định lí,

- Từ những thuộc tính riêng lẽ đó học sinh tổng hợp lại để nhận biết chính xác,đầy đủ một khái niệm, một định lí,

- Đây là hai thao tác cơ bản luôn luôn được sử dụng để tiến hành các thao táckhác.

1.1.3 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Khi dạy khái niệm “ hàm số f(x) liên tục tại điểm x0” Giáo viên có thểtiến hành như sau:

- Kiểm tra bài cũ bằng cách yêu cầu học sinh làm các bài tập sau:

Tính lim1  

Học sinh tính toán và đưa ra kết quả cụ thể dưới sự hướng dẫn của giáo viên.- Hàm số có tính chất như ở 1) được gọi là hàm số liên tục, từ đó học sinh tổng

( )lim

xxf xf x

- Ta tiến hành phân tích định nghĩa: xlimx0f x( )

 tồn tại khi nào? (xlimx0f x( )

 tồn tạikhi và chỉ khi tồn tại xlimx0f x( ), xlimx0 f x( ) và xlimx0f x( ) xlimx0 f x( )



+ a = b =f x 0

Tổng hợp lại ta có: một hàm số f(x) muốn liên tục tại điểm x0 thì phải thỏa mãncả 4 điều kiện trên Như vậy hàm số ở 2) cũng là một hàm số liên tục nhưng hàm số ở3) không phải là hàm số liên tục.

Từ đó ta có thể yêu cầu học sinh rút ra hai dấu hiệu nhận biết một hàm số liêntục tại điểm x0 Giáo viên có thể sử dụng luôn hai bài tập 1) và 2) làm hai ví dụ minhhọa.

Ví dụ 2: Khi dạy định lí, phải tập cho học sinh biết phân tích giả thiết và kếtluận, phân tích để thấy các bước, các ý trong khi chứng minh, để thấy và phân biệtđược sự giống và khác nhau giữa các định lí gần gủi nhau Chẳng hạn định lí về haimặt phẳng vuông góc với mặt phẳng thứ ba.

Phân tích giả thiết kết luận:

giả thiết:

         

- Tìm mối liên hệ giữa các yếu tố của giả thiết vừa phân tích được với yêu cầucủa kết luận Phân tích thành các trường hợp sau:

*)a  hoặc b  suy ra định lí đã được chứng minh *)a  và b   a// b

và a   a//     với       .

Khi dạy học sinh giải bài tập toán, cần phải hướng dẫn học sinh:

- Nhìn bao quát một cách tổng hợp, xem bài toán đã cho thuộc loại nào, phântích cái đã cho và cái phải tìm

- Thực hiện phân tích và tổng hợp xen kẻ nhau Sau khi phân tích được một số ýthì tổng hợp lai để xem ta có thu được điều gì bổ ích không, còn thiếu yếu tố nào nữa?

- Tách bài toán đã cho (thường là khó hơn) thành nhiều bài toán thành phần, bàitoán đặc biệt đơn giản hơn và dể hơn, cuối cùng tổng hợp lại để có kết quả.

Ví dụ 3: Chứng minh bất đẳng thức sau (Đề thi tuyển sinh ĐH 1987).“Chứng minh a3b3 a4b4 (2) cho biết a b 2 (1)”.

- Biến đổi kết luận: Nhận thây trong hai vế của kết luận đều có chứa cả a lẫn bnên đưa về một vế để đặt thành thừa số chung.

  

 

   

hay

1 01 0

  

 

   

Hai khả năng này là tương tự, ta chỉ cần xét

một là đủ.

1 01 0

  

 

   

  

   

Từ điều kiện b 1 ta phân tích được thành các

 

 

a-1 > 1- b nên 1 11



Cách chứng minh trên đây tuy hơi dài dòng hơn đáp án đã có nhưng rõ ràng là tađã rèn luyện được cho học sinh các thao tác trên một cách có hiệu quả.

1.2 So sánh

1.2.1 Mô tả

So sánh là xác định sự giống nhau và khác nhau giữa các sự vật, hiện tượng.Muốn vậy ta phải phân tích các dấu hiệu thuộc tính của chúng, đối chiếu chúng vớinhau rồi tổng hợp lại để xem chỗ giống và khác nhau.

chỉ là một điểm biểu diễn trên đường tròn lượnggiác.

 So sánh các sự vật, hiện tượng theo nhiều khía cạnh khác nhau Có khichúng khác nhau ở khía cạnh này nhưng lại giống nhau ở khía cạnh khác.

Ví dụ 2: + Hai hàm số y a x và ylogax là khác nhau, nhưng khi 0 < a < 1thì chúng cùng nghịch biến còn khi a > 1 thì chúng cùng đồng biến.

+ Hai tổng sau đây có dạng khác nhau nhưng lại có cùng một phương

Với  yf x x  0 f x 0 + tồn tại xlimx0 f x( )

Sử dụng các thao tác tư duy trước như phân tích, tổng hợp, so sánh, xét các đốitượng cụ thể hay khái quát hóa các sự vật hiện tượng để rút ra các nhận xét, các mệnhđề,

Ví dụ 1: Định lí lớn Fermat đã nêu ở trang 7, Việc thử với n = 3 của Euler và n= 4 của Fermat là các thử nghiệm để củng cố niềm tin: “Định lí” Fermat đúng là mộtđịnh lí, được Andrew Wiles khẳng định là đúng vào năm 1994.

Ví dụ 2: Từ bài toán rút gọn và tính giá trị của biểu thức: 1 1  1 1

a bA

ab a b

 

   , ta quan sát, thử đánh giá ab Dể thấy:

nên ta có được ngay kết quả A = 1

2 Tập cho học sinh nêu dự đoán

2.3.1 Tập dự đoán qua khái quát hóa, trừu tượng hóa

Khái quát hóa là dùng trí óc tách ra các cái chung trong các đối tượng, hiệntượng, sự kiện, là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho đến việcnghiên cứu một tập hợp lớn hơn, bao gồm cả tập hợp ban đầu.

Muốn khái quát hóa phải so sánh nhiều đối tượng với nhau để rút ra cái chung,nhưng cũng có khi chỉ từ một đối tượng ta cúng có thể khái quát một tính chất, mộtphương pháp.

Đặc biệt hóa là xét một trường hợp cụ thể nằm trong cái chung, là chuyển từviệc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho sang việc nghiên cứu một tập hợp nhỏhơn chứa trong tập hợp đã cho.

Chúng có tác dụng giúp chúng ta có cái nhìn bao quát, thấy được cái chungtrong nhiều cái riêng lẽ, rút ra cái chung để vận dụng rộng hơn Đây là một con đườngphát minh, sáng tạo và kiểm chứng giả thuyết Chú ý rằng các giả thuyết rút ra được từkhái quát hóa và đặc biệt hóa có thể đúng và cũng có thể sai Vì vậy phải chứng minh.

Ví dụ 1: Trong sách giáo khoa thường nêu ngay các bài tập, bài toán ở dạng cósẵn, học sinh chỉ việc bắt tay vào giải mà thôi Nhưng bằng quy nạp ta có thể hướngdẫn, tập cho học sinh tạo ra các hệ thức, các bài toán để tự mình giải_điều này cũng cótác dụng giúp học sinh định hướng được lời giải của bài toán một cách dễ dàng hơn.Chẳng hạn:

 Từ bài toán cụ thể của Gauss: 1+2+3+ +100 = (100+1).50 ta có thể yêu

cầu học sinh đặt bài toán tổng quát lên cho n số tự nhiên liên tiếp đầu tiên với cách giải

hoàn toàn tương tự như sau: “Tính tổng: 1+2+3+ +n” hoặc dưới hình thức khác:

“Chứng minh rằng: 1 2 3 ( 1)2

- Từ đây ta có thể nêu lên giả thuyết: “ 1

Sau đó nếu với phép thử, cho dù kết luận dự đoán này có nhận được kết quả

đúng với n bằng bao nhiêu thì vẫn không thể coi là đã được chứng minh Nhưng mệnh

đề này là một mệnh đề đúng và sẽ được chứng minh bằng quy nạp toán học Đây cũnglà một ví dụ cho phép ta khẳng định, giải thích vì sao trong phép quy nạp toán học cần

phải chứng tỏ mệnh đề đúng với n = 0 hay n = p.

Như vậy trong các dự đoán, kết luận rút ra chỉ là giả thuyết khi nào nó chưađược chứng minh.

Ví dụ 2: Trong hình học chúng ta cũng có thể thực hiện được điều này Chẳnghạn ở phổ thông cơ sở, ta có bài toán tìm số giao điểm của các trường hợp:

- hai đường thẳng cắt nhau, n = 2: có 1 giao điểm

- ba đường thẳng đôi một cắt nhau mà không cùng đi qua một điểm, n = 3: có 3giao điểm.

- bốn đường thẳng đôi một cắt nhau mà không có ba đường thẳng nào đồng quy,n=4 : có 6 giao điểm.

- năm đường thẳng đôi một cắt nhau mà không có ba đường thẳng nào đồng

Từ đó tổng quát lên cho bài toán n đường thẳng đôi một cắt nhau, không có bađường thẳng nào đồng quy, hãy tìm xem có bao nhiêu giao điểm?

Ví dụ 3: Từ bài toán tổng quát ta đưa về bài toán cụ thể rồi từ đó hoàn thành lờigiải cho bài toán ban đầu Chẳng hạn:

- Có n đường thẳng đôi một cắt nhau nhưng không có bộ ba nào đồng quy Hỏin đường thẳng đó chia mặt phẳng ra làm bao nhiêu miền?

- Đặc biệt hóa:

n = 1: A(1) = 2.

n = 2: A(2) = 4 = 2+2 = 2+1+1 =A(1)+1+1.n = 3: A(3) = 7 = A(2)+2+1.

- Khái quát hóa:

A(k+1) = A(k)+k+1.

- Chứng minh: Giả sử có k đường thẳng đôi một cắt nhau nhưng không có bộ ba

nào đồng quy, k đường thẳng đó sẽ chia mặt phẳng thành A(k) miền Đường thẳng thứ

k+1 cắt k dường thẳng kia tại k điểm nên tạo ra k+1 nửa (đoạn thẳng), mỗi nửa đoạn

tạo ra một miền mới Do đó A(k+1) = A(k)+k+1+1.

Ta có thể đi đến kết quả cuối cùng: n điểm khác nhau trên một đường thẳng chiađường thẳng đó ra làm n+1 phần, n đường thẳng, ở vị trí tổng quát, chia mặt phẳng ra

 1

n n

n   phần.

Ví dụ 4: Từ hai ví dụ cụ thể thuộc hai lĩnh vực khác nhau, giáo viên hướng dẫnhọc sinh khái quát định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm.

1) Bài toán tìm vận tốc tức thời: Một chất điểm chuyển động trên trục S’OS.

Quãng đường s của chuyển động là một hàm số theo thời gian t: s = f(t) Hãy tìm một

đại lượng đặc trưng cho mức độ nhanh chậm của chuyển động tại thời điểm t0?Giải:

Trong khoảng thời gian từ t0 đến t chất điểm đi được quãng đường:

Đó chính là vận tốc của chuyển động tại mọi thời điểm.

* Nếu chất điểm chuyển động không đều thì tỉ số trên là vận tốc trung bình của

chất điểm chuyển động trong khoảng thời gian t- t0.

Khi t càng gần t0 tức là | t-t0| càng nhỏ thì vận tốc trung bình càng thể hiện chínhxác hơn mức độ nhanh chậm của chất điểm tại thời điểm t0 Từ nhận xét trên, người tađưa ra định nghĩa sau đây:

Giới hạn (nếu có) của

( ) ( )lim

t t

f tf tt t

 được gọi là vận tốc tức thời của chất điểmchuyển động tại thời điểm t0 Đó là đại lượng cần tìm.

2) Bài toán tốc độ phản ứng hóa học tức thời: Trong một phản ứng hóa học có

một chất xúc tác tham gia Nồng độ của chất xúc tác là một hàm số của thời gian t:C = f(t) Tìm một đại lượng đặc trưng cho tốc độ phản ứng hóa học tại thời điểm t0.

 cho biết sự biến thiên trung bình của nồng độ chất xúc

tác trong khoảng thời gian t-t0

Người ta gọi tỉ số đó là tốc độ trung bình của phản ứng hóa học đang xét Nếu

| t-t0| càng nhỏ thì tỉ số trên biểu thị càng chính xác tốc độ phản ứng hóa học tại thờiđiểm t0 Từ đó người ta định nghĩa:

Giới hạn ( nếu có) của

( ) ( )lim

t t

f tf tt t

 được gọi là tốc độ tức thời của phản ứng

hóa học tại thời điểm t0 Đại lượng đó đặc trưng cho tốc độ phản ứng hóa học tại thời

của hai số gia y và x(giới hạn của tỉ số này nếu có, gọi là đạo hàm của hàm số

y=f(x) tại một điểm x0 nào đó) để sau này học sinh biết rằng có một hàm số có thểkhông có đạo hàm tại điểm x0, mặc dù tại đó hàm số vẫn liên tục.

Ví dụ 5: Trong hình học không gian 11, khi dạy bài mặt cầu ngoại tiếp hìnhchóp và lăng trụ, ngoài định nghĩa và hai ví dụ đã giải, sách giáo khoa không hề nêulên phương pháp chung để giải bài toán xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếphình chóp hay lăng trụ Nhưng nếu bằng quy nạp, nhờ khái quát hóa và đặc biệt hóa

(Từ hai bài toán cụ thể nêu trên) giáo viên có thể giúp học sinh nêu ra phương phápgiải bài toán xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp một cách thuận lợihơn.

1) Bài toán 1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, mặt bênhợp với đáy một góc  Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Gọi N là trung điểm của BC

Tam giác SAO vuông tại O nên SA2 SO2OA2 với 2 3

Kết luận: Mặt cầu cần tìm là: S (I;

2) Bài toán 2: Cho tứ diện SABC có SA, SB, SC vuông góc với nhau đôi một vàcó độ dài lần lượt là a, b, c Hãy xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.

Giải: * Tìm tâm:

Vì tam giác SAB vuông tại S nên trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác SABlà đường thẳng Mx(SAB) tại trung điểm M của cạnh huyền AB.

Khi đó Mx SC// (cùng vuông góc với (SAB)) Gọi N là trung điểm SC Trong(SC, Mx) dựng đường trung trực NO của SC cắt Mx tại O Ta có:

+ Nếu tồn tại một cạnh bên đồng phẳng với trục đường tròn ngoại tiếp d thì tadựng đường trung trực của cạnh bên đó và xác định giao điểm của nó với d - giao điểmđó chính là tâm của mặt cầu cần tìm.

+ Nếu không tồn tại cạnh bên nào đồng phẳng với trục đường tròn ngoại tiếp dthì ta buộc phải dựng mặt phẳng trung trực của  của một cạnh bên nào đó Khi đógiao điểm của   với d chính là điểm cần tìm.

 Tính bán kính:

- Tính độ dài từ tâm đến một đỉnh bất kì của hình chóp (hoặc hình lăng trụ).Ngoài ra, nếu dựa vào hình học phẳng, đối với bài toán chứng minh các điểm cùng nằmtrên một đường tròn, ta còn có thể tương tự lên để có thêm cách xác định tâm khác là:

+ Các điểm còn lại nhìn hai điểm dưới một góc vuông.

+ Tồn tại một mặt cầu đi qua (n-1) điểm và khoảng cách từ điểm còn lại đến tâm

mặt cầu đó đúng bằng bán kính của mặt cầu.

Ngoài ra, qua bước xác định trục của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy của hìnhchóp, ta cũng có thể hướng dẫn, gợi ý học sinh rút ra nhận xét: Nếu đa giác đáy củahình chóp không có trục đường tròn ngoại tiếp thì hình chóp đó sẽ không có mặt cầungoại tiếp.

Ta cũng có thể khái quát hóa chỉ từ một sự kiện, hiện tượng.

Ví dụ 6: Từ bài toán: Cho bất phương trình -2x+3>0

a) Giải bất phương trình và biểu diễn hình học tập nghiệm của nó.

b) Chỉ ra các khoảng trong đó f(x)= -2x+3 có giá trị:

- Trái dấu với a.- Cùng dấu với a.

Ta có thể khái quát lên thành định lí dấu nhị thức bậc nhất.

Ví dụ 7: Trong bài tập phép dời hình (hình học 10), ở mục khái niệm về hai hìnhbằng nhau Từ trường hợp hai tam giác bằng nhau, ta khái quát lên cho hai hình (H) bấtkì bằng nhau.

2.3.2 Tập dự đoán qua tương tự

Tương tự là một kiểu giống nhau nào đó Những đối tượng được xem là tươngtự với nhau khi chúng phù hợp với nhau trong một quan hệ nào đó Có thể nói rằng:Hai hệ là tương tự nếu chúng phù hợp với nhau trong một mối quan hệ xác định rõ rànggiữa những bộ phận tương ứng.

Bằng tương tự ta có thể tập luyện cho học sinh quan sát, so sánh, nhìn các sự vậthiện tượng dưới nhiều góc độ, nhiều quan điểm khác nhau.

Đây là con đường dẫn tới sáng tạo, phát minh Tuy nhiên cần lưu ý rằng, kết quảcủa tương tự chưa có gì chắc chắn, chỉ là những dự đoán, giả thuyết Vì vậy cần phảichứng minh.

Ví dụ 1: Tam giác trong mặt phẳng tương tự với tứ diện trong không gian ở chổchúng được giới hạn bởi số tối thiểu những yếu tố cơ bản (đường trong mặt phẳng vàmặt phẳng trong không gian) Từ đó ta xây dựng:

+ Trung tuyến của một tamgiácđược định nghĩa là một đoạn thẳngnối từ một đỉnh bất kỳ của tam giác vớitrung điểm của cạnh đối diện.

+ Trung tuyến của một tứ diện haycòn gọi là trọng tuyến được định nghĩa làmột đoạn thẳng nối từ một đỉnh bất kì củatứ diện tới trọng tâm của mặt đối diện vớiđỉnh đó.

+ Các đường trung tuyến của mộttam giác đồng quy tại một điểm gọi làtrọng tâm của tam giác

+ Các đường trọng tuyến đồng quytại một điểm gọi là trọng tâm của tứ diện + Trọng tâm của tam giác chia

các trung tuyến của nó theo tỷ lệ 2:1

+ Trọng tâm của tứ diện chia cáctrọng tuyến của nó theo tỷ lệ nào? Cócùng tỷ lệ 2:1 hay không? (Kết quả làkhông Nó chia các trọng tuyến theo tỷ lệ3:1).

+ Từ các công thức độ dài trungtuyến ta rút ra được công thức:

Pythagore: Bình phương cạnh huyềnbằng tổng các bình phương cạnh gócvuông

+ Trong tứ diện vuông ta cũng cómột “định lí” tương tự như sau: “Bìnhphương diện tích “mặt huyền” bằng tổngcác bình phương diện tích các mặt vuông(mặt huyền là mặt đối diện với góc tamdiện vuông, mặt vuông là các tam giác cònlại)

+ Cho tam giác ABC, gọi r là bánkính đường tròn ngoại tiếp tam giác, ha,hb, hc lần lượt là các đường cao tươngứng với các cạnh a, b, c Chứng minh:

2222

h a b c

+ Từ định lí Thales trong mặtphẳng: “Cho ba đường thẳng a, b, c đôimột song song, đường thẳng d cắt a, b, c,lần lượt tại A, B, C; đường thẳng d’ cắta, b, c, lần lượt tại A’, B’, C’ Chứng

minh rằng: ' '' '

BC B C ”

Ví dụ 2: Sử dụng tương tự từ công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong

A x y B x yAB x  x  y  y ta có công thức tính khoảngcách giữa hai điểm trong không gian ba chiều:

2.3.3 Tập dự đoán qua xét một mệnh đề đảo

Ví dụ 1: Khi dạy về định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai, sách giáo khoachỉnh lí hợp nhất 2000 đưa trực tiếp định lí Nhưng sách giáo khoa thí điểm lại khôngđưa định lí một cách trực tiếp mà dựa vào định lí dấu tam thức bậc hai nhờ nhận xét

trường hợp af(x) < 0 khi  0 và ( ) 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Giáo viênkhi dạy định lí này có thể thiết kế bài giảng như sau:

- Ra bài toán: Chứng tỏ phương trình sau luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi

m.