2. Tập cho học sinh nêu dự đoán
2.3.2. tập dự đoán qua tương tự
Tương tự là một kiểu giống nhau nào đó. Những đối tượng được xem là tương tự với nhau khi chúng phù hợp với nhau trong một quan hệ nào đó. Có thể nói rằng: Hai hệ là tương tự nếu chúng phù hợp với nhau trong một mối quan hệ xác định rõ ràng giữa những bộ phận tương ứng.
Bằng tương tự ta có thể tập luyện cho học sinh quan sát, so sánh, nhìn các sự vật hiện tượng dưới nhiều góc độ, nhiều quan điểm khác nhau.
Đây là con đường dẫn tới sáng tạo, phát minh. Tuy nhiên cần lưu ý rằng, kết quả của tương tự chưa có gì chắc chắn, chỉ là những dự đoán, giả thuyết. Vì vậy cần phải chứng minh.
Ví dụ 1: Tam giác trong mặt phẳng tương tự với tứ diện trong không gian ở chổ chúng được giới hạn bởi số tối thiểu những yếu tố cơ bản (đường trong mặt phẳng và mặt phẳng trong không gian). Từ đó ta xây dựng:
+ Trung tuyến của một tam giácđược định nghĩa là một đoạn thẳng nối từ một đỉnh bất kỳ của tam giác với trung điểm của cạnh đối diện.
+ Trung tuyến của một tứ diện hay còn gọi là trọng tuyến được định nghĩa là một đoạn thẳng nối từ một đỉnh bất kì của tứ diện tới trọng tâm của mặt đối diện với đỉnh đó.
+ Các đường trung tuyến của một tam giác đồng quy tại một điểm gọi là trọng tâm của tam giác
+ Các đường trọng tuyến đồng quy tại một điểm gọi là trọng tâm của tứ diện. + Trọng tâm của tam giác chia các
trung tuyến của nó theo tỷ lệ 2:1
+ Trọng tâm của tứ diện chia các trọng tuyến của nó theo tỷ lệ nào? Có cùng tỷ lệ 2:1 hay không? (Kết quả là không. Nó chia các trọng tuyến theo tỷ lệ 3:1).
+ Từ các công thức độ dài trung tuyến ta rút ra được công thức:
2 2 2 3( 2 2 2)
4
a b c
m +m +m = a + +b c
+ Liệu có kết quả tương tự như thế trong không gian hay không? Và nếu có thì như thế nào? 6 2 2 2 2 2 1 ? a b c d i i m m m m a = + + + = ∑ ,
vớiai, i = 1,...,6 là độ dài các cạnh của tứ diện.
Bằng cách giải và sử dụng định lí trung tuyến trong tam giác, sử dụng phương pháp tương tự cho bài toán trong không gian, đưa về xét các tam giác trong mặt phẳng có đủ yếu tố xác định ta có công thức: 6 2 2 2 2 2 1 4 9 a b c d i i m m m m a = + + + = ∑
+ Tam giác vuông trong mặt phẳng
+ Tứ diện vuông (Tứ diện có một góc tam diện là vuông) trong không gian + Trong tam giác vuông có định lí
Pythagore: Bình phương cạnh huyền bằng tổng các bình phương cạnh góc vuông.
+ Trong tứ diện vuông ta cũng có một “định lí” tương tự như sau: “Bình phương diện tích “mặt huyền” bằng tổng các bình phương diện tích các mặt vuông (mặt huyền là mặt đối diện với góc tam diện vuông, mặt vuông là các tam giác còn lại)
+ Cho tam giác ABC, gọi r là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác, ha, hb, hc lần lượt là các đường cao tương ứng với các cạnh a, b, c. Chứng minh:
1 1 1 1
a b c
r = h +h +h
+ Cho tứ diện ABCD, gọi r là bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện, ha, hb, hc hd, lần lượt là các đường cao tương ứng hạ từ các đỉnh A, B, C, D của tứ diện. Chứng
minh: 1 1 1 1 1
a b c d
r = h +h +h +h
+ Trong tam giác vuông ABC có cạnh là a, b, c và đường cao h ta luôn có:
2 2 2
1 1 1
h = a +b
+ Trong tứ diện vuông OABC có cạnh OA= a, OB= b, OC= c và đường cao h hạo từ O xuống (ABC) ta có:
2 2 2 2
1 1 1 1
h = a +b +c
+ Từ định lí Thales trong mặt phẳng: “Cho ba đường thẳng a, b, c đôi
+ Định lý Thales trong không gian được phát biểu một cách tương tự như sau:
một song song, đường thẳng d cắt a, b, c, lần lượt tại A, B, C; đường thẳng d’ cắt a, b, c, lần lượt tại A’, B’, C’. Chứng minh
rằng: ' '
' '
AB A B
BC = B C ”
“Cho ba mặt phẳng (P), (Q), (R) đôi một song song, đường thẳng a cắt (P), (Q), (R) lần lượt tại A, B, C; đường thẳng a’ cắt (P), (Q), (R) lần lượt tại A’, B’, C’. Chứng
minh rằng: ' '
' '
AB A B
BC = B C ” ...
Ví dụ 2: Sử dụng tương tự từ công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong mặt
phẳng: 2 ( )2
1 1 2 2 1 2 1 2
( , ), ( , ) : ( )
A x y B x y AB= x −x + y −y ta có công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong không gian ba chiều:
2 ( ) (2 )2
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2
( , , ), ( , , ) : ( )
A x y z B x y z AB= x −x + y −y + z −z
và không gian n_chiều
( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 ( , ,..., ), ( , ,..., ) : ( ) ... n n n n n i i i A x x x B y y y AB x y x y x y x y = = − + − + + − = − ∑