luận văn tốt nghiệp ĐHSP: Một số tính chất hàm lồi và ứng dụng

luận văn tốt nghiệp ĐHSP: Một số tính chất hàm lồi và ứng dụng

LỜI CẢM ƠN

Khóa luận này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình, chuđáo của TS Trương Văn Thương Tôi xin phép được gửi đến Thầy sự kínhtrọng và lòng biết ơn sâu sắc về sự tận tâm của Thầy đối với bản thân tôikhông những trong thời gian làm khóa luận mà còn trong suốt quá trìnhhọc tập.

Tôi cũng xin phép được gửi lời cám ơn chân thành đến quý Thầy côđã giảng dạy lớp Toán B trường ĐHSP Huế cũng như toàn thể quý thầycô Khoa Toán trường ĐHSP Huế, những người đã cho tôi kiến thức, quantâm động viên, nhiệt tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập cũngnhư trong thời gian thực hiện đề tài.

Cuối cùng, tôi xin phép được gửi lời cảm ơn đến những người thân,bạn bè đã quan tâm động viên giúp đỡ tôi trong suốt quãng đường họctập vừa qua.

Huế, tháng 5 năm 2011Trần Ngọc Đức Toàn

2.2 Các bất đẳng thức liên quan đến hàm lồi 31

3 MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA HÀM LỒI VÀ HÀM LOGA-LỒI 393.1 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 39

MỞ ĐẦU

Lý thuyết về các tập lồi và hàm lồi có một vị trí quan trọng trong toán học,nó liên quan đến hầu hết các ngành của toán học như giải tích hàm, hình học, toánkinh tế, giải tích lồi, tối ưu phi tuyến Một cách tổng quát, có hai tính chất cơ bảncủa các hàm lồi làm cho chúng được sử dụng rộng rãi trong toán học lý thuyết vàtoán ứng dụng, đó là: tính chất đạt giá trị lớn nhất trên biên và bất kỳ cực tiểu địaphương nào cũng là cực tiểu trên tập xác định Hơn nữa, một hàm lồi thực sự thìđiểm cực tiểu nếu có là duy nhất.

Có sự tác động qua lại giữa giải tích và hình học trong việc nghiên cứu các hàmlồi Hiện nay, người ta còn nghiên cứu một số lớp hàm liên quan như hàm loga-lồi,hàm lồi nhân tính, hàm siêu điều hòa và các hàm lồi theo nghĩa nhóm con của nhómtuyến tính.

Có thể nói, nghiên cứu về tập lồi và các hàm lồi là một đề tài thú vị, nhậnđược sự quan tâm của nhiều nhà toán học Các vấn đề liên quan đến hàm lồi khôngngừng nảy sinh và có nhiều kết quả đẹp, nhiều kết quả của hàm lồi được ứng dụngtrong toán học và trong thực tế Khóa luận hướng đến việc trình bày một số vấn đềlý thuyết liên quan đến hàm lồi, khảo sát các ứng dụng của hàm lồi trong việc tìmgiá trị lớn nhất và nhỏ nhất, tìm hiểu một số kết quả mới về một số hàm lồi đặc biệtnhư hàm gamma, hàm zeta Riemann và tích phân elliptic, từ đó làm rõ thêm về đềtài thú vị này.

Nội dung của khóa luận chia làm ba chương:

Chương một đưa ra một số thuật ngữ và ký hiệu sẽ được dùng trong suốt khóaluận, nhắc lại một số kiến thức mở đầu để độc giả có thể theo dõi dễ dàng hơn trongphần sau Định nghĩa và tính chất của tập lồi, định nghĩa của hàm lồi, hàm loga-lồivà ý nghĩa hình học của tính lồi cũng được giới thiệu.

Chương hai trình bày một số vấn đề lý thuyết liên quan đến hàm lồi, từ cácphép toán đối với các hàm lồi đến tính liên tục, khả vi cấp một và cấp hai, giá trịnhỏ nhất và lớn nhất của hàm lồi Phần cuối của chương được dành để nói về các bấtđẳng thức liên quan đến hàm lồi, đồng thời giới thiệu một số bất đẳng thức mới vềcác hàm lồi.

Chương ba khảo sát một số ứng dụng của hàm lồi như việc tìm giá trị nhỏ nhất

- lớn nhất, khảo sát lớp hàm loga-lồi Thông qua việc tìm hiểu các hàm loga-lồi đặcbiệt, ta cũng sẽ tìm hiểu và thiết lập một vài bất đẳng thức liên quan đến lớp hàmnày.

1.1 Kiến thức mở đầu.

Trong mục 1.1 này, tác giả chỉ xin đưa ra một số thuật ngữ, khái niệm, tính chấtsẽ được sử dụng trong suốt khóa luận Các khái niệm không gian tuyến tính, chuẩn,sự hội tụ, ánh xạ tuyến tính, ánh xạ song tuyến tính, số chiều, không gian Banach, sựđồng phôi, không gian topo, độ đo độc giả có thể tìm thấy ở trong [2] và [1] hoặctrong bất kỳ giáo trình giải tích hàm nào.

Trong khóa luận này, ta sẽ ký hiệu X, Y là không gian tuyến tính định chuẩn thực.Chuẩn của một phần tử x ∈ X sẽ được ký hiệu là kxk.

Ta cũng sẽ ký hiệu I ⊂ R là một khoảng của tập số thực, B(x0, ) là hình cầu mởtâm x0 bán kính , L(X, Y) là tập hợp tất cả các ánh xạ tuyến tính liên tục từ Xvào Y

Các tập số cũng được ký hiệu như thường lệ:

N: Tập hợp các số tự nhiên.

N∗ : Tập hợp các số nguyên dương.Z: Tập hợp các số nguyên.

Q: Tập hợp các số hữu tỉ.R: Tập hợp các số thực.

R+: Tập hợp các số thực không âm.R>: Tập hợp các số thực dương.C: Tập hợp các số phức.

Để người đọc theo dõi khóa luận một cách thuận tiện, tôi xin đưa ra một số kháiniệm, định lý và tính chất sau Bạn đọc có thể dễ dàng tìm thấy hoặc xem chứngminh một cách đầy đủ trong nhiều tài liệu giải tích hiện nay.

1.1.1 Sự đồng phôi giữa các không gian định chuẩn.

Định nghĩa 1.1.1 [2] Cho X và Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn Một ánhxạ A: X → Y được gọi là một phép đồng phôi tuyến tính từ X lên Y nếu A là songánh tuyến tính, A liên tục và toán tử ngược A−1 cũng liên tục.

Khi đó người ta nói hai không gian tuyến tính định chuẩn X và Y là đồng phôi tuyếntính với nhau.

Định nghĩa 1.1.2 [2] Cho (X,k.k1) và (X,k.k2) là hai không gian tuyến tính địnhchuẩn Ta gọi hai chuẩn này là tương đương nếu ánh xạ đồng nhất id: (X,k.k1) →

(X,k.k2)là phép đồng phôi tuyến tính.Ta có định lý:

Định lý 1.1.1 [2] Tất cả các không gian định chuẩn n-chiều đều đồng phôi tuyếntính với nhau Do đó, tất cả các không gian định chuẩn n-chiều đều đồng phôi tuyếntính với Rn.

Định nghĩa 1.1.4 [6] Cho U ⊂ X là một tập mở trong không gian tuyến tính địnhchuẩn X Một hàm f: U → R được gọi là Lipschitz địa phương nếu với mỗi x ∈ U,có một lân cận B(x, ) của x và một số Kx để bất đẳng thức

|f(y)− f(z)| ≤ Kxky − zk (1.1.1)đúng với mọi y, z ∈ B(x, ) Nếu bất đẳng thức (1.1.1) đúng với mọi phần tử của tậpV ⊆ U và K độc lập với x, ta nói f Lipschitz trên V

Nhận xét 1.1.2 Từ (1.1.1) ta suy ra f Lipschitz địa phương trên U thì hàm f liêntục trên U.

1.1.3 Ánh xạ khả vi.

Định nghĩa 1.1.5 [6] Cho X, Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn, U là tập mởtrong X và ánh xạ f: U → Y Khi đó f được gọi là khả vi tại x0 nếu có một ánh xạtuyến tính A: X → Y sao cho với h đủ gần điểm 0 ta có

f(x0+h) =f(x0) +Ah+khk (x0, h),trong đó (x0, h)→0 khi khk →0.

Ánh xạ tuyến tính A được gọi là đạo hàm của ánh xạ f tại điểm x0 và được ký hiệulà f0(x0).

Nếu ánh xạ f khả vi tại mọi x ∈ U thì ta nói hàm f khả vi trên U.Nhận xét 1.1.3 Từ Định nghĩa 1.1.5 ta rút ra các nhận xét sau:

1 f0(x0)là một ánh xạ tuyến tính.

2 Một cách tương đương, f khả vi tại x0 nếu tồn tại ánh xạ tuyến tính A sao cho

kf(x0+h)− f(x0)− Ahk

Định nghĩa 1.1.6 [6] Cho X, Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn, U là tập mởtrong X và ánh xạ f: U → Y Khi đó f được gọi là có đạo hàm tại x0 theo hướng hnếu tồn tại giới hạn

f(x0+th)− f(x0)

Đạo hàm của hàm f tại x0 theo hướng h được ký hiệu là Df(x0, h).

Nhận xét 1.1.4 Cho f : U → R là hàm khả vi trên một tập mở U của không giantuyến tính định chuẩn X Khi đó, với mọi x ∈ U ta luôn có Df(x, h) =f0(x)(h).

Thật vậy, cố định h ∈ X, h 6= 0 Do f khả vi tại x ∈ U nên ta cóf(x+th)− f(x) = f0(x)(th) +◦(||th||),trong đó ◦(||th||)→0 khi ||th|| →0.

Do đó

f(x+th)− f(x)

t =f0(x)(h) + ◦(||th||)

t .Chuyển qua giới hạn, cho t →0 ta được Df(x, h) =f0(x)(h).

Đặc biệt, khi X ≡ Rn và h trùng với vectơ đơn vị ei = (0, ,1 ,0) thìDf(x0, ei) được gọi là đạo hàm riêng thứ i của ánh xạ f và ta viết

(x0) =fi0(x0) =Df(x0, ei).Ta có định lý

Định lý 1.1.5 [6] Cho U là tập mở của không gian định chuẩn Rn Nếu ánh xạf: U −→ Rm

(x1, , xn)7−→(f1(x1, , xn), , fm(x1, , xn))

khả vi tại x ∈ U thì tất cả các đạo hàm riêng của hàm f đều tồn tại và

[f0(x)] =

(x) ∂f1∂xn

∂x1(x) ∂fm∂xn(x)

Định lý 1.1.6 [6] Cho U là một tập mở của không gian tuyến tính định chuẩn Rn.Ánh xạ f: U → Rm có các đạo hàm riêng theo hướng liên tục trên U Khi đó f0(x)

tồn tại và được xác định như trong Định lý 1.1.5.

Bây giờ, cho U là tập mở trong không gian tuyến tính định chuẩn thực X Nếuhàm f: U → R có đạo hàm trên U thì ta có ánh xạ đạo hàm f0.

Nếu ánh xạ đạo hàm f0 có đạo hàm tại x ∈ U thì ta cũng nói hàm f có đạo hàm cấphai tại x và ký hiệu là f00(x).

Với h ∈ X ta có f00(x)(h)là ánh xạ tuyến tính đi từ X → R Ta suy ra[f00(x)(h)](k)

là một phần tử của R (k ∈ X) Ta có [f00(x)(h)](k) tuyến tính theo cả h và k Vìvậy, ta xem f00(x) là một ánh xạ song tuyến tính từ X × X vào R và [f00(x)(h)](k)

sẽ được ký hiệu là f00(x)(h, k) (h, k ∈ X).

Định nghĩa 1.1.7 [6] Cho X là một không gian tuyến tính thực.

Một ánh xạ song tuyến tính B : X × X → R được gọi là đối xứng nếu B(h, k) =

Để thuận tiện trong chứng minh ở chương sau, trong phần này ta cũng sẽ giới thiệukhai triển Taylor với phần dư Lagrange thể hiện trong định lý dưới đây:

Định lý 1.1.8 [5] Giả sử f: [a;b] → R có đạo hàm liên tục tới cấp n trên [a;b] vàcó đạo hàm cấp n+ 1 trên (a;b) Khi đó tồn tại c ∈(a;b) sao cho

f(b) =n

Định nghĩa 1.1.8 Cho U là một tập con của không gian tuyến tính định chuẩn X.Hàm f: U → R được gọi là đạt cực đại (cực tiểu) địa phương tại x0 ∈ U nếu có mộthình cầu mở B(x0, )⊂ U để f(x)≤ f(x0)(f(x)≥ f(x0)) với mọi x ∈ B(x0, ).Nếu f(x) ≤ f(x0) (f(x) ≥ f(x0)) với mọi x ∈ U thì f được gọi là đạt cực đại (cựctiểu) trên U.

1.1.5 Bất đẳng thức H¨older - giới hạn dưới dấu tích phân.Định lý 1.1.9 [2] (Bất đẳng thức H¨older).

Cho E là một tập khác trống và (E, F, µ)là một không gian độ đo Giả sử f, g là cáchàm số thực đo được trên E Khi đó

E|f.g|dµ ≤Z

f dµλZ

.

Nếu λ ∈ {0,1} và Ef dµ > 0, Egdµ >0thì bất đẳng thức trên vẫn đúng Ta có hệquả:

Hệ quả 1.1.10 Cho E là một tập khác trống và (E, F, µ) là một không gian độ đo.Giả sử f, g là các hàm số thực dương đo được trên E, R

Ef dµ > 0,R

Egdµ > 0 Khiđó với λ ∈[0; 1] ta có

f dµλZ

Hệ quả trên vẫn đúng nếu f, g là các hàm số thực dương hầu khắp nơi trên E.Định lý 1.1.11 [1] (Levi)

Cho E là một tập khác trống và(E, F, µ) là một không gian độ đo Nếu dãy hàm (fn)

trong đó 0≤ fn là các hàm số thực đo được trên E đơn điệu tăng và dần về hàm fthì

Hệ quả 1.1.12 [1] Cho E là một tập khác trống và (E, F, µ) là một không gian độđo Nếu fn là các hàm số thực không âm đo được trên E với mọi n ∈ N∗ thì

Định nghĩa 1.1.9 [6] Một tập U của một không gian tuyến tính thực X được gọi làtập lồi nếu nó chứa mọi đoạn thẳng

[x, y] = {λx+ (1− λ)y|λ ∈[0,1]}nối bất kỳ hai điểm x, y ∈ U.

Đặc biệt, nếu X ≡ R thì tập lồi là một khoảng, một đoạn nay nửa khoảng.Nếu α1, , αn là các số thực không âm, Pn

αixi = 1 thì

được gọi là một tổ hợp lồi của x1, , xn.

Định lý 1.1.13 [6] Một tập U ⊂ X là tập lồi nếu và chỉ nếu mọi tổ hợp lồi của cácđiểm của U đều nằm trong U.

Định lý 1.1.14 [6] Nếu {Ui}, i ∈ J là một họ các tập lồi thì U = ∩i∈JUi là một tậplồi.

Định nghĩa 1.1.10 Cho U là một tập con của X Khi đó, bao lồi của U ký hiệu làco(U), là giao của tất cả các tập lồi chứa U.

Bao lồi của U là một tập lồi.

Định lý 1.1.15 [6] Cho U là một tập con của X Khi đó bao lồi của U là tập tấtcả các tổ hợp lồi của các phần tử của U.

Định nghĩa 1.1.11 [6] Một điểm x0 của tập lồi U được gọi là điểm cực biên nếu x0

không là điểm trong của bất cứ đoạn thẳng nào nằm trong U Tức là không tồn tạihai điểm x1, x2 ∈ U và λ ∈(0; 1) để x0 = λx1+ (1− λ)x2.

Ta có định lý:

Định lý 1.1.16 [6] Cho U ⊆ Rn là một tập lồi, compact Khi đó U là bao lồi củatất cả các điểm cực biên của nó.

1.2 Hàm lồi và hàm loga-lồi.Các hàm lồi được định nghĩa trên các tập lồi.

Định nghĩa 1.2.1 [9] Cho I là một khoảng chứa trong R và hàm f: I → R.1 f được gọi là hàm lồi nếu

f(λx+ (1− λ)y)≤ λf(x) + (1− λ)f(y) (1.2.1)với mọi x, y ∈ I và với mọi λ ∈[0; 1].

2 f được gọi là hàm lồi thực sự (chặt) nếu (1.2.1) là bất đẳng thức ngặt với cácđiểm x, y phân biệt và λ ∈(0; 1).

3 Nếu −f là hàm lồi (lồi thực sự) thì ta nói f là hàm lõm (lõm thực sự).4 Nếu f vừa là hàm lồi vừa là hàm lõm thì ta nói f là hàm affine.

Thực ra, tại λ= 0 và λ = 1 thì (1.2.1) luôn đúng nên để cho tiện, đôi khi ta chỉcần xét λ ∈(0; 1).

Trong trường hợp tổng quát, với U là một tập lồi trong không gian tuyến tính địnhchuẩn thực X Một hàm f: U → R được gọi là lồi nếu

f(λx+ (1− λ)y)≤ λf(x) + (1− λ)f(y)

với mọi x, y ∈ U và với mọi λ ∈[0; 1].

Các khái niệm hàm lồi thực sự, hàm lõm, lõm thực sự cũng được định nghĩa tươngtự như trong Định nghĩa 1.2.1.

Định nghĩa 1.2.2 Cho I là một khoảng của tập số thực và f: I →(0,∞) Khi đó1 f được gọi là hàm loga-lồi nếu lnf là hàm lồi Nói cách khác

f(λx+ (1− λ)y)≤ f(x)λf(y)1−λ ∀x, y ∈ I, λ ∈ [0,1].2 f được gọi là hàm loga-lõm nếu lnf là hàm lõm Nói cách khác

f(λx+ (1− λ)y)≥ f(x)λf(y)1−λ ∀x, y ∈ I, λ ∈ [0,1].

Trong phần cuối của chương 2 ta sẽ chỉ ra rằng hàm loga-lồi cũng là một hàm lồi.Ví dụ 1.2.1 Các hàm sau đây là hàm lồi:

1 f: R→ R, f(x) =ax+b với a, b là các số thực bất kỳ.Thật vậy, với bất kỳ a, b ∈ R, x, y ∈ R, λ ∈[0,1], ta có

f(λx+ (1− λ)y) =a(λx+ (1− λ)y) +b= λ(ax+b) + (1− λ)(ay+b)

thỏa mãn định nghĩa của hàm lồi.

2 Ánh xạ chuẩn k.k: X → R với X là một không gian tuyến tính định chuẩnthực.

Thật vậy, với x, y ∈ X, λ ∈[0; 1]ta có

kλx+ (1− λy)k ≤ kλxk+k(1− λ)yk ≤ λ kxk+ (1− λ)kykthỏa mãn định nghĩa của hàm lồi.

z∈Ukλ(x− z)k+ inf

z∈Uk(1− λ)(y− z)k≤ λinf

z∈Ukx − zk+ (1− λ) inf

z∈Uky − zk

=λdU(x) + (1− λ)du(y).

Các tính chất của hàm lồi và tiêu chuẩn đạo hàm cấp hai trong chương 2 sẽ chota nhiều công cụ hơn để chứng minh một hàm nào đó là hàm lồi.

Bây giờ, cho f: I → R là một hàm lồi trên mộtkhoảng I ⊂ R Với u, v ∈ I phân biệt và x ∈[u;v].Khi đó tồn tại một số λ ∈[0; 1]để

x=λu+ (1− λ)v.Ta có

x− uv− u =

λu+ (1− λ)v− uv− u

v− u (x− u) (theo (1.2.2)).Ta có f(u) +f(v)− f(u)

v− u (x− u) = 0chính là đường thẳng đi qua hai điểm (u, f(u))và (v, f(v)).

Nói cách khác, các điểm trên đồ thị của hàm f|[u;v] nằm dưới dây cung nối hai điểm

(u, f(u)) và (v, f(v)), với mọi u, v ∈ I, u < v Đây chính là ý nghĩa hình học về tínhlồi của hàm f.

Chương 2

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN VÀ CÁCBẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN

HÀM LỒI.

Trong chương này, chúng ta sẽ bắt đầu với một số tính chất đặc trưng cơ bản của hàm lồi.Đầu tiên là các phép toán liên quan đến hàm lồi như tổng của hai hàm lồi, tích của hàm số vớimột số thực dương, các phép toán lấy giới hạn cũng như hợp của hai hàm lồi Tiếp đến, ta sẽ tìmhiểu một số tính chất đặc biệt của hàm lồi như tính liên tục, tính khả vi và các định lý liên quanđến giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm lồi Phần cuối của chương này được dành để nóivề một số bất đẳng thức của hàm lồi cũng như thiết lập một vài bất đẳng thức mới về chủ đề này.

2.1 Một số tính chất cơ bản của hàm lồi.Định lý 2.1.1 (Các phép toán với các hàm lồi)

Cho U là một tập lồi trong không gian tuyến tính định chuẩn thực X Khi đó

1 Nếu f và g là các hàm lồi trên U thì f+g cũng là hàm lồi trên U Nếu f hoặcg là hàm lồi thực sự thì tổng f +g cũng là hàm lồi thực sự.

2 Nếu f là hàm lồi (lồi thực sự) trên U và µ là một số thực dương thì µf là mộthàm lồi (lồi thực sự) trên U.

3 Nếu f là một hàm lồi (lồi thực sự) trên U và V là tập con lồi của U Khi đóhạn chế f|V của hàm f lên V cũng là một hàm lồi (lồi thực sự) trên V

Chứng minh định lý này khá đơn giản Ta sẽ không chứng minh định lý này.Nhận xét 2.1.2 Từ Định lý 2.1.1 ta có nhận xét sau:

1 Cho ϕ là hàm lồi (lồi thực sự) trên R thì hàm f(x1, , xn) = Pn

ϕ(xk)là hàmlồi (lồi thực sự) trên Rn.

2 Một hàm nhiều biến có thể là hàm lồi theo mỗi biến khi cố định các biến còn lạinhưng không phải là hàm lồi Chẳng hạn như hàm f(x, y) =xy, (x, y)∈ R2.Định lý 2.1.3 [9] Cho I, J ⊂ R là các tập lồi Nếu f là một hàm lồi (lồi thực sự)trên I và g là một hàm lồi không giảm (hàm lồi tăng) trên tập lồi J, f(I) ⊂ J thìg◦ f là một hàm lồi (lồi thực sự).

Chứng minh Với x, y ∈ I, λ ∈[0; 1] ta có

g(f(λx+ (1− λ)y))≤ g(λf(x) + (1− λ)f(y)) (do g là hàm lồi không giảm)

≤ λg(f(x)) + (1− λ)g(f(y))=λ(g◦ f)(x) + (1− λ)(g◦ f)(y).hay g ◦ f là hàm lồi.

Nếu f là hàm lồi thực sự, g là hàm lồi tăng thì với x 6= y, λ ∈(0; 1), thực hiện nhưtrên ta thu được bất đẳng thức ngặt, hay g ◦ f là hàm lồi thực sự.

Định lý 2.1.4 [9] Cho hàm f: U → R xác định trên tập lồi U của không gian tuyếntính định chuẩn X Khi đó, f là hàm lồi (lồi thực sự) trên U nếu và chỉ nếu các hàm

ϕx,y : [0,1]→ R, ϕx,y(t) :=f(tx+ (1− t)y) với x, y ∈ U, t ∈[0,1]

là hàm lồi (lồi thực sự).

Chứng minh ⇒) Giả sử f là hàm lồi thực sự trên U.

Với x, y ∈ U cho trước, với mọi u, v ∈[0; 1] và λ ∈[0; 1] ta có

ϕx,y(λu+ (1− λ)v) = f( (λu+ (1− λ)v)x+ (1−[λu+ (1− λ)v])y)= f(λ[ux+ (1− u)y] + (1− λ)[vx+ (1− v)y] )

≤ λf(ux+ (1− u)y) + (1− λ)f(vx+ (1− v)y)= λϕx,y(u) + (1− λ)ϕx,y(v),

hay ϕx,y là hàm lồi.

Nếu f là hàm lồi thực sự thì theo trên, với u 6=v và λ ∈(0; 1) ta thu được bất đẳngthức ngặt, ϕx,y là hàm lồi thực sự.

⇐)Giả sử các hàm ϕx0,y0 là các hàm lồi (x0, y0 ∈ U).Với mọi x, y ∈ U, với mọi λ ∈[0; 1]ta có

f(λx+ (1− λ)y) =ϕx,y(λ) =ϕx,y(λ.1 + (1− λ)0)

≤ λϕx,y(1) + (1− λ)ϕx,y(0)(do ϕx,y là hàm lồi)

=λf(x) + (1− λ)f(y).Vậy, f là hàm lồi.

Nếu ϕx,y là các hàm lồi thực sự thì theo trên, với x 6=y và λ ∈(0; 1)ta thu được bấtđẳng thức ngặt, hay f là hàm lồi thực sự.

Định lý 2.1.5 Cho U là một tập lồi trong khôn gian tuyến tính định chuẩn thực X.Nếu dãy(fn)(trong đó fn: U → R) là một dãy hàm lồi hội tụ điểm hữu hạn đến mộthàm f trên U thì f là hàm lồi.

Chứng minh Với x, y ∈ U, λ ∈[0; 1], với mọi n ∈ N∗ ta cófn(λx+ (1− λ)y)≤ λfn(x) + (1− λ)fn(y).Chuyển qua giới hạn ta được

f(λx+ (1− λ)y)≤ λf(x) + (1− λ)f(y).Vậy, f là hàm lồi.

Về tính liên tục của hàm lồi, ta có các tính chất sau:

Bổ đề 2.1.6 Cho X là một không gian tuyến tính định chuẩn, B(x0, ) là hình cầumở tâm x0 bán kính  Khi đó:

1 αB(x0, ) = {αx|x ∈ B(x0, )} là hình cầu mở B(αx0, α) với α là số thựcdương.

2 B(x0, ) +y = {x+y|x ∈ B(x0, )} là hình cầu mở B(x0+y, ) với y là mộtđiểm bất kỳ của X.

3 Tồn tại một số µ >1 sao cho z =µx0∈ B(x0, ).

Chứng minh 1 Lấy z =αx ∈ αB(x0, ) (x ∈ B(x0, )) Ta cókz − αx0k =kαx − αx0k=αkx − x0k < α,

hay z ∈ B(αx0, α).

Do đó, αB(x0, )⊂ B(αx0, α).Ngược lại, với z0∈ B(αx0, α) ta có

z0− αx0 = αz0

α − x0 < αhay

α − x0 < .Suy ra z0/α ∈ B(x0, )hay z0

∈ αB(x0, ).Do đó, B(αx0, α)⊂ αB(x0, ).

Vậy, αB(x0, ) =B(αx0, α).

2 Lấy z = x+y ∈ B(x0, ) +y (x ∈ B(x0, )) Ta chứng minh z ∈ B(x0+y, ).Ta có

kz −(x0+y)k =kx+y−(x0+y)k= kx − x0k < .Suy ra z ∈ B(x0+y, ).

Do đó, B(x0, ) +y ⊂ B(x0+y, ).Ngược lại, với z0∈ B(x0+y, ) ta có

z0−(x0+y) < hay

(z0− y)− x0 < .Suy ra z0

− y ∈ B(x0, ) hay z0

∈ B(x0, ) +y.Do đó, B(x0+y, )⊂ B(x0, ) +y.

Do x+x0 và y +y0 thuộc U, U lồi nên từ (2.1.1) ta suy ra λx+ (1− λ)y ∈ V hayV là tập lồi.

Với mọi x ∈ V , ta có x+ x0 ∈ U Do U là tập lồi mở nên tồn tại một lân cậnB(x+x0, δ) của x+x0 nằm trong U Khi đó B(x, δ) =B(x+x0, δ)− x0 là một lâncận của x Rõ ràng B(x, δ)⊂ V

Mỗi điểm x trong V đều tồn tại một lân cận B(x, δ) nằm trong V nên V là tập mở.Vậy, V là tập lồi mở trong X.

Ta xét hàm g: V → R xác định bởi g(x) =f(x+x0) Ta có g là một hàm lồi trên V Thật vậy, với mọi x, y ∈ V , với mọi λ ∈[0; 1] ta có

g(λx+ (1− λ)y) =f(λx+ (1− λ)y+x0)

=f(λ(x+x0) + (1− λ)(y+x0))

≤ λf(x+x0) + (1− λ)f(y+x0)=λg(x) + (1− λ)g(y).

Nhận xét 2.1.7 Với hàm f và hàm g xác định như trên, ta có các nhận xét sau:1 Hàm f bị chặn trên trong hình cầu mở B(x0, )⊂ U tương đương với hàm g bị

chặn trên trong hình cầu mở B(0, )⊂ V

Thật vậy, f bị chặn trên trong B(x0, ) khi và chỉ khi tồn tại số M sao chof(x)≤ M, ∀ x ∈ B(x0, ).

Vì B(x0, ) =B(0, ) +x0 nên với mọi y ∈ B(0, )ta có y+x0 ∈ B(x0, ) vàg(y) =f(y+x0)≤ M,

hay g bị chặn trên trong B(0, ).

Ngược lại, giả sử g bị chặn trên trong B(0, ) tức tồn tại M đểf(y)≤ M, ∀ y ∈ B(0, ).

Vì B(0, ) =B(x0, )− x0 nên với mọi x ∈ B(x0, )ta có x − x0 ∈ B(0, ) vàf(x) =g(x− x0)≤ M,

hay f bị chặn trên trong B(x0, ).

2 Nếu hàm f bị chặn dưới ta cũng có kết quả tương tự.

Ta suy ra hàm f bị chặn trong hình cầu mở B(x0, )⊂ U tương đương với hàmg bị chặn trong hình cầu B(0, )⊂ V

3 Tương tự, hàm f liên tục tại x0 ∈ U tương đương với hàm g liên tục tại 0.Thật vậy, giả sử hàm f liên tục tại x0 Khi đó với mọi  > 0, tồn tại δ >0 saocho với mọi x ∈ U, kx − x0k < δ ta suy ra kf(x)− f(x0)k < .

Suy ra

kg(x− x0)− g(0)k =kf(x)− f(x0)k <  với mọi x ∈ U, kx − x0k < δ.(2.1.2)Đặt y=x− x0 Vì x ∈ U nên y =x− x0 ∈ V , (2.1.2) trở thành

kg(y)− g(0)k <  với mọi y ∈ V, kyk < δ.Suy ra hàm g liên tục tại điểm0.

Ngược lại, giả sử g liên tục tại 0 Khi đó với mọi  > 0, tồn tại δ > 0 sao chovới mọi x ∈ V, kxk < δ ta suy ra kg(x)− g(0)k < .

Suy ra

kf(x+x0)− f(x0)k= kg(x)− g(0)k <  với mọi x ∈ V, kxk < δ (2.1.3)Đặt y=x+x0 Vì x ∈ V nên y =x+x0 ∈ U, (2.1.3) trở thành

kf(y)− f(x0)k <  với mọi y ∈ U, ky − x0k < δ.Hay f liên tục tại x0.

4 Ta cũng có thể chứng minh hàm f khả vi tại điểm x0 tương đương hàm g khảvi tại điểm0.

Giả sử f là hàm lồi xác định trên tập lồi U Theo Nhận xét 2.1.7, nếu f bị chặn trên(bị chặn) trong một hình cầu mở B(x0, )⊂ U thì không mất tính tổng quát, ta cóthể giả sử 0∈ U và f bị chặn trên (bị chặn) trong hình cầu B(0, ).

Tương tự, f liên tục (khả vi) tại điểm x0 ∈ U, không mất tính tổng quát, ta có thểgiả sử 0∈ U và hàm f liên tục (khả vi) tại điểm 0.

Định lý 2.1.8 [6] Cho f là hàm lồi trên một tập lồi mở U của không gian tuyếntính định chuẩn X Nếu f bị chặn trên trong một lân cận của điểm x0 ∈ U thì f bịchặn địa phương, tức là mỗi x ∈ U có một lân cận mà trên đó f bị chặn.

Chứng minh Định lý được chứng minh theo hai bước:

Bước 1: Giả sử f bị chặn trên trong một lân cận của điểm x0 ∈ U Ta chứng minh fbị chặn trong lân cận đó.

Theo Nhận xét 2.1.7, ta có thể xem 0∈ U và f bị chặn trên tại điểm 0.Khi đó tồn tại một hình cầu mở B(0, )⊂ U và một số N sao cho

f(x)≤ N, ∀ x ∈ B(0, ).Bây giờ, ta chứng minh f bị chặn trong B(0, ).

Với x ∈ B(0, ), vì 0 = 12x+

2(−x)nên ta cóf(0)≤ 1

2f(x) +1

2f(−x)).Do đó,

f(x)≥2f(0)− f(−x)).

Vì x ∈ B(0, ) nên || − x|| < , do đó −f(−x)≥ −N hay f(x)≥2f(0)− N.Vậy, f bị chặn dưới trong B(0, ) hay f bị chặn trong B(0, ) bởi

M = max{|N|, |2f(0)− N|}.

Bước 2: Ta chứng minh f bị chặn địa phương trong U (0 ∈ U), tức là với y ∈ U bấtkỳ, ta sẽ chứng minh f bị chặn trong một lân cận nào đó của y.

Trường hợp y= 0 đã được xét ở bước 1, ta xét y 6= 0.

Do U mở, y ∈ U nên y thuộc một hình cầu mở B(y, 0) tâm y bán kính 0 chứa trongU Theo Bổ đề 2.1.6, tồn tại µ >1sao cho z =µy ∈ B(y, 0)⊂ U Đặt λ = 1/µ Suyra 0< λ <1 Khi đó, theo Bổ đề 2.1.6 thì tập

A={v ∈ X : v = (1− λ)x+λz, x∈ B(0, )}là một hình cầu mở tâm y=λz với bán kính (1− λ).

Với v ∈ A ta có

f(v)≤(1− λ)f(x) +λf(z)≤(1− λ)M +λ|f(z)| ≤ M +|f(z)|.Hay f bị chặn trên trong A, theo bước 1 ta suy ra f bị chặn trong A.

Vậy, với mỗi y ∈ U đều tồn tại một lân cận để f bị chặn trong lân cận đó Nói cáchkhác, f bị chặn địa phương trong U.

Định lý 2.1.9 [6] Cho f là một hàm lồi trên tập lồi mở U ⊆ X Nếu f bị chặn trêntrong một lân cận của một điểm thuộc U, thì f là Lipschitz địa phương trên U.Chứng minh Theo Định lý 2.1.8 ta suy ra f bị chặn địa phương trong U.

Do đó, với x0 ∈ U ta có thể tìm được một lân cận B(x0,2)⊆ U và một số M > 0

sao cho

|f(x)| ≤ M, ∀x ∈ B(x0,2).

Giả sử f không thỏa mãn điều kiện Lipschitz trên B(x0, ).Khi đó tồn tại x1, x2 ∈ B(x0, ), x1 6= x2 để

f(x2)− f(x1)> 2M

 kx2− x1k hay

kx3− x0k= kx2− x0+α(x2− x1)k ≤ kx2− x0k+kα(x2− x1)k < + = 2.Hay x3 ∈ B(x0,2).

Cũng từ x3 =x2+α(x2− x1) ta cóx2 = α

1 +αx1+ 11 +αx3.Do f là hàm lồi nên

f(x2)≤ α

1 +αf(x1) + 1

1 +αf(x3) hay(1 +α)f(x2)≤ αf(x1) +f(x3).Suy ra

f(x3)− f(x2)≥ α(f(x2)− f(x1)) (2.1.6)Từ (2.1.4), (2.1.5) và (2.1.6) ta có

Định lý 2.1.10 [6] Cho f là một hàm lồi trên một tập lồi mở U ⊆ X Nếu f bịchặn trên trong một lân cận của một điểm của U thì f liên tục trên U.

Chứng minh Từ Định lý 2.1.9 ta suy ra f Lipschitz địa phương trên U Do đó f liêntục trên U theo Nhận xét 1.1.2.

Đặc biệt, nếu U ⊆ Rn ta có định lý sau:

Định lý 2.1.11 [6] Cho f là một hàm lồi trên một tập lồi mở U ⊆ Rn Khi đó fliên tục trên U.

Chứng minh Theo Nhận xét 2.1.7 ta có thể giả sử0∈ U Chọn α >0đủ nhỏ để baolồi

V = co({0, αe1, , αen})⊆ U.Trước hết ta chứng minh V có phần trong V◦ khác rỗng.

Thật vậy, lấy một phần tử x ∈ V bất kỳ Khi đó x được biểu diễn dưới dạng

x=λ0.0 +λ1.αe1+ .+λn.αen (λ0+λ1+ .+λn = 1) (2.1.7)Đặt x0 = 0 +αe1+ .+αen

Khi đó x0 ∈ co({0, αe1, , αen}).

Do các λi (i= 0, n)trong biểu diễn của x0 đều bằng 1

n+1 > 0và việc giải các phươngtrình (2.1.7) để tìm λ0, λ1, , λn quy về việc giải một hệ phương trình tuyến tínhvới các λi(i= 0, n)phụ thuộc liên tục vào các thành phần tọa độ của x nên tồn tạisố δ >0 sao cho nếu x ∈ B(x0, δ)thì các λi> 0∀ i= 0, n.

Suy ra B(x0, δ)⊂ co({0, αe1, , αen}) là một lân cận của x0.Vậy, V◦ 6=∅.

Với x ∈ V bất kỳ ta có biểu diễn

x =λ00 +λ1(αe1) + +λn(αen)

trong đó λi ≥0∀ i = 0, n,Pn

λi = 1 Khi đó:f(x)≤ λ0f(0) +

Chứng minh Nếu f là hàm lồi thì với mọi t ∈(0; 1),

f(x0+t(x− x0)) =f((1− t)x0+tx)≤(1− t)f(x0) +tf(x)

Đặt h=x− x0 ta có

f(x0+th)− f(x0)≤ t[f(x0+h)− f(x0)] (2.1.9)Trừ f0(x0)(th)vào hai vế của (2.1.9) rồi chia cho t với chú ý f0(x0)(th)

f(x0) =f(x0) +f0(x0)[t(x1− x0) + (1− t)(x2− x0)]

=t[f(x0) +f0(x0)(x1− x0)] + (1− t)[f(x0) +f0(x0)(x2− x0)].Bất đẳng thức (2.1.8) đúng với x=x1 và x= x2, vì vậy

f(x0)≤ tf(x1) + (1− t)f(x2) (2.1.10)Điều này chứng tỏ f là hàm lồi trên U.

Nếu (2.1.8) là bất đẳng thức ngặt thì (2.1.10) là bất đẳng thức ngặt, f là hàm lồithực sự trên U.

Định nghĩa 2.1.1 [6] Cho I ⊂ R là một khoảng và hàm f: I → R là hàm khả vi trênI Khi đó, f0(x)được gọi là đơn điệu tăng nếu

(f0(x)− f0(y))(x− y)≥0, ∀ x, y ∈ I.

Nếu với mọi x, y ∈ I, x 6= y, (f0(x)− f0(y))(x− y)> 0thì f0(x)được gọi là đơn điệutăng thực sự.

Xem f0 là ánh xạ tuyến tính, ta có định nghĩa tổng quát hơn:

Định nghĩa 2.1.2 [6] Cho U ⊂ X là một tập mở và f: U → R là hàm khả vi trên U.Khi đó, f0(x)được gọi là hàm đơn điệu tăng nếu

f(x)− f(x1)

x− x1 = f0(x3), f(x2)− f(x)

x2− x =f

0(x4).Vì f0(x) là hàm đơn điệu tăng nên f0(x3)≤ f0(x4), ta suy ra

f(x)− f(x1)

f(x2)− f(x)

tức là ta có (2.1.12), (2.1.11).

Bất đẳng thức (2.1.11) chứng tỏ f là hàm lồi trên I.

Nhận xét 2.1.14 Trong Định lý 2.1.13, nếu f0 là hàm đơn điệu tăng thực sự thì(2.1.15) là bất đẳng thức ngặt, ta suy ra (2.1.11) là bất đẳng thức ngặt Hay f làhàm lồi thực sự trên I.

Tổng quát hơn, ta có định lý:

Định lý 2.1.15 [6] Cho f: U → R khả vi trên một tập lồi mở U ⊆ X Khi đó f làhàm lồi (lồi thực sự) nếu và chỉ nếu f0 đơn điệu tăng (đơn điệu tăng thực sự) trên U.Chứng minh Đối với một hàm lồi khả vi trên U, Định lý 2.1.12 cho ta

ϕ0x,y(λ1) = limt→0

ϕx,y(λ1+t)− ϕx,y(λ1)

= limt→0

f((λ1+t)x+ (1− λ1− t)y)− f(λ1x+ (1− λ1)y)

= limt→0

f(u1+t(x− y))− f(u1)

t =f0(u1)(x− y).Tương tự, ϕ0

x,y(λ2) =f0(u2)(x− y).

Ta có u2− u1 = (λ2− λ1)(x− y)và f0 là đơn điệu tăng nên ta suy ra

0≤(f0(u2)− f0(u1))(u2− u1) = (λ2− λ1)(f0(u2)− f0(u1))(x− y).

Suy ra f0(u1)(x− y)≤ f0(u2)(x− y).Ta có

ϕ0x,y(λ1) =f0(u1)(x− y)≤ f0(u2)(x− y) =ϕ0x,y(λ2) (2.1.16)Suy ra các hàm ϕx,y là các hàm lồi theo Định lý 2.1.13.

Vậy, f là hàm lồi theo Định lý 2.1.4.

Nếu f0 đơn điệu tăng thực sự thì bất đẳng thức (2.1.16) ở trên trở thành bất đẳngthức ngặt, ϕx,y là hàm lồi thực sự theo Nhận xét 2.1.14 Nói cách khác, f là hàm lồithực sự.

Bổ đề 2.1.16 [6] Cho f : U → R là hàm khả vi liên tục trên một tập mở U của khônggian tuyến tính định chuẩn X và f00(x) tồn tại trên U Khi đó với bất kỳ x, x0 ∈ U,tồn tại s ∈(0,1) để

f(x) =f(x0) +f0(x0)(h) + 12f

00(x0+sh)(h, h)

trong đó h=x− x0.

Chứng minh Với x, x0 ∈ U cho trước, xét hàm φ : (a, b)→ R trên khoảng(a, b)chứa

[0,1] trong đó φ(t) =f(x0+th) Theo Nhận xét 1.1.4 và định nghĩa hàm φ ta cóφ0(t) = lim

φ(t+v)− φ(t)

v = limv→0

f(x0+th+v.h)− f(x0+th)

v =f0(x0+th)(h).Tương tự với hàm θ(t) =f0(x0+th)(h) ta cũng có

φ00(t) =θ0(t) =f00(x0+th)(h, h)

Với t >0, theo Định lý 1.1.8, tồn tại s ∈ (0, t)đểφ(t) =φ(0) +φ0(0)t+ 1

f(x0+th) =f(x0) +f0(x0)(th) + 12f

00(x0+sh)(th, th)

Với t= 1 ta có:

f(x) =f(x0) +f0(x0)(h) +12f

00(x0+sh)(h, h).Bổ đề được chứng minh.

Định lý 2.1.17 [6] Cho I ⊂ R là một khoảng và f : I → R là hàm số có đạo hàmcấp hai f00 tồn tại trên I Khi đó f là hàm lồi (lồi thực sự) khi và chỉ khi f00(x)≥0

(f00(x)> 0) với mỗi x ∈ I.

Chứng minh Theo tính chất của hàm một biến thực, f0 tăng (tăng thực sự) nếu vàchỉ nếu f00 là không âm (dương) Kết hợp với Định lý 2.1.15 ta có điều phải chứngminh.

Ví dụ 2.1.18 Từ Định lý 2.1.17 ta suy ra các hàm sau là hàm lồi:• f(x) =eαx, trong đó α ∈ R.

• f(x) =xp nếu x >0, trong đó 1≤ p hoặc p ≤ 0.• f(x) =−xp nếu x >0, trong đó 0≤ p ≤1.• f(x) =−lnx nếu x >0.

Trong trường hợp tổng quát, ta có định lý:

Định lý 2.1.19 [6] Cho f là hàm khả vi liên tục và có đạo hàm cấp hai trên tập lồimở U ⊆ X Khi đó f là hàm lồi (lồi thực sự) trên U nếu và chỉ nếu f00(x) xác địnhkhông âm (xác định dương) với mỗi x ∈ U.

Chứng minh ⇐) Theo Bổ đề 2.1.16 với bất kỳ x, x0 ∈ U, ta cóf(x) =f(x0) +f0(x0)(h) + 1

Nếu f00(x0) là xác định dương thì bất đẳng thức (2.1.17) trở thành bất đẳng thứcngặt, theo Định lý 2.1.12 ta suy ra f là hàm lồi thực sự.

⇒)Ngược lại, giả sử f là hàm lồi Với x ∈ U và h ∈ X, đặt g(t) =f(x+th).Dễ thấy g là hàm lồi trên một lân cận của điểm 0 Ta có

Nếu f là hàm lồi thực sự thì g là hàm lồi thực sự, theo Định lý 2.1.17 ta có g00(0)> 0.Ta suy ra f00(x)(h, h)> 0 Do h bất kỳ nên f00(x) là xác định dương.

Vậy, định lý được chứng minh.

Trong không gian Rn, với một hàm nhiều biến mà tất cả các đạo hàm riêng đềutồn tại, ta luôn có thể xác định ánh xạ tuyến tính với ma trận

∇f(x0) =

∂x1(x0) ∂f∂xn(x0)

= [f1(x0) fn(x0)]

được gọi là gradient của f.

Việc tồn tại gradient ∇f(x0)không suy ra được sự tồn tại f0(x0)nhưng đối với hàmlồi ta có định lý sau:

Định lý 2.1.20 [6] Nếu f là một hàm lồi trên tập lồi mở U ⊆ Rn và tất cả các đạohàm riêng tồn tại tại x0 ∈ U thì f0(x0) tồn tại.

Chứng minh Theo Nhận xét 2.1.7, ta có thể giả sử 0∈ U.

Vì U là tập mở nên tồn tại một hình cầu mở B(0, δ) sao cho n.B(0, δ)⊂ U Khi đóh∈ B(0, δ) thì n.h ∈ U.

Gọi T = [f1(x0) fn(x0)] là ánh xạ tuyến tính xác định bởi tất cả các đạo hàmriêng tại x0.

Ta chứng minh T là đạo hàm của hàm f tại x0, tức là chứng minhf(x0+h) =f(x0) +T(h) +khk (x0, h)

trong đó (x0, h)→0 khi khk →0.

Điều này tương đương với việc chứng minh(h) = 1

khk[f(x0+h)− f(x0)− T(h)]→0 khi khk →0.Trên B(0, δ) đặt

φ(hinei) =f(x0+hinei)− f(x0)− fi(x0)hin