MỤC LỤC
Nếu f vừa là hàm lồi vừa là hàm lừm thỡ ta núi f là hàm affine. Trong trường hợp tổng quát, với U là một tập lồi trong không gian tuyến tính định chuẩn thực X. Cỏc khỏi niệm hàm lồi thực sự, hàm lừm, lừm thực sự cũng được định nghĩa tương tự như trong Định nghĩa 1.2.1.
Trong phần cuối của chương 2 ta sẽ chỉ ra rằng hàm loga-lồi cũng là một hàm lồi. Các tính chất của hàm lồi và tiêu chuẩn đạo hàm cấp hai trong chương 2 sẽ cho ta nhiều công cụ hơn để chứng minh một hàm nào đó là hàm lồi.
Một hàm nhiều biến có thể là hàm lồi theo mỗi biến khi cố định các biến còn lại nhưng không phải là hàm lồi. Nếuϕx,y là các hàm lồi thực sự thì theo trên, vớix 6=y vàλ∈(0; 1)ta thu được bất đẳng thức ngặt, hayf là hàm lồi thực sự. Nếu dãy(fn)(trong đó fn: U →R) là một dãy hàm lồi hội tụ điểm hữu hạn đến một hàm f trên U thì f là hàm lồi.
Bây giờ, cho f là hàm lồi trên một tập lồi mở U của không gian tuyến tính định chuẩn X và x0 ∈U. Ta cũng có thể chứng minh hàm f khả vi tại điểm x0 tương đương hàm g khả vi tại điểm0. [6] Cho f là hàm lồi trên một tập lồi mở U của không gian tuyến tính định chuẩn X.
Nếu bất đẳng thức trên là bất đẳng thức ngặt khi x 6=y thì f0 được gọi là đơn điệu tăng thực sự trênU. Khi đó f là hàm lồi (lồi thực sự) nếu và chỉ nếuf0 đơn điệu tăng (đơn điệu tăng thực sự) trên U. Nếu f lồi thực sự thì các bất đẳng thức trên là các bất đẳng thức ngặt, ta suy ra f0 tăng thực sự.
Theo tính chất của hàm một biến thực, f0 tăng (tăng thực sự) nếu và chỉ nếu f00 là không âm (dương). Trong không gian Rn, với một hàm nhiều biến mà tất cả các đạo hàm riêng đều tồn tại, ta luôn có thể xác định ánh xạ tuyến tính với ma trận. Ngược lại, nếu các đạo hàm riêng của f tồn tại và liên tục trên U và ∇f đơn điệu tăng (đơn điệu tăng thực sự) thì f là hàm lồi (lồi thực sự).
Một trong những tính chất hay của hàm lồi là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của nó. • Nếu f là hàm lồi thực sự trên một lân cận của điểm cực tiểu x0 thì x0 là điểm cực tiểu duy nhất của hàm f. • Nếu f khả vi liên tục trên một lân cận V của điểm cực tiểu x0, f00(x) tồn tại và xác định dương trên V thì x0 là điểm cực tiểu duy nhất của f trên U.
[6] Nếu f là hàm lồi và liên tục trên tập lồi, compactK trong không gian tuyến tính định chuẩn hữu hạn chiều Ln, thì f đạt giá trị lớn nhất tại một điểm cực biên của K. Mặt khác, một tập lồi, compact trongRn là là bao lồi của các điểm cực biên của nó.
Giả sử f đạt giá trị lớn nhất tại điểm x0. Ta cóLn đẳng cấu tôpô với Rn nên ta có thể xem K là một tập con của Rn. Mặt khác, một tập lồi, compact trongRn là là bao lồi của các điểm cực biên của nó. Định lý được chứng minh. Tiếp tục quá trình trên ta suy ra điều phải chứng minh. Bất đẳng thức trên là bất đẳng thức ngặt nếu và chỉ nếu f là hàm lồi thực sự và các xi phân biệt, αi dương. luôn đúng với x1,. Nếu f là hàm lồi thực sự, các xi phân biệt và các αi > 0 thì lập luận tương tự như trên ta suy ra. Ta thu được bất đẳng thức ngặt. ⇐)Nếu f thỏa mãn bất đẳng thức Jensen thì với n= 2 ta suy ra. Nếu f lồi thực sự thì bất đẳng thức trên là bất đẳng thức ngặt trừ khi x1 =x2 =x3. Chia cả hai vế bất đẳng thức trên cho3 ta suy ra điều phải chứng minh.
[3] (Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân có trọng số) Cho x1,.
Theo Định lý 2.1.26 thì f đạt giá trị lớn nhất tại một điểm cực biên của U (tất nhiên, điểm cực biên nằm trênδU). Theo Nhận xét 2.2.10, các hàm loga-lồi cũng là các hàm lồi nên lớp các hàm loga-lồi có đầy đủ tính chất của một hàm lồi. [6] Lớp các hàm loga-lồi trên một khoảng I đóng kín đối với phép cộng, phép nhân, và phép lấy giới hạn miễn là giới hạn tồn tại và dương.
Với dãy hàm loga-lồi (fn) hội tụ về hàm f dương thì lnfn là các hàm lồi với mọi n∈N∗. Riemann đã chứng minh hàm zeta xác định như trên là giải tích trên tập xác định của nó. Gọi là tích phân elliptic vì nó xuất phát từ một bài toán cổ: tìm độ dài một cung của một ellipse.
Việc tìm độ dài cung này dẫn đến một tích phân của một hàm hữu tỉ theo hai biếnx, y (thương của hai đa thức theox vày), trong đóy là căn bậc hai của một đa thức theo x. Nhiều bài toán khác như tìm độ dài cung của đường hyperbol hay đường lemniscate, tính diện tích mặt của một ellipsoid và nhiều bài toán khác của toán học ứng dụng cũng như toán học thuần túy cũng dẫn đến các tích phân tương tự. Các tính chất quan trọng đầu tiên của tích phân elliptic là các định lý về phép cộng được Euler đưa ra trong những năm 1752 - 1761, và định lý được hoàn thiện nhiều mặt trong luận án của Legendre vào những năm 1825 - 1826.
Trong suốt những năm 1827 - 1830, Abel và Jacobi đã khám phá ra một tính chất khá quan trọng của tích phân elliptic: các hàm elliptic là hàm ngược của các tích phân elliptic. Việc khảo sát tích phân elliptic đưa đến việc khảo sát một số tích phân cơ bản trong đó có tích phân elliptic hoàn chỉnh dạng thứ nhất. Ta sẽ chứng minh RK(x, y) là hàm loga-lồi theo các biến và thiết lập một vài bất đẳng thức liên quan đến hàm này.
[11] Dạng Legendre của tích phân hoàn chỉnh dạng 1, ký hiệu bởi K(k)được cho bởi công thức. Hệ thống hóa các kiến thức đã biết về không gian tuyến tính định chuẩn, sự liên tục, khả vi, giá trị cực đại và giá trị cực tiểu, các bất đẳng thức và chuyển giới hạn dưới dấu tích phân, tập lồi - hàm lồi và hàm loga-lồi,. Trình bày một số vấn đề lý thuyết của hàm lồi như các phép toán liên quan đến hàm lồi, tính liên tục, khả vi, các định lý liên quan đến giá trị cực đại và cực tiểu.
Đó là các vấn đề liên quan đến việc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm lồi, khảo sát lớp hàm loga-lồi và một số hàm đặc biệt cũng như thiết lập các bất đẳng thức liên quan đến chúng. Chúng tôi đã cố gắng hoàn thành luận văn một cách tốt nhất có thể; đi sâu phân tích, chứng minh nhằm giúp người đọc có cái nhìn tổng quát về vấn đề đang nghiên cứu.