Mặt cực tiểu và mặt cực tiểu diện tích trong không gian R3

Mặt cực tiểu và mặt cực tiểu diện tích trong không gian R3

ĐẠI HỌC HUẾTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

Huế, tháng 5 năm 2011

LỜI CẢM ƠN

Trải qua bốn năm học tập và rèn luyện tại giảng đường trường ĐH

Sư Phạm Huế, dưới sự dìu dắt của quý Thầy Cô giáo, tôi đã tích lũycho mình rất nhiều kiến thức và kinh nghiệm quý báu cả về chuyên môn

và nghiệp vụ Khóa luận này chính là thành quả quan trọng của cả quátrình đó

Đầu tiên, tôi xin được gửi lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy giáo, PGS

TS Đoàn Thế Hiếu, người đã hướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình, chu đáocho tôi trong suốt thời gian thực hiện khóa luận

Tôi xin được gửi lòng biết ơn chân thành đến quý Thầy Cô đã giảngdạy lớp Toán B khóa 2007 - 2011 trường ĐHSP Huế, đặc biệt là toànthể quý Thầy Cô Khoa Toán trường ĐHSP Huế, những người khôngnhững cho tôi kiến thức mà còn quan tâm động viên và nhiệt tình giúp

đỡ tôi trong suốt quá trình học tập cũng như trong thời gian thực hiệnkhóa luận

Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn đến tất cả người thân, bạn

bè đã quan tâm động viên và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tậpvừa qua

Huế, tháng 5 năm 2011

Trần Thị Nhã Trang

MỤC LỤC

1 MẶT CỰC TIỂU TRONG KHÔNG GIAN R3 VỚI MẬT ĐỘ er2 5

1.1 Không gian R3 với mật độ eϕ - Độ cong trung bình theo mật độ 5

1.2 Biến phân thứ nhất của phiếm hàm diện tích 6

1.2.1 Biến phân thứ nhất của phiếm hàm diện tích trong không gian R3 7

1.2.2 Biến phân thứ nhất của hàm diện tích trong không gian R3 với mật độ eϕ(r) 9

1.3 Mặt cực tiểu trong không gian R3 với mật độ er2 10

1.3.1 Một số mặt cực tiểu cổ điển trong không gian R3 11

1.3.2 Mặt cực tiểu trong không gian R3 với mật độ er2 13

2 MẶT CỰC TIỂU DIỆN TÍCH TRONG KHÔNG GIAN R3 25 2.1 Bong bóng xà phòng và mặt cực tiểu diện tích với biên là đường cong đóng cho trước 25

2.2 Điều kiện cần để một mặt có diện tích nhỏ nhất trong tất cả các mặt có cùng biên 26

2.3 Biến phân thứ hai của hàm diện tích 28

2.4 Định lý Stokes và phương pháp dạng cỡ 31

2.4.1 Dạng vi phân 32

2.4.2 Tích ngoài của m - vector, covetor trong không gian R3 33

2.4.3 Định lý Stokes trong không gian R3 34

2.4.4 Dạng cỡ trong không gian R3 37

2.4.6 Một số ví dụ 38

3 MẶT CỰC TIỂU DIỆN TÍCH TRONG KHÔNG GIAN R3 VỚI MẬT ĐỘ er 413.1 Định lý Stokes với mật độ và phương pháp dạng cỡ trong khônggian R3 với mật độ er2 413.2 Biến phân thứ hai trong không gian R3 với mật độ er2 443.3 Một số kết quả 46

MỞ ĐẦU

Hiện nay, mặt cực tiểu là đối tượng thu hút được rất nhiều sự quan tâm vànghiên cứu trong hình học vi phân Đặc biệt hơn, đó là các vấn đề liên quan đếnmặt cực tiểu và mặt cực tiểu diện tích trong không gian với mật độ Thuật ngữminimal surfaces được dùng để chỉ các mặt có độ cong trung bình bằng không cònthuật ngữ area-minimizing surfaces lại được dùng để chỉ các mặt có diện tích nhỏnhất trong lớp các mặt cùng biên đồng đều hay dưới những sự biến dạng compact,bảo toàn thể tích cho trước Người ta đã chỉ ra rằng các mặt cực tiểu diện tích córất nhiều tính chất thú vị Ví dụ như trong không gian R3 mặt có diện tích nhỏnhất với biên là một đường cong cho trước có độ cong trung bình bằng không haymặt có diện tích nhỏ nhất ứng với một thể tích cho trước bất kì có độ cong trungbình là hằng số Bên cạnh đó, các phương pháp được dùng để tìm và chứngminh một mặt là cực tiểu diện tích cũng đang rất thu hút rất nhiều sự quan tâm,đặc biệt là phương pháp dạng cỡ và phương pháp biến phân

Chúng ta đã biết không gian với mật độ là không gian được trang bị mộthàm dương gọi là hàm mật độ được dùng làm trọng số cho cả thể tích và chu vi.Khi chuyển từ không gian thông thường sang nghiên cứu không gian với mật độ,một câu hỏi luôn được đặt ra, là: Liệu rằng các kết quả, các tính chất trong khônggian thông thường có còn đúng với không gian với mật độ nữa không?

Với mong muốn được tìm hiểu và trả lời những câu hỏi đó, dưới sự hướngdẫn và giúp đỡ của Thầy giáo, PGS TS Đoàn Thế Hiếu, tôi đã chọn đề tài: "Mặtcực tiểu và mặt cực tiểu diện tích trong không gian R3 với mật độ er2".Nội dung chính của khóa luận gồm có ba chương

Chương I trình bày một số vấn đề liên quan đến mặt cực tiểu trong khônggian R3 với mật độ er2 như mặt có độ cong trung bình hằng, điều kiện để các mặttròn xoay, mặt tịnh tiến, mặt kẻ, là mặt cực tiểu và một số mặt cực tiểu đại

số Bên cạnh đó, chúng tôi trình bày biến phân thứ nhất của phiếm hàm diện tíchcủa một mặt tham số chính quy trong R3 và trong R3 với mật độ

Chương II trình bày một số vấn đề liên quan đến mặt cực tiểu diện tích trongkhông gian R3 Cụ thể đó là biến phân thứ hai của phiếm hàm diện tích của mộtmặt tham số chính quy, phương pháp dạng cỡ và một số ví dụ về mặt định cỡ

Chương III trình bày mặt cực tiểu diện tích trong không gian R3 với mật độ

er2 Cụ thể chúng tôi trình bày phương pháp dạng cỡ và phương pháp biến phândùng để chứng minh một mặt là cực tiểu diện tích trong không gian với mật độ.Cuối cùng là một số kết quả về mặt cực tiểu diện tích trong lớp các mặt cùng biênđồng đều và các mặt cực tiểu diện tích ứng với một thể tích cho trước bất kì.Thông qua khóa luận, tác giả hi vọng người đọc sẽ phát hiện ra một vài điều

lí thú và bổ ích

Thân mến!

bình theo mật độ

Hàm mật độ trong R3 là một hàm dương, khả vi thường được viết dưới dạng

eϕ : R3 −→ R(x, y, z)7−→ eϕ(x,y,z).Không gian với mật độ eϕ là không gian được trang bị hàm mật độ eϕ dùng làmtrọng số cho cả thể tích và chu vi Cụ thể nếu dV và dP là các phần tử của thểtích và chu vi trong R3 thì phần tử thể tích và chu vi trong R3 với mật độ eϕ đượccho bởi công thức

dVϕ = eϕdV,

dPϕ =eϕdP

Trong không gian R3 với mật độ eϕ, độ cong trung bình theo mật độ, kí hiệu là

Hϕ, của mặt S được định nghĩa như sau

Hϕ = H −1

2dϕ

dN,

với H là độ cong trung bình và N là trường pháp vector đơn vị của mặt S Vì

Trong phần này chúng tôi trình bày biến phân thứ nhất của phiếm hàm diệntích của một mặt tham số chính quy trong không gian R3 và trong không gian R3với mật độ bằng cách sử dụng biến phân chuẩn tắc Từ đó làm cơ sở nêu lên mốiliên hệ giữa một mặt cực tiểu với biến phân thứ nhất của phiếm hàm diện tíchcũng như trong chương II nêu lên điều kiện cần để một mặt là cực tiểu diện tíchtrong tất cả các mặt có cùng biên

Trước khi giới thiệu biến phân thứ nhất của phiếm hàm diện tích của một mặtchính quy chúng ta có định nghĩa phần tử diện tích và biến phân chuẩn tắc nhưsau

Định nghĩa 1.2.1 (Phần tử diện tích)

Cho S là một mặt chính quy, R ⊂ S là một miền bị chặn chứa trong lân cận tọa

độ xác định bởi tham số X : U ⊂ R2 −→ S (với U là miền mở liên thông với baođóng compact và biên trơn trong R2) Khi đó với Q= X−1(R), số dương

A(R) =

Z Z

Q

|Xu∧ Xv|dudv

được gọi là diện tích của miền R

Tương tự, diện tích của miền R trong không gian R3 với mật độ eϕ được địnhnghĩa là

với E, F, G là các hệ số của dạng cơ bản thứ nhất của X.

Định nghĩa 1.2.2 (Biến phân chuẩn tắc)

Cho X : Ω −→ R3 là một mặt tham số chính quy, D ⊂ Ω là miền bị chặn và

h : D −→ R là một hàm khả vi Ta gọi một biến phân chuẩn tắc của X(D) xácđịnh bởi h là ánh xạ

ϕ(u, v, t) =X(u, v) +th(u, v)N(u, v), (u, v)∈ D, t ∈ (−ε, ε)

Khi đó với mỗi t xác định, ánh xạ

Xt : D −→ R3

Xt(u, v) =ϕ(u, v, t)

là một mặt tham số

Hình 1.1: Các biến phân chuẩn tắc của X(u, v)

1.2.1 Biến phân thứ nhất của phiếm hàm diện tích trong không gian

Gt =G+ 2thhXv, Nvi+t2h2Nv2+t2h2v,với hXu, Nui= −e, hXu, Nvi =hXv, Nui =−f, hXv, Nvi= −g và2H(EG − F2) =

Eg −2F f +Ge Khi đó

với R(t) là một đa thức theo t, bậc ≥2và R(t) = EG−FR(t) 2

Với ε đủ nhỏ thì Xt là một mặt tham số chính quy Do đó diện tích của mặttham số Xt

D

q

1−4thH+R(t)pEG − F2dudv

=Z

Chứng minh Nếu X là mặt cực tiểu thì H = 0 Do đó A0(0) = 0.

Ngược lại, giả sử A0(0) = 0 và ∃p ∈ D : H(p)6= 0 Không mất tính tổng quát, tagiả sử H(p)>0 Chọn h: D −→ R sao cho h(p)> 0và h đồng nhất bằng 0 ngoàimột lân cận đủ nhỏ của p Khi đó A0(0) < 0 với biến phân xác định bởi h Mâuthuẫn

1.2.2 Biến phân thứ nhất của hàm diện tích trong không gian R3 với

D

eϕtdAt

=Z

Nhận xét 1.2.1 Nếu S là mặt cực tiểu với mật độ thì A0ϕ(0) = 0.

er2

Trước khi đi vào tìm hiểu các mặt cực tiểu trong không gian R3 với mật độ er2,chúng tôi trình bày định nghĩa mặt cực tiểu trong không gian với mật độ, địnhnghĩa mặt tròn xoay, mặt kẻ và mặt tịnh tiến Đồng thời, chúng tôi cũng xin giớithiệu một số mặt cực tiểu cổ điển trong không gian R3

Định nghĩa 1.3.1 (Mặt cực tiểu trong không gian với mật độ)

Một mặt chính qui là mặt cực tiểu với mật độ nếu độ cong trung bình theo mật

độ của nó tại mọi điểm đều bằng không

Định nghĩa 1.3.2 (Mặt tròn xoay)

Cho C là một đường cong chính qui trong mặp phẳng xz và không cắt trục z.Quay C quanh trục z ta nhận được một tập S ⊂ R3 Giả sử

x= f(u), z =g(u)với a < u < b, f(u)>0

là một tham số hóa của C và v là góc quay quanh trục z Như vậy tham số hóacủa mặt S là

X(u, v) = (f(u) cosv, f(u) sinv, g(u))xác định trên tập U = {(u, v)∈ R2 : 0 < v <2π, a < u < b} vào S

Mặt S như vậy được gọi là mặt tròn xoay, đường cong C được gọi là đường sinh,trục z được gọi là trục quay

Định nghĩa 1.3.3 (Mặt kẻ)

Cho I ⊂ R3 là một khoảng mở; α, β : I −→ R3 là hai hàm số khả vi đến cấp cầnthiết, α0(u)6= 0, β(u)6= 0 ∀u ∈ I Ta xem α(u)như là một điểm, β(u)như là mộtvector trong R3 Lúc đó mặt tham số được cho bởi

được gọi là mặt kẻ sinh bởi α và β

Đường cong α(u) được gọi là đường chuẩn của mặt kẻ Với mỗi u ∈ I, đườngthẳng đi qua điểm α(u)và nhận β(u)làm vector chỉ phương được gọi là một đườngsinh của mặt kẻ

Nhận xét 1.3.1 Ta luôn có thể chọn α(u)là đường cong trực giao với họ các đườngthẳng của mặt S, β(u) là trường vector đơn vị dọc α và là vector chỉ phương củacác đường thẳng đi qua α(u) đồng thời giả sử u là tham số hóa độ dài cung của

α Do đó luôn giả thiết được rằng một mặt kẻ bất kì trong R3 có tham số hóa

với |α0(u)|= 1, |β(u)| = 1 và α0(u)⊥ β(u)∀u ∈ I

Định nghĩa 1.3.4 (Mặt tịnh tiến)

Mặt tịnh tiến là mặt có tham số hóa dạng

X(u, v) = (u, v, f(u) +h(v))với f, h là các hàm khả vi

1.3.1 Một số mặt cực tiểu cổ điển trong không gian R3

Sau đây, chúng tôi xin giới thiệu một số mặt cực tiểu cổ điển khá nổi tiếng trongkhông gian R3 Đó là

1 Mặt phẳng

2 Mặt catenoid xác định bởi tham số

X(u, v) = (acoshucosv, acoshusinv, au),với 0 < v < 2π, −∞ < u < +∞, a > 0, là mặt tròn xoay cực tiểu duy nhấtkhác mặt phẳng

Hình 1.2: Mặt catenoid

3 Mặt helicoid xác định bởi tham số

X(u, v) = (asinhucosv, asinhusinv, av),với0< v <2π, −∞ < u <+∞, a >0 hoặc

X(u, v) = (aucosv, ausinv, av),với a >0,0< v <2π, −∞ < u <+∞,

là mặt tịnh tiến cực tiểu duy nhất khác mặt phẳng

Hình 1.5: Mặt enneper

1.3.2 Mặt cực tiểu trong không gian R3 với mật độ er2

Định lý 1.3.1 Trong không gian R3 với mật độ er2, giá trị 12|h∇ϕ, N i| là khoảngcách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng tiếp xúc tại mỗi điểm của mặt S

Chứng minh Với mọi điểm M(x, y, z)thuộc mặt S, gọi N(a1, b1, c1)là pháp vectorđơn vị của S tại M Khi đó phương trình mặt phẳng tiếp xúc của S tại M là

(α) :a1x+b1y+c1z+d1= 0

Vì mặt phẳng có độ cong trung bình H = 0 nên

Chứng minh Gọi phương trình tổng quát của mặt cầu S tâm O bán kính R là

x2+y2+z2 = R2 Xét một tham số hóa của mặt cầu S là

X(u, v) = (Rsinucosv, Rsinusinv, Rcosu) với 0< u <2π,0< v <2π

Ta có

Xu = (Rcosucosv, Rcosusinv, −Rsinu),

Xv = (−Rsinusinv, Rsinucosv,0),

N = (sinucosv,sinusinv,cosu),

Xvv = (−Rsinucosv, −Rsinusinv,0),

Xuv = (−Rcosusinv, Rcosucosv,0)

Các hệ số của dạng cơ bản thứ nhất và thứ hai là

E =R2, F = 0, G=R2sin2u,

e=−R, f = 0, g = −Rsin2u

Độ cong trung bình là

H = 12

eG+Eg −2f F

EG − F2 =−1

R.Với mọi điểm p(x, y, z)∈ S, pháp vector đơn vị Np của S tại p là

X(u, v) = (Rcosv, Rsinv, u)) với0< v <2π, −∞ < u <+∞

Các hệ số của dạng cơ bản thứ nhất và thứ hai là

Độ cong trung bình là

H = 12

eG+Eg −2f F

EG − F2 = 1

2R.Với mọi điểm p(x, y, z)∈ T , pháp vector đơn vị Np của T tại p là

x2+y2

2R +R=const

Định lý 1.3.5 (Phương trình Lagrange)

Trong không gian R3 với mật độ er2, mặt tham số hóa dạng

X(u, v) = (u, v, f(u, v))với f là hàm khả vi là mặt cực tiểu với mật độ khi và chỉ khi hàm f thỏa mãnphương trình

(1 +fu2)fvv+ (1 +fv2)fuu−2fufvfuv+ 2(ufu+vfv− f)(1 +fu2+fv2) = 0.Chứng minh Xét mặt S có tham số hóa là

X(u, v) = (u, v, f(u, v))

, f = p fvv

1 +f2

u +f2 v

, g = p fuv

1 +f2

u +f2 v

(fu, f v, −1)

1 +f2

u +f2 v

Từ định lý trên ta có một số hệ quả sau

Hệ quả 1.3.5.1 Trong không gian R3 với mật độ er2, các mặt tịnh tiến là nhữngmặt cực tiểu với mật độ khi và chỉ khi các hàm f và h thỏa mãn phương trình

(1 +f02)h00+ (1 +h02)f00+ 2(uf0+vh0− f − h)(1 +f02+h02) = 0

Hệ quả 1.3.5.2 Trong không gian R3 với mật độ er , mặt có tham số hóa dạng

X(u, v) = (u, v, f(u)) với f là hàm khả vi

là mặt cực tiểu khi và chỉ khi hàm f thỏa mãn phương trình

Định lý 1.3.6 (Điều kiện để mặt tròn xoay là mặt cực tiểu)

Trong không gian R3 với mật độ er2, các mặt tròn xoay là những mặt cực tiểu vớimật độ khi và chỉ khi hàm f và g thỏa mãn phương trình

f(f0g00− g0f00) + [g0+ 2(f g0− gf0)](f02+g02) = 0

Chứng minh Xét mặt tròn xoay S có tham số hóa là

X(u, v) = (f(u) cosv, f(u) sinv, g(u))

Các hệ số của dạng cơ bản thứ nhất và thứ hai là

E =f02+g02, F = 0, G=f2,

e= f

0g00− g0f00p

Định lý 1.3.7 (Điều kiện để mặt kẻ là mặt cực tiểu)

Trong không gian R3 với mật độ er2, mặt kẻ có tham số hóa dạng

với |α0(u)| = 1, |β(u)| = 1 và α0(u)⊥ β(u)∀u ∈ I là mặt cực tiểu với mật độ khi

Do đó độ cong trung bình theo mật độ là

Tìm cách giải quyết hệ phương trình (1.3.2)và chọn β = (0,0, a) ta có hệ quảsau

Hệ quả 1.3.7.1 Trong không gian R3 với mật độ er2, mặt kẻ có tham số hóa dạng

mặt cực tiểu với mật độ nếu phương trình

x00−2x

x0 = y

00−2y

y0thỏa mãn với mọi z(u)

Nhận xét 1.3.2 Xét phương trình được nêu trong Hệ quả (1.3.7.1) ta có nhận xétsau

1 Nếu x(u) =y(u) ∀u ∈ I thì phương trình trên nghiệm đúng

Việc giải phương trình trên đưa ta về việc giải phương trình vi phân

Mặt kẻ thu được trong trường hợp này là mặt phẳng

• Nếu t(u)6= const ∀u thì phương trình trên muốn giải được thì phải biếttrước một nghiệm của nó rồi dùng công thức Ostrogradski − Liouville

để tìm nghiệm Hiện tại công viêc này chúng tôi vẫn chưa giải quyếtđược

|β0| 6= 0 ta có được hα, βi=k và 0 =hα0, βi= khβ0, βi+lhβ00, βi =lhβ00, βi.

Thay vào phương trình (1.3.1.3) ta có

Nếu l= 0 hoặc hβ0∧ β, β00i = 0 thì β là đường cong phẳng và vì |β|= 1 nên ta

có thể giả sử β(u) = (cosu,sinu,0) Khi đó α và β đều nằm trong mặt phẳng xOy

Ta lại có β0(u) = (−sinu,cosu,0) và α(u) = (kcosu − lsinu, ksinu+lcosu,0),

dễ dàng kiểm tra được chúng đều thỏa mãn các phương trình còn lại của hệ phươngtrình (1.3.1) Lúc này mặt kẻ thu được là mặt phẳng xy

Sau đây, ta tìm hiểu thêm về một số mặt cực tiểu đại số với mật độ như sau

Định lý 1.3.8 Trong không gian R3 với mật độ er2, mặt tịnh tiến S : X(u, v) =(u, v, f(u) +h(v)) với

f(u) =anun+an−1un−1+ +a0,h(v) =bmvm+bm−1vm−1+ +b0,

m, n ∈ N, an 6= 0, bm 6= 0

Khi đó S là mặt cực tiểu với mật độ khi và chỉ khi S là mặt phẳng đi qua gốc tọađộ

Chứng minh ⇐)Dễ dàng kiểm tra được

⇒)Theo Hệ quả (1.3.5.1) ta có S là mặt cực tiểu với mật độ khi và chỉ khi f và

h thỏa mãn phương trình

(1 +f02)h00+ (1 +h02)f00+ 2(uf0+vh0− f − h)(1 +f02+h02) = 0

Nếu n =m= 1 thì tham số của S là

X(u, v) = (u, v, a1u+b1v+ao+bo)

Mặt thu được là mặt phẳng Từ Định lý (1.3.2) ta có S cực tiểu với mật độ khi

và chỉ khi S đi qua gốc tọa độ

Nếu n ≥2, m ≥2, thay phương trình của f và h vào phương trình trên ta được

n2(n −1)a3nu3n−2+m2(m −1)b3mv3m−2+p(u) +q(v) = 0

với bậc của p(u)< 3n −2 và bậc của q(v)< 3m −2 Phương trình trên

⇔ an = 0 và bm = 0

Mâu thuẫn với giả thiết

Định lý 1.3.9 Trong không gian R3 với mật độ er2, mặt tròn xoay S được sinh

ra bởi : α(u) = (f(u),0, u) với

f(u) =anun+an−1un−1+ +a0,

n ∈ N, an 6= 0 khi quay quanh trục z có tham số hóa là

X(u, v) = (f(u) cosv, f(u) sinv, u)

Khi đó S là mặt cực tiểu với mật độ khi và chỉ khi S là mặt trụ bán kính 12.Chứng minh ⇐)Dễ dàng kiểm tra được

⇒)Theo Hệ quả (1.3.6.1) ta có S là mặt cực tiểu với mật độ khi và chỉ khi thỏamãn phương trình

X(u, v) = (f(u) cosv, f(u) sinv, u)

Với n= 0 hoặc n= 1, thì tham số hóa của S là

⇔ an = 0

Mâu thuẫn với giả thiết