Sự tồn tại vector riêng của toán tử uo lõm chính quy tác dụng trong không gian banach với nón cực trị

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC s PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ THƯ HÀ Sự TỒN TẠI VECTOR RIÊNG CỦA TOÁN TỬ Uo- LÕM CHÍNH QUY TÁC DỤNG TRONG KHÔNG GIAN BANACH VỚI NÓN cực TRỊ Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC S ĩ TO ÁN HỌC • • • Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguyễn Phụ Hy HÀ NỘI - 2015 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường ĐHSP Hà Nội hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Phụ Hy Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến PGS.TS Nguyễn Phụ Hy người thày hướng dẫn suốt trình thực luận văn Tôi xin cảm ơn GS, TS giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích trường ĐHSP Hà Nội 2, thầy cô thư viện nhà trường, bạn học viên cao học Toán giải tích KI giúp đỡ trình học tập thực luận văn Hà Nội, tháng năm 2015 Tác giả Nguyễn Thị Thu Hà LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn công trình nghiên cứu riêng hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Phụ Hy Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thông tin trích dẫn luận văn ghi rõ nguồn gốc Hà Nội, tháng năm 2015 z _ • ĩ Tác giả Nguyễn Thị Thu Hà MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên c ứ u Những đóng góp luận văn Chương 1: KIÉN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian Banach nửa thứ t ự 1.1.1 Định nghĩa nón số tính chất sơ cấp .4 1.1.2 Quan hệ thứ tự không gian Banach 1.2 Quan hệ thong ước phàn tử 1.3 Phần tử u0 - đo đư ợc 11 1.4 Nón chuẩn tắc nón cực trị 1.4.1 Nón chuẩn tắc tính chất 15 15 1.4.2 Nón cực trị 19 1.5 Không gian Banach nửa thứ tự R” , C[a.b] 19 1.5.1 Không gian Rn ,ne N* 19 1.5.2 Không gian cfa.b] 29 Chương S ự TỒN s ự TỒN TẠI VECTOR RIÊNG CỦA TOÁN TỬ uO- LÕM CHÍNH QUY TÁC DỤNG TRONG KHÔNG GIAN BANACH VỚI NÓN c ự c TRỊ 40 2.1 Định nghĩa toán tử u0 - lõm quy tính chất sơ cấp 40 2.2.Toán tử u0 -lõm quy tác dụng không gian Banach 43 2.3 Sự tồn vectơ riêng toán tử Uo - lõm quy tác dụng không gian Banach với nón cực tri 46 2.3.1 Đạo hàm tiệm cận toán tử 2.3.2 u0 - đạo hàm Fréchet toán tử 47 50 2.4.VÍ dụ .54 KẾT LUẬN 59 TÀI LIỆU THAM KHẢO 60 M Ở ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết điểm bất động ngành toán học lý thuyết có nhiều ứng dụng Lý thuyết điểm bất động nghiên cứu theo nhiều hướng khác gắn liền với tên tuổi nhiều nhà toán học tiếng như: Lipschitz, Kraxnoxelxki, Braide, Aylenbec, Các nhà toán học xét toán tử khác nhau: Toán tử đơn điệu, toán tử đo được, toán tử có đạo hàm Frechet hay đạo hàm tiệm cận, toán tử lõm Nhà toán học Nga tiếng Kraxnoxelxki nghiên cứu nghiệm riêng phương trình toán tử (1962), toán tử lõm tác dụng ừong không gian Banach thực với nón cố định (1956) GS TS Bakhtin nghiên cứu phương trình không tuyến tính với toán tử lõm lõm (1959), nghiệm dương phương trình không tuyến tính với toán tử lõm (1984), sau mở rộng cho toán tử (K, Uo) - lõm tác dụng không gian Banach thực với hai nón cố định giao khác rỗng (1984) Các lớp toán tử giáo sư Kraxnoxelxki, Bakhtin nghiên cứu công bố kết lớp toán tử lõm tác dụng không gian Banach với nón cố định, toán tử có chung tính chất Uo - đo Năm 1987, PGS.TS Nguyễn Phụ Hy nghiên cứu vectơ riêng toán tử lõm quy vectơ riêng dương toán tử (K, Uo) -lõm quy (2013) Tác giả mở rộng phát triển kết toán tử lõm cho lớp toán tử lõm quy tác dụng ừong không gian Banach với nón cố định không yêu cầu toán tử có tính chất u0 - đo Để chứng minh tồn vector riêng toán tử, công trình nhà toán học kể bổ sung điều kiện phù hợp cho toán tử Với mong muốn tìm hiểu sâu lớp toán tử này, nhờ giúp đỡ, hướng dẫn tận tình Thày giáo, PGS.TS Nguyễn Phụ Hy chọn nghiên cứu đề tài: “Sự tồn vector riêng toán tử Uo- lõm quy tác dụng không gian Banach với nón cực trị Mục đích nghiên cứu Đề tài nhằm nghiên cứu, mở rộng số định lí tồn vectơ riêng toán tử Uo - lõm quy theo hướng bổ sung điều kiện cho nón Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu không gian Banach thực nửa thứ tự Tìm hiểu tồn vectơ riêng toán tử toán tử u0- lõm quy tác dụng ừong không gian Banach với nón cực trị Toán tử u0- lõm quy tác dụng không gian R" Sự mở rộng định lí tồn vectơ riêng Đổi tượng phạm vỉ nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức sở cần thiết, kết toán tử Uo - lõm quy Sự tồn vectơ riêng toán tử u0- lõm quy tác dụng không gian Banach với nón cực t r ị Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, báo nước có liên quan đến vectơ riêng toán tử u0- lõm quy tác dụng ừong không gian Banach với nón cực t r ị Phưong pháp nghiền cứu Thu thập tài liệu báo vectơ riêng toán tử u0- lõm quy tác dụng không gian Banach với nón cực trị Tổng hợp, phân tích, hệ thống khái niệm, tính chất Tham khảo ý kiến giáo viên hướng dẫn Những đóng góp ỉuận văn Luận văn trình bày tổng quát về: Không gian Banach thực nửa thứ tự Một số tính chất toán tử u0- lõm u0- lõm quy Toán tử u0- lõm quy tác dụng không gian R" Sự mở rộng định lý tồn vectơ riêng Các kết thu mở rộng cho số lớp toán tử khác Hy vọng luận văn sử dụng làm tài liệu tham khảo cho bạn đọc CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ • 1.1 Không gian Banach thực nửa thứ tự 1.1.1 Định nghĩa nón quan hệ thứ tự không gian Banach Định nghĩa 1.1.1 Cho không gian Banach thực E к tập khác rỗng E Tập к gọi nón, К thỏa mãn điều kiện sau: Ni, К tập đóng ừong không gian E ; N2, Nếu xG К y € к , ta có X + y G к ; N3, Neu X G К t số thực không âm, ta có tx e к ; N4, Neu X G К X ta có -X Ể к ( kí hiệu phàn tử không không gian E) Đinh lí 1.1.2 Nếu К nón không gian định chuẩn thực G к к tập lồi Thật *) V X G К, V t G R, t > ta có tx € к với t = ta có = 0.X G к *) V X, у e к , V t e [ 0; 1] ta có tx e к , (1- t)y e К suy tx + ( l - t ) y K Vậy К tập lồi _ Đinh lí 1.1.3 » Giao số hữu hạn tùy ý nón chứa hai phần tử nón Gọi Ki, K2, K К=П j= \ n nón ( n e N*, n > ) không gian E chứa hai phần tử - Ta chứng minh к nón *) Do tập Kl, K2, ,Kn tập đóng, nên tập к đóng không gian E *) V X, y G К ứiì X, y E Kj, (j = l,n) =^> X + y Kj, (j = l,n) => X + y K *) V X e K, t > X Kj, (j = l,n) nên tx G Kj, (j = l,n) ^ tx G K *) V X e К, X Ф X e Kj, (j = l,n) nên - X Ể Kj, (j = l,n) => - X Ể K Vậy К nón J Đỉnh lí 1.1.4 » Giả sử F tập khác rỗng ừong không gian E Nếu F tập lồi, đóng, bị chặn ttong không gian E không chứa phần tử không, tập K(F) = { z E : z = tx, x F , t e R+ } nón Chứng minh Ta thấy F с K(F) mà F Ф nên K(F) Ф Với X F ta chứng minh tồn số thực dương m, M cho m < ||x|| < M Thật vậy, tập F bị chặn nên tồn M > : ||x|| < M, Vx e F Đặt m = inf||x|| xeF Giả sử m = tồn tai dãy {хп}°° czF cho limllx 1= hay lim xn =0 ”_1 72— ^00 n-»00 không gian E Do F tập đóng nên G F, trái với giả thiết F không chứa phần tử không Vậy m > ||x|| > inf ||x|| = m > 0, Vx GF xeF +) K(F) tập đóng Lấy dãy {z }°° с= K(F) cho lim z = z không gian E n_1 n->00 Neu z = z = o.x, x G F = > z = 6 K(F) Ill|z I|> ,3 n g N * :V n > n tacó ịzn - z | < e = — 1|||z| N êuz^0thìvới 8= — Khi zn - F ^11 I 1|| П Зп „ w ^ < z„ -z < —z =>— z < z„ < —z , Vn > ĩln 11 n 2 11 Vì zn e K(F) nên zn = tn.xn với tn > 0, xn F 44 Neu Xi = Ci = Wi = Neu Xi > Cị=t < Wị= t e (0; 1) Vậy w > tz nghĩa Atx > tAx *) ( Vx Ẽ к\{0}) (V t e ( ; 1)) Ta chọn TỊ = ^J=-Ỉ>Q^>1 + Ĩ] = ^ị=^>(l + Ĩ])t = ị f t ^ Do X K\{0} nên Xi > О, Э Xi > với i e {1,2, K hi A tx = w = ( Wị )”=1ừ ong Wi = Xi > 0, (l+ĩ|)tAx = yft^z = (hị )"=1 hị = # Nếu Xi = Wi = Nếu Xi > hị = n } Wi = Xi = 0; Xi > 0, hi = Xi = hi = < Wị; = t G (0; 1) => л/i^z < w^> Atx > (l+r|)tAx Vậy A toán tử u0 - lõm quy Ví dụ Toán tử A: R” -► R" x=(xi£i ^ Ax = z = (Æ i Го với Zị = < Xj = +1 Xj Ф0 Ta A toán tử u0 - lõm quy Thật vậy: *) Vx=(xj)”=1 e К => Xi > với i = 1, 2, , n Đặt Ax = z = (zj)”=1 Với Xi = Zị = Với Xi > Zị = ^ +1 > Vì Xi > , Vi = 1, 2, , n => Zj > 0, Vi = 1, 2, , n => Ax = z e K 45 Vậy AK с K Với X, у Ẽ К: X < y ta có о < Xi < Ỵi với i =1, , n Đ ặt A x = (z j)”=1 ,A y = (v ,.)" =1 X; = О Д -Ы Х;^0 ’ y ị = у Щ + l yỂ* Nếu Xj = Ỵi = ứiì Zị = Vi = Nếu Xi = 0, Ỵi > Zi = < Vị = Nếu < X ị < yi Zị + +1 l =^> xn —tnx* > (2.2) Hiển nhiên, tn f !(K) Hơn nữa, xn+1 - xn > t„x* > X*, mẫu ứiuẫn với tnX* > xn - tnX* >0 t„+i > t„ Ta nhận dãy số (ín)00_1 dương, không giảm bị chặn 1, nên tồn lim ||í„| = íe 1] > —(l + c)Ai tx* > (l + c)ínx* t => t„+2 > (1 + c )t„ ( n =l , , ) Đặc biệt, t2k+i > (1 + c )t2k-i Suy ra, t2k+i > (1 + c )t2k.i t - lim tn - lim t2k+ị «—»co *) M ặt khác k —>00 ( n = 1,2, ) ( n = 1, , ) > > ( l+ c ) \ > 00 , ( k = 1, , ), mâu ứiuẫn với điều giả sử t < Nên t = 50 t„Aix* < Ait„ X* < Aixn = Xn+1 < X* ( n = 1, , ) Cho n —>00 ta Aix* < X *, Từ (2.1) (2.3) ta có AiX* = X* (2.3) => Ax* = 1q(1+Ci)x* Nghĩa toán tử A có vector riêng K(uo) J 2.3.2 u0 - đạo hàm Fréchet toán tử Định nghĩa 2.3.4 Toán tử tuyến tính P: E —>E gọi Uo - đạo hàm Fréchet toán tử Ax-A0-Px A không ( kí hiệu ) theo nón K, nêu lim xe£jx|-»0 v = X Đinh lí 2.3.5 » Neu p Uo - đạo hàm Fréchet toán tử A ứieo nón K, thì: a, Ax < Px với X K; b, ( Vx, y G K: X < y ) Px < Py Chứng minh a, Giả sử xeẢ'\{ớ} theo định nghĩa u0- đạo hàm Fréchet \\Ptx-Atx\\ lim H ữ* „ „ t X \\Ptx-Atx\\ u° =lim n— ^ = í^o+ íx Do nghĩa là, (Vf>0)(3í0e(0;l)) cho Víe(0;í0] ta có: P tx -A tx < hay theo định nghĩa Uo - chuẩn ta có: «0 (2.4) Từ suy 51 P t x - At x Atx ^ P x = 1—— >~£U0 + Ax,Vi e(0;i0] Nhờ tính chất nhỏ tùy ý số £ > ta Ax < Px, VX e K \{ } Với X = A0 = < P0 = Vậy Ax < Px với X K b, G iả sử X, y G К , X < y t > о tùy ý, ta có „ „ Pty —Aty t Ptx —Atx t Aty —Atx _ t P y —P x = — - ^ + -* > - £U0 , ( d o (2.4)) , Từ hệ thức từ tính chất tùy ý số s > 0, ta Px < Py, Vx, у К, X < y _ Đình lí 2.3.6 » Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: 1, A toán tử Uo - lõm quy bị chặn phần tử V K(u0) ừên nón К, A0 = 0; 2, Uo - đạo hàm Fréchet p toán tử A theo nón к có vectơ riêng Xp e K(u0) tương ứng với giá ừị riêng lp > 3, К nón cực trị chuẩn tắc Khi đó, toán tử A có vectơ riêng không gian K(u0) Chứng minh *) Giả sử a, b hai số dương cho au0 < Xp < buo Theo giả thiết lim »->0+ lim í^o+ —= lim t^o+ Atxn-Ptx„ p p Atxn-Ptx„ p p «0 _ tx Atxp- P tx p = lim «0 = t-> + Suy ra, với số £ = (lp - )a > 0, to e (0; 1), v t e (0; to ] 52 Atx„-Ptx„ p p t Atxp -P tx < £ => - £U0 < «0 va At0*p- P t0*p «0 Do đó, Đặt Xo quy = toXp , Al = Г’А ta thấy Xo = toXp < l^AtoXp = x0 Ẽ K(u0), Al toán tử Uo - lõm AiXo *) Xét dãy điểm Xn = Aixn_i ( n = 1, 2, , ) x0 < AiXo = Xi < AiXi = x2 < < xn = A ixn_i < < r V , Xo Ẽ K(u0), u = l'1V K(u0), nên dãy điểm (xn )* (= K(u0), không giảm bị chặn ừên phần tử rV e K(u0) Hơn nữa, dãy (x„)°°=1 bị chặn theo chuẩn nên (3N > 0)(VneN*) ||xn || < iV ||/_1v||=iV/_1||v|| Nhờ tính cực trị nón K, tồn cận ừên sup(xn )^_^=x*eÆ'\{0} Từ tính chất cận đứng tính chất toán tử Ab ta Xo < xn < X* < u, xn < Xn+1 = Aixn < Aix* => X* < AlX* (2.5) Gọi X,, y số dương cho ỴUo < Xo < xn < X* < u < Я-Uo , (2.6) nghĩa X* G K(u0) xn >ỴUQ = ^ẲUQ>^x*=>xn - ^ x * > e *) Xét ánh xạ (и =1,2, ) 53 g : R —►E t H> g(t) = xn - t x \ n số nguyên dương g liên tục nhờ tính liên tục phép toán đại số ừên không gian E Nón к tập đóng ừong không gian E, nên g_1(K) tập đóng ừong không gian R Đặt tn = sup g_1(K), ta thấy ỴẰT1 G g"1(К), t G g"1(К) => t < 1, t > xn - tx* > => xn > tx* > X*, mâu thuẫn với (2.6) Do tn G g_1(K) tn G [ Ỵ Ằ '1 ; 1] với n= 1, , *) Xét dãy số dương {tn)co_1 Dễ dàng thấy Xn+1 t„x ^ x n t„x ^ tn+i ^ tn ( n — , , ) Dãy số dương (tnỴ°=í không giảm, bị chặn 1, nên tồn lim ty, = t e(0; 1] V » J n —>00 n G iả sử t < K hi đó, 3c2 = c2(x*, t) > cho Aitx* > (1 + c2)tAiX* > (1 + c2)tx* xn+2 = Aỉ xn - АЬпх* = ^ Ы > — (Ì + C2)tx*= (l + C2)tnx* tn+2 > (1 + c2 )tn ) ^ — Aịtx* ( n = 1,2, ) ( n = 1, 2, ) Suy ra, t2k+i > (1 +C2 )t2k-1 > > ( 1+с2) \ > ( k = 1, 2, ) Do đó, t = w->+00 lim í = fc-H-00 lim t2k+1 =+CO, mâu ứiuẫn với điều giả sử t < Nên t = *) Mặt khác tnAiX* < A itn X* < AiXn = Xn+1 < X* Cho n —> +00 ta AlX* < X* ( n = 1, , ) (2.7) 54 Từ (2.5) (2.7) ta có Aix* = X* => Ax* = lx* Nghĩa toán tử Uo - lõm quy A có vector riêng K(u0) J 2.4 Ví du Ta đưa ví dụ tính đủ tồn vector riêng toán tử Uo - lõm quy Ví dụ 1: Toán tử thỏa mãn đầy đủ điều kiện định lỉ 2.3.3 X ét nón K = { X = ( Xi , x2, , xn) e Rn : Xi > 0, i = 1, , Giả sử uo = ( Ui, u2, ,un) e K\{0}, Ui > 0, Vi = 1, 2, n } n Theo mục 1.5.1 trang 24 K nón cực trị K(u0) = { X = ( Xi , x2, xn) (E Rn: Xi > } Toán tử A : R" -> Rn Ax = z=(z,.)"=1 ) x i = X, > Theo mục 2.2 ta có A toán tử u0 - lõm quy Khi đó, chọn V = (vf)?=1E K(u0) cho Vi = 1, V i = 1, , n Zj < Vi =1, V i = 1, , n = > z < V Vậy Vx = (X j)"=16 K ta có Ax < Y Nghĩa là, A toán tử Uo - lõm quy ừên nón K, tồn vG K(u0) cho với xG K Ax < V • Xét toán tử Q : Rn -> Rn X I—^ Qx = Ta có Q toán tử tuyến tính bị chặn Khi Ax = Qx + W(x) = W(x) , với XẼK X Suy X X nên toán tử Q đạo hàm tiệm cận toán tử A theo nón K Như vậy, điều kiện định lí 2.3.3 thỏa mãn Vậy toán tử A có vector riêng K(uo) • Ta chứng minh trực tiếp toán tử A có vector riêng K(u0) sau Ta ứng với số với số X > tồn giá trị Xe K(u0) để Ax = Xx Giả sử X = (Xị)”^ e K(u0) Xi > 0, V i = 1, 2, , n nên Ax = z = (z, )”=1 với Zj = 1, Vi = 1, 2, n ; Ầx = (/LXj)”=1 Vây Ax - Ấx o l = Ằxí,Vi = l , , , n o x i = — >0,Vi = l,2, ,n Do ứng với m ỗi số với m ỗi số X, > tồn vector riêng X = (x,.)"=1 e K(u0) với K ị = \ > 0, Vỉ' = 1,2 À Ví dụ 2: Toán tử không thỏa mãn đầy đủ điều kiện định lí 2.3.3 tồn vector riêng thuộc KịUo) Xét nón K = { X = ( Xi, x2, , xn) e Rn : Xi > 0, i = 1, 2, Giả sửuo = ( Ui, u2, ,un) G K\{0}, Ui > 0, Vi = 1, 2, n } n Theo mục 1.5.1 t r a n g t h ì K l n ó n c ự c tr ị v K ( u 0) = { X = ( Xi , x 2, x n) e R n: Xi > } Xét toán tử u0 - lõm quy YÍ dụ mục 2.2 Toán tử u0 - lõm quy A: R" —» R" x=(xX i ^ Ax=z=(^)L Xi = j|x j| +1khi Xj ^ 56 • Xét toán tử Q : Rn -► Rn Х И Qx = Ta có Q toán tử tuyến tính bị chặn Khi Ax = Qx + W(x) = W(x) , với 0< ||x|| X Ẽ K Z ( zi)2 Aẳ ( V ^ +1)2 x Ề x i + 2Ì Ị j ĩ i + n Ы < Vi=1 Vi=1 _ị=i ||x|| ||x|| ||x|| Theo bất đẳng ứiức Bunyakovsky ta có: ^ n n n ^и]> > г2 =>]Гхг V г=1 у /=1 - 2^и |x| i=l Suyra < t M < Æ lxl I 2\ л/и 2yfn^ :< H +^ п +W гт О< lim xeJSrJx|-»+oo WYx) 11< JÇ lim xeJSrJx||-»+oo y/n \ п п "О""1" „ ,3 + |Г“|и i 1Х 11 ||х ||2 н = V n0 lim N " „L „ "= xeíT,|x|-»+oo X nên toán tử Q đạo hàm tiệm cận toán tử A theo nón к Ta chứng minh toán tử Uo - lõm quy A nón к không bị chặn vG K(u0) Thật vậy, giả sử toán tử bị chặn phần tử Vi = 1, 2, , n А х < V, Vx e K V = (v; )”=1e K(uo) Vi > 0, 57 Ta chọn u = (iiị )"=1G K với Ui = v f , Vi = 1, , n, Au = [ wị )"=1, với Wị = sjv? +1 > Vị , Vi = , , n nên Au > V, mâu thuẫn với điều giả sử Như vậy, định lí 2.3.3 thiếu điều kiện toán tử Uo - lõm quy A nón K bị chặn VẼ K(u0) toán tử A có vector riêng K(u0) Thật Ta ứng với số với số X > tồn giá trị X e K(u0) để Ax —Ằx G iả sử X = (Xi)"=1 £ K (u0) Xi > 0, V i = 1, 2, , n nên A x = z = (z, )”=1 vói Zj = ^Xj" +1 , V i= 1,2, ,n ; Ax=(Ax ì )"=1 Vậy Ax = Ảx O-yJx^ + l = ẲXị OẲ Xị - ^ / x ^ - l = 0,Vỉ' = 1,2, ,ft /— 1+ V1+ 4Ẩ 1+2Ă +yỊĨ+ÃẲ =^>J x - = -> =>x, = —^ -> 0, Vỉ = 1,2, ,« v ‘ 2Ẳ 2Ẳ2 Như ứng với giá ừị riêng X, > tồn vector riêng — í \n ^ 1+ ^ + Vl + 4Ẩ x = ( x i ) “=i G K (uo) v i X = ^ > N ghĩa là, điều kiện toán tử u0 - lõm quy A bị chặn phần tử ve K(u0) điều kiện đủ để toán tử Uo - lõm quy A có vector riêng K(uo) 58 KẾT LUẬN Luận văn : “Sự tồn vector riêng toán tử Uo- lõm quy tác dụng không gian Banach với nón cực trị” trình bày số định lí tồn vector riêng toán tử u0 - lõm quy theo hướng bổ sung điều kiện cho nón Luận văn chia làm chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Trình bày hệ thống kiến thức không gian Banach nửa thứ tự, định nghĩa nón, nón chuẩn tắc, nón cực trị, không gian Eu tập K(u0) Sau trình bày hai ví dụ nón ừong không gian Rn, c |a.b] Chương 2: Sự tồn vector riêng toán tử Uo - lõm quy tác dụng không gian Banach với nón cực trị Trình bày toán tử Uo - lõm quy, trình bày chứng minh định lí tồn vector riêng, số ví dụ áp dụng định lí toán tử u0- lõm quy ừong không gian R" Do thời gian kiến thức hạn chế nên luận văn tránh khỏi thiếu xót, mong đóng góp ý kiến thầy, cô giáo bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn ! [...]... K(F) Do đó K(F) ứiỏa mãn các điều kiện của nón, vậy K(F) là một nón J 1.1.2 Quan hệ sắp thứ tự trong không gian Banach Định nghĩa 1.1.5 Giả sử E là không gian Banach thực, к là một nón trong không gian E Với X, у e E, ta viết х< у nếu y - x e к , X < у nếu y - X E K\{ 0} Đinh lí 1.1.6 Quan hệ “ < “ xác định trong định nghĩa 1.1.5 là một quan hệ sắp thứ tự trong không gian E Chứng minh Thật vậy: *) (V xeE... tính chất liên tục của hai phép toán cộng hai phần tử và nhân một số với một phần tử trong không gian Banach E, nên f liên tục Và từ tính đóng của nón K trong không gian E suy ra f 1(K) là tập đóng trong không gian R Giả sử inf f 1(K) = - QOthì 3 (tn)°° c: f _1(K) sao cho lim tn = - 00 7l-»00 Khi đó, (3 n0G N*)(Vn > n0) tn < 0 Do đó (x+tnu0) e K = > - u 0 e K ^•n 1 Cho qua giới hạn trong biêu thức -u0+... là tập tất cả phàn tử của không gian E thông ước với phần tử u0 Đỉnh s lí 1.2.3 K(u0) là một tập lồi và K (uo) с K\{0} Chứng minh *) K (uo) là tập lồi Thật vậy : Vx, y G K(u0) thì tồn tại các số thực dươnga, ß, a b ßi auo < X saocho < ßu0 , aiUo < y < ßiUo Với t = 0 ta có tx + (1 - t)y = o.x + y = y e K(u0) Với t = 1 ta có tx + (1 - t)y = l.x + o.y = X G K(u0) Với t € (0; 1) thì tauo < tx < tßu0 và... các phần tử xe E có tính chất Uo - đo được Đinh lí 1.3.2 » Với mỗi X GEU tồn tại các số không âm nhỏ nhất a = a(x), ß = ß(x) sao c h o - auo < X < uo Chứng minh Giả sử X e Eu khi đó tồn tại các số không âm ti, t2 sao cho -tịiÌQ < x < t2u 0 • Trước hết ta chỉ ra tồn tại số ß không âm nhỏ nhất sao cho X < ßu0 Thật vậy: Xét ánh xạ f : R —> E t f(t) = tuo - X Do tính chất liên tục của hai phép toán cộng... của hai phép toán cộng hai phần tử và nhân một số với một phần tử trong không gian Banach E, nên f liên tục Và từ tính đóng của nón К trong không gian E suy ra f 1(K) là tập đóng trong không gian R Giả sử inf f *(K) = - 00 Khi đó 3 (t„ )°° с f _1(K) sao cho tnu0 71-1 X 6 к và lim tn = - 00 n— »00 Với n đủ lớn tn < 0, nên - u 0+ -^x= ^(tnu0-x) e K n n 1 Cho qua giới hạn trong biêu thức -u0+ —X khi n... điểm không giảm, dãy điểm không tăng gọi là dãy đơn điệu Định nghĩa 1.1.8 Giả sử E là một không gian Banach thực nửa sắp thứ tự theo nón K, M là một tập con trong không gian E Tập M gọi là bị chặn trên bởi phàn tử u GE, nếu ( Vx GM) X