Sự tồn tại vector riêng của toán tử uo lõm chính quy tác dụng trong không gian banach với nón cực trị

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM H N I NGUYỄN THỊ THU H SỰ TỒN TẠI VECTOR RIÊNG CỦA TOÁN TỬ u0- LÕM CHÍNH QUY TÁC DỤNG TRONG KHÔNG GIAN BANACH VỚI NÓN CỰC TRỊ Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS TS Nguyễn Phụ Hy HÀ N I – 2015 LỜI CẢM ƠN ăn ng ĐH T t ơn ôi su T tr ng ĐH H T ộ is h H PGS.TS Nguy h H G T c H n văn G ,T ộ T , , y cô th ct ă Hà Nộ , ăm 2015 T T T H L I CAM ĐOAN ă Tôi xin cam d G T is h ên c H Tôi xin cam oan r n văn n lu n văn g c Hà Nộ , ăm 2015 T T T H MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý ch n ề tài M c ích nghiên c u .2 Nhi m v nghiên c u Đ i t ng ph m vi nghiên c u .2 Ph ơng pháp nghiên c u Những óng góp c a lu n văn Chƣơng : KI N THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian Banach n a s p th t .4 1.1.1 Đ ộ t sơ .4 p th t không gian Banach .7 1.2 1.3 c giữ u0 - o c 11 1.4 .15 15 19 1.5 Không gian Banach n a s p th t Rn , C[a;b] 19 1.5.1 Không gian Rn ,n∈ N* 19 1.5.2 Không gian C[a;b] 29 Chƣơng SỰ TỒN SỰ TỒN TẠI VECTOR RIÊNG CỦA TOÁN TỬ u0- LÕM CHÍNH QUY TÁC DỤNG TRONG KHÔNG GIAN BANACH VỚI NÓN CỰC TRỊ 40 2.1 Đ nh ngh a toán t u0 - lõm chí ính ch t sơ c p 40 2.2.Toán t u0 –lõm quy tác d ông gian Banach .43 2.3 S t n t i vectơ án t u0 – lõm quy tác d ng không gian Banach v 46 2.3.1 Đ 2.3.2 u0 – V 47 F .50 54 KẾT LUẬN .59 TÀI LIỆU THAM KHẢO 60 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài ý ể ý ộ ể ý ề ộ ề ộ ề ổ ề ổ : Lipschitz, Kraxnoxelxki, Braide, Aylenbec, C :T , , F , ổ B ( 96 ), ộ ong không gian ( 956) GS TS B ề ề ( 959), ơ ( 98 ), (K, u0) - B ỗ ộ ( 98 ) C ,B ữ ộ ă ề B , 987, G T H ( 3) T ề ơ ộ ( , u0) -lõm ể ề B ộ u0 Để , rong công trình tor riêng ể ổ ề h ù V ể â T h ề ề , , H , PGS.TS :“ 0- lõm “ không gian Banach Mục đích nghiên cứu Đề , ộ ộ ề ổ - ề nón Nhiệm vụ nghiên cứu T ể ề T ể ề B u0- lõm quy B T Rn u0ở ộ Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Đ :C , u0 - lõm quy ề u0- lõm quy tác B :C , u0- B Phƣơng pháp nghiên cứu T ề u0- lõm B Tổ T , phân tích, ý , Những đóng góp luận văn ă ổ Không g B ề Mộ T S ề: u0- lõm u0- lõm quy Rn u0ở ộ ý C ể ă ể ộ ộ Hy CHƢƠNG KI N THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian Banach thực nửa thứ tự 1.1.1 Định nghĩa nón quan hệ thứ tự không gian Banach Định nghĩa 1.1.1 Cho không gian Banach ộ E ỗ , ề N1, ộ N2, x∈ K N3, x∈K N4, x∈K E T : E; y∈ , x+y∈K; tx ∈ K ; â , x≠θ -x  K ( θ gian E) Định 1.1 θ∈K ộ ộ T *) ∀ x ∈ K, ∀ t ∈ , *) ∀ x, y ∈ K, ∀ t ∈ [ 0; V tx ∈ K =0 θ = 0.x ∈ K tx ∈ K, (1- t)y ∈ K suy tx + ( – t )y ∈ K Định 1.1.3 G ộ G K 1, ữ ù ý ộ ( ∈ N*, n ≥ ) K2, , Kn E n j1 Kj T *) Do ộ 1, K2, ,Kn , không gian E x, y ∈ Kj, ( j  1,n)  x + y ∈ Kj, (j  1,n)  x + y ∈ K *) ∀ x, y ∈ *) ∀ x ∈ , x ∈ Kj, ( j  1,n) nên tx ∈ Kj, ( j  1,n)  tx ∈ K x ∈ Kj, ( j  1,n) nên - x  Kj, (j  1,n)  - x  K *) ∀ x ∈ K, x ≠ θ V ộ Định 1.1 G F , ộ , ỗ E không gian E ộ F T T Đ ộ , K(F) = { z ∈ E : z = tx, x ∈ F, t ∈ R+ } C F (F) F , , ∅ ∅ V (F) x∈F m x M > : x  M, x  F F m  inf x xF G x n n1  F =0 cho lim x n  hay lim x n  θ n n θ ∈ F, không gian E D F F V >0 x  inf x  m  0, x  F xF +) (F) z n n 1  K(F) =θ θ cho lim z n  z không gian E n  z = 0.x, x ∈ F  z = θ ∈ K(F) ε z  0, n  N* : n  n z n  z  z n -z  V zn ∈ K(F) nên zn = tn.xn zn  z  ε  1 z  z  z n  z , n  n 2 tn ≥ 0, xn ∈ F z 45 V V Đ AK  K x, y ∈ : ≤ xi ≤ ≤ Ax =  zi i 1 , Ay =  vi i 1 n n x i  0 zi    x i  ; x i  xi = yi = i 0 vi    yi  y i  yi  = vi = xi = 0, yi > = < vi  yi  i zi  xi   yi   vi < xi ≤ yi V =1, 2, , n i ≤ y *) (∀x ∈ K\ θ}) (∀ t ∈ (0; 1) ) T 0 =  wi i 1 , wi    tx i  n = tAx = tz =  ci i 1 , n 0 ci   t ( x i  ) V x ∈ K\ θ}  xi ≥ 0, ∃ xi > xi = i ∈ tx i   x i  tx i   x i  x i  x i  , , …, } = wi = ci  t ( xi  1) , wi  txi  xi > wi  ci  txi   (t xi  t )  txi (1  t )  (1  t )  t ∈ (0; 1) V w > tz Atx > tAx *) (∀x ∈ K\ θ} ) (∀ t ∈ (0; 1) ) Ta η= 1        (1   )t  t t t V x ∈ K\ θ}  xi ≥ 0, ∃ xi > T Atx = w =  wi i 1 n ∈ , , …, } wi  txi  xi > 0, wi = xi = 0; 46 ( +η) = t z =  hi i 1 n hi  t ( xi  ) xi > 0, hi = xi = xi = i = wi = xi > wi  hi  txi   t ( xi  1)  tx i (1  t )  (1  t )  t ∈ (0; 1)  hi < wi  t z < w  V > ( +η) u0 - lõm quy 2.3 Sự tồn vectơ riêng toán tử u0 - l m quy tác dụng không gian Banach với nón cực trị G E  E, B u0 ∈ K\ θ}, : E → E Đ o hà tiệ 0– c n c a to n t Định nghĩa T n Q: E → E , Ax = Qx + W(x) , Định x∈ K; lim xK , x  W (x)  x ≤ x ∈ K C minh (∀ x ∈ K\ θ} ) lim t  Atx-Qtx t x :  lim t  W(tx) tx  > , ∃c1= c1(x,t) > 47 1 1 W(tx) Ax = A( tx)  (1+c1 ) Atx  Atx  [Q(tx)+W(tx)]  Qx + t t t t t  Ax  Qx + C W(tx) ,  t 1 t → +∞, Hể ≤ : , θ=θ≤ θ V ≤ Định x∈ K G ề , : , (∃ v∈ K(u0))(∀x ∈ ) 0– ,Đ ( 0) xQ Q ≤ ; iêng > 0; 3, , ( 0) C *) G ∈ (0; ) x =t 0l-1 Q Ax Q T Ax =A (t 0lQ-1Ax Q )  (1  c1 )t A(lQ-1Ax Q )  (1  c1 )t0 A(lQ-1Qx Q )  (1  c1 )t Ax Q -1  x =t 0lQ Ax Q  lQ1(1+c1)-1Ax Đ A1  lQ1 (1  c1) A  A1 : 0–  (∃x0 ∈ K(u0)) x0 ≤ Q -1 c1 =c1 (lQ Ax Q ,t )  cho , – , 1x0  Q1  lQ1 (1 c1 )1 Q ổ r1 (Q1 )  lQ1 (1  c1 )1 r (Q)  (1  c1 ) 1  ∈ K(u0), 48 *) ể  x0 ≤ n 1x0 = A1xn-1 = x1 ≤ 1x1 ( n = 1, 2, 3, ) = x2 ≤ ≤ 1xn-1 = xn ≤ ≤ , u  lQ1 (1  c1 )1 v  K (u0 )  D  x n n1  K (u0 )  K \ { } , ể  D  x n n1 ể sup  x n B ∈ K(u0) T n1     x n n1 ,  x n k 1 cho  k x n k  k , x n k  x n k -1   nên lim x nk k  C ( k 1, 2, ) lim x nk 1   k  Q1  21(1  r (Q)) C ể A1x n k -1 -Q1.x n k -1 x n k -1  (1  r1 (Q1 )) Suy 1 A1x n k -1  x nk 1 A1x n k -1 -Q1x n k -1 x nk 1  Q1 x nk 1 x nk 1  r1 (Q1 )  r1 (Q1 )  1 , 2  ề ể  x n n 1 T nên  x*  sup  x n n 1  K \ { } *) x0 ≤ n ≤ * ≤ , n ≤ n+1 = A1xn ≤ * 1x ( n = 1, 2, 3, ) , 49 suy x* ≤ A1x* (2.1) , α ≤ * ≤ xn ≤ ≤ ≤ βu0 , x* ∈ K(u0), x n  : α, β (2.2)  * x K   0  = , , → E f(t) = xn - tx* t , E T E f-1(K) tn = sup f-1( ), < αβ-1 ≤ n tn >  xn – tnx* ≤ , (2.2) H ể ,  tn+1 n n ∈ f-1( ) Hơ  xn nx ữ , xn+1 – tnx* n * > x* , - tnx* θ  tn n1 T , lim tn  t  [ 1; 1] n  G < , ∃c = c(x*, t) > cho A1tx* > (1 + c)tA1x* ( + ) *  x n   A12 x n  A12tn x*  A12 (  tn (1  c) A1 tx*  (1  c)tn x* t  tn+2 Đ ( + )n , t2k+1 Suy ra, t2k+1 n ( n 1,2, ) ( n = 1, 2, ) ( + ) 2k-1 ( n = 1, 2, ) ( + )kt1 > ( k = 1, 2, ), ( + ) 2k-1 t  lim tn  lim t2k 1   , *) tn * t tx )  n A1tx* t t k  â ề < = , 50 tnA1x* ≤ C x* ≤ 1tn A1x* ≤ →∞ T ( ) = xn+1 ≤ 1xn * * ( n = 1, 2, ) , (2.3) A1x* = x*  Ax* = lQ(1+c1)x* ( 3) ( 0) 2.3.2 u0 – o hà r ch t c a to n t Định nghĩa :E→E T ( Định θ) F Ax-Aθ-Px , lim xK , x 0 u0  , : x u0 – , u0 – F θ t x ∈ K; ≤ b, ( ∀x, y ∈ : ≤ ) ≤ C x  K \{ } a, G Ptx  Atx lim t 0 u0  lim t 0 t x Ptx  Atx u0 0 u0 0 , tx – F D Ptx  Atx lim t 0 t  lim u0 t 0 Ptx  Atx t , (    0) ( t0 (0;1) ) cho  t ( 0; t0 ] Ptx  Atx t  u0  T  – : : u0 Ptx  Atx   u0 ,  t (0; t0 ] t suy (2.4) 51 Px  Ptx  Atx Atx     u0  Ax,  t (0; t0 ] t t V =θ θ=θ≤ θ=θ V ≤ x ∈ K , ∈ , ≤ ,G Py  Px  ≤ Px, ∀ x  K \{ } ε>0 ù ý > ù ý, Pty  Aty Ptx  Atx Aty  Atx    2 u0 t t t T ù ý , ∀x, y ∈ , ≤ Định ( (2.4)) ε > 0, ≤ G ề , : sau t ∈ K(u0) 0– , θ = θ; 2, u0 – F xp  K(u0) θ p > 3, , ( 0) C *) G , au0 ≤ p ≤ T lim Atx p  Ptx p t 0 u0 t 0 t xp  lim t 0 ,  lim Atx p  Ptx p Atx p  Ptx p t  lim u0 t 0 u0 tx p Atx p  Ptx p t 0 u0  ε = ( p – l )a > 0, ∃t0 ∈ (0; 1), ∀t ∈ (0; t0 ] 52 Atx p  Ptx p      u0  t t u0 At0 x p  Pt0 x p      u0  t0 D Atx p  Ptx p   u0 , At0 x p  Pt0 x p t0 u0   u0 , At0 x p t0 At0 x p  Pt0 x p   Px p    u0  l p x p t0   (l p  l ) au  l p x p Đ = t0xp , A1 = l-1 x0 = t0xp ≤ ể *) x0 ≤   (l p  l ) x p  l p x p  lx p -1 1x1 = x2 ≤ - ≤ n = A1xn-1 ≤  x n n1 ể ≤ -1 ,  K(u0), l-1v ∈ K(u0)  x n n 1 ữ , At0xp = A1x0 x0 ∈ K(u0), u = l-1v ∈ K(u0), Hơ ∈ K(u0), A1 xn = A1xn-1 ( n = 1, 2, 3, ) = x1 ≤ 1x0 (∃N > 0)(∀n∈N*) x n  N l 1v  Nl 1 v  sup  x n n1  x*K \{ } , T 1, x0 ≤ G γ n ≤ * λ, γ ≤ ≤ , xn ≤ ữ ≤ n ≤ n+1 = A1xn ≤ 1x *  x* ≤ 1x * * ≤ ≤λ , (2.6) x* ∈ K(u0)    x n   u  u  x*  xn  x*      *) (2.5) ( n 1,2, ) 53 →E g: g(t) = xn – tx* , t E -1 E, Đ γλ-1 ∈ g-1(K), t ∈ g-1(K)  tn = sup g-1( ), θ  xn xn – tx* * tn ∈ [ γλ-1 ; 1] ( ) > x* , â ≤ , ( 6) D n > ∈ g-1( ) = , ,  tn n1 *) D xn+1 – tnx* D n θ  tn+1 – tnx* n  tn n1 ( n = 1, 2, ) , , i lim t  t (0; 1] n n G , ∃c2 = c2(x*, t) > cho < A1tx* > (1 + c2)tA1x* ( + 2)tx * t t  xn   A12 xn  A12tn x*  A12 ( n tx* )  n A1tx* t t t  n (1  c2 )tx*  (1  c2 )tn x* ( n 1,2, ) t  tn+2 ( + )tn ( n = 1, 2, ) Suy ra, t2k+1 D ( + ( + 2)kt1 > ( k = 1, 2, ) )t2k-1 tn  lim t2 k 1   , mâu thu , t  nlim  k  ề < Nên t = *) tnA1x* ≤ Cho 1tn → +∞ x* ≤ 1xn = xn+1 ≤ A1x* ≤ * * ( n = 1, 2, ) (2.7) 54 T ( 5) A1x* = x*  Ax* = lx* ( 7) ( 0) - Ví dụ T ềt ề vector riêng - quy t t = G u =( 1, x2, , xn) ∈ Rn : xi 0, = 1, 2, , n } = ( u1, u2, ,un) ∈ K\ θ}, ui > 0, ∀ = , , …, T K(u0) = { x = ( x1, x2, , xn) ∈ Rn: xi > } : Rn → T n Ax = z =  zi i 1 n x 0 zi   1 x i  x i > T u0 - lõm quy v =  vi i 1 ∈ K(u0) cho vi = 1, ∀ i = 1, 2, , n n , K zi ≤ vi =1, ∀ i = 1, 2, , n  z ≤ , V ∀x =  x i i1 ∈ K u0 - lõm quy n , ≤ v v∈ K(u0) ≤ x∈  n : n → =θ x T = + ( ) = ∈ K ( ), n 0 W(x) Ax   x x Suy  (zi )2 i 1 x  n x ≤ zi ≤ 1, ∀ i = 1, 2, , n 55 0 lim xK , x  W (x) W (x) n  lim   lim 0 xK , x  x xK , x  x x , ề 33 V vector riêng K(u0)  T ể vector riêng K(u0) T ỗ ỗ x  K(u0) ể λ>0 =λ =  x i i1  K(u0) xi > 0, ∀ i = 1, 2, , n nên Ax = z =  zi i 1 n n G ;  x    x i i 1 n zi = 1, ∀ = , , …, = λ    x i , i  1,2, , n  x i  V D ỗ  K(u0) x =  x i i1 n t = G xi   t v t rr =( 1,  0, i  1,2, , n λ>0   0, i  1,2, , n t không t : v ỗ u t u K(u0) x2, , xn) ∈ Rn : xi 0, = , , , } = ( u1, u2, ,un) ∈ K\ θ}, ui > 0, ∀ = , , …, T K(u0) = { x = ( x1, x2, , xn) ∈ Rn: xi > } t T u0 - lõm quy v u0 - lõm quy A: Rn → x   x i i1 n 0 zi    x i  x i  x i  n Ax = z   zi i 1 n 56  n : n → =θ x T = + ( ) = n 0  (zi )2 W (x) Ax   x x ∈ K ( ), i 1 x n   ( x i  1)2 i 1 x B Theo n n i 1 i 1  x i  2 x i  n  x : n n  n  x  n x   i  xi  n x  i  i 1 i 1  i 1  n n  n  x  n x  n n x   i  xi  n x  i  i 1 i 1  i 1  Suy  W (x)  x 0  n x x lim xK , x  lim xK , x   n2 x x  n x W (x)  lim xK , x  x n  x  n  x n2 x  n2 x n x n  x 0 W (x) 0 x T u0 - lõm quy A v∈ K(u0) T , ∀ = , , , ≤ v, ∀x ∈ K Ax ≤ v, ∀x ∈ K  xi   vi i > v =  vi i 1 ∈ K(u0) n i > 0, 57 =  ui i 1 ∈ K n T = vi2 , ∀ = , , , , i wi  vi2   vi , ∀ = , , , ,ở > , 33 ề =  wi i 1 , n â ề u0 - lõm quy A v∈ K(u0) K(u0) T T ỗ ỗ x  K(u0) ể λ>0 =λ x =  x i i1  K(u0) i V > 0, ∀ i = 1, 2, , n nên Ax = z =  zi i 1 n n G i xi  , ∀ = , , …, n ;  x=  λx i i 1 n = = λ  xi    xi   xi  xi   0, i  1,2, , n  xi    4  2   4   xi   0, i  1,2, , n 2 2 ỗ n  K(u0) , ề x =  x i i1 v∈ K(u0) K(u0) λ>0 xi   2   4 0 2 u0 - lõm quy A ề ể u0 - lõm quy A 58 K T LUẬN ă :“ i vector B không gi ộ ă C – ề ổ ề : T ề , , B , , không gian E u ( 0) Rn, C1[a;b] ề C 0- : 0– B T ề ề , – , ộ Rn u0 – D ă ữ , ý ể T â ă ể , 59 T I LIỆU THAM KHẢO Tài liệu Tiếng Việt [ H ( 987), “C p t ọ , [ v tơ r 5( t ọ , [3 ể bất 5( [ t ớp p H ộ ,( uẩ , T t õ qu , trì p tu ế , Thông tin ) , ( 3-30) ýv ĐH [5 H (2006), G ả t [6 H ( 007), Bà tâp G ả t ó tr H , ộ ô ,( B ), ( -8) ỹ , H B ộ ỹ ộ H ( 3), C [7] quy, T [8 H qu , t H ( 99 ), “M t số H õ ), ( 7- 32) H ( 989), “V ĐH t ), ( 7-23) H ( 987), “C p t T v tơ r , ( 003), d ĐH t t H ả t t (K,u0) - lõm ộ , , , Đ ô tu ế t 8-127 H ộ Tài liệu tiếng Nga [9] Bakhtin I.A (1959), V t õ õ p u,D trì ,T 6, [10] Kraxnoxelxki M,A (1962), C t vớ t , trang - 12 d p trì t , Maxkva, Nxb Toán lý [11] Bakhtin I.A (1984), C tu ế t vớ t t d õ , Vôrônegio p trì ô [...]... tự trong không gian Banach Định nghĩa 1.1.5 G V E B x y x, y  E, Định , ộ y – x  K, x < y E y – x  K\{ θ} 1.1 “  “ 5 ộ trong không gian E C T : *) ( x E) x  x, vì x – x = θ ∈ K “ “ *) (  x, y, z ∈ E : x ≤ , ≤ )  x – y ∈ K, y – z ∈ K  z – x = (z – y )+( y – x) ∈ K  x ≤ “ “ *) (  x, y ∈ E : ≠ ≤ , ≤ ) = – x ≠ θ, ≤ V “ “ ≤ =  y – x ∈ K x – y  â 8 “ “ V ộ : không gian E theo nón. .. Eu0 D =   ,  n  n0 , ( xn )n 1 B E u0 n 0 - (xn - x ) ∈ E u 0 – ộ trong E u 0 theo u0 – 1.4 ón cực trị Định nghĩa 1 .4 G E K E B , ỗ ( xn ) n 1  K k u ∈ K, ở ỗ ∈ , ( yn )n 1  , ở ă , ề sup (xn )n 1  K , inf ( yn ) n 1  K 1 1.5 Các không gian nửa sắp thứ tự Rn, C[a;b] * 1.5.1 Không gian Rn , n  N a) Không gian Rn = { x = (x1, x2, , xn ) : xi ∈ R, i = 1, 2, , n } ( n ∈ N* ) ù x... inf(t1  t3 ) , xu  y u0  inf t2  inf t4  inf(t 2  t4 ) 0 0 Nên x u  y 0 x y V u0 D u0  max{inf(t1  t3 ),inf(t 2  t4 )  x  y  xu  y 0 u0 u 0 u0 ộ u 0 C : Eu0 0 – 1.4 Nón chuẩn tắc và nón cực trị 1.4.1 Nón chu n tắc và t nh ch t G E  E, B u0 ∈ K\ θ} Định nghĩa 1 .1 , : (  0)(e1, e2  K : e1  e2  1) Định e1  e2   1 .2 C ề , â ơ ơ ; 2, (  M  0)( y  K\ { })(  xE y )...  , lim xi( k )  xi , i  1,2, , n , x  (1.6) ơ x  (k ) ộ → ∞ trong Rn V ộ ộ n Banach K = { x = ( x1, x2, , xn) ∈ Rn : xi e) n ộ T , } ∈ Rn 0, = , , T *) θ  x   K, x (k ) *) G (k ) n ộ ơ ơ k  ộ ộ, ỗ lim xi( k )  xi = , ,…, k  V xi( k )  0, i  1,2, , n, k  N * nên xi 0, = , , V *) V lim x ( k )  x trong không gian  ( x1( k ) , x2( k ) , , xn( k ) ) x = ( x1, x2, , xn) ∈ Rn... +(x-αu 0 )  K Suy ra ∀x ∈ K(u0)  x ∈ θ} V ( 0)  K\ θ} ≠ θ 0 11 1.3 Phần tử u0 - đo đƣợc G E K  E, B u0 ∈ K\ θ} Định nghĩa 1 .1 x E , u0 - â s t1, t2 sao cho  t1u 0  x  t 2u 0  E u0 Định E 0 - 1 V ∈ E u0 t ỗ cho – α 0 â α = α( ), β = β( ) ≤ ≤ β 0 C ∈ E u0 G â  T T β : : ộ ộ B â E, -1 E ( ) ộ V ng trong không gian R inf f-1(K) = - ∞ ∃  t n n1  f 1 (K) sao cho tnu0 – x ∈  lim t n... 2, , n Suy ra  xi( k )  xi n  2   2 n   xi( k )  xi i 1   2 , i  1,2, ,n 2   xi( k )  xi  n i 1 2   , k  k0 hay x( k )  x   , k  k0 D ộ ể x  gian Eukleides Rn (k ) ơ n ộ ộ V , ộ ộ i 22 d) Không gian Rn T B x  (k )  , ơ k 1  Rn n ù ý ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N : ∀ , * ( ) x ( k )  ( x1( k ) , x2( k ) , , xn( k ) )  R n ộ , n0, x (k ) x   xi( k )  xi( p)  n  ( p) 2... ’ ( ) 1.2 Quan hệ thông ƣớc giữa các phần tử G E B K  E Định nghĩa 1 .1 G , ơ Định ∈ E x α, β sao cho αy ≤ x ≤ βy 1 .2 ộ C y, n ơ ơ E minh +) ∀ x ∈ E thì x thô > 0 ể 1.x ≤ x ≤ 1.x x, v +) G , ộ E: , ơ 1 1 sao cho αy  x  βy  x  y  x V β α +) G , , ộ E ơ , ay ≤ x ≤ by, cz ≤ y ≤ dz , , ,  (a.c)z ≤ x ≤ (b.d)z V V ộ ơ ơ E α, β 10 G ∈ K\{θ} 0 ( 0) a không gian E u0 Định 1 K(u0) ( 0)  K\ θ} ộ C... , n : K(u0) = { x = ( x1, x2, , xn) ∈ Rn : xi > 0, i = 1, 2, , n } Eu0 = {x = (x1, x2, ., xn) ∈ Rn } = Rn : V = Banach R2 Khi = {x = (x1, x2) ∈ R2: x1 0, 2 0} u0 = (1; 1) ∈ K\ θ} K(u0) = {x = ( x1, x2) ∈ R2 : x1 > 0, x2 > 0 } E u 0 = {x = (x1, x2) ∈ R2} = R2 29 1 1.5.2 Không gian C[a;b] C1[a;b] = { x : [ ; a) T → : [ , } ù ( x+ y)(t) = x(t) + y(t) , t ∈ [a; b] , (α )( ) = α ( ) , ∈ [a; b] =... ui  max  xi   xi 1i  n iI1 Suy ra –tui ≤ i ≤ ∈ E u0 D i ,∀ = , , , > 0 ể –tu0 ≤ ≤ 0 E u 0 = { x = (x1, x2, ., xn) : xi = 0, i ∈ I2} : *) V = x∈ V 0 Banach R1 = = ∈ : 0 } = [ 0; +∞) θ} K(u0) = { x ∈ : > 0 } = ( 0; +∞) E u 0 = {x∈ R} = R *) V Banach R2 = = {x = (x1, x2) ∈ R2: x1 0 = (1; 0) ∈ 0, 2 0} θ} K(u0) = {x = ( x1, x2) ∈ R2 : x1 > 0, x2 = 0} E u 0 = {x = (x1, x2) ∈ R2: x2 = 0}  T T : I2... *) (  x, y ∈ E : ≠ ≤ , ≤ ) = – x ≠ θ, ≤ V “ “ ≤ =  y – x ∈ K x – y  â 8 “ “ V ộ : không gian E theo nón K B E Định nghĩa 1.1 G E ộ Dãy ể x  Dãy ể   Các dãy n  xn ể n 1  n 1 B ∈E , ∈E không ă , ể x1 ≤ , x1 2 ≤ ≤ 2 n ≤ n ă ơ Định nghĩa 1.1.8 G E ộ B ộ , E T ở u  E, T ở  E, ( x  M) x  u (x  M) v  x Định nghĩa 1.1 G E B , E E , = , *) ( x  M) x  z; (uE)(  xM) x  u *)