Tốc độ hội tụ của một số phép lặp trong không gian banach

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI PHẠM THỊ SEN TỐC ĐỘ HỘI TỤ CỦA MỘT SỐ PHÉP LẶP TRONG KHÔNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI PHẠM THỊ SEN TỐC ĐỘ HỘI TỤ CỦA MỘT SỐ PHÉP LẶP TRONG KHÔNG GIAN BANACH Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Khải HÀ NỘI, 2016 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn TS Nguyễn Văn Khải Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Khải, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để tác giả hoàn thành luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ tác giả suốt trình học tập hoàn thành luận văn tốt nghiệp Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người thân động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, 10 tháng năm 2016 Tác giả Phạm Thị Sen LỜI CAM ĐOAN Dưới hướng dẫn TS Nguyễn Văn Khải luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Tốc độ hội tụ số phép lặp không gian Banach” hoàn thành nhận thức thân, không trùng với luận văn khác Trong nghiên cứu luận văn, kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, 10 tháng năm 2016 Tác giả Phạm Thị Sen Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 Không gian metric 1.1.1 Sự hội tụ 1.1.2 Tập mở, tập đóng ánh xạ liên tục 1.1.3 Không gian metric đầy đủ Không gian định chuẩn 11 1.2.1 Định nghĩa 11 1.2.2 Sự hội tụ không gian định chuẩn 11 1.2.3 Không gian Banach 13 1.2.4 Chuỗi không gian định chuẩn 14 Sự hội tụ số dãy lặp 2.1 2.2 10 17 Ánh xạ co 17 2.1.1 Điểm bất động 17 2.1.2 Ánh xạ co 17 2.1.3 Nguyên lý ánh xạ co Banach 18 Dãy lặp Picard, Mann, Ishikawa, hai bước 19 2.2.1 Dãy lặp Picard 19 2.2.2 Dãy lặp Mann 19 2.3 2.2.3 Dãy lặp Ishikawa 19 2.2.4 Dãy lặp hai bước 20 Ánh xạ Zamfirescu hội tụ dãy lặp Picard, Mann, Ishikawa, hai bước 20 2.3.1 Ánh xạ Zamfirescu 20 2.3.2 Sự hội tụ dãy lặp Picard 23 2.3.3 Sự hội tụ dãy lặp Mann 2.3.4 Sự hội tụ dãy lặp Ishikawa 26 2.3.5 Sự hội tụ dãy lặp hai bước 27 2.3.6 Mối liên hệ điểm bất động dãy lặp Picard, 25 Mann, Ishikawa dãy lặp hai bước 29 So sánh tốc độ hội tụ số dãy lặp 34 3.1 So sánh tốc độ hội tụ dãy lặp Picard dãy lặp hai bước 34 3.2 So sánh tốc độ hội tụ dãy lặp hai bước dãy lặp Mann 41 3.3 So sánh tốc độ hội tụ dãy lặp hai bước dãy lặp Ishikawa 3.4 So sánh tốc độ hội tụ dãy lặp Picard dãy lặp Mann 54 47 Kết luận 61 Tài liệu tham khảo 62 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Lý thuyết điểm bất động xuất lôi quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học giới không lý thuyết đóng vai trò quan trọng toán học mà ứng dụng nhiều lĩnh vực khác Trong lý thuyết điểm bất động, phương pháp lặp xấp xỉ điểm bất động đề tài đặt biệt ý Nhiều năm trở lại đây, có nhiều công trình nghiên cứu phương pháp lặp xấp xỉ điểm bất động không gian metric, số lớp không gian Banach, không gian Hilbert công bố Với mong muốn nghiên cứu số vấn đề lý thuyết điểm bất động, hướng dẫn TS Nguyễn Văn Khải hoàn thành luận văn với đề tài "Tốc độ hội tụ số phép lặp không gian Banach" Nội dung luận văn dựa hai công trình: The comparion of the convergence speed between Picard, Mann, Ishikawa and two-step iterations in Banach spaces Acta Mathematica Vietnamica, vol 37, Number 2, 2012, pp 243-249 DuongVietThong; Picard iteration converges faster than Mann iteration for a class of quasi-contraction operators O Popescu, (2007), Math Commun, 12, pp 195-202 Mục đích nghiên cứu So sánh tốc độ hội tụ phép lặp Picard, Mann, Ishikawa lặp hai bước không gian Banach Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu phép lặp Picard, Mann, Ishikawa, lặp hai bước, toán tử Zamfirescu so sánh tốc độ hội tụ phép lặp không gian Banach Luận văn chia làm ba chương: Chương : Kiến thức chuẩn bị Trình bày số vấn đề hội tụ dãy số, chuỗi số không gian metric, không gian định chuẩn không gian Banach Chương : Sự hội tụ số dãy lặp Trình bày kết liên quan đến tồn điểm bất động với nguyên lý ánh xạ co Banach, ánh xạ Zamfirescu hội tụ tới điểm bất động dãy lặp Picard, Mann, Ishikawa dãy lặp hai bước Chương : So sánh tốc độ hội tụ số dãy lặp Trình bày kết so sánh tốc độ hội tụ dãy lặp Picard, Mann, Ishikawa dãy lặp hai bước Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu phạm vi nghiên cứu phép lặp Picard, Mann, Ishikawa, lặp hai bước toán tử Zamfirescu không gian Banach Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu giải tích hàm Đóng góp luận văn Luận văn hệ thống hóa vấn đề tốc độ hội tụ phép lặp Picard, phép lặp Mann, phép lặp Ishikawa phép lặp hai bước không gian Banach Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.1.1 Không gian metric Sự hội tụ Định nghĩa 1.1.1 ([1]) Giả sử X tập hợp khác rỗng Hàm số ρ : X × X → R gọi metric hay khoảng cách X tính chất sau thỏa mãn: (i) ρ(x, y) ≥ với x, y ∈ X , ρ(x, y) = ⇐⇒ x = y ; (ii) ρ(x, y) = ρ(y, x) với x, y ∈ X (tính đối xứng); (iii) ρ(x, z) ≤ ρ(x, y) + ρ(y, z) ∀x, y, z ∈ X (bất đẳng thức tam giác) Nếu ρ metric X ta nói cặp (X, ρ) gọi không gian metric Để đơn giản ta viết X không gian metric Ví dụ 1.1.1 ([1]) Hàm số ρ(x, y) = |x − y| metric tập số thực R gọi metric thông thường R Tập số thực R với metric thông thường gọi đường thẳng thực Ví dụ 1.1.2 ([1]) Giả sử C trường số phức Với cặp số phức z = x + iy, z = x + iy (x, y, x , y ∈ R) đặt ρ(z, z ) = (x − x )2 + (y − y )2 Ví dụ 3.3.2 Từ ví dụ (3.1.2), cho u0 = x0 = 1000, Sử dụng phần mềm Maple 17 để tính giá trị phép lặp Chương trình cụ thể: Phép lặp Ishikawa := proc (f, u0 , a, b, n) local z, u, i: z[0] := evalf((1-b)u0 +b subs(x = u0 , f), 10): print(Giá trị z0 là, z[0]): u[1] := evalf((1-a)u0 +a subs(x = z[0], f), 10): print(Giá trị u1 là, u[1]): for i from to n z[i-1] := evalf((1-b)u[i-1]+b subs(x = u[i-1], f), 10): print(Giá trị zi−1 là, z[i-1]): u[i] := evalf((1-a)u[i-1]+a subs(x = z[i-1], f), 10): print(Giá trị ui là, u[i]):od: end: 1 Phép lặp Ishikawa((3x + 18) , 1000, , , 45); 2 49 Số thứ tự bước lặp Giá trị dãy lặp (zn ) (un ) z0 u1 z1 u2 z2 u3 z3 u4 z4 u5 z5 u6 z6 u7 z7 u8 z8 u9 z9 u10 z10 u11 z11 u12 z12 u13 z13 u14 z14 507.2256416 505.7735980 258.6549468 257.5166864 133.3815835 132.4972579 69.97961949 69.30291326 37.69664631 37.19141418 21.12583745 20.76243714 12.53822932 12.28975230 8.044844488 7.884743216 5.675602310 5.578322215 4.420555505 4.364258381 3.754384848 3.722920136 3.400592520 3.383392944 3.212700592 3.203421286 3.112927735 3.107958347 3.059953037 50 Số thứ tự bước lặp Giá trị dãy lặp (yn ) (xn ) u15 z15 u16 z16 u17 z17 u18 z18 u19 z19 u20 z20 u21 z21 u22 z22 u23 z23 u24 z24 u25 z25 u26 z26 u27 z27 u28 z28 u29 z29 3.057302530 3.031828007 3.030417407 3.016896660 3.016146820 3.008969920 3.008571574 3.004761835 3.004550287 3.002527895 3.002415570 3.001341971 3.001282335 3.000712406 3.000680745 3.000378190 3.000361382 3.000200767 3.000191845 3.000106580 3.000101843 3.000056580 3.000054066 3.00003003 3.000028701 3.000015944 3.000015236 3.000008464 3.000008088 3.000004494 51 Số thứ tự bước lặp Giá trị dãy lặp (yn ) (xn ) u30 z30 u31 z31 u32 z32 u33 z33 u34 z34 u35 z35 u36 z36 u37 z37 u38 z38 u39 z39 u40 z40 u41 z41 u42 z42 u43 z43 u44 z44 3.000004294 3.000002385 3.000002279 3.000001266 3.000001210 3.000000672 3.000000643 3.000000358 3.000000342 3.000000190 3.000000181 3.000000100 3.000000096 3.000000054 3.000000051 3.000000029 3.000000028 3.000000016 3.000000015 3.000000008 3.000000008 3.000000004 3.000000004 3.000000002 3.000000002 3.000000001 3.000000001 3.000000000 3.000000000 3.000000000 52 Ta có bảng so sánh sau: STT Dãy lặp Ishikawa (un ) Dãy lặp hai bước (xn ) 505.7735980 259.3864188 257.5166864 70.91103158 132.4972579 21.81696908 69.30291326 8.474131740 37.19141418 4.647951504 20.76243714 3.504188621 12.28975230 3.155173770 7.884743216 3.047850681 5.578322215 3.014764667 10 4.364258381 3.004556608 11 3.722920136 3.001406323 12 3.383392944 3.000434048 13 3.203421286 3.000133965 14 3.107958347 3.000041346 15 3.057302530 3.000012761 16 3.030417407 3.000003938 17 3.016146820 3.000001216 18 3.008571574 3.000000376 19 3.004502860 3.000000116 20 3.002415570 3.000000036 21 3.001282335 3.000000011 22 3.000680745 3.000000003 23 3.000361382 3.000000001 24 3.000191845 3.000000000 25 3.000101843 3.000000000 26 3.000054066 3.000000000 27 3.000028701 3.000000000 28 3.000015236 3.000000000 29 3.000008088 3.000000000 53 STT Dãy lặp Ishikawa (un ) Dãy lặp hai bước (xn ) 30 3.000004294 3.000000000 31 3.000002279 3.000000000 32 3.000001210 3.000000000 33 3.000000643 3.000000000 34 3.000000342 3.000000000 35 3.000000181 3.000000000 36 3.000000096 3.000000000 37 3.000000051 3.000000000 38 3.000000028 3.000000000 39 3.000000015 3.000000000 40 3.000000008 3.000000000 41 3.000000004 3.000000000 42 3.000000002 3.000000000 43 3.000000001 3.000000000 44 3.000000000 3.000000000 Ta thấy dãy lặp Ishhikawa cần 44 bước lặp tới điểm bất động dãy lặp hai bước cần 24 bước lặp tới điểm bất động 3.4 So sánh tốc độ hội tụ dãy lặp Picard dãy lặp Mann Định nghĩa 3.4.1 ([7]) Hàm số ϕ : R+ −→ R+ hàm so sánh ϕ thỏa mãn điều kiện sau: (i) ϕ đơn điệu tăng, t1 ≤ t2 ϕ(t1 ) ≤ ϕ(t2 ); (ii) {ϕn (t)}∞ n=0 hội tụ tới ∀t ≥ Bổ đề 3.4.1 ([7]) Nếu ϕ hàm so sánh ϕ thỏa mãn điều kiện sau: (i) ϕ(t) < t, ∀t > 0; (ii) ϕ(0) = 54 Định nghĩa 3.4.2 ([7]) Cho (X, d) không gian metric Ánh xạ T : X −→ X gọi ϕ - co rút (ϕ - contraction) ϕ hàm so sánh d(T x, T y) ≤ ϕ(d(x, y)), ∀x, y ∈ X Định nghĩa 3.4.3 ([7]) Cho (X, d) không gian metric Ánh xạ T : X −→ X ánh xạ Picard tồn x∗ ∈ X cho ∗ F (T ) = {x∗ } {T n x0 }∞ n=0 hội tụ đến x với x0 ∈ X , F (T ) := {x ∈ X; T x = x} Bổ đề 3.4.2 ([7]) Cho (X, d) không gian metric đầy đủ ánh xạ T : X −→ X Giả sử rằng: (i) Với ε > tồn δ(ε) > để d(x, T x) < δ(ε) ⇒ B(x; ε) ∈ I(T ), B(x; ε) = {y ∈ X; d(y, x) ≤ ε}, I(T ) := {A ∈ P (X); A = ∅, T (A) ⊂ A} (ii) Tồn phần tử x0 ∈ X cho {d(T n x, T n+1 x)} −→ 0, n −→ ∞ Khi dãy {T n x0 }∞ n=0 hội tụ tới điểm cố định T Định nghĩa 3.4.4 ([7]) Cho (X, d) không gian metric Ánh xạ T : X −→ X ánh xạ ϕ - tựa co rút (quasi-ϕ -contraction) ϕ hàm so sánh d(T x, T y) ≤ ϕ(d(x, y)) + Lm(x, y) với L ≥ đó, ∀x, y ∈ X m(x, y) := min{d(x, T x), d(y, T y), d(x, T y), d(y, T x)} ∞ Định nghĩa 3.4.5 ([7]) Giả sử hai phép lặp {un }∞ n=0 {vn }n=0 hội tụ tới điểm bất động q Nếu 55 un − q = an , n ≥ − q = bn , n ≥ ∞ ∞ {an }∞ n=0 hội tụ nhanh {bn }n=0 ta nói {un }n=0 hội tụ nhanh {vn }∞ n=0 tới điểm bất động q Định nghĩa 3.4.6 ([7]) Cho (X, d) không gian metric T : X −→ X ánh xạ δ - tựa co rút (quasi - δ - contraction) tồn δ , ≤ δ < L > cho d(T x, T y) ≤ δd(x, y) + Lm(x, y), ∀x, y ∈ X (3.11) Hiển nhiên ánh xạ δ - tựa co rút ϕ - tựa co rút Chú ý ánh xạ Zamfirescu ánh xạ δ - tựa co rút Thật vậy, từ (2.5) d(x, y) = x − y , toán tử Zamfirescu thỏa mãn bất đẳng thức sau: d(T x, T y) ≤ 2δd(x, T x) + δd(x, y) d(T x, T y) ≤ 2δd(x, T y) + δd(x, y) Nếu đặt L = 2δ bất đẳng thức (3.11) Định lý 3.4.1 ([7]) Cho E không gian Banach, D tập đóng, lồi E T : D −→ D ánh xạ δ - tựa co rút (quasi - δ contraction) Cho {vn }∞ / F (T ) n=0 xác định (2.2), cho v0 ∈ D , v0 ∈ dãy {pn }∞ n=0 xác định (2.1) Cho p0 ∈ D với {an } thuộc [0, 1], cho n > thỏa mãn: ∞ an = ∞; (i) n=0 (ii) an < ; 1+δ n (iii) lim n→∞k=0 δ = − (1 + δ)ak 56 dãy lặp Picard hội tụ nhanh dãy lặp Mann tới điểm bất động T Chứng minh Sử dụng (2.2) ta vn+1 − q ≤ (1 − an ) − q + an T − q (3.12) Đặt x := q y := (3.11) ta tìm T − q ≤ δ − q (3.13) Khi vn+1 − q ≤ [1 − (1 − δ)an ] − q , n ≥ Lặp lại trình ta n vn+1 − q ≤ [1 − (1 − δ)ak ] v0 − q , n ≥ k=0 ∞ ak = ∞ Mà δ < 1, ak ∈ [0, 1] k=0 Nên suy n [1 − (1 − δ)ak ] = lim n→∞ k=0 Từ (3.14) ta có lim vn+1 − q = n→∞ Do {vn }∞ n=0 hội tụ nhanh tới q Đặt y := pn x := q (3.11) ta tìm pn+1 − q ≤ δ pn − q Suy pn+1 − q ≤ δ n+1 p0 − q , n ≥ Từ (2.2) ta có vn+1 − q = [(1 − an )vn + an T − [(1 − an ) + an ]q ≥ [(1 − an ) − q − an T − q 57 (3.14) Sử dụng (3.13) ta vn+1 − q ≥ [1 − an (1 + δ)] − q Từ ta có n [1 − (1 + δ)ak ] v0 − q , n ≥ vn+1 − q ≥ k=0 Để so sánh {pn } {vn } phải so sánh δ n+1 n [1 − (1 + δ)ak ] k=0 Ta có − (1 + δ)ak > ∀δ ∈ [0, 1) {ak }∞ k=0 thỏa mãn (ii) Hơn từ (iii) ta có lim n→∞ n δ n+1 = (3.15) [1 − (1 + δ)ak ] k=0 Từ (3.15) định nghĩa (3.4.5) ta có lặp Picard hội tụ nhanh lặp Mann tới điểm bất động q Ví dụ 3.4.1 Cho E = R không gian Banach, D = [0, ∞] ánh xạ √ T : D −→ D; x −→ T x = 3x + 18 Khi đó, T ánh xạ thỏa mãn điều kiện Zamfirescu với δ=√ , 18 an = bn = T có điểm bất động x = Chọn p0 = x0 = 1000 Sử dụng phần mềm Maple 17 để tính giá trị phép lặp Chương trình cụ thể: 58 STT Dãy lặp Picard (pn ) Dãy lặp Mann (vn ) 14.45128320 507.2256416 3.944094141 259.3864188 3.101431265 134.3273583 3.011228065 70.91103158 3.001247045 38.52222997 3.000138554 21.81698908 3.000015395 13.09346232 3.000001710 8.474131740 3.000000190 5.994481952 10 3.000000021 4.647951504 11 3.000000002 3.910447871 12 3.000000000 3.504188621 13 3.000000000 3.279597426 14 3.000000000 3.155173770 15 3.000000000 3.086158574 16 3.000000000 3.047850681 17 3.000000000 3.026579014 18 3.000000000 3.014764668 19 3.000000000 3.008202145 20 3.000000000 3.004556608 21 3.000000000 3.002531406 22 3.000000000 3.001406323 23 3.000000000 3.000781287 24 3.000000000 3.000434048 25 3.000000000 3.000241138 26 3.000000000 3.000133965 27 3.000000000 3.000074424 28 3.000000000 3.000041346 29 3.000000000 3.000022970 30 3.000000000 3.000012761 59 STT Dãy lặp Picard (vn ) Dãy lặp Mann (xn ) 31 3.000000000 3.000007089 32 3.000000000 3.000003938 33 3.000000000 3.000002187 34 3.000000000 3.000001216 35 3.000000000 3.000000676 36 3.000000000 3.000000376 37 3.000000000 3.000000209 38 3.000000000 3.000000116 39 3.000000000 3.000000064 40 3.000000000 3.000000036 41 3.000000000 3.000000020 42 3.000000000 3.000000011 43 3.000000000 3.000000006 44 3.000000000 3.000000003 45 3.000000000 3.000000002 46 3.000000000 3.000000001 47 3.000000000 3.000000000 Như vậy, dãy lặp Picard cần 12 bước tới điểm bất động dãy lặp Mann cần 47 bước tới điểm bất động Nhận xét 3.4.1 Như vậy, so sánh trực tiếp tốc độ hội tụ số dãy lặp lớp ánh xạ Zamfirescu thu kết là: dãy lặp Picard hội tụ nhanh dãy lặp hai bước, dãy lặp hai bước hội tụ nhanh dãy lặp Mann dãy lặp Ishikawa, dãy lặp Picard hội tụ nhanh dãy lặp Mann 60 Kết luận Luận văn Tốc độ hội tụ số phép lặp không gian Banach trình bày vấn đề sau: - Toán tử Zamfirescu - Các phép lặp Picard, lặp Mann, lặp Ishikawa, lặp hai bước - Sự hội tụ phép lặp Picard, Mann, Ishikawa lặp hai bước - So sánh tốc độ hội tụ phép lặp Picard, Mann, Ishikawa lặp hai bước Ở phần so sánh tốc độ hội tụ phép lặp nêu có ví dụ chạy phần mền Maple 17 Phần đóng góp luận văn đưa ví dụ 3.1.2, 3.2.2, 3.3.2, 3.4.1 giải phần mềm Maple 17 Hướng nghiên cứu luận văn tiếp tục nghiên cứu phát triển Tôi xin chân thành cảm ơn 61 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Cung Thế Anh, Nguyễn Thành Anh (2011), Topo đại cương, NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội [2] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải, (2001), Giải tích hàm, NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội [3] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải, Nguyễn Đình Sang, Phạm Ngọc Thao, (1997), Toán cao cấp, tập I, NXB Giáo Dục, Hà Nội [4] Đỗ Hồng Tân, Nguyễn Thị Thanh Hà, (2013), Các định lý điểm bất động, NXB Đại Học Sư Phạm, Hà Nội [B] Tài liệu tiếng Anh [5] Vasile Berinde, (2007), A convergence theorem for Mann iteration in the class of Zamfirescu operators, Analele Universitătii de Vest, Timisoara Seria Matematică XLV, (2007), 33-41 [6] Antonio Jiménnez Melano, David Ariza Ruiz, Genaro Lopsez Acedo, (2011), A fixed point theorem for weakly Zamfirescu mappings, Dept Anaslisis Matemático, Fac Matemáticas, Universidad de Sevilla, Apodo (1160), (41080) Sevilla, Spain 62 [7] O Popescu, (2007), Picard iteration converges faster than Mann iteration for a class of quasi-contraction operators, Math Commun 12, 195-202 [8] DuongVietThong, (2012), The comparison of the convergence speed between Picard, Mann, Ishikawa and two-step iterations in Banach spaces, Acta Mathematica Vietnamica, vol (37), Number (2), (2012), pp 243-249 [9] Isa Yildirim, M Ozdemir and H Kiziltunc, (2009), On the convergence of new two-step iteration in the class of quasi-contractive operators, Int Journal of Math Analysis, Vol.(3), (2009), no.(38), (18811892) [10] T Zamfirescu, (1972), Fix point theorems in metric spaces, Arch Math 23 (1972), 292-298 63 [...]... Ví dụ 1.1.4 ([1]) Sự hội tụ trên đường thẳng thực R và mặt phẳng phức C là sự hội tụ của dãy số theo nghĩa thông thường Ví dụ 1.1.5 ([1]) Trong không gian Rk , sự hội tụ của dãy (n) (n) xn = (x1 , , xk ) đến điểm x = (x1 , , xk ) là sự hội tụ theo từng tọa độ Định nghĩa 1.1.3 ([8]) Giả sử rằng dãy số thực {xn } hội tụ về số x, dãy số thực {yn } hội tụ về số y thì {xn } gọi là hội tụ nhanh hơn {yn } nếu... p ≥ 1 ∞ an hội tụ nên chuỗi n=1 16 Chương 2 Sự hội tụ của một số dãy lặp 2.1 Ánh xạ co Trong phần này, chúng ta tìm hiểu về sự tồn tại duy nhất điểm bất động của ánh xạ co trong không gian Banach 2.1.1 Điểm bất động Định nghĩa 2.1.1 ([1]) Cho X là một không gian metric và T : X −→ X là một ánh xạ liên tục Một điểm x ∈ X được gọi là điểm bất động với T nếu x = T x Có lẽ định lý điểm bất động đơn giản... X Không gian vectơ X trên đó xác định một chuẩn được gọi là không gian định chuẩn 1.2.2 Sự hội tụ trong không gian định chuẩn Nhận xét 1.2.1 Từ định nghĩa suy ra nếu X là một không gian định chuẩn thì nó là một không gian metric, với metric được định nghĩa bởi ρ (x, y) = x − y với mọi x, y ∈ X Khi đó ρ là một khoảng cách trong 11 X Vì vậy, lí thuyết các không gian metric áp dụng được cho các không. .. dãy lặp Ishikawa hội tụ tới điểm bất động của T 2.3.5 Sự hội tụ của dãy lặp hai bước Định lý 2.3.4 ([8]) Cho E là một không gian Banach, D là một tập con đóng, lồi của E và T : D −→ D là một ánh xạ thỏa mãn điều kiện 27 Zamfirescu Cho {xn }∞ n=0 là một dãy lặp hai bước được xác định bởi (2.4), trong đó x0 ∈ D, dãy {an } , {bn } ⊂ [0, 1] là dãy số dương và {an } thỏa ∞ mãn n=0 an = ∞ thì {xn }∞ n=0 hội. .. có: xn = n→∞ Định nghĩa 1.1.9 ([1]) Không gian metric X được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ Ví dụ 1.1.7 Không gian R, C là những không gian metric đầy đủ còn Q thì không phải là không gian metric đầy đủ 1.2 Không gian định chuẩn 1.2.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.2.1 ([2]) Cho X là không gian vectơ trên trường số thực R Hàm số : E −→ R+ được gọi là một chuẩn trên X nếu các tính chất... n=1 là một dãy điểm trong không gian metric (X, ρ) Ta nói dãy {xn }∞ n=1 hội tụ đến điểm x ∈ X nếu lim ρ (xn , x) = 0, nghĩa là với mọi số ε > 0 tồn tại số tự nhiên nε sao cho n→∞ ρ (xn , x) < ε với mọi n ≥ nε Khi đó, điểm x ∈ X được gọi là giới hạn của dãy {xn }∞ n=1 và ta viết lim xn = x hoặc xn → x n→∞ Một dãy gọi là hội tụ nếu nó có một giới hạn nào đó Nhận xét 1.1.1 ([1]) Trong một không gian metric,... của T 2.3.3 Sự hội tụ của dãy lặp Mann Định lý 2.3.2 ([8]) Cho E là một không gian Banach, D là một tập con đóng, lồi của E và T : D −→ D là một ánh xạ thỏa mãn điều kiện Zamfirescu Cho {vn }∞ n=0 là một dãy lặp Mann được xác định bởi (2.2), ∞ trong đó v0 ∈ D, dãy {an } ⊂ [0, 1] và thỏa mãn n=0 an = ∞ thì {vn }∞ n=0 hội tụ tới điểm bất động của T Chứng minh Giả sử T có điểm bất động là q Khi đó ta... Xét không gian C[a, b] các hàm liên tục trên đoạn [a, b] với phép cộng, phép nhân thông thường Xét f ∈ C[a, b], f = b 2 a [f (x)] dx, khi đó C[a, b] là không gian tuyến tính định chuẩn Ví dụ 1.2.3 ([2]) (Không gian các dãy bị chặn) Kí hiệu l∞ là tập hợp tất cả các dãy số bị chặn trên bởi S và x ∞ = sup |xn | < ∞ n→∞ 12 1.2.3 Không gian Banach Định nghĩa 1.2.4 ([2]) Nếu không gian định chuẩn X là một không. .. Vậy dãy lặp hai bước hội tụ tới điểm bất động của T 2.3.6 Mối liên hệ về điểm bất động của các dãy lặp Picard, Mann, Ishikawa và dãy lặp hai bước Bổ đề 2.3.1 ([9]) Cho {an }, {bn } là hai dãy số không âm và 0 ≤ q < 1 sao cho: αn+1 ≤ q.αn + βn , n ∈ N (2.16) Khi đó, nếu lim βn = 0 thì lim αn = 0 n→∞ n→∞ Định lý 2.3.5 ([9]) Cho E là một không gian Banach, K là một tập con khác rỗng, đóng, lồi của E và... ∀n ≥ 0 Lặp lại quá trình này, ta được n [1 − (1 − δ) ak ] v0 − q , ∀n ≥ 0 vn+1 − q ≤ (2.9) k=0 ∞ Mà 0 < δ < 1, ak ∈ [0, 1] và ak = ∞ k=0 Từ đó, ta có n [1 − (1 − δ) ak ] = 0 lim n→∞ k=0 Kết hợp với (2.9) ta có lim vn+1 − q = 0 n→∞ Vậy dãy lặp Mann hội tụ tới điểm bất động của T 2.3.4 Sự hội tụ của dãy lặp Ishikawa Định lý 2.3.3 ([8]) Cho E là một không gian Banach, D là một tập con đóng, lồi của E