Định lý giới hạn trung tâm và tốc độ hội tụ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN —————————————– Bùi Thị Thu Phương ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM VÀ TỐC ĐỘ HỘI TỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - Năm 2018 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN —————————————– Bùi Thị Thu Phương ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM VÀ TỐC ĐỘ HỘI TỤ Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 8460112.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: Hà Nội - Năm 2018 TS Trần Mạnh Cường Mục lục Danh mục ký hiệu Lời nói đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Biến ngẫu nhiên dạng hội tụ 1.1.1 Biến ngẫu nhiên 1.1.2 Các dạng hội tụ 1.2 Hàm đặc trưng 1.2.1 Định nghĩa, tính chất 1.2.2 Các kết liên quan đến hàm đặc trưng 1.3 Các bất đẳng thức 1.3.1 Các bất đẳng thức xác suất 1.3.2 Các bất đẳng thức hàm đặc trưng Định lý giới hạn trung tâm 2.1 Trường hợp dãy biến ngẫu nhiên độc lập phân bố xác suất 2.2 Trường hợp dãy biến ngẫu nhiên độc lập, không phân bố xác suất 2.2.1 Điều kiện Lindeberg 2.2.2 Điều kiện Lyapounov 5 11 13 13 17 18 18 19 22 22 24 24 38 Tốc độ hội tụ 41 3.1 Ước lượng 41 3.2 Ước lượng không 51 KẾT LUẬN 56 i MỤC LỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 57 ii Danh mục ký hiệu Ω Không gian mẫu w Phần tử không gian mẫu (kết có thể) F σ− đại số R Tập số thực C Tập số phức B Tập Borel (R, B) Không gian Borel CB Tập hàm liên tục bị chặn I{A} Hàm tiêu |A| Số phần tử tập A Ac Biến cố đối A ∂A Biên tập A P (A) Xác suất biến cố A X, Y, Z Biến ngẫu nhiên F (x), FX (x) Hàm phân phối tích lũy, hàm phân phối tích lũy X f (x), fX (x) Hàm mật độ, hàm mật độ X X∈F Biến ngẫu nhiên X có hàm phân phối tích lũy F C(FX ) Tập điểm liên tục hàm phân phối tích lũy X E, EX Kì vọng (giá trị trung bình), giá trị kì vọng biến ngẫu nhiên X Var, VarX Phương sai, phương sai biến ngẫu nhiên X ϕ(t), ϕX (t) Hàm đặc trưng, hàm đặc trưng biến ngẫu nhiên X MỤC LỤC X∼Y d X=Y hcc Xn −−→ X p Xn → − X r Xn → − X d Biến ngẫu nhiên X tương đương với biến ngẫu nhiên Y X Y có phân phối xác suất Xn hội tụ hầu chắn X Xn hội tụ theo xác suất X Xn hội tụ theo trung bình bậc r X Xn → − X Xn hội tụ theo phân bố X Φ(x) Hàm phân phối tích lũy cuả phân phối chuẩn tắc φ(x) Hàm mật độ phân phối chuẩn tắc N (µ, σ ) Phân phối chuẩn N (0, 1) Phân phối chuẩn tắc exp(a) Hàm e mũ Kết thúc chứng minh Lời nói đầu Trong xác suất, định luật số lớn cho biết trung bình cộng dãy biến ngẫu nhiên, độc lập, phân phối xác suất hội tụ đến giá trị trung bình, nghĩa X := X1 +X2n+ +Xn → µ Kì vọng giá trị tung bình kì vọng biến ngẫu nhiên X phương sai giá trị trung bình giảm n lần so với phương sai X Luật số lớn chưa cho biết quy luật phân phối giá trị trung bình Định lý giới hạn trung tâm định lý phát triển từ luật số lớn Định lý cho biết thêm quy luật phân phối giá trị trung bình Luận văn nghiên cứu định lý giới hạn trung tâm tốc độ hội tụ qua chứng minh chi tiết Một cách diễn giải định lý giới hạn trung tâm cho biết kết tốc độ hội tụ Nói cách bản, cho dãy biến ngẫu nhiên X, X1 , X2 , dãy biến ngẫu nhiên độc lập, phân phối với giá trị trung bình µ Định luật số lớn yếu mạnh khẳng định n1 nk=1 Xk hội tụ theo xác suất, hội tụ hầu chắn µ cho n → ∞ Kết tốc độ hội tụ theo phân phối trả lời câu hỏi có khác biệt n k=1 Xk −µ để giới hạn biểu thức khác không n → ∞ Định n lý nói vấn đề phát biểu nhà toán học Laplace Nhưng phiên định lý với phần chứng minh nhà tốn học Lyapounov phát biểu Hóa ra, trường hợp đầu vào dãy biến ngẫu nhiên độc lập, phân phối xác suất với phương sai hữu hạn, n lớn, phân phối giá trị trung bình tuân theo quy luật phân phối chuẩn nghĩa nk=1 Xk ∼ N µ, σn Định lý Lindeberg-Levy-Feller kết trường hợp đầu vào dãy biến ngẫu nhiên độc lập không phân phối xác suất phiên định lý giới hạn trung tâm với điều kiện Lyapounov Lời nói đầu Sau đó, ta tiếp tục nghiên cứu định lý Berry - Esseen, định lý đưa tốc độ hội tụ kết hội tụ định lý giới hạn trung tâm Trong định lý đưa cận sai khác hàm phân phối có giá trị trung bình tiêu chuẩn phân phối chuẩn ta có mơ men cấp ba hữu hạn Luận văn gồm ba chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chúng tơi trình bày lại kiến thức chuẩn bị lý thuyết xác suất: biến ngẫu nhiên dạng hội tụ, hàm đặc trưng bất đẳng thức làm tiền đề nghiên cứu chương hai Chương 2: Định lý giới hạn trung tâm Chúng tơi trình bày lại định lý giới hạn trung tâm trường hợp dãy biến ngẫu nhiên độc lập phân phối xác suất trường hợp dãy biến ngẫu nhiên độc lập không phân phối xác suất Chương 3: Tốc độ hội tụ Chúng trình bày lại định lý tốc độ hội tụ trường hợp dãy biến ngẫu nhiên độc lập phân phối xác suất trường hợp biến ngẫu nhiên độc lập không phân phối xác suất hai nhà tốn học Berry - Esseen chứng minh Ngồi phần chứng minh ước lượng không tốc độ hội tụ định lý giới hạn trung tâm trình bày Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học quốc gia Hà Nội, hướng dẫn TS Trần Mạnh Cường Em chân thành cảm ơn thầy Trần Mạnh Cường, nghiên cứu sinh học trò thầy Ngồi em muốn gửi lời cám ơn sâu sắc đến thành viên nhóm seminar Xác suất thống kê, Đại học Khoa học tự nhiên góp ý nhiều q trình em hồn thành luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn thầy cô cán trường Đại học khoa học tự nhiên quan tâm giúp đỡ suốt trình học tập nghiên cứu trường Hà Nội, ngày tháng 12 năm 2018 Bùi Thị Thu Phương Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày lại số khái niệm lý thuyết xác suất: Biến ngẫu nhiên dạng hội tụ, hàm đặc trưng bất đẳng thức Nội dung chương tham khảo tài liệu [1], [2] [5] 1.1 1.1.1 Biến ngẫu nhiên dạng hội tụ Biến ngẫu nhiên a Định nghĩa Cho (Ω, F, P ) không gian xác suất Định nghĩa 1.1.1 (xem [5] - tr.25) Biến ngẫu nhiên hàm đo từ không gian mẫu Ω đến R X : Ω → R, Nghĩa là, ảnh tập Borel F− đo X −1 (A) = {w : X(w) ∈ A} ∈ F với A ∈ B b Phân bố Hàm mật độ xác suất Để mô tả xác định biến ngẫu nhiên liên tục ta dùng khái niệm hàm mật độ Hàm f (x) gọi hàm mật độ biến ngẫu nhiên Chương Kiến thức chuẩn bị thỏa mãn hai điều kiện sau: • f (x) ≥ với x ∈ (−∞, ∞) ∞ • f (x)dx = −∞ Trong trường hợp này, xác suất để biến ngẫu nhiên X thuộc vào khoảng (a, b) tính sau: b P (a < X < b) = f (x)dx với a < b a Hàm phân phối tích lũy Định nghĩa 1.1.2 (xem [5] - tr.30) Cho biến ngẫu nhiên X , ta xác định hàm phân phối tích lũy X sau: FX (x) = P (X ≤ x), x ∈ (−∞, ∞) Trong định nghĩa trên, x biến hàm F , x nhận giá trị thực, x thuộc (−∞, +∞) Tại điểm x bất kỳ, hàm F (x) xác suất để biến ngẫu nhiên nhận giá trị nhỏ x Định nghĩa 1.1.3 (xem [5]) Hàm phân phối tích lũy F liên tục tồn hàm f khơng âm, khả tích Lebesgue cho b P (a < X < b) = f (x)dx với a < b a Khi f (x) gọi hàm mật độ biến ngẫu nhiên X Định nghĩa 1.1.4 (xem [1] - tr.54) Nếu biến ngẫu nhiên X rời rạc P (X = xi ) = pi FX (x) = pi i:xi T hàm đặc trưng ϕU (t) = tT sin tT 2 Theo công thức đổi ngược hàm mật độ (định lý 1.2.4) T |x| 1− T = 2π ∞ e -itx 4sin (tT /2) dt, (tT )2 −∞ Bởi tính đối xứng, đổi vai trò x cho t |t| 1− = T ∞ −∞ ixt sin (xT /2) e dx π(xT )2 ∞ eixt = −∞ − cos(xT ) dx πT x2 Gọi ZT biến ngẫu nhiên với hàm mật độ fZT (x) = trưng ϕZT (t) = − |t| T , |t| ≤ T T Giả sử −T 1−cos xT πT x2 hàm đặc ϕU (t) − ϕV (t) dt < ∞, (nếu ta giả sử ngược lại khơng t 43 Chương Tốc độ hội tụ có để chứng minh) Đặt ∆(x) = FU (x) − FV (x), ∞ ∆T (x) = −∞ ∆(x − y)fZT (y)dy = FU +ZT (x) − FV +ZT (x) ∆∗ = sup |∆(x)| = sup |FU (x) − FV (x)| x∈R x∈R ∆∗T = sup |∆T (x)| = sup |FU +ZT (x) − FV +ZT (x)| x∈R x∈R Vì U + ZT V + ZT biến ngẫu nhiên liên tục Suy hàm đặc trưng tương ứng với ∆T (x) xác định sau: ϕ∆T (x) = ϕU (t)ϕZT (t) − ϕV (t)ϕZT (t) = (ϕU (t) − ϕV (t)) ϕZT (t), với |t| ≤ T , với |t| > T Các dấu ngoặc biểu thức phép biến đổi đưa khác hàm đặc trưng U + ZT V + ZT Thấy rằng: ϕZT (t) = − |t| , |t| ≤ T ⇒ ϕZT (t) → T → ∞ T p ZT → − T → ∞, p T → ∞ p T → ∞ Theo định lý Cramer (định lý 1.1.3) suy U + ZT → − U V + ZT → − V Do ∆T (x) → ∆(x) T → ∞ với x, (3.2) ∆T (x) liên tục • Ước lượng ∆∗T từ ước lượng ∆∗ Theo công thức ngược cho hàm mật độ (định lý 1.2.4) fU +ZT (x) − fV +ZT (x) = 2π T e-itx (ϕU (t) − ϕV (t)) ϕZT (t)dt, T Sau lấy tích phân theo biến x suy ∆T (x) = 2π T e-itx −T ϕU (t) − ϕV (t) ϕZT (t)dt -it Chú ý lấy tích phân lên phần phác giữ hai hàm mật độ 44 Chương Tốc độ hội tụ Tuy nhiên tất hàm phân phối tích lũy xác định −∞ ∞, khơng có số xuất Từ ta có ước lượng ∆∗T ∆∗T T ≤ 2π −T ϕU (t) − ϕV (t) t |t| 1− dt ≤ T 2π T ϕU (t) − ϕV (t) dt t −T • Bước cuối để chứng minh bổ đề ta cần ∆∗ ≤ 2∆∗T + 24A πT (3.3) Để chứng minh (3.3), ý ∆(−∞) = ∆(+∞) = khác hai hàm phân phối tích lũy, liên tục phải với giới hạn trái ∆∗ = |∆(x0 )| ∆∗ = |∆(x0 −)| , với x0 Xảy khả năng, ta chọn trường hợp ∆∗ = ∆(x0 ) (các trường hợp khác tương tự) Theo (3.1) ∆(x0 + s) ≥ ∆∗ − As với s > 0, Cho s = ∆∗ 2A +y ∆∗ ⇒ ∆ x0 + +y 2A ∆∗ ≥∆ −A +y 2A ∗ ∗ ∆∗ ∆∗ = − Ay, với |y| ≤ 2A ∗ Ước lượng với |y| ≤ ∆ ước lượng ∆ x0 + ∆ + y ≥ −∆∗ với 2A 2A ∗ |y| > ∆ 2A , theo định nghĩa, phân phối ZT đối xứng ta có: ∆T ∆∗ x0 + 2A ∞ ∆∗ = ∆ x0 + − y fZT (y)dy 2A −∞ ∆∗ − y fZT (y)dy = ∆ x0 + ∗ 2A |y|≤∆ /2A ∆∗ + ∆ x0 + − y fZT (y)dy 2A |y|>∆∗ /2A ∆∗ − Ay fZT (y)dy − ∆∗ fZT (y)dy ≥ ∗ |y|≤∆ /2A |y|>∆∗ /2A ∆∗ ∆∗ ∆∗ ∗ = P |ZT | ≤ − ∆ P |ZT | > 2A 2A ∗ ∗ ∆ ∆ − 3P |ZT | > , = 2A 45 Chương Tốc độ hội tụ Suy ∆∗ ≤ 2∆∗T = 3∆∗ P |ZT | > Như vậy, cuối ta cần phải ∆∗ P |ZT | > 2A ≤ ∆∗ 2A 8A π∆∗ T Theo tính đối xứng thay đổi biến ngẫu nhiên ∞ ∆∗ − cos xT − cos xT P |ZT | > = d x = dx 2A πT x2 πT x2 |x|>∆∗ /2A ∆∗ /2A ∞ − cos 2y =2 d y = πy π ∆∗ T /4A 8A ∞ d y = ≤ π ∆∗ T /4A y π∆∗ T ∞ sin2 y dy ∆∗ T /4A y Bổ đề 3.1.2 (xem [5] - tr.360) Cho X1 , X2 , dãy biến ngẫu nhiên độc lập, với giá trị trung bình tổng riêng {Sn , n ≥ 1} Giả n sử γk3 = E |Xk |3 < ∞ với k , đặt σk2 = V arXk , s2n = k=1 σk βn3 = nk=1 γk3 −t2 /2 ϕSn /sn (t) − e βn3 −t2 /3 ≤ 16 |t| e sn với s3n |t| ≤ 4βn Chứng minh Ta chứng minh bước Đặt ϕn (t) = ϕSn /sn (t) sn I |ϕn (t)| ≤ e−t /3 với |t| ≤ 4β n Để chứng minh bất đẳng thức ta sử dụng (định lý 1.2.7) bất đẳng thức tam giác Tuy nhiên không dễ dàng chứng minh ϕn có giá trị phức Do ta phải sử dụng đến dãy biến ngẫu nhiên đối xứng {Xks , k ≥ 1}, dãy biến ngẫu nhiên độc lập có phân bố xác suất cho với k ta có EXks = 0, VarXks = 2σk2 , E |Xks |3 ≤ 8γk3 , (3.4) có bất đẳng thức bất đẳng thức cr ( định lý 1.3.4) Do ϕX sk (t) = |ϕXk (t)|2 có giá trị thực Áp dụng định lý 1.2.7 biến ngẫu nhiên đối xứng suy ϕXks (t)(1 − t2 σk2 ) ≤ E t 46 (Xks )2 , |tXks |3 |t|3 8γk3 ≤ , Chương Tốc độ hội tụ Theo bất đẳng thức tam giác t2 σk2 |t|3 γk3 ϕXk /sn (t) = ϕXks /sn (t) ≤ − + ≤ exp sn 3s3n t2 σk2 |t|3 γk3 + s2n 3s3n Lấy cận t ta n n ϕXks /sn (t) ≤ |ϕn (t)| = ϕSns /sn (t) = exp k=1 k=1 n t2 σk2 |t| γk3 + s2n 3s3n = exp − k=1 t s3 ≤ exp −t + 4t n3 4βn n k=1 γk3 3s3n 2 = exp −t2 + t2 σk2 |t|3 γk3 + s2n 3s3n = exp − 2t , Lấy bậc hai hai vế đẳng thức ta |ϕn (t)| ≤ e II Bổ đề xảy với sn 2βn −t2 /3 ≤ |t| ≤ với s3n 4βn3 s3n |t| ≤ 4βn Lấy cận t ta có |t|3 βn3 |t| βn ≤ 1≤ sn s3n Theo bất đẳng thức bước I bất đẳng thức tam giác ta có ϕn (t) − e−t /2 ≤ |ϕn (t)| + e−t /2 ≤ e−t /3 + e−t /2 ≤ 2e−t /3 |t|3 βn3 −t2 /3 16 |t|3 βn3 −t2 /3 2e = e ≤ s3n s3n III Bổ đề xảy với |t| < ϕn (t) − e −t2 /2 sn 2βn |t|3 βn3 −t2 /2 |t|3 βn3 −t2 /3 ≤ 0.5 e ≤ 0.5 e với sn sn |t| < sn 2βn Theo phần khai triển Taylor hàm đặc trưng (định lý 1.2.7) công thức (A.1) bổ đề 1.3.1, ý theo bất đẳng thức Lyapounov (định lý 1.3.6) bị chặn t σk γk βn |t| ≤ |t| ≤ |t| < , sn sn sn 47 (3.5) Chương Tốc độ hội tụ σk2 t2 γk3 |t|3 1 1 σk2 t2 γk3 |t|3 − + ≤ + = < ≤ + 3 2sn 6sn 2sn 6sn 48 Từ khai triển ta có t sn ϕXk /sn (t) = ϕXk =1− t2 σk2 + rn , 2s2n t2 σk2 log ϕXk /sn (t) = − + rn + rn , 2sn |θn | ≤ 1 γk3 |t|3 γk3 |t|3 |rk | = θn ≤ , ≤ 3 6sn 6sn 48 Theo bất đẳng thức cr (định lý 1.3.4)và (3.5) t2 σk2 |rk | ≤ − + rk 2sn t2 σk2 ≤2 2s2n 1 σk3 |t|3 σk |t| + = s3n sn 18 t2 σk2 + |rk | ≤ 2s2n 2 γk3 |t|3 s3n γk3 |t|3 +2 6s3n γk3 |t|3 1 γk3 |t|3 37 γk3 |t|3 ≤ + = s3n 18 s3n 144 s3n Lấy lơ ga rít ta n n log ϕXk /sn (t) = − log ϕn (t) = k=1 k=1 t2 t2 σk2 + r = − + rn , n 2s2n n |rn | ≤ n γk3 |t|3 37 γk3 |t|3 + 6s3n 144 s3n (rk + rk ) ≤ k=1 k=1 61 βn3 |t|3 61 1 ≤ ≤ < , 144 sn 144 18 Từ bất đẳng thức thứ đến bất đẳng thức cuối kết (3.5) Cuối cùng, theo công thức (A.1) bổ đề 1.3.1 |ez − 1| ≤ |z| e|z| , sử dụng ước lượng cho rn ta ϕn (t) − e−t ≤e 2 /2 = e−t −t2 /2 |rn | |rn | e /2+rn ≤e − e−t −t2 /2 /2 = e−t /2 |ern − 1| 61 βn3 |t|3 5/144 βn3 |t|3 −t2 /2 e < 0.5 e 144 s3n sn 48 Chương Tốc độ hội tụ Chứng minh (Định lý 3.1.2) Berry - Esseen Sn − nµ Sn = sn sn V ∼ N (0, 1) Đặt hai biến ngẫu nhiên U = Hàm mật độ biến ngẫu nhiên V fV (x) = √ e−x /2 = FV (x) 2π Rõ ràng ex ⇒ x2 /2 e /2 ≥ e0 = (do hàm e mũ hàm tăng) = e−x /2 ≤1 1 ⇒ sup √ e−x /2 ≤ √ x 2π 2π ⇔ sup FV (x) ≤ √ x 2π • Do vậy, chọn A = √1 2π áp dụng bổ đề 3.1.1, sup F Sn −nµ (x) − FN (0,1) (x) ≤ x sn sn s3n 4βn3 ϕ Sn (t) − ϕN (0,1) (t) T sn t −T ϕ Sn (t) − e−t T sup F Sn −nµ (x) − Φ(x) ≤ sn π x • Chọn T = Tn = t −T ⇔ sup F Sn −nµ (x) − FN (0,1) (x) ≤ sn π x ⇔ ϕ Sn −nµ (t) − ϕN (0,1) (t) T π /2 sn t −T dt + dt + 24 √ πT 2π 24 √ πT 2π 24 dt + √ π 2πT ta sup F Sn −nµ (x) − Φ(x) ≤ sn π x ⇔ sup F Sn −nµ (x) − Φ(x) ≤ sn π x s3 n 4βn − ϕ Sn (t) − e−t t s3 n 4βn ϕ Sn (t) − e−t 49 sn với n 24 dt + √ s3n π 2π 4β n s3 n 4βn Theo bổ đề 3.1.2 ta có: 2 ϕSn /sn (t) − e−t /2 ≤ 16 βs3n |t|3 e−t /3 /2 sn s3 n 4βn − |t| |t| ≤ s3n 4βn3 /2 24.4βn3 dt + √ π 2πs3n Chương Tốc độ hội tụ Suy s3 n 4βn sup F Sn −nµ (x) − Φ(x) ≤ sn π x − ⇔ sup F Sn −nµ (x) − Φ(x) ≤ sn x s3 n 4βn βn3 |t|3 e−t 16 sn |t| s3 n 4βn 16 βn3 π s3n − 16 βn3 ⇒ sup F Sn −nµ (x) − Φ(x) ≤ sn π sn x Tính I = ∞ −t2 /3 dt −∞ t e u=t v = e−t /3 Đặt = du dt dv dt ⇒ −t2 /3 t e s3 n 4βn ∞ −t2 /3 t e −∞ −2t −t2 /3 e −3 t /3 96βn3 dt + √ π 2πs3n 96βn3 dt + √ π 2πs3n 96βn3 dt + √ π 2πs3n dt =1 −t2 /3 = −2t e b b dv a u dt d t Theo cơng thức tích phân phần = uv − b du a v dt dt ta có a ∞ t −∞ ∞ −2t −t2 /3 e dt = t.e−t /3 =0− =− ∞ − −∞ ∞ −t2 /3 e −∞ ∞ −t2 /3 e e−t /3 dt −∞ dt √ dt = − 3π −∞ −3 √ 3√ (− 3π) = 3π 2 ⇒I= Do 16 βn3 √ 96β 3π + √ n sn π sn x π 2πs3n √ 96 βn3 24 βn3 √ + √ ⇒ sup F Sn −nµ (x) − Φ(x) ≤ ≤ 36 sn π s3n x π 2π s3n sup F Sn −nµ (x) − Φ(x) ≤ Suy βn3 sup F Sn −nµ (x) − Φ(x) ≤ C sn sn x Vậy supx F Sn (x) − Φ(x) ≤ C βs3n sn n (trong C = const) (trong C = const) 50 (3.6) Chương Tốc độ hội tụ Chứng minh (Định lý 3.1.1) Vì dãy biến ngẫu nhiên X, X1 , X2 , phân phối xác suất nên ta có n βn3 γk3 = nγ = k=1 n σk2 = nσ s2n = k=1 √ √ ⇒ sn = σ n ⇒ s3n = n nσ Từ (3.6) ta có: βn3 sup F Sn −nµ (x) − Φ(x) ≤ C sn sn x nγ ⇒ sup F Sn√−nµ (x) − Φ(x) ≤ C √ σ n n nσ x γ3 ⇒ sup F Sn√−nµ (x) − Φ(x) ≤ C √ σ n σ n x Vậy supx F Sn√−nµ (x) − Φ(x) ≤ C σ3γ√n σ n 3.2 Ước lượng không Cho X1 , X2 , , Xn , dãy biến ngẫu nhiên độc lập có tổng riêng Sn = X1 + X2 + + Xn , n ≥ 1, với giá trị trung bình EXk = 0, k = 1, 2, phương sai hữu hạn với σk2 = VarXk < ∞ FSn /sn kí hiệu hàm phân phối tích lũy biến ngẫu nhiên Zn = X1 + X2 + + Xn Sn = sn sn s2n = σ12 + σ22 + + σn2 = nk=1 σk2 Như biến ngẫu nhiên Zn có giá trị trung bình E Sn sn = 1 ESn = (EX1 + EX2 + + EXn ) = sn sn phương sai E Sn sn Sn = Var sn n 1 = (VarSn ) = σk2 = s2n = sn sn k=1 sn 51 Chương Tốc độ hội tụ Theo tính chất ∞ Eg(X) = g(x)f (x)dx, với f (x) hàm mật độ biến ngẫu nhiên X −∞ Sn =1 (3.7) ⇒ x dFSn /sn (x) = E sn −∞ Theo định lý giới hạn trung tâm với điều kiện Linderberg FSn /sn hội tụ tới Φ(x) hàm phân phối tích lũy phân phối chuẩn N (0, 1) biểu diễn sau: ∞ ∆n = FSn /sn − Φ(x) sup −∞ n0 F Sn (x) − Φ(x) ≤ ∆n , C sn ∆n log(1/∆n ) + x2 với x Chứng minh Cho a ≥ 1, không làm tính tổng quát giả sử FSn /sn (x) liên tục x = ±a a −a a x2 dFSn /sn (x) = −a a x2 d FSn /sn (x) − Φ(x) + x2 dΦ(x) −a = a FSn /sn (a) − Φ(a) − a FSn /sn (−a) − Φ(−a) 52 Chương Tốc độ hội tụ a −2 −a a x2 dΦ(x) x FSn /sn (x) − Φ(x) dx + −a Từ (3.8) ta có a a −a x dFSn /sn (x) ≥ −4a ∆n + x2 dΦ(x) a a ⇒1− −a (3.10) −a x2 dΦ(x) x dFSn /sn (x) ≤ 4a ∆n + − −a Mà ∞ a |x|≥a x2 dFSn /sn (x) + −a x2 dFSn /sn (x) = −∞ x2 dFSn /sn (x) = a ⇒ |x|≥a a x dFSn /sn (x) = − −a x2 dΦ(x) x dFSn /sn (x) ≤ 4a ∆n + − −a ∞ ⇒ |x|≥a ⇒ |x|≥a ⇒ |x|≥a x2 dFSn /sn (x) ≤ 4a2 ∆n + − x2 dΦ(x) − −∞ x2 dFSn /sn (x) ≤ 4a2 ∆n +1−1+ x2 dFSn /sn (x) ≤ 4a2 ∆n + x2 dΦ(x) |x|≥a x2 dΦ(x) |x|≥a x2 dΦ(x) |x|≥a (3.11) Các mối quan hệ sau xảy |x|≥a x dFSn /sn (x) ≥ x2 (1 − FSn /sn (x)), với x ≥ a x2 FSn /sn (x), với x ≤ −a x dΦ(x) ≥ |x|≥a x2 (1 − Φ(x)), với x ≥ a x2 Φ(x), x2 dΦ(x) ≤ |x|≥a Từ (3.11), (3.12) (3.13) ta có: 53 với x ≤ −a a2 + − a2 e π a , , (3.12) (3.13) (3.14) Chương Tốc độ hội tụ Với x ≥ a x2 (1 − FSn /sn (x)) ≤ |x|≥a x2 (1 − Φ(x)) ≤ x2 dFSn /sn (x) x2 dΦ(x) |x|≥a ⇒ x2 (1 − FSn /sn (x)) − x2 (1 − Φ(x)) ≤ |x|≥a −x2 (FSn /sn (x) − Φ(x)) ≤ ⇔ |x|≥a x2 dFSn /sn (x) − x2 dFSn /sn (x) − x2 dΦ(x) |x|≥a x2 dΦ(x) |x|≥a Với x ≤ −a x2 FSn /sn (x) ≤ |x|≥a x2 Φ(x) ≤ x2 dFSn /sn (x) x2 dΦ(x) |x|≥a x2 (FSn /sn (x) − Φ(x)) ≤ ⇒ |x|≥a x2 dFSn /sn (x) − x2 dΦ(x) |x|≥a Vậy với a, x2 FSn /sn (x) − Φ(x) ≤ |x|≥a x2 dFSn /sn (x) − ⇒ x2 FSn /sn (x) − Φ(x) ≤ 4a2 ∆n + x2 dΦ(x) |x|≥a x2 dΦ(x) với |x| ≥ a |x|≥a Từ (3.8) (3.14) a2 + − a2 e + 5a2 ∆n π a (1 + x ) FSn /sn (x) − Φ(x) ≤ (3.15) Bất đẳng thức rõ ràng không xảy với |x| ≥ a mà xảy với ∀x Trong bất đẳng thức (3.15), chọn số a cho hai số hạng vế phải có bậc độ lớn tính theo n Giả sử n0 đủ lớn cho ∆n ≤ 12 với n > n0 Chọn a = log ∆1n , ta FSn /sn (x) − Φ(x) ≤ C ∆n log ∆1n 54 + x2 , với n > n0 , (3.16) Chương Tốc độ hội tụ C hẳng số Từ bất đẳng thức (3.16) kết hợp với giả thiết (3.8) ta có n) F Sn (x) − Φ(x) ≤ ∆n , C ∆n log(1/∆ với x 1+x2 sn Ngoài ra, kết định lý chứng minh tài liệu [9] (định lý 14) đưa ước lượng không với x Hai ước lượng lại chứng minh tài liêu [3], định lý (trang 73), định lý (trang 75) lần luợt đưa ước lượng không với |x| ≥ (1 + δ) log n |x| ≤ (1 + δ) log n Định lý 3.2.2 (xem [5] - tr.363) Cho X, X1 , X2 , dãy biến ngẫu nhiên độc lập phân phối xác suất với tổng riêng Sn , n ≥ 1, giả sử E |X|3 < ∞, EX = σ = V arX(> 0) γ3 F S√n (x) − Φ(x) ≤ C với x ∈ R √ σ n σ (1 + |x|3 ) n C(δ, γ) F S√n (x) − Φ(x) ≤ với |x| ≥ (1 + δ) log n √ σ n (1 + |x|3 ) n C(δ, γ) (1 + |x|3 )e−x /2 + với |x| ≤ F S√n (x) − Φ(x) ≤ √ σ n n C(δ, γ) số phụ thuộc vào δ ∈ (0, 1) γ 55 (1 + δ) log n KẾT LUẬN Luận văn nghiên cứu định lý giới hạn trung tâm tốc độ hội tụ Trong luận văn thực cơng việc sau đây: - Trình bày lại khái niệm, tính chất, định lý biến ngẫu nhiên dạng hội tụ, hàm đặc trưng biến ngẫu nhiên, bất đẳng thức tài liệu [1], [2] [5] - Trình bày chi tiêt chứng minh định lý giới hạn trung tâm trường hợp biến ngẫu nhiên độc lập, phân phối xác suất trường hợp biến ngẫu nhiên độc lập không phân phối xác suất điều kiện Lindeberg , Lyapounov cách khác - Trình bày chi tiết chứng minh định lý Berry - Esseen tốc độ hội tụ hai trường hợp biến ngẫu nhiên độc lập phân bố xác suất không phân bố xác suất phần ước lượng chứng minh chi tiết định lý tốc độ hội tụ phần ước lượng không Trong tương lai, nghiên cứu sâu định lý giới hạn trung tâm tốc độ hội tụ qua phương pháp Stein’s method 56 Tài liệu tham khảo [1] Đào Hữu Hồ (1999), Xác suất thống kê, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội [2] Đặng Hùng Thắng (2005), Mở đầu lí thuyết xác suất ứng dụng, Nhà xuất Giáo dục [3] Esseen, C.-G (1945), "Fourier analysis of distribution functions A mathematical study of the Laplace - Gaussian law", Acta Math, 1125 [4] Esseen, C.-G (1956), "A moment inequality with an application to the central limit theorem", Skand Aktuar Tidskr, (XXXIX), 160–170 [5] Allan Gut (2005), Probability: A graduate course, First edition, Springer [6] Shiganov, I.S (1986), "Refinement of the upper bound of the constant in the central limit theorem", J Sov Math, (35), 2545–2550 [7] van Beek, P (1972), "An application of Fourier methods to the problem of sharpening of the Berry-Esseen inequality", Z Wahrsch verw Gebiete, (23), 183–196 [8] Chen, P.-N (2002), Asymptotic refinement of the Berry Esseen constant, National Chiao Tung University, Taiwan [9] Petrov, V.V(1975), Sums of Independent Random Variables, Springer, New York [10] Petrov, V.V(1995), Limit Theorems of Probability Theory, Oxford Science Publications, Clarendon Press, Oxford 57 ... phối giá trị trung bình Luận văn nghiên cứu định lý giới hạn trung tâm tốc độ hội tụ qua chứng minh chi tiết Một cách diễn giải định lý giới hạn trung tâm cho biết kết tốc độ hội tụ Nói cách bản,... chứng minh 21 Chương Định lý giới hạn trung tâm Trong xác suất, định lý giới hạn trung tâm định lý tiếng có vai trò quan trọng Nó kết hội tụ yếu dãy biến ngẫu nhiên Với định lý này, ta có kết tổng... định lý đưa tốc độ hội tụ kết hội tụ định lý giới hạn trung tâm Trong định lý đưa cận sai khác hàm phân phối có giá trị trung bình tiêu chuẩn phân phối chuẩn ta có mơ men cấp ba hữu hạn Luận văn