Định lý giới hạn trung tâm và những ứng dụng trong xác suất thông kê

Đại Học Học Quốc Quốc Gia Gia Tp Tp Hồ Hồ Chí Chí Minh Minh Đại TRƯỜNG ĐẠI ĐẠI HỌC HỌC BÁCH BÁCH KHOA KHOA TRƯỜNG - NGUYỄN ĐÌNH ĐÌNH NG NG NGUYỄN ĐỊNH LÝ LÝ GIỚI GIỚI HẠN HẠN TRUNG TRUNG TÂM TÂM VÀ VÀ NHỮNG NHỮNG ĐỊNH ỨNG DỤNG DỤNG TRONG TRONG XÁC XÁC SUẤT-THỐNG SUẤT-THỐNG KÊ KÊ ỨNG Chuyên ngành: ngành: TOÁN TOÁN GIẢI GIẢI TÍCH TÍCH ỨNG ỨNG DỤNG DỤNG Chuyên Mã ngành: 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ LUẬN VĂN THẠC SĨ NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS ĐẬU THẾ CẤP TP HỒ CHÍ MINH, tháng 12 năm 2006 TP HỒ CHÍ MINH, tháng 12 năm 2006 Đại Học Quốc Gia Tp Hồ Chí Minh TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA - NGUYỄN ĐÌNH NG ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM VÀ NHỮNG ỨNG DỤNG TRONG XÁC SUẤT-THỐNG KÊ Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH ỨNG DỤNG Mã ngành: 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS ĐẬU THẾ CẤP TP HỒ CHÍ MINH, tháng 12 năm 2006 CƠNG TRÌNH ĐƯỢC HÒAN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH Cán hướng dẫn khoa học: Cán chấm nhận xét 1: Cán chấm nhận xét 2: Luận văn thạc sĩ bảo vệ HỘI ĐỒNG CHẤM BẢO VỆ LUẬN VĂN THẠC SĨ TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA, ngày…… tháng ……năm TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA PHÒNG ĐÀO TẠO SĐH CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM ĐỘC LẬP – TỰ DO – HẠNH PHÚC Tp.HCM, ngày 03 tháng 12 năm 2006 NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ Họ tên học viên: NGUYỄN ĐÌNH NG Phái: Nam Ngày, tháng, năm sinh: 18 -03 – 1979 Nơi sinh: Thái Bình Chuyên ngành: Toán giải tích ứng dụng MSHV: 02405544 I- TÊN ĐỀ TÀI: ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM VÀ NHỮNG ỨNG DỤNG TRONG XÁC SUẤT-THỐNG KÊ II- NHIEÄM VỤ VÀ NỘI DUNG: - Tóm tắt khái niệm Giải tích thực - Chứng minh Các luật số lớn Định lý giới hạn trung tâm - Dựa Định lý giới hạn trung tâm tìm hiểu ứng dụng - Xây dựng thuật toán mô hình Định lý giới hạn trung tâm Maple - Nhận xét, đánh giá khả áp dụng hướng phát triển đề tài III- NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 03 – 07 – 2006 IV- NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: V- CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: 03 – 12 – 2006 PGS TS ĐẬU THẾ CẤP CÁN BỘ HƯỚNG DẪN CN BỘ MÔN QL CHUYÊN NGÀNH PGS TS ĐẬU THẾ CẤP PGS TS NGUYỄN ĐÌNH HUY Nội dung đề cương luận văn thạc só Hội đồng chuyên ngành thông qua Ngày 31 tháng 09 năm 2006 TRƯỞNG PHÒNG ĐT- SĐH TRƯỞNG KHOA QL NGÀNH LỜI CẢM ƠN Em xin gửi lời chân thành cảm ơn đến Phòng đào tạo sau đại học Bộ môn Toán ứng dụng tổ chức lớp Cao học Toán giải tích ứng dụng để chúng em có điều kiện học tập Em xin cảm ơn chân thành đến Thầy môn Toán ứng dụng giảng dạy truyền đạt kiến thức cho chúng em hai năm học vừa qua Với lòng biết ơn sâu sắc Em xin gửi đến Thầy PGS.TS ĐẬU THẾ CẤP tận tình hướng dẫn để Em hoàn thành luận văn Xin cảm ơn chân thành đến bạn học lớp bạn bè đồng nghiệp có giúp đỡ q báu học tập thời gian thực luận văn Cuối lòng biết ơn sâu sắc đến Bố mẹ toàn thể Gia đình tạo điều kiện cho Con học tập thời gian qua TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ Luận văn gồm có chương Chương Các kiến thức chuẩn bị Chương gồm khái niệm, định lý sử dụng chương Chương Luật số lớn định lý giới hạn trung tâm Chương trình bày chứng minh luật số lớn định lý giới hạn trung tâm tổng quát Chương Ứng dụng định lý giới hạn trung tâm Chương trình bày ứng dụng định lý giới hạn (là định lý giới hạn trung tâm hệ nó) xác suất thống kê Ở đưa số ví dụ tiêu biểu cho việc vận dụng lý thuyết thực tế Chúng rõ sở lý thuyết để xây dựng thuật toán ước lượng kiểm định giả thuyết thống kê Cuối phần kết luận, nhận xét hướng phát triển đề tài vi MỤC LỤC trang Bìa i Cơng trình ii Nhiệm vụ luận văn iii Lời cám ơn iv Tóm tắt v Mục lục vi Lời nói đầu Chương Các kiến thức chuẩn bị §1 Độ đo σ -đại số 2 Độ đo Độ đo Borel Lebesgue Tích độ đo Độ đo n Hàm đo Hàm đơn giản §2 Tích phân Tích phân hàm đơn giản không âm Tích phân hàm khả tích Định lý Fubini Các loại hội tụ §3 Khơng gian hàm khả tích Không gian Lp Bất đẳng thức Chebyshev Không gian l p Không gian L2 l2 §4 Độ đo Radon Độ đo có dấu Độ đo phức Độ đo Radon 10 vii §5 Giải tích Fourier 11 Hình xuyến T n 11 Biến đổi Fourier 12 Giải tích Fourier độ đo 12 Chương Luật số lớn Định lý giới hạn trung tâm 14 §1 Các khái niệm 14 §2 Luật số lớn 21 §3 Định lý giới hạn trung tâm 25 Chương Ứng dụng Định lý giới hạn trung tâm 28 §1 Các ứng dụng xác suất 28 Bất đẳng thức Chebyshev 28 Định lý Chebyshev 29 Định lý giới hạn trung tâm Liapounov 30 §2 Các ứng dụng thống kê 36 Phân phối tỉ lệ mẫu 36 Phân phối trung bình mẫu 36 §3 Mơ hình định lý giới hạn trung tâm 41 Kết luận-hướng phát triển 47 Tài liệu tham khảo 48 Lời nói đầu Trong hoạt động thực tiễn mình, người có bắt buộc phải tiếp xúc xử lý nhiều tượng ngẫu nhiên, tưọng biết trước Một lĩnh vực Tốn học có tên “Lý thuyết Xác suất” đời nhằm nghiên cứu quy luật quy tắc tính tốn tượng ngẫu nhiên Ngày Lý thuyết Xác suất trở thành ngành Tốn học lớn, chiếm vị trí quan trọng lý thuyết lẫn ứng dụng Một mặt Lý thuyết Xác suất ngành Tốn học có tầm lý thuyết trình độ cao, mặt khác ứng dụng rộng rãi nhiều ngành Khoa học Kỹ thuật Khoa học Xã hội Nhân văn Đặc biệt Lý thuyết Xác suất gắn liền với khoa học Thống kê, khoa học phương pháp thu thập, tổ chức phân tích liệu, thơng tin định lượng Trong Xác suất -Thống kê ứng dụng theo kinh nghiệm quan sát phân phối chuẩn tìm cách xấp xỉ phân phối chuẩn thường gặp Cơ sở để giải thích cho điều Các luật số lớn Các định lý giới hạn mà đỉnh cao “Định lý giới hạn trung tâm” Đây định lý tiếng có vai trị quan trọng Định lý cho kết hội tụ yếu dãy biến ngẫu nhiên Trong trường hợp đơn giản nhất, với biến ngẫu nhiên độc lập, phân phối đồng có kỳ vọng, phương sai Định lý giới hạn trung tâm chứng minh nhiều giáo trình Xác suất-Thống kê tên gọi định lý Chebyshev Nhưng trường hợp tổng quát việc chứng minh đòi hỏi nhiều kiến thức bổ trợ nên trình bày số sách chuyên sâu Lý thuyết Xác suất Luận văn chúng tơi trình bày cách chứng minh Định lý giới hạn trung tâm tổng quát dựa vào thành tựu lý thuyết độ đo giải tích Fourier Phần Lý thuyết Xác suất trình bày coi ngành hẹp giải tích Fourier Hiện Định lý giới hạn trung tâm có số cách chứng minh khác (Xem tài liệu tham khảo [5] trang 69, [6] trang 367) Một phần quan trọng khác luận văn nêu ứng dụng Định lý Giới hạn trung tâm Xác suất - Thống kê Chương CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ §1 ĐỘ ĐO σ -đại số Cho X tập khác rỗng Một họ A tập X gọi σ -đại số thỏa mãn điều kiện i) ∅, X ∈ A; ii) {E j} ⊂ A ∞ ∞ ∪E j ∈A; iii) E ∈ A E c = X \ E ∈ A Cho ξ họ tập X Khi giao tất σ -đại số X chứa ξ σ -đại số, ký hiệu A ( ξ ) Vì P (X) σ -đại số chứa ξ nên A ( ξ ) tồn tại, σ -đại số nhỏ chứa ξ nên gọi σ -đại số sinh ξ Độ đo Cho tập X σ -đại số A X Ta gọi độ đo X hàm μ : X → [ 0, ∞ ] thỏa mãn điều kiện i) μ(∅) = ; ⎛ ∞ ⎞ ∞ ⎝ ⎠ ii) Nếu {E j}1 dãy tập rời A μ ⎜ ∪ E j ⎟ = ∑ μ ( E j ) ∞ Tính chất (ii) gọi tính chất cộng tính đếm Tính chất sau gọi tính chất cộng tính hữu hạn ⎛ n ⎞ n ⎝ ⎠ ii’) Nếu E1 , , E n tập đơi rời A μ ⎜ ∪ E j ⎟ = ∑ μ ( E j ) Dễ dàng thấy i) ii) suy ii’) Nếu μ thỏa mãn i) ii’) khơng thỏa mãn ii) μ gọi độ đo cộng tính hữu hạn σ -đại số A gọi miền độ đo μ Tập X σ -đại số A X gọi không gian đo được, ký hiệu ( X, A ) Một không gian đo với độ đo μ gọi không gian 34 Giải Thiết kế trục khuyếch tán Oz vng góc với vùng ném bom μ z = 10.cos600 = 5m; σz = σ2x sin 600 + σ 2y sin 600 = 502.0, 25 + 252.0,75 ≈ 33,1m; ⎛ 20 − ⎞ ⎛ −20 − ⎞ p = Φ* ⎜ − Φ* ⎜ ⎟ ⎟ ≈ 0, 45 ⎝ 33,1 ⎠ ⎝ 33,1 ⎠ Ví dụ Một phân xưởng nhà máy sản xuất viên bi dùng cho bạc đạn Mỗi ca sản xuất n= 10.000 viên bi Xác suất viên bi có khuyết tật 0,05 Nguyên nhân khuyết tật số viên bi khác độc lập Các sản phẩm kiểm tra sau hoàn thành Khi viên bi có khuyết tật bị loại bỏ cho vào thùng, sản phâm không bị khuyết tật lắp ráp phân xưởng Xác định với số lượng viên bi để tính tốn thùng chứa cho với xác suất 0,99 sau ca thùng khơng bị đầy Giải Số lượng viên bi bị loại bỏ x có phân bố kiểu nhị thức, giá trị n lớn theo định lý giới hạn trung tâm xem phân bố xấp xỉ phân bố chuẩn với μ x = np = 10000.0,5 = 500; σ2x = npq = 500.0,95 = 475 ⇒ σ x ≈ 21,8 Tính l số lượng viên bi, mà P(x X Giải X có trung bình 179 độ lệch tiêu chuẩn Do X − Y có trung bình 179 – 177= độ 75 177 độ lệch tiêu chuẩn lệch tiêu chuẩn 12 , Y có trung bình 32 144 64 + = 2,314 , X − Y có phân bố xấp xỉ chuẩn Thành thử 32 75 ⎛ −2 ⎞ = Φ * (−0,864) = 0,1938 P X − Y < = Φ* ⎜ ⎟ ⎝ 2,314 ⎠ { } Ví dụ (Bài tốn kiểm định giả thiết) Một người nông dân qua nhiều năm trồng trọt nhận thấy rằng, khoai tây ơng có sản lượng trung bình 1,82kg, vói độ lệch tiêu chuẩn 0,34kg Năm ông ta bón thêm loại phân thu hoạch 1393kg 750 Hỏi loại phân có tác dụng thực làm tăng sản lượng hay khơng? Giải Sản lượng trung bình 750 X= 1395 = 1,86kg 750 Mặc dù X > 1,82 “sai số mẫu” so với giá trị trung bình tổng thể Nếu giả thiết phân bón khơng có tác dụng X biến ngẫu nhiên có kỳ vọng 1,82 độ lệch tiêu chuẩn mẫu kích thước 750 có trung bình ≥ 1,86 0,34 = 0,012 Xác suất để nhận 750 39 ⎛ 1,86 − 1,82 ⎞ P X ≥ 1,86 = − Φ* ⎜ ⎟ ⎝ 0,012 ⎠ = − Φ* (3,33) = 0,001 { } Đây xác suất nhỏ nên theo nguyên lí xác suất nhỏ, thực tế không xảy (chỉ 0,1% mẫu ngẫu nhiên có trung bình mẫu ≥ 1,86 ) Thành thử giả thiết phân bón khơng có tác dụng sai sản lượng trung bình khoai tây sau bón phân phải lớn 1,82 Vậy sản lượng trung bình sau bón phân ? Bài tốn nảy sinh toán ước lượng giá trị trung bình μ tổng thể Một cách hợp lí, trung bình mẫu X dùng làm ước lượng cho μ Ta tính xác suất để sai số X − μ bé ε Ta biết với mẫu lớn X có phân bố xấp xỉ phân bố chuẩn với kỳ vọng μ phương sai σ2 n Thành thử { } { } P X−μ < ε = P μ−ε < X < μ+ε ⎛ε n ⎞ ⎛ ε n⎞ * = Φ* ⎜ ⎟−Φ ⎜− ⎟ σ σ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ε n ⎞ = 2Φ* ⎜ ⎟ − σ ⎝ ⎠ Ấn định xác suất 0,95 ta có ⎛ε n ⎞ ⎛ε n ⎞ 1,96σ 2Φ ⎜ ⎟ − = 0,95 ⇒ Φ ⎜ ⎟ = Φ (1,96) ⇒ ε = σ σ n ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Vậy ta tới kết luận: có 95% mẫu ngẫu nhiên thỏa mãn bất đẳng thức X− 1,96 1,96 Trungbinh_mau := proc(dataset, size) local Sam, Su, k, mu, x,m; Sam := []: Su := 0; m := rand(1 nops(dataset)): for k from to size x := dataset[m()]; Su := Su + x; Sam := [op(Sam),x]: od: #print(S); mu := evalf(Su/size,6); end proc : > # Trungbinh_n_mau := proc(dataset, numsamples) local SaMn,j; SaMn := []: for j from to numsamples SaMn := [op(SaMn),Trungbinh_mau(du_lieu, 10) ]: od: end proc : > Dinhly_Gioihantrungtam:= proc(dataset) local meo,sdo,me,sd, MM,mn,mx,x,y,i,j,k,h,h2,h3, LE,RE,MNo,MN2o,PP,Ln,CG,CB,SDO,Tmn,Tmx,f,NP; # h := 2; h2 := 7; h3 := 75; CG := 'color = COLOR(RGB, 05,.5,.05),symbolsize = 15,symbol=BOX': # 43 meo := evalf( describe[mean](dataset));print(%); sdo := evalf(describe[standarddeviation](dataset));print(%); MM := describe[range](dataset); mn := op(1,MM); mx := op(2,MM); # -LE := plot( [[mn ,-h3],[mn+h2,- h3],[mn+h2,h3],[mn,h3],[mn,-h3]], color = green, style=patchnogrid, filled = true): RE := plot( [[mx ,-h3],[mx-h2,-h3],[mx- h2,h3],[mx,h3],[mx,-h3]], color = green, style=patchnogrid, filled = true): MNo := plot( [[meo ,-h2],[meo-h2,0],[meo+h2,0],[meo,- h2]], CG, style=patchnogrid, filled = true): MN2o := plot( [[meo , -h-h2],[meo,0]], CG, linestyle = 3): Ln := plot( [[mn,0],[mx+.5,0]], color = blue, thickness = 4): SDO := plot( [[meo-sdo,-h-h2],[meo-sdo,-h], [meo+sdo,-h],[meo+sdo,-h-h2]], CG, linestyle = 3): # -Tmn := plots[textplot]( [mn, -h, mn], align={BOTTOM,RIGHT},font=[TIMES,ROMAN,12],color = black): Tmx := plots[textplot]( [mx, -h, mx], align={BOTTOM,LEFT},font=[TIMES,ROMAN,12], color=black): 44 # -PP||1 := pointplot( [dataset[1],-3-h3], CG): y := h3; for i from to nops(dataset) if (dataset[i]=dataset[i-1]) then y := y+h3; else y:= h3; fi; PP||i := pointplot( [dataset[i],-3-y ], symbolsize = 15, CG ): od: # #left := evalf( me-2*sd); #right := evalf( me+2*sd); f := (x,n) -> 40*exp( -((x-meo)^2)/ (2*(sdo^2)/sqrt(n)) ) /((sdo/sqrt(n))*sqrt(2*Pi)); NP := plot([ f(x,5*k) $ k = 7], x =mn mx, color = black); # -display([ MNo,MN2o,Ln,LE,RE, SDO, Tmn, Tmx, NP, seq(PP||i, i = nops(dataset)) ], scaling = constrained, axes = none ); # -end proc : > Dinhly_Gioihantrungtam(du_lieu); 12.66666667 6.808491434 45 > Dinhly_Gioihantrungtam(two_extremes_data); 14 11 > Dinhly_Gioihantrungtam(evenly_distributed_data); 14 46 7.211102550 > Dinhly_Gioihantrungtam(big_data_set); 53.77027027 10.26874989 47 Kết luận- Hướng phát triển Định lý giới hạn trung tâm thực đóng vai trò quan trọng xác suất thống kê Với việc đưa cách chứng minh Định lý giới hạn trung tâm trường hợp tổng quát theo lý thuyết độ đo giải tích Fourier giúp ích nhiều cho sinh viên, giáo viên việc hiểu rõ định lý Mặt khác đưa ứng dụng định lý nhiều lĩnh vực khác : Vật lý, Khoa học kỹ thuật, Khoa học xã hội, Nhân văn,… toán thường gặp thực tế Đồng thời thông qua việc chứng minh Định lý giới hạn trung tâm trường hợp tổng quát mở đường cho việc nghiên cứu phát triển định lý trường hợp khác như: trường hợp tổng biến ngẫu nhiên không độc lập trường hợp tổng biến ngẫu nhiên với phân phối có đuôi giảm theo phân số 1/ x α+1 , < x < (do có phương sai vơ hạn) 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] A.N Kolmogorov, Foundations of the Theory of Probability, Chelsea Publishing Companny New York, 1956 [2] A.N Kolmogorov, S.V Fomin, Introductory Real Analysis, Dover Publications ,INC New York, 1967 [3] Gerral B.Folland, Real Analysis, Wiley-Interscience, New York, 1984 [4] Marek Capínski, Ekkehard Kopp, Measure, Integral and Probability , Springer –Verlag, New York, 1998 [5] Olav Kallenberg, Foundations of Modern Probability, Springer –Verlag, New York, 1997 [6] Pattick Billingsley, Probability and measure, John Wiley and Sons, NewYork 1985 [7] Pierre Breùmaud, Notes on Hilbert spaces, Fourier transform and Probability, Springer –Verlag, New York, 2004 [8] Đậu Thế Cấp, Xác suất thống kê, NXB Giáo dục, 2006 [9] Đậu Thế Cấp, Độ đo tích phân, NXB Giáo dục 2006 [10] Nguyễn Đình Huy, Đậu Thế Cấp, Xác suất thống kê, NXB Đại học Quốc Gia TP Hồ Chí Minh, 2003 [11] Rodrigo Banõuelos, Lecture notes Measure theory and Probability, Department of Mathematics Purdue University West Lafayett, 2003 [12] http://planetmath.org [13] http://en.wikipedia.org [14] http://scienceworld.wolfram.com [15] http://mathworld.wolfram.com ... niệm, định lý sử dụng chương Chương Luật số lớn định lý giới hạn trung tâm Chương trình bày chứng minh luật số lớn định lý giới hạn trung tâm tổng quát Chương Ứng dụng định lý giới hạn trung tâm. .. luật số lớn Định lý giới hạn trung tâm - Dựa Định lý giới hạn trung tâm tìm hiểu ứng dụng - Xây dựng thuật toán mô hình Định lý giới hạn trung tâm Maple - Nhận xét, đánh giá khả áp dụng hướng... số lớn Định lý giới hạn trung tâm 14 §1 Các khái niệm 14 §2 Luật số lớn 21 §3 Định lý giới hạn trung tâm 25 Chương Ứng dụng Định lý giới hạn trung tâm