Tiểu luận ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM – CÁC XẤP XỈ XÁC SUẤT VÀ BÀI TẬP

Tiểu luận ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM – CÁC XẤP XỈ XÁC SUẤT VÀ BÀI TẬP Cho X1, X2... là tập hợp các biến ngẫu nhiên được định nghĩa trên cùng một không gian xác suất,...

Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến KHOA: KHOA HỌC CƠ BẢN TIỂU LUẬN XÁC SUẤT THỐNG KÊ ĐỀ TÀI: ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM – CÁC XẤP XỈ XÁC SUẤT VÀ BÀI TẬP GVHD: Trần Chiến Lớp: 211301101 Khoa: Kế Tốn – Kiểm Tốn Nhóm 1: Nguyễn Ngọc Thịnh (08106071) Bùi Văn Tiệp (08267261) Phạm Văn Toàn (08096701) Nguyễn Như Tuân (08251411) Thành phố Hồ Chí Minh, 11/2009 Lớp: 211301101 Trường Đại học Cơng Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến PHẦN I: LÝ THUYẾT Bài 3: Định lý giới hạn trung tâm – xấp xỉ xác suất 3.1 Phân phối liên tục: Phân phối phân phối chuẩn 3.1.1 Phân phối đều:  Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên X gọi biến ngẫu nhiên có phân phối đoạn [a,b] có hàm mật độ là:  Hàm phân phối xác suất: Hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên có phân phối là:  Đồ thị: Ta xét đồ thị hàm mật độ hàm phân phối xác suất phân phối [a,b] là: Hình 1: Đồ thị hàm mật độ phân phối Hình 2: Đồ thị hàm phân phối xác suất phân phối  Các đặc trưng số phân phối đều:  Kỳ vọng: E ( X )  b  xf ( x) dx    x ab dx   Med ( X ) ba a Phương sai: D(X) = E(X2) – E2(X) Lớp: 211301101 Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến  Với: E(X2) = b  x f ( x)dx    x2 dx  (b  ab  a ) ba a  E( X )  b  xf ( x) dx    x ab (Tính trên) dx  ba a Suy phương sai: D(X) = E(X2) – E2(X) = a  b (b  a ) (b  ab  a ) - ( ) = 12 3.1.2 Phân phối chuẩn:  Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên X gọi biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với hai tham số µ σ2 có hàm mật độ là:  f(x)= e  2 ( x   )2 2 Kí hiệu: X ~ N(µ;σ2)  Hàm phân phối xác suất: Phân phối chuẩn có hàm phân phối xác suất là: x  F(X)=  e   2 ( t   )2 2 dt  Do hàm mật độ phân phối chuẩn khơng có ngun hàm sơ cấp nên ta biểu diễn hàm phân phối xác suất F(X) hàm số sơ cấp  Đồ thị: Ta xét đồ thị hàm mật độ hàm phân phối xác suất phân phối chuẩn sau: Hình 3: Đồ thị hàm mật độ phân phối chuẩn Hình 4: Đồ thị hàm phân phối xác suất phân phối chuẩn  Đồ thị hàm mật độ phân phối chuẩn có dạng hình chng nên phân phối chuẩn cịn có tên gọi phân phối hình chng  Các đặc trưng số phân phối chuẩn:   Kỳ vọng: E(X) =  x e  2  ( x   )2 2 dx =  Phương sai: D(X) = E(X2) – E2(X) Lớp: 211301101 Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến   Với: E(X ) =  x e  2  2 E (X) =  ( x   )2 2 2 dx = µ + σ Suy ra: D(X) = E(X2) – E2(X) = µ2 + σ2 –  = σ2 Vậy phương sai : D(X) = σ2  Ta thấy hai tham số  σ2 kì vọng phương sai phân phối chuẩn Tới ta khẳng định phân phối chuẩn hoàn toàn xác định biết kì vọng phương sai  Tính xác suất: Giả sử X ~ N(  ;σ2) b  P[a≤ X ≤b] =  e a  2 ( x   )2 2 dx =  ( b a ) ( )    Quy tắc  : Xét biến ngẫu nhiên X với kì vọng  phương sai σ2  X     P[ X     ]  P     2 ( )      Với    ta có: P[ X     ]=2 (1) - = 0,6826 Với   2 ta có: P[ X    2 ]=2 (2) - = 0,9544 Với   3 ta có: P[ X    3 ]=2 (3) - = 0,9973  Như X ~ N((  ;σ2) P[ X     ]    3 Điều có nghĩa biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn với kì vọng µ phương sai σ2 gần chắn X nhận giá trị khoảng [  - 3σ ,  + 3σ]  Bổ sung kiến thức phân phối chuẩn tắc: Nếu biến ngẫu nhiên X có phân phối với kì vọng µ = phương sai σ2 = X gọi biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn tắc phân phối Gauss Hàm mật độ phân phối chuẩn tắc kí hiệu  ( x) cịn gọi hàm Gauss, hàm phân phối kí hiệu  ( x) gọi hàm Laplace - Hàm  ( x) hàm chẵn,  ( x)   ( x) , khoảng (0, +∞) hàm  ( x) đơn điệu giảm  (0)  0,3989 ,  (1)  0, 2420 ,  (2)  0, 0540 ,  (3)  0, 0044 ,  (4)  0, 0001 x≥4  ( x)  x - Hàm  ( x) =   (t )dt  Hàm  ( x) hàm lẻ  Ta có:  (0)  0,5 ,  (1)  0, 2420 ,  (2)  0,0540 ,  (3)  0, 0044 ,  (3,9)  0, 0001 x≥4  ( x)  x < -4  ( x)  Lớp: 211301101 Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến Hình : Đồ thị hàm  ( x) 3.2 Định lý giới hạn trung tâm (Lyapounov) Hình : Đồ thị hàm  ( x) Cho họ biến ngẫu nhiên {X1, X2, X3, Xn) độc lập đôi n Đặt Y = n n  X i ;    EXi    VarX i i 1 i 1 i 1 n E X i  EX i Nếu EXi , VarXi hữu hạn lim  0 n 3 i 1 Thì Y  (  ;  ) 3.3 Xấp xỉ xác suất giữa: Siêu bội nhị thức, Poisson Nhị thức 3.3.1 Xấp xỉ xác suất siêu bội nhị thức:  Khi N lớn, n nhỏ so với N lúc quy luật phân phối siêu bội xấp xỉ với quy luật phân phối nhị thức H(N, M, n)  B(n, p) K Ta có: P[X=K] = c c c n K M N M n K  c n p K q n  K với (q=1–p) N  Ví dụ : Một lơ hàng có 1000 sản phẩm có: 600 sản phẩm tốt 400 sản phẩm xấu Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng 10 sản phẩm Tìm xác suất để 10 sản phẩm lấy có sản phẩm tốt ? Giải: Gọi X số sản phẩm tốt lấy 10 sản phẩm lấy  X={0,1,2, ,9,10} Ta có: X ~ H(1000, 600, 10)  B(10; 0,6) K Suy ra: P[X=K] = c c c 600 10  K K  c10.(0, 6) K (0, 4)10 K 400 10 với K= 0;10 1000 Gọi A biến cố lấy sản phẩm tốt 10 sản phẩm lấy Suy ra: P(A) = P[X=3]= c c c 600 400 10  c10.(0, 6) 3.(0, 4) = 0,04246 1000 3.3.2 Xấp xỉ xác suất poisson nhị thức: Lớp: 211301101 Trường Đại học Cơng Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh Tiểu luận: Xác suất – Thống kê GVHD: Trần Chiến  Khi n lớn (n≥100) p nhỏ (p≤0,05) quy luật phân phối nhị thức xấp xỉ quy luật phân phối poisson B(n, p)  P (  ) e   K K Ta có: P(X=K) = c n p K q n  K  với  =np K= 0;  K!  Ví dụ: Tại trận địa phịng khơng, người ta bố trí 1000 súng trường Xác suất bắn trúng máy bay súng 0,001 Nếu máy bay bị bắn trúng phát xác suất rơi 0,8 Nếu máy bay bị bắn trúng phát chắn bị rơi Tính xác suất máy bay bị bắn rơi 1000 súng bắn, lần bắn viên Giải: Gọi X số viên đạn bắn trúng mục tiêu  X={0,1,2, ,1000} Ta có: X ~ B(1000; 0,001)  P (  ) Với:  = np = 1000 x 0,001 = Suy ra: X ~ B(1000; 0,001)  P (1) Gọi B biến cố máy bay bị rơi Gọi A0 biến cố khơng có viên đạn trúng máy bay A1 biến cố có viên đạn bắn trúng máy bay A2 biến cố có viên đạn bắn trúng máy bay Ta có A0 , A1 , A2 lập thành hệ đầy đủ xung khắc đơi Theo cơng thức xác suất đầy đủ ta có: P(B) = P(A0).P(B/ A0) + P(A1).P(B/A1) + P(A2).P(B/A2) Với P(A0) = P(X=0) = 0 1000 c1000.(0, 001) (0,999)  e 1.1  0! e P(B/ A0) = P(A1) = P(X=1) = 1 999 c1000.(0, 001) (0,999)  e 1.11  1! e P(B/A1) = 0,8 P(A2) = P[X≥2] = – P[X