Luận văn tốt nghiệp định lý giới hạn trung tâm điều kiện lindeberg

Luận văn tốt nghiệp (Chuyên ngành: Toán Ứng Dụng) ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM - ĐIỀU KIỆN LINDEBERG Giáo viên hướng dẫn: Lâm Hoàng Chương Sinh viên thực hiện: Nguyễn Thị Thúy Diễm MSSV: 1066261 Ngày tháng năm 2010 LỜI CẢM ƠN Suốt bốn năm dài miệt mài học tập với nhiệt tình hướng dẫn, dạy bảo Thầy Cô trang bị cho em nhiều kiến thức bổ ích giúp em làm tốt luận văn tốt nghiệp Vì vậy, luận văn hoàn thành nổ lực cá nhân em, cịn giúp đỡ tận tình tất q Thầy Cơ, gia đình bạn bè Em xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại Học Cần Thơ, Ban chủ nhiệm Khoa Khoa Học Tự Nhiên, quý Thầy Cô thuộc Bộ mơn Tốn tạo điều kiện thuận lợi cho em suốt thời gian học tập vừa qua Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy Lâm Hồng Chương tận tình bảo, giúp đỡ hướng dẫn em hoàn thành luận văn Em xin chân thành cảm ơn cô cố vấn học tập Dương Thị Tuyền Thầy Trần Phước Lộc đọc phản biện Sau cùng, em xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, giúp đỡ em suốt thời gian qua Vì kiến thức em cịn hạn hẹp nên khơng tránh khỏi sai sót lúc làm luận văn Mong quý Thầy Cô thông cảm giúp em khắc phục để luận văn em hồn thiện Kính chúc q Thầy Cơ nhiều sức khỏe để tiếp tục dìu dắt chúng em vững bước đường học tập Xin chân thành cảm ơn! Cần Thơ, ngày 01 tháng 05 năm 2010 Nguyễn Thị Thúy Diễm PHẦN MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài mục đích nghiên cứu Giống tên gọi "Xác suất thống kê", môn học dùng để tính tốn xác suất xảy biến cố Thống kê để thống kê số liệu dự báo Vì vậy, xác suất thống kê ứng dụng nhiều lĩnh vực như: tốn học, hóa học, vật lí, y học, báo chí sống ngày Và xác suất, định lí giới hạn trung tâm định lí cốt yếu có vai trị quan trọng Nó kết hội tụ yếu dãy biến ngẫu nhiên Với định lí giới hạn trung tâm, ta có kết tổng biến ngẫu nhiên độc lập phân phối đồng theo phân phối xác suất, hội tụ biến ngẫu nhiên Trường hợp đơn giản định lí giới hạn trung tâm ta xét hội tụ biến ngẫu nhiên độc lập, có kì vọng phương sai Tuy nhiên, tồn hội tụ trường hợp đại lượng ngẫu nhiên không phân phối, phải đảm bảo điều kiện khơng có biến ngẫu nhiên có phân phối trội gây ảnh hưởng đến phân phối biến ngẫu nhiên khác Điều đảm bảo điều kiện Lindeberg nhà toán học Phần Lan Lindeberg (04/08/1876 - 12/12/1932) xây dựng nên, công cụ hỗ trợ hiệu cho việc chứng minh II Đối tượng phạm vi nghiên cứu Trong phần đầu luận văn này, chứng minh tổng dãy biến ngẫu nhiên độc lập có hay khơng phân phối hội tụ theo phân phối đến biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Gauss Vì phân phối chuẩn (phân phối Gauss) phân phối xác suất quan trọng nhiều lĩnh vực Nó họ phân phối có dạng tổng quát giống nhau, khác giá trị trung bình µ phương sai σ Ở ta sử dụng phân phối chuẩn hóa phân phối chuẩn với µ = σ = Ngồi ra, thực tế có nhiều dãy biến ngẫu nhiên (quá trình ngẫu nhiên) phụ thuộc khía cạnh Chẳng hạn trình Martingale hay trình Markov (xem thêm mục tài liệu tham khảo) Một câu hỏi tự nhiên đặt là: Liệu dãy đại lượng ngẫu nhiên phụ thuộc có hội tụ yếu (theo phân phối) biến ngẫu nhiên khơng ? Nó có cần thêm điều kiện không ? Để giải vấn đề này, Brown (1971) dựa vào điều kiện Lindeberg chứng minh dạng hội tụ dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc mà ý nghĩa cịn có nhiều giá trị ngày Về phần nghiên cứu kỹ chương III Phương pháp nghiên cứu Để thực luận văn này, em sưu tầm đọc tài liệu chuyên ngành có liên quan từ internet, sách tham khảo Thông qua giúp đỡ giáo viên hướng dẫn, em xếp, chứng minh lại tất phần luận văn này; đồng thời có vài nhận xét, lưu ý xác đáng IV Cấu trúc luận văn Luận văn chia làm ba chương: ∗ Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Nội dung chương bao gồm: khơng gian xác suất, tích phân Lebesgue, số bất đẳng thức, định lí hội tụ dạng hội tụ xác suất ∗ Chương 2: Sử dụng toán tử Trotter chứng minh định lí giới hạn trung tâm Trong chương này, ta chứng minh: định lí giới hạn trung tâm cho đại lượng ngẫu nhiên có phân phối định lí giới hạn trung tâm cho đại lượng ngẫu nhiên không phân phối toán tử Trotter ∗ Chương 3: Chứng minh lại định lí giới hạn trung tâm dựa theo phương pháp Trotter khơng dùng tốn tử Trong phần này, ta chứng minh lại hai dạng hội tụ chương đặc biệt định lí giới hạn trung tâm điều kiện Brown cho dãy đại lượng ngẫu nhiên phụ thuộc vào dạng Nguyễn Thị Thúy Diễm Mục lục Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian xác suất 1.1.1 Đại số σ đại số 1.1.2 Hàm tập độ đo 1.1.2.1 Hàm tập 1.1.2.2 Độ đo 1.1.3 Không gian xác suất 1.1.3.1 Định nghĩa không gian xác suất 1.1.3.2 Đại lượng ngẫu nhiên 1.1.3.3 σ - trường sinh đại lượng ngẫu nhiên 1.1.3.4 Phân phối xác suất 1.1.3.5 Các đại lượng ngẫu nhiên độc lập 1.2 Tích phân Lebesgue 1.2.1 Hàm bậc thang 1.2.2 Tích phân hàm bậc thang 1.2.3 Tích phân hàm thực khơng âm đo 1.2.4 Tích phân hàm đo 1.2.5 Tích phân hàm thực µ - đo 1.2.6 Tích phân Lebesgue tập đo 1.2.7 Không gian Lp 1.2.7.1 Bất đẳng thức Cauchy-Buniakowski 1.2.7.2 Bất đẳng thức Holder 1.2.7.3 Bất đẳng thức Minkowski 1.2.7.4 Bất đẳng thức Jensen 1.2.7.5 Bất đẳng thức Liapounov 1.3 Các định lý hội tụ 1.3.1 Các định lý hội tụ đơn điệu 1.3.2 Bổ đề Fatou 1.3.3 Định lý hội tụ bị chặn 1.4 Các dạng hội tụ xác suất 1.4.1 Hội tụ hầu chắn 1.4.2 Hội tụ theo xác suất 1.4.3 Hội tụ trung bình 5 6 10 10 11 12 13 14 15 15 16 17 19 20 20 21 22 22 23 24 25 27 27 28 29 29 29 30 33 Mục lục Chương Sử dụng toán tử Trotter chứng minh định lý giới hạn trung tâm 37 2.1 Mở đầu 37 2.2 Định lý giới hạn trung tâm cho đại lượng ngẫu nhiên độc lập có phân phối 45 2.3 Định lý giới hạn trung tâm cho đại lượng ngẫu nhiên không phân phối: 48 Chương Phát triển phương pháp Trotter mà khơng sử dụng tốn tử 55 3.1 Mở đầu 55 3.2 Định lý giới hạn trung tâm đại lượng ngẫu nhiên phân phối: 55 3.3 Định lý giới hạn trung tâm đại lượng ngẫu nhiên không phân phối 59 3.4 Định lý giới hạn trung tâm đại lượng ngẫu nhiên phụ thuộc Tài liệu tham khảo 62 Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian xác suất 1.1.1 Đại số σ đại số Giả sử A lớp tập Ω Định nghĩa 1.1 A gọi đại số (hay trường) thỏa điều kiện sau: Ω ∈ A; A ∈ A =⇒ A¯ = Ω/A ∈ A; n n Ak ∈ A Ak ∈ A, Ak ∈ A, k = 1, 2, 3, , n =⇒ k=1 k=1 n Ak ∈ A Nhận xét 1.1 : Trong điều kiện thứ cần hai điều kiện k=1 n n Ak ∈ A đủ k=1 n n Ak = k=1 Ak , k=1 n Ak = k=1 Ak k=1 Định nghĩa 1.2 A gọi σ - đại số (hay σ - trường) thỏa điều kiện sau: Ω ∈ A; A ∈ A =⇒ A¯ = Ω/A ∈ A; ∞ Ak ∈ A, k = 1, 2, 3, =⇒ ∞ Ak ∈ A, k=1 Ak ∈ A k=1 Nhận xét 1.2 Trong điều kiện thứ cần hai hệ thức thỏa Hệ thức tự động thỏa Chẳng hạn từ: ∞ {An } ⊂ A =⇒ ∞ An ∈ A, n=1 An ∈ A n=1 Chương Kiến thức chuẩn bị có ∞ ∞ An ∈ A An = n=1 n=1 Định nghĩa 1.3 Lớp M gọi đơn điệu chứa giới hạn tất dãy đơn điệu Tức là, An ∈ M An ↑ limAn ∈ M Mệnh đề 1.1 σ - đại số đại số đơn điệu ngược lại n Chứng minh Giả sử A đại số đơn điệu Ak , k = 1, 2, 3, Khi ∞ tập thuộc A Do đó, Ak dãy đơn điệu k=1 Ak ∈ A Phần lại hiển nhiên k=1 Giả sử C lớp tập Ω, tồn σ - đại số bé chứa C Ký hiệu: σ(C) nói C sinh σ(C) hay σ(C) sinh từ C Mệnh đề 1.2 Nếu C đại số σ(C) = M(C) Chứng minh Đầu tiên ta chứng minh M(C) đại số (đây phần chứng minh) Lấy A ∈ M(C) đặt: MA = {B ∈ M(C) : A \ B ∈ M(C), B \ A ∈ M(C), A ∪ B ∈ M(C)} Rõ ràng MA đơn điệu theo giả thiết C đại số, nên A ∈ C C ⊂ MA ⊂ M(C) Từ suy MA = M(C) với A ∈ C Thật ra, MB = M(C) với B ∈ C Với điều kiện đặt lên A B đối xứng nên từ B ⊂ M(C) (=MA với A ⊂ C) suy A ∈ MB với A ∈ C tức là, C ⊂ MB MB = M(C) Vậy M(C) đại số Theo mệnh đề trước kết luận vừa chứng minh ta có: M(C) σ - đại số M(C) ⊃ σ(C) Mặt khác, σ(C) lớp đơn điệu chứa C Vậy σ(C) = M(C) Tức M(C) lớp đơn điệu bé chứa C 1.1.2 1.1.2.1 Hàm tập độ đo Hàm tập Giả sử C lớp tập Ω Hàm ϕ : C −→ R gọi hàm tập Chương Phát triển phương pháp Trotter mà không sử dụng toán tử 3.1 Mở đầu Ở chương 2, sử dụng toán tử Trotter để chứng minh số định lí giới hạn trung tâm Trong chương này, chứng minh lại theo phương pháp Trotter khơng dùng tốn tử Thực chất hai phương pháp Mục tiêu chứng minh định lí giới hạn trung tâm điều kiện Brown mà dùng toán tử Trotter tương đối phức tạp Nói định lí Brown, xem thuốc thử để kiểm tra dãy đại lượng ngẫu nhiên có tiệm cận phân phối chuẩn hay không 3.2 Định lý giới hạn trung tâm đại lượng ngẫu nhiên phân phối: Định lý 3.1 Dãy đại lượng ngẫu nhiên (Xn )n≥1 hội tụ theo phân phối đến đại lượng ngẫu nhiên X E(f (Xn )) → E(f (X)), với ∀f ∈ CB CB tập hàm liên tục bị chặn Định lý 3.2 Xét dãy (Xn )n≥1 đại lượng ngẫu nhiên độc lập có phân phối Giả sử: E(Xn ) = 0, D(Xn ) = σ Khi đó, phân phối √1 n n Xk = k=1 √1 (X1 n + X2 + + Xn ) → N (0, 1) n → ∞ Chứng minh : Giả sử (Yn )n≥1 dãy đại lượng ngẫu nhiên độc lập có phân phối chuẩn N (0, 1), độc lập với dãy (Xn )n≥1 55 56 Chương Phát triển phương pháp Trotter mà khơng sử dụng tốn tử Với hàm f liên tục Đặt: In (f ) = E{f ( X1 + X + + Xn Y1 + Y2 + + Yn √ √ )} − E{f ( )} n n 2 Bổ đề 3.1 Nếu lim In (f ) = 0, ∀f ∈ CK (với CK tập hàm f ∈ C có giá compact), n→∞ cịn cho ∀f ∈ CB Chứng minh Đặt: X1 + X2 + + Xn √ n Y1 + Y2 + + Yn √ = n Vn = Wn Bổ đề 3.1 chứng minh qua hai bước: ∗ ∀g ∈ CK , tồn dãy fk ∈ CK cho fk → f L∞ Khi đó: E {g(Vn ) − g(Wn )} = ≤ =⇒ |In (g)| = → → E {g(Vn ) − fk (Vn )} + E {fk (Vn ) − fk (Wn )} + E {fk (Wn ) − g(Wn )} ||g − fk ||∞ + In (fk ) + ||g − fk ||∞ 2||g − fk ||∞ + |In (fk )| ||g − fk ||∞ + n → ∞ k → ∞ ∗ ∀h ∈ CB Ta cần chứng minh: lim In (h) = n→∞ Sử dụng bất đẳng thức Chebyshev, ∀ε > 0, ∃Mε cho: P (|Vn | ≥ Mε ) ≤ σ2 =ε Mε2 σ2 P (|Wn | ≥ Mε ) ≤ = ε Mε Ta định nghĩa hàm liên   h(x) gε (x) = g0 (x)   tục gε R bởi: x ∈ [−Mε , Mε ] x ∈ [−Mε − 1, −Mε ] ∪ [Mε , Mε + 1] trường hợp khác 3.2 Định lý giới hạn trung tâm đại lượng ngẫu nhiên phân phối: 57 |g0 (x)| ≤ |h(x)| =⇒ gε ∈ CK Ta có: In (h) = E {h(Vn ) − h(Wn )} = E {h(Vn ) − gε (Vn )} + E {gε (Vn ) − gε (Wn )} + E {gε (Wn ) − h(Wn )} Do đó, E {h(Vn ) − gε (Vn )} = = ≤ ≤ E {(h − gε )(Vn )} E (h − gε )(Vn )1|Vn |>Mε + E (h − gε )(Vn )1|Vn |≤Mε ||h − gε ||∞ P (|Vn | > Mε ) + · P (|Vn | ≤ Mε ) ||h||∞ · ε Tương tự: E {h(Wn ) − gε (Wn )} ≤ ||h||∞ · ε =⇒ |In (h)| ≤ 2ε||h||∞ + |In (gε )| =⇒ lim |In (h)| ≤ 2ε||h||∞ n→∞ Cho ε → lim In (h) = n→∞ Như bổ đề 3.1 chứng minh Bây giờ, ta trở lại chứng minh định lí 3.2 Y1 + Y2 + + Yn √ có phân phối Gauss tiêu chuẩn N (0, 1), bổ đề 3.1 n định lý giới hạn trung tâm chứng minh ta chứng minh Chứng minh Do lim In (f ) = 0, ∀f ∈ C có giá compact n→∞ Đặt: Uk = (X1 + X2 + + Xn ) + (Yk+1 + Yk+2 + + Yn ) Ta có: f X1 + X + + Xn √ n −f Y1 + Y2 + + Yn √ n n = f U √k n f Xk Zk + √ n k=1 n = k=1 −f Trong đó, Zk = X1 + X2 + + Xk−1 Yk+1 + Yk+2 + + Yn √ √ + n n Uk−1 √ n −f Yk Zk + √ n 58 Chương Phát triển phương pháp Trotter mà khơng sử dụng tốn tử Cũng khai triển Taylor ta có: f f Xk Zk + √ n Yk Zk + √ n lấy Mk Nk cho |Mk | ≤ |Xk | √ n Xk Xk2 = f (Zk ) + f (Zk ) √ + f ”(Mk ) √ n n Yk Yk2 = f (Zk ) + f (Zk ) √ + f ”(Nk ) √ n n |Nk | ≤ |Yk | √ n Do đó, f Xk Zk + √ n −f Yk Zk + √ n X f ”(Mk )Xk2 f ”(Nk )Yk2 Y √ k − √k + − 2n 2n n n Xk Yk Xk Y2 = f (Zk ) √ − √ + f ”(Zk ) − k n n n n f ”(Mk ) − f ”(Zk ) Xk2 f ”(Nk ) − f ”(Zk ) Yk2 + − n n = f (Zk ) Vì Xk , Yk , Zk độc lập, E(X) = E(Y ) = 0, E(Xk2 ) = E(Yk2 ) = σ Nên ta có: Xk Yk Zk + √ − E f Zk + √ n n Xk2 Yk2 Xk Yk − = E f (Zk ) √ − √ + E f ”(Zk ) n n n n f ”(Mk ) − f ”(Zk ) Xk2 f ”(Nk ) − f ”(Zk ) Yk2 + E −E n n 1 = E((f ”(Mk ) − f ”(Zk ))Xk2 ) + E((f ”(Zk − f ”(Nk ))Yk2 ) 2n 2n In (f ) = E f (Do f ∈ C , cho ε > 0; ∃δ > : |z − s| < δ, |f ”(z) − f ”(s)| < ε) =⇒ |In (f )| = ≤ = + ≤ + ≤ 1 E((f ”(Mk ) − f ”(Zk ))Xk2 ) + E((f ”(Zk ) − f ”(Nk ))Yk2 ) 2n 2n 1 E((f ”(Mk ) − f ”(Zk ))Xk2 ) + E((f ”(Zk ) − f ”(Nk ))Yk2 ) 2n 2n E((f ”(Mk ) − f ”(Zk ))Xk2 )(1|Xk |>δ√n + 1|Xk |≤δ√n ) 2n E((f ”(Zk ) − f ”(Nk ))Yk2 )(1|Yk |>δ√n + 1|Yk |≤δ√n ) 2n ||f ”||∞ (E(Xk2 1|Xk |>δ√n ) + E(Yk2 1|Yk |>δ√n )) n ε (E(Xk2 ) + E(Yk2 )) 2n n ||f ”||∞ E(Xk2 1|Xk |>δ√n ) + E(Y12 1|Y1 |>δ√n ) + εσ n k=1 3.3 Định lý giới hạn trung tâm đại lượng ngẫu nhiên không phân phối 59 Cho n → ∞, ta có: lim |In (f )| ≤ εσ (ε đủ nhỏ) n→∞ =⇒ lim In (f ) = n→∞ Vậy định lí 3.2 chứng minh 3.3 Định lý giới hạn trung tâm đại lượng ngẫu nhiên không phân phối Giả sử (Xn )n≥1 dãy đại lượng ngẫu nhiên độc lập không phân phối Giả thiết: E(Xk ) = 0, E(Xk2 ) = σk2 Và kí hiệu: s2n = n σk2 k=1 Định lý 3.3 (Lindeberg) Nếu cho δ > 0, ta có: n→∞ s2 n n E(Xk2 1|Xk |>δsn ) = lim Khi phân phối sn k=1 n Xk → N (0, 1), n → ∞ k=1 Chứng minh Kí hiệu (Zn )n≥1 dãy đại lượng ngẫu nhiên độc lập có phân phối N (0, 1) độc lập với dãy (Xn )n≥1 Giả sử (Yn )n≥1 dãy đại lượng ngẫu nhiên cho: Yn = σn Zn , độc lập với dãy (Xn )n≥1 ∀f ∈ C có giá compact, ta xét: In (f ) = E f X1 + X2 + + Xn sn −E f Y1 + Y2 + + Yn sn Y1 + Y2 + + Yn có phân phối Gauss tiêu chuẩn N (0, 1), định lý chứng minh sn ta chứng minh lim In (f ) = Do n→∞ 60 Chương Phát triển phương pháp Trotter mà khơng sử dụng tốn tử Đặt: Uk = (X1 + X2 + + Xk ) + (Yk+1 + Yk+2 + + Yn ) Ta có: f X + X2 + + X n sn Y1 + Y2 + + Yn sn −f n = f Uk sn −f Uk−1 sn f Zk + Xk sn −f k=1 n = k=1 Zk + Yk sn Trong đó: Zk = X1 + X2 + + Xk−1 Yk+1 + Yk+2 + + Yn + sn sn Cũng khai triển Taylor: f f X2 Xk + f ”(Mk ) 2k sn sn Yk Yk2 = f (Zk ) + f (Zk ) + f ”(Nk ) sn sn Xk sn Yk Zk + sn Zk + lấy Mk Nk cho |Mk | ≤ = f (Zk ) + f (Zk ) |Xk | sn |Nk | ≤ |Yk | sn Do đó, f Zk + Xk sn −f Zk + Yk sn Xk Yk − + sn sn X k Yk = f (Zk ) − + sn sn (f ”(Mk ) − f ”(Zk )) + = f (Zk ) f ”(Mk )Xk2 f ”(Nk )Yk2 − 2s2n 2s2n Xk Yk2 f ”(Zk ) − s2n s2n Xk2 (f ”(Nk ) − f ”(Zk )) − sn Vì Xk , Yk , Zk độc lập, E(X) = E(Y ) = 0, E(Xk2 ) = E(Yk2 ) = σk2 Nên ta có: Xn Yk − E f Zk + sn sn Xn Yn Xk2 Yk2 = E f (Zk ) − + E f ”(Zk ) − sn sn s2n sn f ”(Mk ) − f ”(Zk ) Xk2 f ”(Nk ) − f ”(Zk ) Yk2 + E −E s2n s2n 1 = E((f ”(Mk ) − f ”(Zk ))Xk2 ) + E((f ”(Zk − f ”(Nk ))Yk2 ) 2sn 2sn In (f ) = E f Zk + Yk2 s2n 3.3 Định lý giới hạn trung tâm đại lượng ngẫu nhiên không phân phối 61 (Do f ∈ C , cho ε > 0; ∃δ > : |z − s| < δ, |f ”(z) − f ”(s)| < ε) =⇒ |In (f )| = ≤ = + ≤ + ≤ 1 E((f ”(Mk ) − f ”(Zk ))Xk2 ) + E((f ”(Zk ) − f ”(Nk ))Yk2 ) 2sn 2sn 1 E((f ”(Mk ) − f ”(Zk ))Xk2 ) + E((f ”(Zk ) − f ”(Nk ))Yk2 ) 2sn 2sn E((f ”(Mk ) − f ”(Zk ))Xk2 )(1|Xk |>δsn + 1|Xk |≤δsn ) 2s2n E((f ”(Zk ) − f ”(Nk ))Yk2 )(1|Yk |>δsn + 1|Yk |≤δsn ) 2s2n ||f ”||∞ (E(Xk2 1|Xk |>δsn ) + E(Yk2 1|Yk |>δsn )) s2n ε (E(Xk2 ) + E(Yk2 )) 2s2n n E(Xk2 1|Xk |>δsn ) + E(Yk2 1|Yk |>δsn ) + ε ||f ”||∞ sn k=1 Cho n → ∞, định lý chứng minh ta (Yn )n≥1 thỏa điều kiện Lindeberg Cho k = 1, n, ta có: E(Yk2 1|Yk |>δsn ) = σk2 E(Z12 1|Z1 |> δsn ) σk ≤ σk2 E(Z12 1|Z1 |> δsn ) σj Trong đó, σj = max{σk } Y ∼ N (0, 1) k≤n Lấy tổng k = 1, 2, , n lần Ta có: n E(Yk2 1|Yk |>δsn ) ≤ s2n E(Z12 1|Z1 |> δsn ) σj k=1 ⇐⇒ sn n E(Yk2 1|Yk |>δsn ) ≤ E(Z12 1|Z1 |> δsn ) σj k=1 Do s2n n E(Xj2 1|Xj |>δsn ) s2n ≥ (σj2 − E(Xj2 1|Xj |≤δsn ) sn ≥ (σj2 − δ s2n ) sn σj = ( )2 − δ sn E(Xk2 1|Xk |>δsn ) ≥ k=1 (3.1) 62 Chương Phát triển phương pháp Trotter mà khơng sử dụng tốn tử Bằng điều kiện Lindeberg dãy (Xn )n≥1 , cho n → ∞ Ta có: lim sup( n→∞ Do đó, σj ) ≤ δ , ∀δ > sn σj = n→∞ sn lim Khi (3.1) cho n → ∞ Ta có: n E(Yk2 1|Yk |>δsn ) → k=1 Định lí 3.3 chứng minh 3.4 Định lý giới hạn trung tâm đại lượng ngẫu nhiên phụ thuộc Giả sử (Xn )n≥1 dãy đại lượng ngẫu nhiên, (Fn )n≥1 dãy chọn khơng gian xác suất (Ω, T , µ) Giả sử tổng riêng Xn xác định trình martingale: Xn hàm đo tương ứng với Fn E(Xn /Fn−1 ) = 0, với n ≥ Đặt s2n = n E(Xk2 ) k=1 Định lý 3.4 (Brown) Giả sử giới hạn sau hội tụ xác suất: lim n→∞ sn n→∞ s2 n sn E(Xk2 /Fk−1 ) = (3.2) E(Xk2 1|Xk |>δsn /Fk−1 ) = 0, ∀δ > (3.3) k=1 n lim Khi phân phối n k=1 n Xk → N (0, 1) n → ∞ k=1 Bổ đề 3.2 Điều kiện (3.2), (3.3) định lý 3.4 hội tụ L1 Chứng minh Đặt Gn = s2n n E(Xk2 /Fk−1 ) − k=1 Bởi (3.2), Gn → xác suất Ta phân tích : − Gn = G+ n − Gn 3.4 Định lý giới hạn trung tâm đại lượng ngẫu nhiên phụ thuộc 63 − Vì, Gn ≥ 1, ∀n ≤ G− n ≤ E(Gn ) → định lý hội tụ bị chặn Hơn nữa, − E(Gn ) = ⇔ E(G+ n ) = E(Gn ), ∀n =⇒ =⇒ − lim E(G+ n ) = lim E(Gn ) = n→∞ n→∞ − lim E(|Gn |) ≤ lim E(G+ n + Gn ) = n→∞ n→∞ =⇒ Gn → L1 Mặt khác, cách đặt: n Hn = E(Xk2 1|Xk |>δsn /Fk−1 ) k=1 n E(Xk2 /Fk−1 ) Kn = s2n k=1 n E(Xk2 1|Xk |>δsn /Fk−1 ) k=1 Ta Kn = (1 + Gn )Hn , ∀n Bởi điều kiện (3.3) lim Kn = lim (1 + Gn )Hn = n→∞ n→∞ xác suất Gn → xác suất (3.2), ta suy Hn → xác suất Hơn ≤ Hn ≤ 1, định lý hội tụ bị chặn Khi E(Hn ) → n → ∞ Cuối cùng, E(Kn ) = E(Hn ) + E(Gn Hn ) ≤ E(Hn ) + E(Gn ) → n → ∞ Do đó, Kn → L1 Bây ta chứng minh định lý 3.4 Chứng minh Giả sử (Yn )n≥1 dãy đại lượng ngẫu nhiên cho Yn = σn Y Y ∼ N (0, 1), độc lập với dãy (Xn )n≥1 ∀f ∈ C có giá compact, ta xét In (f ) = E{f X + X2 + + X n } − E{f sn Y1 + Y2 + + Yn } sn Y1 + Y2 + + Yn có phân phối chuẩn N (0, 1), định lý chứng minh ta sn chứng minh lim In (f ) = Do n→∞ 64 Chương Phát triển phương pháp Trotter mà khơng sử dụng tốn tử Đặt: Uk = (X1 + X2 + + Xk ) + (Yk+1 + Yk+2 + + Yn ) Ta có: f X + X2 + + X n sn Y1 + Y2 + + Yn sn −f n = f Uk sn −f Uk−1 sn f Zk + Xk sn −f k=1 n = k=1 Zk + Trong đó: Zk = X1 + X2 + + Xk−1 Yk+1 + Yk+2 + + Yn + sn sn Đặt Fk−1 = σ(X1 , , Xk−1 ) Gk−1 = σ(Yk+1 , , Yn ) Hk = σ(X1 , , Xk−1 , Yk+1 , , Yn ) = σ(Fk−1 , Gk−1 ) Cũng khai triển Taylor: f f Xk sn Yk Zk + sn Zk + lấy Mk Nk cho |Mk | ≤ |Xk | sn Xk X2 + f ”(Mk ) 2k sn sn Y2 Yk = f (Zk ) + f (Zk ) + f ”(Nk ) k2 sn sn = f (Zk ) + f (Zk ) |Nk | ≤ |Yk | sn Do đó, f Zk + Xk sn −f Zk + Yk sn Xk Yk f ”(Mk )Xk2 f ”(Nk )Yk2 − + − sn sn 2s2n 2s2n Xk Yk Xk Yk2 = f (Zk ) − + f ”(Zk ) − sn sn s2n s2n (f ”(Mk ) − f ”(Zk )) Xk (f ”(Nk ) − f ”(Zk )) Yk2 + − s2n s2n = f (Zk ) Vì Zk Hk - hàm đo được, Xk độc lập với Gk−1 Yk độc lập với Hk Ta có: E{(f (Zk + Xk Yk ) − f (Zk + ))/Hk } = E{f (Zk ) sn sn Xk Yk − sn sn /Hk } Yk sn 3.4 Định lý giới hạn trung tâm đại lượng ngẫu nhiên phụ thuộc 65 Xk2 Yk2 − /Hk } + E{ f ”(Zk ) s2n sn X2 + E{ (f ”(Mk ) − f ”(Zk )) 2k /Hk } sn Y2 − E{ (f ”(Nk ) − f ”(Zk )) k2 /Hk } sn E{Xk /Fk−1 } E(Yk ) = E{f (Zk )} − sn sn E{f ”(Zk )} E{Xk /Fk−1 } E(Yk2 ) + − s2n s2n + E{(f ”(Mk ) − f ”(Zk ))Xk2 /Hk } 2sn E{(f ”(Nk ) − f ”(Zk ))Yk2 /Hk } − 2sn E{f ”(Zk )} E{Xk2 /Fk−1 } σk2 = − 2 s2n sn + E{(f ”(Mk ) − f ”(Zk ))Xk2 /Hk } 2s2n E{(f ”(Nk ) − f ”(Zk ))Yk2 /Hk } − 2s2n Lấy tổng k = 1, 2, , n, f ∈ C , ε > 0, ∃δ > cho |z − s| < δ |f ”(z) − f ”(s)| < ε Ta có: X1 + X2 + + Xn Y1 + Y2 + + Yn ) − f( ))/Hk }} sn sn n Xk Yk = E{E{(f (Zk + ) − f (Zk + ))/Hk }} sn sn k=1 In (f ) = E{E{(f ( n ≤ E{ k=1 E{f ”(Zk )} E{Xk2 /Fk−1 } σk2 − )} ( s2n sn + ||f ”||∞ E( n s2n n E{Xk2 1|Xk |>δsn /Fk−1 } + E(Yk2 1|Yk |>δsn )) k=1 ε + E( (E(Xk2 /fk−1 ) + σk2 )) 2s2n k=1 Cho n → ∞, định lý hội tụ L1 , để có điều cần chứng minh ta phải cho thấy: n E Yk2 1|Yk |>δsn → k=1 ∀k = 1, 2, , n Ta có: E(Yk2 1|Yk |>δsn ) = σk2 E(Y 1|Y |> δsn ) σk 66 Chương Phát triển phương pháp Trotter mà khơng sử dụng tốn tử ≤ σk2 E(Y 1|Y |> δsn ) σj đó: σj = max{σk } Y ∼ N (0, 1) k≤n Lấy tổng k = 1, 2, , n lần Ta có: n E(Yk2 1|Yk |>δsn ) ≤ s2n E(Y 1|Y |> δsn ) σj k=1 ⇐⇒ sn n E(Yk2 1|Yk |>δsn ) ≤ E(Y 1|Y |> δsn ) (3.4) σj k=1 Và do, s2n ⇐⇒ E{ sn n E Xj2 1|Xj |>δsn /Fk−1 sn = E Xj2 /Fk−1 − E Xj2 1|Xj |≤δsn /Fk−1 sn } ≥ σj2 − δ s2n sn E Xk2 1|Xk |>δsn /Fk−1 k=1 n E Xk2 1|Xk |>δsn /Fk−1 k=1 ≥ σj sn = − δ2 Bằng điều kiện (3.3) dãy (Xn )n≥1 định lý hội tụ L1 , cho n → ∞ Ta có: lim sup n→∞ Do đó: σj sn ≤ δ2 ∀δ > σj = n→∞ sn lim Khi đó, (3.4) cho n → ∞ Ta có: n E Yk2 1|Yk |>δsn → k=1 Như vậy, ta chứng minh xong định lí 3.4 PHẦN KẾT LUẬN Định lý giới hạn trung tâm điều kiện Brown (1971) cho dãy đại lượng ngẫu nhiên phụ thuộc định lý lý thuyết xác suất nhà toán học giới bỏ nhiều cơng sức nghiên cứu Có thể nói định lý có nhiều ứng dụng hội tụ yếu (theo phân phối) dãy đại lượng ngẫu nhiên (quá trình ngẫu nhiên) đại lượng ngẫu nhiên đó, đặc biệt trình Markov Về định lý Brown, năm 1971 tác giả đưa phương pháp chứng minh riêng sử dụng hàm đặc trưng Tuy nhiên, luận văn đưa phương pháp chứng minh khác đơn giản hiệu nhiều cách phát triển phương pháp Trotter cho dãy đại lượng ngẫu nhiên độc lập Sự khác phương pháp Trotter có sử dụng tốn tử, cịn phương pháp khơng Đây phương pháp có nhiều tiềm sử dụng việc chứng minh định lý giới hạn trung tâm Đó phần mở rộng luận văn Chương Phát triển phương pháp Trotter mà không sử dụng toán tử Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Viết Phú - Nguyễn Duy Tiến, Cơ sở lý thuyết xác suất, Nhà xuất Đại Học Quốc Gia Hà Nội 2004 [2] Lâm Hoàng Chương, Chuyên đề nghiên cứu sinh, 2009 [3] Dương Thị Tuyền, Bài giảng "Nguyên lí xác suất", Bộ mơn Tốn - Khoa Khoa Học Tự Nhiên [4] Nguyễn Duy Tiến - Vũ Việt Yên, Lý thuyết xác suất, Nhà xuất Giáo Dục - 2000 [5] H.F.Trotter, An Elementary Proof Of The Central Limit Theorem, Arch Math 1959 [6] B.M Brown, Martingale Central limit theorem, The annals of Mathematical Statistics, Vol 42, No 1, 59-66, 1971 [7] Marek Capínski and Ekkehard Kopp, Measure - Integral and Probability [8] Richard Durrett, Probability Theory and Examples, Cornell University ... 55 3.2 Định lý giới hạn trung tâm đại lượng ngẫu nhiên phân phối: 55 3.3 Định lý giới hạn trung tâm đại lượng ngẫu nhiên không phân phối 59 3.4 Định lý giới hạn trung tâm đại lượng... tử Trotter chứng minh định lí giới hạn trung tâm Trong chương này, ta chứng minh: định lí giới hạn trung tâm cho đại lượng ngẫu nhiên có phân phối định lí giới hạn trung tâm cho đại lượng ngẫu... Lp Theo định lý 1.11 ta kết luận: X ∈ Lp Xn −→ X 36 Chương Kiến thức chuẩn bị Chương Sử dụng toán tử Trotter chứng minh định lý giới hạn trung tâm 2.1 Mở đầu Các định lí giới hạn trung tâm phận