Độ lệch lớn và một số ứng dụng trong cơ học thống kê

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH Đặng Thị Phương Yến LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC ĐỘ LỆCH LỚN VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG CƠ HỌC THỐNG KÊ Nghệ An - 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐẶNG THỊ PHƯƠNG YẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC ĐỘ LỆCH LỚN VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG CƠ HỌC THỐNG KÊ Chuyên ngành: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC Mã số: 8460106 Người hướng dẫn khoa học PGS.TS LÊ VĂN THÀNH Nghệ An - 2019 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn PGS TS Lê Văn Thành Tác giả xin tỏ lịng kính trọng, biết ơn sâu sắc tới thầy Lê Văn Thành, người trực tiếp giảng dạy, hướng dẫn, động viên, giúp đỡ tận tình suốt trình tác giả học tập thực luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Viện Sư Phạm Tự Nhiên, Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo sau đại học, Trường Đại học Vinh thầy cô giáo trực tiếp giảng dạy, hỗ trợ tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ học viên Tác giả bày tỏ lòng biết ơn đến cha mẹ, người thân, bạn bè tất người giúp đỡ, động viên tác giả suốt trình học tập hoàn thành luận văn Đặng Thị Phương Yến Mục lục Danh mục ký hiệu Lời nói đầu Chương Nguyên lý độ lệch lớn 1.1 Kiến thức chuẩn bị 1.2 Nguyên lý độ lệch lớn nghiêng định lý Cramér 10 Chương Một số ứng dụng học thống kê 30 2.1 Mô hình Curie-Weiss 30 2.2 Mơ hình Heisenberg với trường trung bình 35 2.2.1 Mơ hình Heisenberg khơng có từ trường ngồi 36 2.2.2 Mơ hình Heisenberg với từ trường 43 Danh mục cơng trình liên quan trực tiếp đến luận văn 48 Danh mục công trình liên quan trực tiếp đến luận văn 49 Tài liệu tham khảo 50 i DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU R : Tập hợp số thực Rd : Không gian Euclide d chiều (Ω, F, P) : Không gian xác suất X : Không gian metric đầy đủ, khả ly E(X) : Kì vọng biến ngẫu nhiên X IA : Hàm tiêu tập hợp A m∧n : Giá trị nhỏ hai số thực m n h.c.c : Hầu chắn log : lôgarit tự nhiên f (x) : Đạo hàm f x p i : Trang thứ i tài liệu trích dẫn p i-j : Từ trang thứ i đến trang thứ j tài liệu trích dẫn ✷ : Kết thúc chứng minh C : Hằng số dương khơng giống lần xuất LỜI NÓI ĐẦU Trong lý thuyết xác suất, độ lệch lớn hướng nghiên cứu thời sự, quan trọng Giả sử {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên độc lập, phân phối với kỳ vọng hữu hạn E(X1 ) = µ Sn = n i=1 Xi , n ≥ Với ε > tùy ý, luật số lớn mệnh đề khẳng định P (|Sn /n − µ| > ε) hội tụ 0, độ lệch lớn lại mệnh đề khẳng định P (|Sn /n − µ| > ε) giảm theo tốc độ mũ Thuật ngữ độ lệch lớn sử dụng từ lâu, năm 1877 báo giải thích cho Định luật nhiệt động lực học thứ Boltzmann, lý thuyết độ lệch lớn học thống kê đời Sau lý thuyết độ lệch lớn nghiên cứu nhà toán học người Thụy Điển Harald Cramér tổng biến ngẫu nhiên độc lập, phân phối Lý thuyết độ lệch lớn phát triển hoàn thiện vào năm 1966 Varadhan Đã có nhiều nhà tốn học đạt kết quan trọng độ lệch lớn, Petrov, Sanov, Varadhan (người giành giải thưởng Abel năm 2007 đóng góp cho lý thuyết độ lệch lớn), Ruelle, OE Lanford, Amir Dembo, Ofer Zeitouni, Ellis, Nguyên lý độ lệch lớn có nhiều ứng dụng ma trận ngẫu nhiên, thống kê, kỹ thuật, học thống kê, nhiệt động lực học, lý thuyết thông tin, Đặc biệt, vật lý, ứng dụng quan trọng nguyên lý độ lệch lớn thể học thống kê Và có nhiều nhà toán học áp dụng nguyên lý độ lệch lớn để nghiên cứu mơ hình học thống kê đạt kết quan trọng, nh Kirkpatrick, Meckes, Lăowe, Meiners v Torres, Vi cỏc lý nêu trên, chọn đề tài nghiên cứu cho luận văn tốt nghiệp thạc sĩ là: “Độ lệch lớn số ứng dụng học thống kê” Chương Nguyên lý độ lệch lớn Trong chương này, chúng tơi trình bày số định nghĩa định lý độ lệch lớn, gồm: Định nghĩa hàm tốc độ, nguyên lý độ lệch lớn, nguyên lý Laplace, nguyên lý độ lệch lớn nghiêng, định lý tương đương nguyên lý độ lệch lớn nguyên lý Laplace, định lý Cramér Ngồi cịn trình bày số kiến thức bổ trợ cho chứng minh định lý Trong toàn chương này, ta ký hiệu X không gian metric đầy đủ, khả ly Hầu hết kiến thức trình bày chương trích chủ yếu từ [1], [2] [3] 1.1 Kiến thức chuẩn bị Trong mục này, chúng tơi trình bày số kiến thức độ lệch lớn Các nội dung trình bày chủ yếu tham khảo [3] Trước tiên, chúng tơi trình bày định nghĩa hàm tốc độ Định nghĩa 1.1.1 (Hàm tốc độ) Xét I hàm số xác định X nhận giá trị [0, ∞] Hàm I gọi hàm tốc độ I có tập mức compact, nghĩa với < M < ∞, {x ∈ X : I(x) ≤ M } tập compact Tiếp theo, chúng tơi trình bày định nghĩa nguyên lý độ lệch lớn nguyên lý Laplace Định nghĩa 1.1.2 (Nguyên lý độ lệch lớn) Cho {(Ωn , Fn , Pn ), n ≥ 1} dãy không gian xác suất Xét {Yn , n ≥ 1} dãy phần tử ngẫu nhiên xác định Ωn , nhận giá trị X I hàm tốc độ X Với A ⊂ X , đặt I(A) = inf I(x) Khi đó, {Yn , n ≥ 1} gọi thỏa mãn nguyên lý độ lệch lớn x∈A X với hàm tốc độ I thỏa mãn hai điều kiện sau: (i) Chặn độ lệch lớn Xét tập đóng F X lim sup n→∞ log Pn {Yn ∈ F } ≤ −I(F ) n (ii) Chặn độ lệch lớn Xét tập mở G X lim inf n→∞ log Pn {Yn ∈ G} ≥ −I(G) n Định nghĩa 1.1.3 (Nguyên lý Laplace) Cho {(Ωn , Fn , Pn ), n ≥ 1} dãy không gian xác suất Xét {Yn , n ≥ 1} dãy phần tử ngẫu nhiên xác định Ωn , nhận giá trị X I hàm tốc độ X Khi đó, {Yn , n ≥ 1} gọi thỏa mãn nguyên lý Laplace X với hàm tốc độ I với hàm liên tục, bị chặn f từ X vào R, ta có: log EPn {exp[nf (Yn )]} = sup {f (x) − I(x)} n→∞ n x∈X lim Định lý sau đưa điều kiện cần đủ để dãy {Yn , n ≥ 1} thỏa mãn nguyên lý độ lệch lớn tương đương với thỏa mãn nguyên lý Laplace Định lý 1.1.4 Giả sử {Yn , n ≥ 1} dãy phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị X Khi đó, dãy {Yn , n ≥ 1} thỏa mãn nguyên lý độ lệch lớn X với hàm tốc độ I {Yn , n ≥ 1} thỏa mãn nguyên lý Laplace X với hàm tốc độ I Chứng minh Trước tiên, giả sử {Yn , n ≥ 1} thỏa mãn nguyên lý độ lệch lớn X với hàm tốc độ I , ta cần chứng minh {Yn , n ≥ 1} thỏa mãn nguyên lý Laplace X với hàm tốc độ I Xét f hàm liên tục, bị chặn X Khi tốn M ∈ (0, ∞) cho −M ≤ f (x) ≤ M , với x ∈ X Cho N số nguyên dương j ∈ {1, 2, , N }, ta xét tập đóng FN,j = với N j=1 FN,j lim sup n→∞ 2jM 2(j − 1)M ≤ f (x) ≤ −M + N N x ∈ X : −M + , = X Từ chặn độ lệch lớn, suy 1 log EPn {exp[nf (Yn )]} = lim sup log n n→∞ n {exp[nf (Yn )]} dPn Ωn = lim sup n→∞ log n {exp[nf (x)]} Pn {Yn ∈ dx} X = lim sup log n→∞ n {exp[nf (x)]} Pn {Yn ∈ dx} N j=1   ≤ lim sup log  n→∞ n FN,j  N {exp[nf (x)]} Pn {Yn ∈ dx}  j=1 F N,j 2jM − I(FN,j ) N j∈{1,2, ,N } 2M ≤ max sup {f (x) − I(x)} + N j∈{1,2, ,N } x∈FN,j ≤ max −M + = sup {f (x) − I(x)} + x∈X 2M N Cho N → ∞, ta lim sup n→∞ log EPn {exp[nf (Yn )]} ≤ sup {f (x) − I(x)} n x∈X (1.1.1) Tiếp theo, ta cần chứng minh lim inf n→∞ log EPn {exp[nf (Yn )]} ≥ sup {f (x) − I(x)} n x∈X Ta lấy x điểm tùy ý thuộc X ε số dương Áp dụng chặn độ lệch lớn cho tập mở G = {y ∈ X : f (y) > f (x) − ε} , ta lim inf n→∞ 1 log EPn {exp[nf (Yn )]} ≥ lim inf log EPn {IG (Yn ) exp[nf (Yn )]} n→∞ n n ≥ f (x) − ε + lim inf log Pn {Yn ∈ G} n→∞ n ≥ f (x) − ε − I(G) ≥ f (x) − I(x) − ε Vì x ∈ X điểm bất kỳ, ta suy lim inf n→∞ log EPn {exp[nf (Yn )]} ≥ sup {f (x) − I(x)} − ε n x∈X Cho ε → ta lim inf n→∞ log EPn {exp[nf (Yn )]} ≥ sup {f (x) − I(x)} n x∈X (1.1.2) Từ (1.1.1) (1.1.2), suy log EPn {exp[nf (Yn )]} = sup {f (x) − I(x)} n→∞ n x∈X lim Chứng tỏ {Yn , n ≥ 1} thỏa mãn nguyên lý Laplace X với hàm tốc độ I Bây giờ, ta chứng minh điều ngược lại, giả sử {Yn , n ≥ 1} thỏa mãn nguyên lý Laplace X với hàm tốc độ I Trước tiên, ta chứng minh chặn nguyên lý độ lệch lớn Lấy tập đóng F , ký hiệu m(x, F ) biểu diễn khoảng cách từ x đến F với metric m X Cho j ∈ N ta định nghĩa fj (x) = −j(m(x, F ) ∧ 1) Khi fj hàm liên tục, bị chặn 0, fj ↓ ϕF (x) = x ∈ F, −∞, x ∈ F c Từ suy 1 log Pn {Yn ∈ F } = log EPn {exp[nϕF (Yn )]} ≤ log EPn {exp[nfj (Yn )]} n n n 2.2.1 Mơ hình Heisenberg khơng có từ trường ngồi Mơ hình Heisenberg với trường trung bình mơ hình quan trọng học thống kê Năm 2013, Kirkpatrick Meckes [4] chứng minh nguyên lý độ lệch lớn cho tổng spin mô hình trường trung bình mà khơng có từ trường ngồi Chú ý rằng, Định lý Kirkpatrick Meckes [4], tác giả thiếu trường hợp β > Trong phần trình bày chúng tơi trình bày lại Định lý Kirkpatrick Meckes [4] bổ sung thêm trường hợp β > Xét S2 = x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 : x21 + x22 + x23 = hình cầu đơn vị R3 Trong mơ hình Heisenberg với trường trung bình, spin σi đặt đỉnh i đồ thị đầy đủ n đỉnh, n ≥ cầu S2 Không gian trạng thái Ωn = (S2 )n với độ o tớch Pn = ì Ã Ã Ã ì µ, µ độ đo S2 Hàm Hamilton mơ hình mean-field Heisenberg khơng có từ trường ngồi có dạng Hn (σ) = − 2n n n σi , σj i=1 j=1 n = − (Sn (σ))2 = − 2n ·, · tích vơ hướng R3 , Sn (σ) = Sn (σ) n n i=1 σi , (2.2.13) tổng từ trường mơ hình Xét β > gọi nhiệt độ nghịch đảo Độ đo Gibbs độ đo xác suất Pn,β Ωn , cho Pn,β (σ) = Zn,β exp [−βHn (σ)] Pn (σ) = Zn,β exp nβ Sn (σ) n Pn (σ), (2.2.14) Zn,β nβ = exp [−βHn (σ)] dPn (σ) = exp Ωn Ωn Sn (σ) n dPn (σ) Định lý sau khẳng định với độ đo tích Pn dãy {Sn /n, n ≥ 1} thỏa mãn nguyên lý độ lệch lớn công thức tường minh hàm tốc độ 36 Định lý 2.2.1 Xét mô hình Heisenberg với trường trung bình khơng có n i=1 σi từ trường Đặt Sn := Sn (σ) = Khi với độ đo Pn {Sn /n, n ≥ 1} thỏa mãn nguyên lý độ lệch lớn với hàm tốc độ I(x) = a x − log sinh(a) a = a coth(a) − + log c xác định coth(c) − a sinh(a) (2.2.15) = x c Chứng minh Từ định nghĩa độ đo tích, ta dễ dàng suy với độ đo Pn {σi }ni=1 dãy biến ngẫu nhiên độc lập Mặt khác σi có phân phối S2 , ∀i ∈ {1, 2, , n} Do {σi }ni=1 dãy biến ngẫu nhiên độc lập, phân phối, có phân phối (S2 )n Xét t ∈ R3 \ (0, 0, 0), ta có E (exp ( t, σ1 )) = exp ( t, x ) dµ(x) S2 = (2.2.16) exp ( t t/ t , x ) dµ(x) S2 Bởi tính đối xứng, ta chọn hệ tọa độ cách tự Vì chọn trục Oz dọc theo vectơ t cho t/ t = (0, 0, 1) Chọn hệ tọa độ cầu sau: x1 = sin ϕ cos θ, x2 = sin ϕ sin θ, x3 = cos ϕ, ≤ ϕ ≤ π, ≤ θ ≤ 2π, x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ S2 Khi đó, định thức Jacobi |J| = sin ϕ Vế phải (2.2.16) tính tốn sau: 2π π exp ( t t/ t , x ) dµ(x) = exp ( t cos ϕ) sin ϕdϕdθ 4π 0 S2 π exp ( t cos ϕ) sin ϕdϕ = sinh( t ) = t 37 (2.2.17) Kết hợp (2.2.16) (2.2.17),ta có E (exp ( t, σ1 )) = Vì lim t →0 (sinh( sinh( t ) , t ∈ R3 \ (0, 0, 0) t (2.2.18) t )/ t ) = nên ta kết luận (2.2.18) với t ∈ R3 Do đó, áp dụng nguyên lý độ lệch lớn Cramér cho biến ngẫu nhiên độc lập phân phối, ta có dãy {Sn /n, n ≥ 1} thỏa mãn nguyên lý độ lệch lớn với độ đo Pn với hàm tốc độ I(x) = sup { t, x − c(t)} , x ∈ B2 , (2.2.19) t∈R3 c(t) hàm sinh tích lũy σ1 cho sinh( t ) t c(t) = log E (exp ( t, σ1 )) = log (2.2.20) Vì I(x) = x = (0, 0, 0) nên ta cần xét trường hợp x = (0, 0, 0) Ta có t, x − c(t) ≤ t x − log sinh( t ) t Đặt y(u) = x u − log sinh(u) , u > u Khi đó, ta có 1 − < với u > y (u) = x − coth(u) + , y (u) = u sinh (u) u Do g (u) hàm không tăng (0, +∞) limu→0+ y (u) = x > 0, limu→+∞ y (u) = x − ≤ Điều phương trình y (u) = hay phương trình x = coth(u) − u có nghiệm a > y(u) đạt giá trị lớn u = a Do đó, sup t∈R3 \(0,0,0) { t, x − c(t)} = sup y(u) u>0 = x a − log sinh(a) a = coth(a) − a − log a = a coth(a) − − log 38 sinh(a) a sinh(a) a > (2.2.21) Kết hợp (2.2.19) (2.2.21), ta có sinh(a) a I(x) = a coth(a) − − log (2.2.22) , với a xác định x = coth(a) − 1/a Vậy chứng minh định lý hoàn thành Định lý sau công thức tường minh hàm tốc độ dãy trung bình tổng từ {Sn /n, n ≥ 1} mơ hình Heisenberg với trường trung bình khơng có từ trường thỏa mãn nguyên lý độ lệch lớn với độ đo Gibbs Pn,β Định lý 2.2.2 Xét mô hình Heisenberg với trường trung bình khơng có từ n i=1 σi trường Đặt Sn := Sn (σ) = Khi {Sn /n, n ≥ 1} thỏa mãn nguyên lý độ lệch lớn với độ đo Gibbs Pn,β với hàm tốc độ  βx2   I(x) − , Iβ (x) =   I(x) − βx2 + log sinh(b) b − β coth(b) − b β ≤ 3, , β ≥ I(x) cho (2.2.15), a xác định coth(a) − b định nghĩa coth(b) − b = b β = ||x|| a Chứng minh Từ (2.2.13), ta xét hàm Hamilton sau n Hn (σ) = − (Sn (σ))2 = − 2n Sn (σ) n Khi đó, độ đo Gibbs tương ứng Pn,β (A) = Zn,β nβ exp A Sn (σ) n Pn (σ) = Zn,β exp −nψ A Sn (σ) n dPn (σ), (2.2.23) exp −nψ Zn,β = Ωn Sn (σ) n dPn (σ), β ψ(x) = − x2 Dễ thấy ψ hàm liên tục, bị chặn kết hợp (2.2.15), (2.2.23), áp dụng định lý 1.2.1 suy dãy {Sn /n, n ≥ 1} thỏa mãn nguyên lý độ lệch lớn 39 độ đo Gibbs Pn,β với hàm tốc độ: Iβ (x) = I(x) + ψ(x) − inf {I(y) + ψ(y)} , x ∈ B2 , (2.2.24) y∈B2 sinh(a) a I(x) = a coth(a) − − log ψ(x) = β x , với a xác định x = coth(a) − 1/a Bây giờ, ta tính inf {I(y) − ψ(y)} = inf a≥0 y∈B a coth(a) − − log sinh(a) β − coth(a) − a a (2.2.25) Xét f (u) = u coth(u) − − log sinh(u) β − coth(u) − u u Ta có f (u) = 1 − u sinh2 (u) u − β coth(u) − u (2.2.26) Theo khai triển Taylor, ta có ∞ sinh2 (u) = u+ n=1 Do u2n+1 (2n + 1)! > u2 1 − > u sinh2 (u) Bây ta xét g(u) = u − β coth(u) − , u > u (2.2.27) - Nếu β ≤ ta chứng minh g(u) > 0, ∀u > Tức chứng minh β< u2 u coth(u) − (2.2.28) Nếu bất đẳng thức (2.2.28) với β = hiển nhiên với β < Do ta cần xét trường hợp β = Khi ta cần chứng minh coth(u) − Ta có coth(u) = u < u (2.2.29) e2u + Do bất đẳng thức (2.2.29) tương đương với e2u − 1−u+ u2 e2u > + u + 40 u2 (2.2.30) Khai triển Taylor e2u 2u e 2u 22 u2 =1+ + + 1! 2! ∞ n=3 2n un n! Do vế trái bất đẳng thức (2.2.30) trở thành u2 1−u+ e 2u u2 =1+u+ + =1+u+ u2 ∞ un n=3 ∞ + n=3 2n 2n−1 2n−2 − + n! (n − 1)! 3(n − 2)! 2n−2 un 3n! n− 2 − 7 Dễ thấy với n = n = n − − = 0, với n > n − Do với u > chuỗi lũy thừa chuỗi dương Suy 1−u+ u2 e2u > + u + − > u2 Do bất đẳng thức (2.2.29) Vậy chứng tỏ với β ≤ bất đẳng thức (2.2.28) Hay nói cách khác với β ≤ g(u) > 0, ∀u > Kết hợp với 1 − > suy f (u) > 0, ∀u > 0, nghĩa f hàm không giảm u sinh2 (u) u [0, +∞] Hơn nữa, ta có lim coth(u) − = Do = lim u→0 u→0 sinh(u) u inf f (u) = lim f (u) u≤0 u→0 = lim u→0 a coth(a) − − log sinh(a) β − coth(a) − a a (2.2.31) = Từ (2.2.24), (2.2.25) (2.2.31) ta suy với β ≤ hàm tốc độ Iβ (x) = a coth(a) − − log sinh(a) a − β x , a xác định x = coth(a) − 1/a - Tiếp theo ta xét cho trường hợp β > Với u > ta có Khi g(u) = β= u u2 = := k(u) coth(u) − 1/u u coth(u) − 41 (2.2.32) Ta có u2 coth(u) − 2/u + u/ sinh2 (u) k (u) = (u coth(u) + ||h||u − 1)2 Ta chứng minh coth(u) − u > với u > + u sinh2 u Tương đương với chứng minh u sinh(u) cosh(u) − sinh2 (u) + u2 > với u > Mặt khác ta có sinh(u) cosh(u) = sinh(2u) cosh(2u) − sinh2 (u) = Do bất 2 đẳng thức tương đương với u sinh(2u) − cosh(2u) + + u2 > Khai triển Taylor sinh(2u) cosh(2u) ∞ 22n+1 u2n+1 , (2n + 1)! sinh(2u) = n=0 ∞ cosh(2u) = n=0 22n u2n (2n)! Suy u u sinh(2u) − cosh(2u) + + u2 = 2 = ∞ 22n+1 u2n+1 − (2n + 1)! n=0 ∞ 22n+1 u2n+2 2(2n + 1)! n=0 ∞ u2n = n=2 ∞ = n=3 − ∞ 22n u2n + + u2 (2n)! n=0 ∞ 22n u2n n=2 (2n)! 22n 22n−1 − 2(2n − 1)! (2n)! u2n 22n−2 [2n − 4] (2n)! u sinh(2u) − cosh(2u) + + u2 > Hay u sinh(u) cosh(u) − sinh2 (u) + u2 > với u > Tương đương với Chuỗi lũy thừa chuỗi dương, tức ta có coth(u) − u + > với u > u sinh2 u 42 Vậy chứng tỏ k (u) > 0, với u > Do k(u) hàm khơng giảm (0, ∞) Hơn nữa, khai triển Taylor hàm coth(u), ta có limu→0+ k(u) = 0, limu→∞ k(u) = ∞ Do đó, với β > phương trình k(u) = β có nghiệm b > Vì thế, từ định nghĩa g(u) (2.2.27), ta có g(u) < với u ∈ (0, b), g(u) > với u ∈ (b, ∞) (2.2.33) Vì limu→0+ f (u) = 1/a2 − 1/ sinh2 (a) > với a > 0, nên kết hợp (2.2.26), (2.2.27) (2.2.33), ta có inf a>0 a coth(a) − − log sinh(a) β − coth(a) − a a = f (b) < (2.2.34) Kết hợp (2.2.24), (2.2.25) (2.2.34), với x ∈ B2 , ta có sinh(a) β − x − f (b) a sinh(b) β sinh(a) β 2 − x + log − = a coth(a) − − log coth(b) − , a b b b a xác định coth(a) − = ||x||, b xác định coth(b) − = Điều a b β Iψ (x) = a coth(a) − − log chứng minh định lý 2.2.2 Mơ hình Heisenberg với từ trường ngồi Mục chúng tơi trình mơ hình Heisenberg với trường trung bình có từ trường ngồi tất định, đăng tạp chí Đại học Vinh Chúng tơi chứng minh nguyên lý độ lệch lớn cho Sn /n theo độ đo Gibbs, Sn tổng spin Đặc biệt, thu biểu thức tường minh cho hàm tốc độ Xét S2 hình cầu đơn vị R3 Trong mơ hình Heisenberg với trường trung bình, spin σi đặt đỉnh i đồ thị đầy đủ n đỉnh, n ≥ cầu S2 Không gian trạng thái Ωn = (S2 )n với độ đo tích Pn = µ × · · · × µ, µ độ đo S2 Hàm Hamilton mơ hình Heisenberg với trường trung bình có từ trường ngồi h ∈ R3 \ (0, 0, 0) có dạng Hn (σ) = − 2n n n n σi , σj − h, i=1 j=1 σi = − i=1 43 Sn (σ)2 − h, Sn (σ) , 2n (2.2.35) ·, · tích vơ hướng R3 , Sn (σ) = n i=1 σi tổng từ trường mơ hình Xét β > gọi nhiệt độ nghịch đảo Độ đo Gibbs độ đo xác suất Pn,β Ωn với hàm mật độ: dPn,β (σ) = Zn,β exp (−βHn (σ)) dPn (σ), Zn,β hàm phân hoạch: Zn,β = exp (−βHn (σ)) dPn (σ) Ωn Ở mục 2.2.1 chứng minh nguyên lý độ lệch lớn cho tồng spin Sn := Sn (σ) = n i=1 σi theo độ đo Gibbs mơ hình Heisenberg với trường trung bình mà khơng có từ trường ngồi, nghĩa là, khơng có đại lượng thứ hai biểu thức (2.2.35) Trong mục này, chúng tơi chứng minh tốn với từ trường ngồi, nghĩa chúng tơi xét h ∈ R3 , h = (0, 0, 0) biểu thức Hamilton (2.2.35) Xét x ∈ R3 , ta kí hiệu x2 = x, x Xét hàm f xác định (a, b) ⊂ R với limx→a+ f (x) = y1 limx→b− f (x) = y2 , ta kí hiệu f (a) = y1 f (b) = y2 Bây trình bày định lý nguyên lý độ lệch lớn cho mơ hình Heisenberg với trường trung bình có từ trường ngồi Chứng minh dựa định lý Cramér nguyên lý độ lệch lớn nghiêng 1.2.1 Cho n ≥ 1, σi nhận giá trị S2 với ≤ i ≤ n nên n i=1 σi /n nhận giá trị B2 Định lý sau cho ta công thức tường minh hàm tốc độ dãy trung bình tổng từ {Sn /n, n ≥ 1} mơ hình Heisenberg với trường trung bình có từ trường ngồi thỏa mãn ngun lý độ lệch lớn với độ đo tích Pn Định lý 2.2.3 Xét mơ hình mean-field Heisenberg với trường trung bình có n i=1 σi từ trường ngồi Đặt Sn := Sn (σ) = Khi {Sn /n, n ≥ 1} thỏa mãn nguyên lý độ lệch lớn với độ đo Pn với hàm tốc độ I(x) = a coth(a) − − log a xác định coth(a) − = ||x|| a 44 sinh(a) , a (2.2.36) Chứng minh định lý 2.2.3 tương tự với chứng minh định lý 2.2.1 Định lý công thức tường minh hàm tốc độ dãy {Sn /n, n ≥ 1} thỏa mãn nguyên lý độ lệch lớn với độ đo Gibbs Pn,β Hàm tốc độ Định lý 2.2.4 xét dạng β > Định lý 2.2.4 đây, h = (0, 0, 0) hàm tốc độ Iβ (x) thu gọn lại hàm tốc độ Iβ (x) Định lý 2.2.2 cho trường hợp β > Định lý 2.2.4 Xét mơ hình mean-field Heisenberg với hàm Hamilton n i=1 σi (2.2.35) Đặt Sn := Sn (σ) = Khi {Sn /n, n ≥ 1} thỏa mãn nguyên lý độ lệch lớn với độ đo Pn,β với hàm tốc độ sinh(a) β sinh(b) β − x − β h, x + log − coth(b) − , a b b 1 b a xác định coth(a) − = ||x|| b xác định coth(b) − = − ||h|| a b β Iβ (x) = a coth(a) − − log Chứng minh Từ (2.2.35), ta xét hàm Hamilton sau Sn (σ)2 − h, Sn (σ) 2n Hn (σ) = − Khi đó, độ đo Gibbs tương ứng Pn,ψ (A) = = Z Z = Z = Z exp [−βHn (σ)] dPn (σ) A Sn2 − h, Sn 2n exp −β − exp −n −β A A exp −nψ A Sn n Sn n dPn (σ) Sn − β h, n (2.2.37) dPn (σ) dPn (σ), β ψ(x) = − x2 − β h, x Từ (2.2.36) (2.2.37), cách áp dụng định lý 1.2.1, ta kết luận {Sn /n, n ≥ 1} thỏa mãn nguyên lý độ lệch lớn độ đo Gibbs Pn,ψ với hàm tốc độ: Iβ (x) = I(x) + ψ(x) − inf {I(y) + ψ(y)} y∈B2 = a coth(a) − − log sinh(a) a − β x − β h, x − inf {I(y) + ψ(y)} , x ∈ B2 , y∈B (2.2.38) 45 a xác định x = coth(a) − 1/a Bây giờ, ta tính inf {I(y) − ψ(y)} y∈B Từ (2.2.36) | h, x | ≤ h x , ta có inf {I(y) − ψ(y)} y∈B = inf a≥0 = inf a≥0 a coth(a) − − log sinh(a) β − coth(a) − a a −β h coth(a) − sinh(a) β coth(a) − (a − β h ) − log − coth(a) − a a a a (2.2.39) Xét f (u) = coth(u) − sinh(u) β (u − β h ) − log − coth(u) − u u u , u > Ta có f (u) = 1 − u sinh2 (u) u − β coth(u) − −β h u (2.2.40) Xét g(u) = u − β coth(u) − − β||h||, u > u (2.2.41) Khi g(u) = β= u u2 = := k(u) coth(u) − 1/u + ||h|| u coth(u) + ||h||u − (2.2.42) Ta có k (u) = u2 coth(u) + ||h|| − 2/u + u/ sinh2 (u) (u coth(u) + ||h||u − 1)2 Ở phần chứng minh định lý 2.2.2 ta chứng minh coth(u) − u + > với u > u sinh2 u Điều ám k(u) hàm không giảm (0, ∞) Hơn nữa, khai triển Taylor hàm coth(u), ta có limu→0+ k(u) = 0, limu→∞ k(u) = ∞ Điều 46 (2.2.42) k(u) = β có nghiệm b Vì thế, từ định nghĩa g(u) (2.2.41), ta có g(u) < với u ∈ (0, b), g(u) > với u ∈ (b, ∞) (2.2.43) Vì limu→0+ f (u) = 1/a2 − 1/ sinh2 (a) > với a > 0, nên kết hợp (2.2.40), (2.2.41) (2.2.43), ta có inf a>0 coth(a) − sinh(a) β (a − β h ) − log − coth(a) − a a a = f (b) < (2.2.44) Kết hợp (2.2.38), (2.2.39) (2.2.44), với x ∈ B2 , ta có sinh(a) β − x − β h, x − f (b) a sinh(a) β sinh(b) β = a coth(a) − − log − x − β h, x + log − coth(b) − a b b Iβ (x) = a coth(a) − − log a xác định coth(a) − b = ||x||, b xác định coth(b) − = − ||h|| a b β Điều chứng minh định lý 47 , Kết luận chung kiến nghị Kết luận chung Luận văn thu kết sau: • Trình bày cách có hệ thống số kiến thức nguyên lý độ lệch lớn, định nghĩa hàm tốc độ, nguyên lý độ lệch lớn, nguyên lý Laplace, nguyên lý độ lệch lớn nghiêng, định lý tương đương nguyên lý độ lệch lớn ngun lý Laplace • Trình bày nội dung chứng minh chi tiết định lý Cramér • Trình bày chứng minh chi tiết hai mơ hình học thống kê, mơ hình Curie-Weiss mơ hình Heisenberg với trường trung bình Chứng minh chi tiết số kết mà tài liệu bỏ qua chứng minh chứng minh vắn tắt bổ sung kết mà tài liệu chứng minh thiếu (Định lý 2.1.1, Định lý 2.1.2, Định lý 2.2.1, Định lý 2.2.2) • Đưa biểu thức tường minh cho hàm tốc độ mơ hình Heisenberg với trường trung bình có từ trường ngồi, sử dụng định lý Cramér nguyên lý độ lệch lớn nghiêng để chứng minh định lý mơ hình (Định lý 2.2.3, Định lý 2.2.4) Kiến nghị hướng nghiên cứu Trong thời gian tới, dự định nghiên cứu vấn đề sau đây: • Nghiên cứu mơ hình Heisenberg trường hợp có từ trường ngồi ngẫu nhiên, nghĩa thay h ∈ R3 \ (0, 0, 0) biểu diễn hàm Hamilton (2.2.35) biến ngẫu nhiên {(hi ), i ∈ N} với hi biến ngẫu nhiên nhận giá trị R3 , ∀i ∈ N 48 Danh mục cơng trình liên quan trực tiếp đến luận văn Nguyễn Ngọc Tứ, Nguyễn Chỉ Dũng, Lê Văn Thành, Đặng Thị Phương Yến (2019), Large deviations principle for the mean-field Heisenberg model with external magnetic field, Tạp chí Khoa học Đại học Vinh (đã nhận đăng) 49 Tài liệu tham khảo [1] A Dembo and O Zeitouni (1998), Large Deviation Techniques and Applications, Second edition, New York: Springer [2] S.Ellis (1985) Entropy, Large Deviation, and Statistical Mechanics, New York: Springer Reprinted in Classics of Mathematics series, 2016 [3] S Ellis (2009), The Theory of Large Deviation and Applications to Statistical Mechanics, Department of Mathematics and Statistics, University of Massachusetts [4] K Kirkpatrick and E Meckes (2013), "Asymptotics of the Mean-Field Heisenberg Model", Journal of Statistiacl Physics, (152), 54-92 [5] M Lăowe, R Meiners and F Tores (2013), "Large deviations principle for Curie-Weiss Models with random fields", Journal of Physics A: Mathematical and The oretical, (46) [6] S R S Varadhan (1984), Large Deviation and Applications, Courant Institute of Mathematical Sciences New York University 50 ... chặn độ lệch lớn Vậy ta hoàn thành chứng minh định lý 29 Chương Một số ứng dụng học thống kê Chương chúng tơi trình bày số ứng dụng quan trọng độ lệch lớn học thống kê Cụ thể sử dụng lý thuyết độ. .. sĩ là: ? ?Độ lệch lớn số ứng dụng học thống kê? ?? Chương Nguyên lý độ lệch lớn Trong chương này, trình bày số định nghĩa định lý độ lệch lớn, gồm: Định nghĩa hàm tốc độ, nguyên lý độ lệch lớn, nguyên... DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐẶNG THỊ PHƯƠNG YẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC ĐỘ LỆCH LỚN VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG CƠ HỌC THỐNG KÊ Chuyên ngành: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC Mã số: