Hàm đặc trưng - Định lý giới hạn trung tâm 1. Hàm đặc trưng: Định nghĩa và các tính chất Định nghĩa 1.1. Hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu X là hàm X : R C xác định bởi X (t) = , t R, i là đơn vị ảo. Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc có phân phối xác suất P(X = x k ) = p k với thì hàm đặc trưng của X là X (t) Nếu X có phân phối liên tục tuyệt đối với hàm mật độ f(x) thì hàm đặc trưng X là (t) = Ví dụ 1.2. Giả sử biến ngẫu nhiên X có phân phối nhị thức tham số n, p. Xác định hàm đặc trưng của X. Giải. Ta có Từ đó, X (t) = Ví dụ 1.3. Giả sử biến ngẫu nhiên X có phân phối Poisson tham số > 0. Xác định hàm đặc trưng của X. Giải. Ta có X (t) = = Ví dụ 1.4. Giả sử biến ngẫu nhiên X có phân phối mũ tham số > 0. Xác định hàm đặc trưng của X. Giải. Ta có X (t) = Ví dụ 1.5. Giả sử biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn tắc N(0; 1). Xác định hàm đặc trưng của X. Giải. Ta có X (t) = Tính chất 1.6. (Tính chất của hàm đặc trưng) X (0) = 1; -1 X (t) với mọi - < t < + . Hàm đặc trưng X (t) liên tục đều trên toàn bộ đường thẳng. aX+ b (t) = e itb X (at), a, b là các hằng số Nếu dãy biến ngẫu nhiên X 1 , , X n độc lập thì hàm đặc trưng của tổng bằng tích các hàm đặc trưng của từng biến, nghĩa là Ví dụ 1.7. Giả sử biến ngẫu nhiên Y có phân phối chuẩn N(a; ). Xác định hàm đặc trưng của Y. Giải. Đặt thì X có phân phối chuẩn tắc N(); 1). Do Y = X + a nên Y (t) = e ita X ( t) = Định lí 1.8. Nếu đại lượng ngẫu nhiên X có mômen tuyệt đối cấp n, thì hàm đặc trưng của X khả vi n lần và với k n ta có . Ta có thể sử dụng định lí này vào việc tính kì vọng và phương sai của X. Ví dụ 1.9. Tính kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn N(a; ). Giải. Theo Ví dụ 1.7 thì X (t) = . Ta có ’ X (t) = ’’ X (t) = áp dụng Định lý 1.8 ta nhận được E(X) = ’ X (0) = E(X 2 ) = ’’ X (0) = và từ đó D(X) = . Định lí 1.10. (Công thức ngược) Nếu biến ngẫu nhiên X có hàm phân phối F(x) và hàm đặc trưng (t) thì đối với hai điểm liên tục bất kì x, y của F(x) ta có F(y) – F(x) = Nếu khả tích trên toàn bộ đường thẳng và X có hàm mật độ là f(x) liên tục thì Ví dụ 1.11. Giả sử biến ngẫu nhiên X có hàm đặc trưng . Tìm hàm mật độ của X. Giải. Theo Định lý 1.10 ta có . Đặt w = t + iv. Với x < 0, tích phân theo trục thực bằng tích phân theo đường cong kín tạo bởi trục thực và nửa vòng tròn với bán kín lớn vô cùng nằm ở nửa mặt phẳng trên (xem hình)Ta có . Theo định lí về thặng dư Vì x < 0 nên ta có . Tương tự với x > 0 ta có . Đưa về trường hợp x < 0 bằng cách đặt t 1 = -t ta nhận được Từ đó Tóm lại, hàm mật độ tìm được là . . Hàm đặc trưng - Định lý giới hạn trung tâm 1. Hàm đặc trưng: Định nghĩa và các tính chất Định nghĩa 1. 1. Hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu X là hàm X : R C xác định bởi. tắc N(0; 1) . Xác định hàm đặc trưng của X. Giải. Ta có X (t) = Tính chất 1. 6. (Tính chất của hàm đặc trưng) X (0) = 1; -1 X (t) với mọi - < t < + . Hàm đặc trưng X (t) liên tục. nhiên X 1 , , X n độc lập thì hàm đặc trưng của tổng bằng tích các hàm đặc trưng của từng biến, nghĩa là Ví dụ 1. 7. Giả sử biến ngẫu nhiên Y có phân phối chuẩn N(a; ). Xác định hàm đặc trưng