Hàm đặc trưng - Định lý giới hạn trung tâm trong xác suất thống kê - 1 pot

Hàm đặc trưng: Định nghĩa và các tính chất Định nghĩa 1.1.. Giả sử biến ngẫu nhiên X có phân phối nhị thức tham số n, p.. Xác định hàm đặc trưng của X... Xác định hàm đặc trưng của X..

Hàm đặc trưng - Định lý giới hạn trung tâm

1 Hàm đặc trưng: Định nghĩa và các tính chất

Định nghĩa 1.1 Hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu X là hàm X: R

C xác định bởi X(t) = , t R, i là đơn vị ảo

 Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc có phân phối xác suất P(X = xk) = pk với

thì hàm đặc trưng của X là

X(t)

 Nếu X có phân phối liên tục tuyệt đối với hàm mật độ f(x) thì hàm đặc trưng X là

(t) =

Ví dụ 1.2 Giả sử biến ngẫu nhiên X có phân phối nhị thức tham số n, p Xác định

hàm đặc trưng của X

Giải Ta có

Từ đó,

X(t) =

Ví dụ 1.3 Giả sử biến ngẫu nhiên X có phân phối Poisson tham số > 0 Xác định

hàm đặc trưng của X

Giải Ta có

Ví dụ 1.4 Giả sử biến ngẫu nhiên X có phân phối mũ tham số > 0 Xác định

hàm đặc trưng của X

Giải Ta có

X(t) =

Ví dụ 1.5 Giả sử biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn tắc N(0; 1) Xác định hàm

đặc trưng của X

Giải Ta có

X(t) =

Tính chất 1.6 (Tính chất của hàm đặc trưng)

 X(0) = 1; -1 X(t) với mọi - < t < +

 Hàm đặc trưng X(t) liên tục đều trên toàn bộ đường thẳng

 aX+ b(t) = eitb X(at), a, b là các hằng số

 Nếu dãy biến ngẫu nhiên X1, , Xn độc lập thì hàm đặc trưng của tổng

bằng tích các hàm đặc trưng của từng biến, nghĩa là

Ví dụ 1.7 Giả sử biến ngẫu nhiên Y có phân phối chuẩn N(a; ) Xác định hàm đặc trưng của Y

Giải Đặt thì X có phân phối chuẩn tắc N(); 1) Do Y = X + a nên

Y(t) = eita X( t) =

Định lí 1.8 Nếu đại lượng ngẫu nhiên X có mômen tuyệt đối cấp n, thì hàm đặc

trưng của X khả vi n lần và với k n ta có

Ta có thể sử dụng định lí này vào việc tính kì vọng và phương sai của X

Ví dụ 1.9 Tính kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn

N(a; )

Giải Theo Ví dụ 1.7 thì X(t) = Ta có

’X(t) =

’’X(t) =

áp dụng Định lý 1.8 ta nhận được

E(X) = ’X(0) =

E(X2) = ’’X(0) =

và từ đó D(X) =

Định lí 1.10 (Công thức ngược)

Nếu biến ngẫu nhiên X có hàm phân phối F(x) và hàm đặc trưng (t) thì đối với hai điểm liên tục bất kì x, y của F(x) ta có

F(y) – F(x) =

Nếu khả tích trên toàn bộ đường thẳng và X có hàm mật độ là f(x) liên tục thì

Ví dụ 1.11 Giả sử biến ngẫu nhiên X có hàm đặc trưng Tìm hàm mật

độ của X

Giải Theo Định lý 1.10 ta có Đặt w = t + iv Với x < 0, tích phân theo trục thực bằng tích phân theo đường cong

kín tạo bởi trục thực và nửa vòng tròn với bán kín lớn vô cùng nằm ở nửa mặt phẳng trên (xem hình)Ta có

Theo định lí về thặng dư

Vì x < 0 nên ta có

Tương tự với x > 0 ta có Đưa về trường hợp x < 0 bằng cách đặt t1 = -t ta nhận được

Từ đó

Tóm lại, hàm mật độ tìm được là