Vector riêng của toán tử (K,Uo) - lõm chính quy cực trị trong không gian định chuẩn với hai nón

       0 ,Ku - LÕM     02   2013  S  ,  PGS       , 7 3.            M  1 :  4 1.1.K 4  4 -    0 Ku . 5  8 1.3. Không gian 0 u E 11  0 u -  0 u E . 11  14 . 19 1.4.1. Không gian 2 l . 19 1.4.2. Không gian [ , ]M a b 32 :    0 ,Ku -  TRONG  44  44  0 ( , )Ku -  45      0 ,Ku -          2 , [ , ]l M a b 51    0 ,Ku - lõm chính quy trong không gian [ , ]M a b 51    0 ,Ku - 2 l 53  :         0 ( , )Ku -           61                  0 ,Ku -           61  61  61  0 u -    0 ,Ku - lõm  66  66  66  71  72 1  1.   .   chitz xét các toán   toán     GS -    0 ,uK -      0 ,uK -     0 u -  -                    0 u -        0 ,Ku - lõm chính quy   2 2.           tor       0 ,Ku - lõm chính quy  i hai nón   0 u -  3.  - Tìm  - Tìm    0 ,Ku - lõm chính quy   -     0 ,Ku - lõm chính quy  4.       0 ,Ku - lõm chính quy  ,           0 ,Ku - lõm chính quy         0 ,Ku - lõm chính quy trong không g 5.  - ctor    0 ,Ku - lõm chính quy   -  6.      3    0 ,Ku - lõm chính quy  và vector ; x  2 , [ , ]l M a b    0 ,Ku -     . 4   1.1.  .1.   X  R cùng   X  R  .    C 1.   , 0, 0x X x x x         X ); C 2.     , , ;x X R x x         C 3.   , , .x y X x y x y      x  x .  X .  1 , C 2, C 3    .1.2.    n x  X   xX  lim 0 n n xx   . 1.1.3.    1 n n x    X    ,  , lim 0 nm mn xx   , hay     * 0 0 nN      sao cho   0 ,m n n ta có nm xx   . .1.4.  X   X  1.1.5. Không gian Banach X  X là E . 1.2.  5 1.2.1. -     0 Ku   .1.      E .     KE   K  N 1 . K  E ; N 2 . ,x K y K x y K       ; N 3 . ,0x K t tx K      ; N 4 . ,x K x x K       .   .1  K           K   và K  *) , , 0x K t R t     ta có tx K  0t  ta có 0. .xK   *) , , [0,1]x y K t    ta có   ,1tx K t y K   suy ra   1.tx t y K    K  .  E , K  không gian E .  ,x y E ,  xy  y x K . ,    trên E  +) ( ) , x E x x   vì x x K         +) ( , , : , y ) , x y z E x y z y x K z y K         .  ( ) ( )z x z y y x K x z            + ) ( , : , y ) ,x y E x y x x y     vì  xy thì yx   . Do y x K nên x y K ,  yx .        E theo K . [...]... ³ 1- gn - hn E Và gn hn 1 > 0( " n ³ 2) n hn E E E hn 17 hn E - xn = xn yn + n yn E - xn £ xn E E yn + = 1+ = 1+ n yn E 1 n 1 , n E E ừ ó - hn 1 n ³ - 1- E Suy ra gn gn E xn = xn + E E - hn yn hn E E xn £ n yn xn E E ³ 1- ³ - 2 n + E yn n yn E E 1 > 0 "n ³ 2 n Suy ra - hn E 1 n £ - 1+ V y gn E - hn E 2 n £ ó gn gn + E hn hn £ E £ 2y n n yn 2 n (1 + D ó E gn 1 ) n + gn + gn E 2 n 1+ E 1 n = - hn... e ẩ , (M  0) (n  N * ) xn Định nghĩa 1.2.9 Nón K ặ ở ử ẩ ó M , y ô ó Nón K E ó ó : ị E y , ị ặ e trong không gian E Định lí 1.2.1 ếu K l nón đều t ì K l nón c uẩn tắc C ứn m n Cho E ửK gian E ô ô ó , K ó ẩ , ô ĩ (n  N * )(yn  K )(xn  K ) xn  yn  1 sao cho xn  yn  K ỗ : ( x1  y1 )  ( x2  y2 )   ( xn  yn )  ó, ỗ không gian Banach ó ụ ụ ô 1 n2 y trong E ặ  u   ( xn  yn )...  x x  ị y  xn  ặ , ụ ó 1.3 Không gian Eu0 1.3.1 P ần tử u0 - đo được Địn n ĩa, tín c ất không gian Eu0 C ử xE ô E u0 - ồ ó K, ô t1.u0  x  t2 u0 ử u0  K \   t1 , t2 sao cho n 12 t1 là   x  , í ụ 1 2 1 thì:   x .u0  x    x .u0 124 ữ Kí t2 là   x  Theo tính c ấ 1.2.3 ấ ẳ t1    x  , t2    x  (1 1) ử xE ó í ấ Eu0 là (1.1) ấ u0 - Không gian Eu0 có các tính chất sau:...  y u0  maxinf (t1  t3 ), inf (t2  t4 )  x  y y, x  y u  x u  y u 0 Vì y, 0 ô ị ( í Eu0 ù Định lí 1.3.1 3 ) ẩ (1 2) ẩ C ẩ (1 2) ị 0 y 132 M u0 í ô ẩ u0 - ó ếu K l nón c uẩn tắc tron k ôn an Banac t ực E , thì không gian Eu0 là không gian Banach theo u0 - c uẩn ử  xn n1  C ứn m n ẩ u0 - ĩ y ấ ô e :    0  n0  N *  n, m  n0  xn  xm u0  , hay  u0  xn  xm   u0 D (1.3)... là không gian Banach theo u0 - ẩ Định lí 1.3.2 G ả sử K l m t nón tron k ôn đó, K l m t nón c uẩn tắc k v c ỉk an Banac t ực E Khi : (M  0)(y  K \  (x  E y ) x E  M x y y E (1.4) C ứn m n : ử K ĩ ó ẩ ấ ẳ (1 4) ( " n Î N * )($ y n Î K \ { }($ x n Î E y ) x n q n E > n xn yn ô yn y E ¥ ¥ y (x n )n = 1 Ì E ,(y n )n = 1 Ì E ; y n , x n ¹ q (n = 1, 2, ) ồ xn ừ ó ừ ị ĩ ẩ - xn Suy ra - xn...6 y Lúc này, ta nói không gian E là không gian Banach ử theo nón K ừ ị ĩ , ễ y í í ấ y ( í ấ ):  xn n1  E,  yn n1  E, xn  yn , n  1,2,  Tính chất 1.2.1  và lim xn  x, lim yn  y trong không gian E thì x  y n n y, vì yn  xn  K , n  1,2, ,lim  yn  xn   y  x và K n ó nên y  x  K ... £ x n £ x n yn £ x n £ yn xn n yn n y n E E yn , 16 ó yn - n yn xn £ xn E yn £ n yn E E ặ xn gn = K xn + E ó, yn n yn xn E yn + Î K \ {q} n yn E E n ³ 2 ta có gn hn E E xn = xn xn n yn E xn E E yn + xn ³ n yn E - xn = yn + E E - xn ³ xn E E y gn , hn Î K \ { } q ồ - xn Î K \ {q}, hn = - E yn 1 > 0 n E E yn n yn 1 > 0, n = 1- n yn e n³ 2 = 1- E E ị ĩ ó ẩ , d > 0 sao cho gn gn + E hn hn ³ d (n = 2,... xn0  0 e 4 K  2 ó x  K ó K l2  Tính chất của nón K trong không gian l2 ó ô 26 ỉ ó K ó ẩ y: e1, e2  K , e1   xn n1 , e2   yn n1 , xn , yn  0, n  N * : e1  e2  1     xn   2 n 1  e1  e2  x ó Ta có  y n 1 2 n  ẩ V y K n 1 n  yn  2 x 1 n 1 n 2 1  1.4.1.3 Quan ệ t ứ tự trên l2 e ụ (1 2 2), hông gian l2 là khôn ử e nón K *) V x   x1, x2 , , xn ,  , y   y1,... Định nghĩa 1.2.5 Nón K E thông K  u0   K \   ể 1.2.2 M t số nón đặc b ệt v mố l ên ệ ử ó ẩ ô E : , (  0)(e1, e2  K : e1  e2  1) thì e1  e2   Định nghĩa 1.2.6 Nón K ặ ,  x  K   rx  0 S  x, rx   K , ó S  S  x, rx    y  E : y  x  rx  Định nghĩa 1.2.7 Dãy  xn n1  E  y ô , x1  x2   xn  Dãy ( xn )1  E n y ô , x1  x2   xn  C y ô y ô y Định nghĩa 1.2.8... n  1,2,  xn  yn , n  1,2, *) ử ùy ý ô l2 ó ể ô "  ", ó ẳ x  1,0,0,0, ,0,  , y   0,1,0,0, ,0,  ta có : y  x 1,1,0, ,0, K  ta không có x  y; x  y  1, 1,0, ,0,   K  ta không có y  x V y, ô l2 ù ử ô nón K theo nón K 1.4.1.4 Không gian l2,u0 ) (1.11), c ô l2 ù u0   un n1 ,  ó K ị ở ô 27 ó I1  n  N * : un  0; I 2  n  N * : un  0 V I1   ữ ấy u0  K \   I .  0 ,Ku - lõm chính quy  trong không g 5.  - ctor    0 ,Ku - lõm chính quy .  - Tìm    0 ,Ku - lõm chính quy   -     0 ,Ku - lõm chính quy . )Ku -  45      0 ,Ku -          2 , [ , ]l M a b 51    0 ,Ku - lõm chính quy trong không gian