Véctơ riêng của toán tử (K,Uo) - lõm chính quy compact đơn điệu trong không gian định chuẩn với hai nón

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 ——————————————— NGUYỄN THỊ ÁNH VÉCTƠ RIÊNG CỦA TOÁN TỬ (K, u 0 ) − LÕM CHÍNH QUY COMPACT ĐƠN ĐIỆU TRONG KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN VỚI HAI NÓN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 ——————————————— NGUYỄN THỊ ÁNH VÉCTƠ RIÊNG CỦA TOÁN TỬ (K, u 0 ) − LÕM CHÍNH QUY COMPACT ĐƠN ĐIỆU TRONG KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN VỚI HAI NÓN Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS.GVCC Nguyễn Phụ Hy Hà Nội - 2013 Lời cảm ơn Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của PGS.TS.GVCC Nguyễn Phụ Hy. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS.GVCC Nguyễn Phụ Hy người thầy đã trực tiếp hướng dẫn tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn chỉnh đề tài. Tôi xin chân thành cảm ơn các GS, TS giảng dạy chuyên ngành Toán Giải tích Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, các bạn học viên cao học Toán Giải tích K15 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện đề tài. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình, cùng bạn bè, đồng nghiệp đã tạo điều kiện, động viên và giúp đỡ tôi rất nhiều trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu. Thái Bình, ngày 10 tháng 07 năm 2013 Tác giả Nguyễn Thị Ánh Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của PGS.TS.GVCC Nguyễn Phụ Hy. Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Thái Bình, ngày 10 tháng 07 năm 2013 Tác giả Nguyễn Thị Ánh Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Nhiều vấn đề của toán học, vật lý và kĩ thuật dẫn đến việc xét bài toán tìm véctơ riêng của toán tử. Chính vì vậy mà bài toán này đã được nhiều nhà toán học lớn trên thế giới quan tâm nghiên cứu. Nhà toán học Nga nổi tiếng M.A.Kraxnôxelxki đã nghiên cứu lớp toán lõm tác dụng trong không gian Banach thực với một nón cố định (1956), sau đó mở rộng cho lớp toán tử lõm tác dụng trong không gian Banach thực với hai nón cố định, trong đó một nón là tập con của nón còn lại (1962). GS-TSKH Bakhtin nghiên cứu toán tử (K, u 0 ) − lõm tác dụng trong không gian Banach thực với một nón cố định (1975), sau đó mở rộng cho toán tử (K, u 0 ) − lõm tác dụng trong không gian Banach thực với hai nón cố định giao nhau khác rỗng (1984). Các lớp toán tử được các giáo sư Kraxnôxelxki và Bakhtin nghiên cứu đều có tính chất u 0 − đo được. Năm 1987 PGS-TS Nguyễn Phụ Hy mở rộng các kết quả đối với lớp toán tử lõm cho lớp toán tử phi tuyến mới tác dụng trong không gian Banach thực với một nón cố định: Toán tử lõm chính quy, trong đó v không yêu cầu toán tử có tính chất u 0 − đo được. Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về lĩnh vực này, với sự hướng dẫn, giúp đỡ tận tình của PGS-TS-GVCC Nguyễn Phụ Hy, tôi mạnh dạn chọn đề tài: “Véctơ riêng của toán tử (K, u 0 ) − lõm chính quy compact đơn điệu trong không gian định chuẩn với hai nón”. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu véctơ riêng của toán tử (K, u 0 ) − lõm chính quy compact đơn điệu trong không gian Banach thực với hai nón cố định giao nhau khác rỗng, trong đó không yêu cầu toán tử có tính chất u 0 − đo được. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu về không gian Banach thực nửa sắp thứ tự. - Tìm hiểu về toán tử (K, u 0 ) − lõm chính quy compact đơn điệu trong không gian Banach thực với hai nón. - Tìm hiểu về véctơ riêng của toán tử (K, u 0 ) − lõm chính quy compact đơn điệu trong không gian Banach thực với hai nón. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức cơ sở cần thiết, các kết quả về toán tử (K, u 0 ) − lõm chính quy compact đơn điệu và véctơ riêng của toán tử (K, u 0 ) − lõm chính quy compact đơn điệu trong không gian định chuẩn với hai nón. vi - Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, các bài báo trong và ngoài nước liên quan đến toán tử (K, u 0 ) − lõm chính quy compact đơn điệu trong không gian định chuẩn với hai nón. 5. Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu tài liệu. - Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu. - Tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn. 6. Những đóng góp của luận văn Các đóng góp của luận văn là trình bày một cách có hệ thống kiến thức về không gian Banach thực nửa sắp thứ tự, các kết quả chính về nón, đặc biệt là sự tồn tại véctơ riêng của toán tử (K, u 0 ) − lõm chính quy compact đơn điệu trong các không gian: R n , l p (p > 1). vii Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v Nội dung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1. Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự . . . . . . 1 1.1. Không gian định chuẩn thực. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2. Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2.1. Định nghĩa nón và quan hệ sắp thứ tự - Hai phần tử thông ước và tập K (u 0 ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2.2. Một số nón đặc biệt và mối liên hệ giữa chúng . . . . . . . . . . . 4 1.3. Không gian E u 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.1. Phần tử u 0 − đo được và không gian E u 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.2. Một số định lý về nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4. Một số không gian Banach thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4.1. Không gian R n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4.2. Không gian l p (p > 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Chương 2. Toán tử (K, u 0 ) − lõm chính quy compact đơn điệu trong không gian Banach thực với hai nón. . . . . . . 42 2.1. Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 viii 2.2. Một số tính chất đơn giản về toán tử (K, u 0 )- lõm chính quy compact đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.3. Toán tử (K, u 0 ) − lõm chính quy compact đơn điệu trong các không gian R n , l p (p > 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.3.1. Toán tử (K, u 0 ) − lõm chính quy compact đơn điệu trong không gian R n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.3.2. Toán tử (K, u 0 )- lõm chính quy compact đơn điệu trong không gian l p (p > 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Chương 3. Sự tồn tại véctơ riêng của toán tử (K, u 0 ) − lõm chính quy compact đơn điệu trong không gian Banach thực với hai nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.1. Đạo hàm tiệm cận của toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.1.1. Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.1.2. Một số định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.2. u 0 − đạo hàm Fréchet của toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.2.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.2.2. Một số định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 ix Chương 1 Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự 1.1. Không gian định chuẩn thực Định nghĩa 1.1.1. Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trường P (P ≡ R hoặc P ≡ C) cùng với một ánh xạ từ X vào tập số thực R, kí hiệu là . (đọc là chuẩn), thỏa mãn các tiên đề sau: C 1 ) (∀x ∈ X) x ≥ 0, x = 0 ⇔ x = θ; C 2 ) (∀x ∈ X) (∀α ∈ P ) αx = |α|x; C 3 ) (∀x, y ∈ X) x + y ≤ x + y. Số x gọi là chuẩn của véctơ x. Ta cũng kí hiệu không gian định chuẩn là X. Các tiên đề C 1 ), C 2 ), C 3 ) gọi là hệ tiên đề về chuẩn. Định nghĩa 1.1.2. Không gian định chuẩn X trên trường R gọi là không gian định chuẩn thực, ký hiệu: X. 1 [...].. .Định nghĩa 1.1.3 Dãy điểm (xn )∞ của không gian định chuẩn X gọi n=1 là hội tụ tới x ∈ X, nếu lim xn − x = 0 n→∞ Định nghĩa 1.1.4 Dãy điểm (xn )∞ của không gian định chuẩn X n=1 được gọi là dãy cơ bản, nếu lim n, m→∞ xn − xm = 0 Định nghĩa 1.1.5 Không gian định chuẩn X được gọi là không gian Banach, nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ 1.2 Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự 1.2.1 Định nghĩa nón. .. dãy không tăng gọi chung là dãy đơn điệu Dãy (xn )∞ ⊂ E được gọi là bị chặn theo chuẩn, nếu: n=1 (∃M > 0) (∀n ∈ N∗ ) xn 4 E ≤ M Định nghĩa 1.2.7 Cho không gian Banach thực E nửa sắp thứ tự theo nón K Nón K được gọi là nón đều, nếu mọi dãy đơn điệu trong không gian E và bị chặn bởi phần tử đều có giới hạn trong không gian E Nón K được gọi là nón đều hoàn toàn, nếu mọi dãy đơn điệu và bị chặn theo chuẩn. .. )} = x + y ≤ x u0 + y u0 u0 xác định một chuẩn trên Eu0 Vậy, Eu0 là không gian định chuẩn với chuẩn x Số thực không âm x u0 u0 = max {α (x) , β (x)} gọi là u0 − chuẩn của phẩn tử x ∈ Eu0 Định lý 1.3.4 Nếu K là nón chuẩn tắc, thì Eu0 là không gian Banach thực theo u0 - chuẩn 11 Chứng minh Giả sử (xn )∞ là một dãy cơ bản bất kỳ trong không gian Eu0 theo n=1 u0 - chuẩn, nghĩa là: (∀ε > 0) (∃n0 ∈ N∗... k=1 không giảm và bị chặn trên bởi phần tử u, nhưng dãy này không hội tụ vì zn − zn−1 = xn = 1, ∀n ∈ N∗ Điều này mâu thuẫn với tính chất đều của nón K Vì vậy, K là nón chuẩn tắc Định lý 1.2.2 Giả sử K là nón đều hoàn toàn trong không gian Banach thực E Khi đó, K là nón đều 5 Chứng minh Trước hết ta chứng minh mọi nón đều hoàn toàn là nón chuẩn tắc Thật vậy, giả sử K là nón đều hoàn toàn nhưng không. .. đó, dãy (xn − x1 )∞ không giảm, bị chặn trên bởi y−x1 và (xn − x1 ) ⊂ n=1 K Do K là nón chuẩn tắc, nên (∃M > 0) xn − x1 ≤ M y − x1 Từ đó và từ tính đều hoàn toàn của nón K, suy ra dãy (xn − x1 )∞ hội n=1 tụ trong không gian E Do đó, dãy (xn )∞ hội tụ trong không gian E n=1 Vì vậy, K là nón đều Định lý 1.2.3 Giả sử K là nón đều và đặc trong không gian Banach thực E Khi đó, K là nón đều hoàn toàn Chứng... đều có giới hạn trong không gian E Định lý 1.2.1 Giả sử K là một nón đều trong không gian Banach thực E Khi đó, K là nón chuẩn tắc Chứng minh Giả sử K là nón đều nhưng không là nón chuẩn tắc, nghĩa là: (∀n ∈ N∗ ) (∃xn , yn ∈ K : xn = yn = 1) xn + yn < 1 n2 Khi đó, chuỗi: (x1 + y1 ) + (x2 + y2 ) + + (xn + yn ) + hội tụ tuyệt đối nên chuỗi này hội tụ trong không gian E Ký hiệu tổng của chuỗi là u n... max |xk | 1≤k≤n n x Vậy Rn là không gian định chuẩn thực với chuẩn xác định bởi công thức (1.6) 21 Không gian định chuẩn thực tương ứng ký hiệu là Rn • Không gian định chuẩn thực Rn với chuẩn xác định bởi công thức (1.6) là một không gian Banach thực Thật vậy, (l) Giả sử x(l) = xk n , l = 1, 2, là một dãy cơ bản tùy ý trong k=1 Rn Theo định nghĩa dãy cơ bản, ta có (∀ε > 0) (∃l0 ∈ N∗ ) (∀m, l ≥... quan hệ sắp thứ tự - Hai phần tử thông ước và tập K (u0 ) Định nghĩa 1.2.1 Cho không gian Banach thực E Tập con khác rỗng K ⊂ E gọi là một nón, nếu K thỏa mãn các điều kiện sau đây: N1) K là một tập đóng trong không gian E; N2) (∀x ∈ K) (∀y ∈ K) x + y ∈ K; N3) (∀x ∈ K) (∀t ≥ 0) tx ∈ K; N4) (∀x ∈ K, x = θ) − x ∈ K / Định nghĩa 1.2.2 Cho không gian Banach thực E, K là một nón trong không gian E ∀x, y ∈ E,... dãy (xn )∞ hội tụ u0 − theo chuẩn tới x ∈ Eu0 n=1 Vậy Eu0 là không gian Banach thực theo u0 - chuẩn 1.3.2 Một số định lý về nón Định lý 1.3.5 Giả sử K là một nón trong không gian Banach thực E Khi đó, K là nón chuẩn tắc khi và chỉ khi: (∃M > 0) (∀y ∈ K\ {θ}) (∀x ∈ Ey ) x 12 E ≤M x y y E ) (1.2) Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử K là nón chuẩn tắc nhưng bất đẳng thức (1.2) không xảy ra Tức là: (∀n ∈... đó, ta nói không gian E là không gian Banach thực sắp thứ tự bộ phận hay không gian Banach thực nửa sắp thứ tự theo nón K Định nghĩa 1.2.3 Cho không gian Banach thực E nửa sắp thứ tự theo nón K Hai phần tử x, y ∈ E được gọi là thông ước với nhau nếu tồn tại các số dương α, β sao cho: αx ≤ y ≤ βx Nhận xét: Hai phần tử x, y ∈ E cùng thông ước với phần tử z ∈ E thì thông ước với nhau Ta ký hiệu K (u0 ) . toán tử (K, u 0 ) − lõm chính quy compact đơn điệu trong không gian Banach thực với hai nón. - Tìm hiểu về véctơ riêng của toán tử (K, u 0 ) − lõm chính quy compact đơn điệu trong không gian. quy compact đơn điệu trong không gian định chuẩn với hai nón . 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu véctơ riêng của toán tử (K, u 0 ) − lõm chính quy compact đơn điệu trong không gian Banach thực với. các kết quả đối với lớp toán tử lõm cho lớp toán tử phi tuyến mới tác dụng trong không gian Banach thực với một nón cố định: Toán tử lõm chính quy, trong đó v không yêu cầu toán tử có tính chất