Giả sử E là không gian Banach thực nửa sắp thứ tự theo nón K, K
và K0 là hai nón trong không gian E, K 6= K0, K ∩K0\ {θ} 6= ∅ , ánh xạ A từ không gian E vào không gian E, ký hiệu θ là phần tử không của không gian E, u0 ∈ K ∩K0\ {θ}.
Định nghĩa 2.1.1. Toán tử A gọi là dương trên nón K0, nếu AK0 ⊂K0.
Định nghĩa 2.1.2. Toán tử A gọi là đơn điệu trên nón K0, nếu
∀x, y ∈ K0 : x ≤ y ⇒Ax ≤ Ay.
Định nghĩa 2.1.3. Toán tử A gọi là u0− đo được trên nón K0, nếu
(∀x ∈ K0\ {θ}) (∃α = α(x) > 0) (∃β = β(x) > 0) sao cho
Định nghĩa 2.1.4. Toán tử A gọi là (K, u0)- lõm, nếu
1) Toán tử A dương, đơn điệu và u0− đo được trên nón K0;
2) (∀x ∈ K0\ {θ}) (∀t∈ (0; 1))Atx > tAx;
3) ∀x, y ∈ K0(u0), ∀t ∈ (0; 1) sao cho x−ty > θ,
∃δ = δ(x, y, t) > 0, Ax−tAy ≥ δu0.
Định nghĩa 2.1.5. Toán tử A gọi là (K, u0)- lõm chính quy, nếu 1) Toán tử A dương, đơn điệu trên nón K0;
2) (∀x ∈ K0\ {θ}) (∀t∈ (0; 1))Atx > tAx;
3) ∀x, y ∈ K0(u0), ∀t ∈ (0; 1) sao cho x−ty > θ,
∃δ = δ(x, y, t), Ax−tAy ≥ δu0.
Định nghĩa 2.1.6. Toán tử A gọi là compact đơn điệu, nếu với mỗi dãy đơn điệu và bị chặn theo chuẩn (xn) ⊂K0, dãy (Axn) là compact tương đối trong không gian E.
Định nghĩa 2.1.7. Phần tử x ∈ E\ {θ} gọi là véctơ riêng của toán tử
A, nếu ∃λ ∈ R sao cho Ax= λx.
2.2. Một số tính chất đơn giản về toán tử (K, u0)- lõm chính quy compact đơn điệu
Định lý 2.2.1. Nếu A là toán tử (K, u0)- lõm chính quy compact đơn điệu, thì (∀α ∈ R∗+) αA là toán tử (K, u0)- lõm chính quy compact đơn điệu.
Giả sử α ∈ R∗
+.
+) Do A là toán tử dương trên nón K0 nên ∀x ∈ K0 ⇒ Ax∈ K0.
⇒ αAx ∈ K0 ⇒ αAK0 ⊂ K0
⇒ αA là toán tử dương trên nón K0.
+)A là toán tử đơn điệu trên nón K0 nên (∀x, y ∈ K0 : x ≤ y)Ax≤ Ay
⇒ αAx ≤ αAy
⇒ αA là toán tử đơn điệu trên nón K0. +) (∀x ∈ K0\ {θ}) (∀t ∈ (0; 1))Atx > tAx
⇒ αAtx > αtAx = tαAx.
+) ∀x, y ∈ K0(u0),∀t ∈ (0; 1) sao cho x −ty > θ,∃δ0 = δ0(x, y, t) để
Ax−tAy ≥ δ0u0.
Do đó, αAx−tαAy = α(Ax−tAy) ≥ αδ0u0.
Đặt δ = αδ0 ta được αAx−tαAy ≥ δu0.
+) Giả sử (xn)∞n=1 ⊂K0 là một dãy đơn điệu và bị chặn theo chuẩn. Do
A là toán tử compact đơn điệu, nên (Axn) là dãy compact tương đối.
⇒ (Axn) chứa dãy con (Axnk) hội tụ trong không gian E
⇒ dãy (αAxnk) hội tụ trong không gian E
⇒ dãy (αAxn) là compact tương đối. Do đó, αA là toán tử compact đơn điệu.
Vậy (∀α ∈ R∗+) αA là toán tử (K, u0)- lõm chính quy compact đơn điệu.
Định lý 2.2.2. Nếu A và B là hai toán tử (K, u0)- lõm chính quy compact đơn điệu, thì A+B là toán tử (K, u0)- lõm chính quy compact đơn điệu. Chứng minh.
+) A và B là các toán tử dương trên nón K0 nên (∀x ∈ K0)
Ax ∈ K0, Bx ∈ K0.
⇒Ax+Bx ∈ K0 ⇒(A+B)x ∈ K0 ⇒ (A+B)K0 ⊂ K0
⇒A+Blà toán tử dương trên nónK0.
+) A và B là các toán tử đơn điệu trên nón K0 nên
(∀x, y ∈ K0 : x≤ y)Ax ≤Ay, Bx ≤ By
⇒Ax+Bx ≤ Ay +By ⇒(A+B)x ≤ (A+B)y
⇒ A+B là toán tử đơn điệu trên nónK0.
+) (∀x ∈ K0\ {θ}) (∀t ∈ (0; 1))Atx > tAx, Btx > tBx ⇒ Atx+Btx > tAx+ tBx⇒ (A+ B)tx > t(A+ B)x. +) ∀x, y ∈ K0(u0), ∀t ∈ (0; 1) sao cho x−ty > θ,∃δ1 = δ1(x, y, t) để Ax−tAy ≥ δ1u0 và ∃δ2 = δ2(x, y, t) để Bx−tBy ≥ δ2u0 ⇒Ax−tAy +Bx−tBy ≥δ1u0 +δ2u0 ⇔ (A+B)x−t(A+B)y ≥ (δ1 +δ2)u0 = δu0.
+) Giả sử (xn) ⊂ K0 là một dãy đơn điệu và bị chặn theo chuẩn. Do
A, B là các toán tử compact đơn điệu nên (Axn) và (Bxn) là các dãy compact tương đối.
⇒ ∃(Axnk) ⊂ (Axn),∃ (Bxnk) ⊂(Bxn) hội tụ trong không gian E.
⇒ (Axnk) + (Bxnk) hội tụ trong không gian E
hay (Axnk + Bxnk) hội tụ trong không gian E
⇒ ((A+B)xn) là dãy compact tương đối. Do đó, A+ B là toán tử compact đơn điệu.
Vậy A+B là toán tử (K, u0)- lõm chính quy compact đơn điệu. Định lý 2.2.3. Nếu A là toán tử (K, u0)- lõm chính quy compact đơn điệu, thì toán tử A có không hơn một véctơ riêng trong K0(u0) ứng với cùng một giá trị riêng λ >0. Chứng minh. Giả sử (∃x, y ∈ K0(u0), x 6= y) (∃λ ∈ R∗+) : Ax = λx, Ay = λy. ⇒ 1 λAx = x, 1 λAy = y.
λ−1A cũng là toán tử (K, u0)- lõm chính quy compact đơn điệu.
Vì x−y 6= θ nên phải có một trong hai phần tử x−y hoặc y−x không thuộc nón K. Không mất tính tổng quát, giả sử x−y /∈ K.
x ∈ K0(u0), y ∈ K0(u0) ⇒(∃α > 0) (∃β > 0) x ≥αu0, y ≤βu0
⇒x ≥ αβ−1βu0 ≥ αβ−1y ⇒ x−αβ−1y ≥ θ,trong đó αβ−1 > 0.
Hiển nhiên, αβ−1 < 1, vì nếu αβ−1 ≥ 1 hay α ≥ β thì x ≥ αβ−1y ≥ y
hay x−y ≥ θ, điều này mâu thuẫn với điều giả sử x−y /∈ K.
Để tiếp tục, ta chứng minh bổ đề sau.
Bổ đề 2.2.1. Tồn tại số lớn nhất t0 ∈ (0; 1) sao cho x−t0y ≥ θ.
Chứng minh.
Xét ánh xạ:
h : R→ K
Ánh xạ h liên tục nhờ tính liên tục của hai phép toán trên không gian
E (phép cộng hai phần tử và phép nhân một số thực với một phần tử). Do đó, h−1(K) là tập đóng trên không gian R.
Theo nhận xét trên t ∈ h−1(K) : x−ty ≥θ ⇒t < 1, nên
∃maxh−1(K) = t0 < 1.
Cũng theo nhận xét trên αβ−1 ∈ h−1(K), nên t0 ≥ αβ−1 > 0, nghĩa là
t0 ∈ (0; 1). Khi đó, x−t0y 6= θ vì nếu x−t0y = θ thì x = t0y = t0 1 λA y < 1 λA t0y = 1
λAx = x,điều này vô lý.
Do đó, x−t0y > θ.
Từ tính chất của toán tử A suy ra ∃δ = δ(x, y, t0) để
x−t0y = 1
λAx−t0
1
λAy ≥ δu0 = δβ−1βu0 ≥δβ−1y, trong đó δβ−1 > 0.
⇒ x − t0 +δβ−1y ≥ θ, điều này mâu thuẫn với tính chất của t0, vì
t0 + βδ > t0.
Mâu thuẫn nhận được chứng tỏ toán tử A có không hơn một véctơ riêng trong K0(u0) ứng với cùng một giá trị riêng λ >0.
Định lý 2.2.4. Nếu A là toán tử (K, u0)- lõm chính quy compact đơn điệu và ∃x0, y0 ∈ K0(u0) sao cho x0 ≤ Ax0, Ay0 ≤ y0 thì x0 ≤y0.
Chứng minh.
Giả sử kết luận của định lý không xảy ra, nghĩa là x0 > y0.
Ta có: x0 ≤Ax0 ≤ A2x0, y0 ≥ Ay0 ≥ A2y0.
Do x0, y0 ∈ K0(u0) nên (∃α > 0) (∃β > 0) : x0 ≤ βu0, y0 ≥ αu0
Hiển nhiên, αβ−1 < 1. Theo bổ đề (2.2.1), tồn tại số lớn nhất t0 ∈ (0; 1)
sao cho y0 −t0x0 ≥ θ. Khi đó,
y0−t0x0 ≥Ay0−t0Ax0 > Ay0−At0x0 ≥Ay0−Ay0 = θ ⇒y0−t0x0 > θ.
Theo tính chất của toán tử A, ∃δ > 0 sao cho:
y0 −t0x0 ≥ Ay0 −t0Ax0 ≥ δu0 ≥ δβ−1x0 ⇒y0 − t0 +δβ−1x0 ≥θ,
điều này mâu thuẫn với tính chất của số t0, vì t0 < t0 +δβ−1.
Vậy x0 ≤ y0.