Vectơ riêng dương của toán tử lõm chính quy đều

LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Nguyễn Phụ Hy người thầy đã trực tiếp hướng dẫn tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn chỉnh đề tài. Tôi xin chân thành cảm ơn các GS, TS giảng dạy chuyên ngành Toán Giải tích Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, các bạn học viên cao học Toán Giải tích K13 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện đề tài. Tôi xin chân thành cảm ơn Trường THPT Tự Lập đã tạo điều kiện về thời gian cho tôi trong quá trình hoàn chỉnh và bảo vệ đề tài. Hà Nội, ngày 15 tháng 5 năm 2011 Tác giả Trần Ngọc Hiếu 2 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của PGS.TS Nguyễn Phụ Hy. Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, ngày 15 tháng 5 năm 2011 Tác giả Trần Ngọc Hiếu Mục lục Mở đầu 6 1 Kiến thức chuẩn bị 8 1.1. Không gian định chuẩn thực . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.1. Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.2. Một số không gian định chuẩn thực . . . . . . . . 9 1.2. Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự . . . . . . . . . 19 1.2.1. Nón trong không gian Banach . . . . . . . . . . . 19 1.2.2. Quan hệ sắp thứ tự trong không gian Banach . . 29 1.2.3. Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự . . . . . 34 1.3. Không gian E u o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 1.3.1. Các định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . 41 1.3.2. Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2 Toán tử lõm chính quy đều 49 3 4 2.1. Toán tử u o − lõm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.1.1. Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.1.2. Một số tính chất đơn giản về toán tử u o − lõm . . 54 2.1.3. Ví dụ về toán tử u o − lõm . . . . . . . . . . . . . 57 2.2. Toán tử lõm chính quy đều . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.2.1. Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.2.2. Một số tính chất đơn giản về toán tử lõm chính quy đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.2.3. Ví dụ về toán tử lõm chính quy đều . . . . . . . . 65 3 Sự tồn tại vectơ riêng dương của toán tử lõm chính quy đều 68 3.1. Một số định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.2. Một số định lý về sự tồn tại vectơ riêng dương . . . . . . 75 Kết luận 79 Tài liệu tham khảo 80 BẢNG KÍ HIỆU R tập số thực (R = R 1 ) R ∗ tập số thực khác 0 R ∗ + tập số thực dương khác 0 N ∗ tập số tự nhiên khác 0 θ phần tử không K ∗ tập các phần tử khác không (θ) thuộc K K (u o ) tập các phần tử thuộc K ∗ thông ước với u o E u o tập các phần tử thuộc E có tính chất u o − đo được h.k.n hầu khắp nơi  kết thúc chứng minh MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Toán tử lõm là lớp toán tử quan trọng trong giải tích hàm phi tuyến. Năm 1956 nhà toán học người Nga nổi tiếng M.A.Kraxnôxelxki đã nghiên cứu lớp toán tử này. M.A.Kraxnôxelxki đã đưa ra các kết quả quan trọng về vectơ riêng của toán tử lõm trong không gian Banach thực nửa sắp thứ tự. Sau đó giáo sư tiến sĩ khoa học I.A.Bakhtin đã mở rộng các kết quả đó cho lớp toán tử phi tuyến u o − lõm (1958) và u o − lõm đều trong luận án tiến sĩ khoa học của mình (1959, 1963). Các toán tử trên đều có chung tính chất u o − đo được. Điều kiện u o − đo được trong định nghĩa toán tử lõm làm cho việc ứng dụng các kết quả đã đạt được gặp khó khăn. Tồn tại những lớp toán tử không thỏa mãn điều kiện u o − đo được, nhưng lại có những tính chất phổ dụng như toán tử lõm. Một trong những lớp toán tử như thế gọi là toán tử lõm chính quy. Ở nước ta vào những năm 1987 PGS.TS Nguyễn Phụ Hy đã đưa ra và đạt được một số kết quả bước đầu cho lớp toán tử này, trong đó không yêu cầu toán tử có tính chất u o − đo được. Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về vấn đề này, nhờ sự giúp đỡ, hướng dẫn tận tình của PGS.TS Nguyễn Phụ Hy tôi đã mạnh dạn nghiên cứu đề tài: “Vectơ riêng dương của toán tử lõm chính quy đều”. 7 2. Mục đích nghiên cứu Dựa trên những kết quả đã đạt được về toán tử lõm chính quy, luận văn nghiên cứu một cách có hệ thống về vectơ riêng dương của lớp toán tử lõm chính quy đều. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu a) Nghiên cứu, hệ thống hóa các tính chất về vectơ riêng dương của toán tử lõm chính quy. b) Trên cơ sở các kết quả ở mục 3.a), nghiên cứu một số tính chất về vectơ riêng dương và sự tồn tại vectơ riêng dương của lớp toán tử lõm chính quy đều. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Toán tử lõm chính quy đều, vectơ riêng dương của toán tử lõm chính quy đều. - Sự tồn tại vectơ riêng dương của toán tử lõm chính quy đều. 5. Phương pháp nghiên cứu - Đọc tài liệu, nghiên cứu lý luận, tài liệu chuyên khảo. - Phân tích, tổng hợp kiến thức. 6. Những đóng góp mới của đề tài Trình bày một cách có hệ thống các tính chất về vectơ riêng dương và sự tồn tại vectơ riêng dương của lớp toán tử phi tuyến lõm chính quy và mở rộng các kết quả đó cho lớp toán tử phi tuyến lõm chính quy đều. Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1. Không gian định chuẩn thực 1.1.1. Các định nghĩa Định nghĩa 1.1.1. Cho không gian tuyến tính thực E. Một chuẩn trên E là một ánh xạ từ E vào R , kí hiệu là . (đọc là chuẩn), thỏa mãn các tiên đề sau: (C1) ∀x ∈ E, x  0, x = 0 ⇔ x = θ (kí hiệu phần tử không); (C2) ∀x ∈ E, ∀α ∈ R, α.x = |α|. x; (C3) ∀x, y ∈ E, x + y ≤ x + y. Không gian tuyến tính thực E cùng với một chuẩn trên nó được gọi là một không gian định chuẩn thực, kí hiệu (E, . ) hay đơn giản là E. Số x được gọi là chuẩn của x. Định nghĩa 1.1.2. Cho không gian định chuẩn E. Dãy điểm (x n ) ∞ n=1 ⊂ E gọi là hội tụ tới x ∈ E, nếu lim n→∞ x n − x = 0. Kí hiệu: lim n→∞ x n = x hay x n → x (n → ∞). 8 9 Dựa vào định nghĩa trên dễ dàng chứng minh một số tính chất đơn giản sau đây: Mệnh đề 1.1.1. (1) Nếu (x n ) hội tụ đến x thì dãy chuẩn (x n ) hội tụ tới x, nói cách khác, chuẩn .  là một hàm giá trị thực liên tục theo biến x. (2) Nếu dãy điểm (x n ) hội tụ trong không gian định chuẩn E thì dãy chuẩn tương ứng (x n ) bị chặn. (3) Nếu dãy điểm (x n ) hội tụ tới x, dãy điểm (y n ) hội tụ tới y trong không gian định chuẩn E, dãy số (α n ) hội tụ tới số α thì x n + y n −→ x + y (n → ∞), α n .x n −→ α.x (n → ∞). Định nghĩa 1.1.3. Cho không gian định chuẩn E. Dãy điểm (x n ) ∞ n=1 ⊂ E được gọi là dãy cơ bản trong không gian E, nếu lim n, m →∞ x n − x m  = 0, hay (∀ε > 0) (∃n o ∈ N ∗ ) sao cho (∀n, m  n o ) ta có x n − x m  < ε. Định nghĩa 1.1.4. Không gian định chuẩn E được gọi là không gian Banach nếu mọi dãy cơ bản trong không gian E đều hội tụ. 1.1.2. Một số không gian định chuẩn thực 1.1.2.1. Không gian m Kí hiệu m là không gian tất cả dãy số thực bị chặn m = {x = (x 1 , x 2 , ); x n ∈ R, |x n |  D x , ∀ n ∈ N ∗ , D x > 0}, với x = (x 1 , x 2 , ), y = (y 1 , y 2 , ) ∈ m thì x = y ⇔ x n = y n , ∀n ∈ N ∗ . 10 m là không gian vectơ thực đối với phép toán cộng hai dãy số và phép nhân một số thực với một dãy số như thông thường: x + y = (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , ), α.x = (α.x 1 , α.x 2 , ), ∀x = (x n ) ∈ m, ∀y = (y n ) ∈ m, ∀α ∈ R. 1) m là không gian định chuẩn với chuẩn của phần tử x = (x n ) ∈ m cho bởi x = sup 1≤n<∞ |x n |. (1.1) Thật vậy, vì dãy (x n ) bị chặn trên nên tồn tại x = sup 1≤n<∞ |x n |. Ta đi kiểm tra (1.1) thỏa mãn 3 tiên đề về chuẩn. (C1) ∀x ∈ m ta đều có |x n |  0 nên x = sup 1≤n<∞ |x n | ≥ 0; hơn nữa x = 0 ⇔ |x n | = 0, ∀n ∈ N ∗ ⇔ x = θ, trong đó θ = (0, 0, ) là phần tử không trong m. (C2) ∀x ∈ m, ∀α ∈ R ta có α.x = sup 1n<∞ {|α.x n |} = sup 1n<∞ {|α|. |x n |} = |α|. sup 1n<∞ {|x n |} = |α|. x. (C3) ∀x, y ∈ m ta có x + y = sup 1n<∞ {|x n + y n |}  sup 1n<∞ {|x n | + |y n |}  sup 1n<∞ {|x n |} + sup 1n<∞ {|y n |} = x + y. Vậy m là một không gian định chuẩn. 2) Sự hội tụ trong không gian m tương đương với sự hội tụ đều của dãy số thực. [...]... và giả sử xn → x khi n → ∞ Do sự hội tụ của một dãy điểm trong không gian C[a;b] tương đương với sự hội tụ đều của dãy hàm liên tục trên đoạn [a; b] nên ta có dãy hàm (xn (t)) hội tụ đều tới hàm x(t) trên [a; b] khi n → ∞, với ∀t ∈ [a; b] Vì xn ∈ F nên 1 Do đó: 1 x(t) xn (t) 2, ∀t ∈ [a; b] , ∀ n ∈ N∗ 2, ∀t ∈ [a; b] ⇒ x ∈ F Vậy F là tập đóng * Từ định nghĩa của F ta có: ∀x ∈ F ⇒ 1 nên 1 min |x(t)|... được gọi là nón chuẩn nếu ∃ N > 0 sao cho ∀x, y ∈ K, x x y ta đều có: N y Định nghĩa 1.2.3 Cho nón K trong không gian Banach thực E Kí hiệu K ∗ = K\{θ} và mỗi x ∈ K ∗ gọi là một phần tử dương Giả sử uo ∈ K ∗ Phần tử x ∈ K ∗ gọi là thông ước với uo nếu ∃ α = α(x) > 0, ∃ β = β(x) > 0 sao cho αuo x βuo Kí hiệu K (uo ) là tập hợp tất cả các phần tử x ∈ K ∗ thông ước với uo Nhận xét: Cho x, y ∈ K ∗ Nếu... (t))∞ hội tụ đều tới hàm số x(t) trên [a; b] n=1 Nhưng sự hội tụ trong không gian C[a;b] tương đương với sự hội tụ đều của dãy hàm liên tục trên [a; b] Do vậy, dãy cơ bản (xn )∞ ⊂ C[a;b] n=1 hội tụ tới hàm số x ∈ C[a;b] trong không gian C[a;b] Vậy C[a;b] là không gian Banach 1.1.2.3 Không gian L[a;b] Xét không gian tuyến tính thực   L[a;b] = x = x(t) :  b a   |x(t)| dt < +∞  với hai phép toán thông... định chuẩn với chuẩn của phần tử x = x(t) cho bởi b |x(t)| dt x = (L) a (1.7) 16 Thật vậy, vì hàm |x(t)| khả tích trên [a; b] nên vế phải của (1.7) xác định Ta đi kiểm tra 3 tiên đề về chuẩn đối với (1.7) (C1) ∀x ∈ L[a,b] ta có |x(t)| 0, ∀ t ∈ [a; b] b ⇒ x = |x(t)| dt 0 a Hơn nữa b x =0⇔ |x(t)| dt = 0 a ⇔ x(t) = 0 h.k.n trên [a; b] ⇔ x = θ h.k.n trên [a; b], trong đó θ là phần tử không trong L[a;b]... sup ⇒ (s) Chứng tỏ dãy xn 1 n 0) (∃ so ∈ N∗ ) (∀s ⇒ sup 1 n . về vectơ riêng dương và sự tồn tại vectơ riêng dương của lớp toán tử lõm chính quy đều. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Toán tử lõm chính quy đều, vectơ riêng dương của toán tử lõm chính quy. về toán tử lõm chính quy đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.2.3. Ví dụ về toán tử lõm chính quy đều . . . . . . . . 65 3 Sự tồn tại vectơ riêng dương của toán tử lõm chính quy đều. thống về vectơ riêng dương của lớp toán tử lõm chính quy đều. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu a) Nghiên cứu, hệ thống hóa các tính chất về vectơ riêng dương của toán tử lõm chính quy. b) Trên cơ sở các