Vectơ riêng dương của toán tử lõm chính quy đều

LèI CÁM ƠN Tơi xin bày tó lòng biet ơn sâu sac đen PGS.TS Nguyen Phu Hy ngưòi thay trnc tiep hưóng dan tơi suot q trình nghiên cúu hồn đe tài Tơi xin chân thành cám ơn GS, TS giáng day chuyên ngành Toán Giái tích Trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i 2, ban hoc viên cao hoc Tốn Giái tích K13 giúp đõ tơi suot q trình hoc t¾p thnc hi¾n đe tài Tơi xin chân thành cám ơn Trưòng THPT Tn L¾p tao đieu ki¾n ve thòi gian cho tơi q trình hồn bỏo vắ e ti H Nđi, ngy 15 thỏng năm 2011 Tác giá Tran Ngoc Hieu LèI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan lu¾n văn cơng trình nghiên cúu cna riêng tơi dưói sn hưóng dan trnc tiep cna PGS.TS Nguyen Phu Hy Trong nghiên cúu lu¾n văn, tơi ke thùa thành q khoa hoc cna nhà khoa hoc vói sn trân biet ơn Hà N®i, ngày 15 tháng năm 2011 Tác giá Tran Ngoc Hieu Mnc lnc Má đau Kien thNc chuan b% 1.1 Không gian đ%nh chuan thnc 1.1.1 Các đ%nh nghĩa 1.1.2 M®t so khơng gian đ%nh chuan thnc 1.2 Không gian Banach thnc núa sap thú tn 19 1.2.1 Nón khơng gian Banach .19 1.2.2 Quan h¾ sap thú tn không gian Banach 29 1.2.3 Không gian Banach thnc núa sap thú tn 34 1.3 Không gian Euo 41 1.3.1 Các đ%nh nghĩa tính chat .41 1.3.2 M®t so ví du 45 Tốn tN lõm quy đeu 49 2.1 Toán tú uo− lõm 49 2.1.1 Các đ%nh nghĩa 49 2.1.2 M®t so tính chat đơn gián ve tốn tú uo− lõm 54 2.1.3 Ví du ve toán tú uo− lõm 57 2.2 Tốn tú lõm quy đeu 60 2.2.1 Các đ%nh nghĩa .60 2.2.2 M®t so tính chat đơn gián ve tốn tú lõm quy đeu 61 2.2.3 Ví du ve tốn tú lõm quy đeu 65 SN ton tai vectơ riêng dương cúa tốn tN lõm quy đeu 68 3.1 M®t so đ%nh nghĩa 68 3.2 M®t so đ%nh lý ve sn ton tai vectơ riêng dương 75 Ket lu¾n 79 Tài li¾u tham kháo 80 BÁNG KÍ HIfiU R t¾p so thnc (R = R1) R∗ t¾p so thnc khác R+ ∗∗ N t¾p so thnc dương khác θ phan tú khơng K∗ t¾p phan tú khỏc khụng () thuđc K so tn nhiờn khỏc K (uo) cỏc phan tỳ thuđc K thụng úc vúi uo Euo cỏc phan tỳ thuđc E có tính chat uo− đo đưoc h.k.n hau khap nơi Q ket thúc chúng minh Mé ĐAU Lý chon đe tài Tốn tú lõm lóp tốn tú quan trong giái tích hàm phi tuyen Năm 1956 nhà tốn hoc ngưòi Nga noi tieng M.A.Kraxnơxelxki nghiên cúu lóp tốn tú M.A.Kraxnơxelxki đưa ket quan ve vectơ riêng cna toán tú lõm không gian Banach thnc núa sap thú tn Sau giáo sư tien sĩ khoa hoc I.A.Bakhtin mó r®ng ket q cho lóp tốn tú phi tuyen uo− lõm (1958) uo− lõm đeu lu¾n án tien sĩ khoa hoc cna (1959, 1963) Các tốn tú đeu có chung tính chat uo− đo đưoc Đieu ki¾n uo− đo đưoc đ%nh nghĩa tốn tú lõm làm cho vi¾c úng dung ket q đat đưoc g¾p khó khăn Ton tai nhung lóp tốn tú khơng thóa mãn đieu ki¾n uo− đo đưoc, lai có nhung tính chat dung tốn tú lõm M®t nhung lóp tốn tú the goi tốn tú lõm quy é nưóc ta vào nhung năm 1987 PGS.TS Nguyen Phu Hy đưa đat đưoc m®t so ket bưóc đau cho lóp tốn tú này, khơng u cau tốn tú có tính chat uo− đo đưoc Vói mong muon tìm hieu sâu ve van đe này, nhò sn giúp đõ, hưóng dan t¾n tình cna PGS.TS Nguyen Phu Hy manh dan nghiên cúu đe tài: “Vectơ riêng dương cúa tốn tN lõm quy đeu” Mnc đích nghiên cNu Dna nhung ket đat đưoc ve toán tú lừm chớnh quy, luắn nghiờn cỳu mđt cỏch cú h¾ thong ve vectơ riêng dương cna lóp tốn tú lõm quy đeu Nhi¾m nghiên cNu a) Nghiên cúu, h¾ thong hóa tính chat ve vectơ riêng dương cna tốn tú lõm quy b) Trên só ket ó muc 3.a), nghiên cúu m®t so tính chat ve vectơ riêng dương sn ton tai vectơ riêng dương cna lóp tốn tú lõm quy đeu Đoi tưang pham vi nghiên cNu - Tốn tú lõm quy đeu, vectơ riêng dương cna tốn tú lõm quy đeu - Sn ton tai vectơ riêng dương cna tốn tú lõm quy đeu Phương pháp nghiên cNu - Đoc tài li¾u, nghiên cúu lý lu¾n, tài li¾u chuyên kháo - Phân tích, tong hop kien thúc NhĐng đóng góp mỏi cỳa e ti Trỡnh by mđt cỏch cú hắ thong tính chat ve vectơ riêng dương sn ton tai vectơ riêng dương cna lóp tốn tú phi tuyen lõm quy mó r®ng ket q cho lóp tốn tú phi tuyen lõm quy đeu Chương Kien thNc chuan b% 1.1 1.1.1 Không gian đ%nh chuan thNc Các đ%nh nghĩa Đ%nh nghĩa 1.1.1 Cho khơng gian tuyen tính thnc E M®t chuan E m®t ánh xa tù E vào R , kí hi¾u "." (đoc chuan), thóa mãn tiên đe sau: (C1) ∀x ∈ E, "x" “ 0, "x" = ⇔ x = θ (kí hi¾u phan tú không); (C2) ∀x ∈ E, ∀α ∈ R, "α.x" = |α| "x"; (C3) ∀x, y ∈ E, "x + y" ≤ "x" + "y" Không gian tuyen tính thnc E vói m®t chuan đưoc goi l mđt khụng gian %nh chuan thnc, kớ hiắu (E, " ") hay đơn gián E So "x" đưoc goi chuan cna x ∞ Đ%nh nghĩa 1.1.2 Cho không gian đ%nh chuan E Dãy điem (xn) n= ⊂ E goi h®i tu tói x E, neu lim "xn − x" = Kí hi¾u: xn = x n→∞ ∈ lim n →∞ hay xn → x (n → ∞) Dna vào đ%nh nghĩa de dàng chúng minh m®t so tính chat đơn gián sau đây: M¾nh đe 1.1.1 (1) Neu (xn) h®i tn đen x dãy chuan ("xn") h®i tn tói "x", nói cách khác, chuan " " m®t hàm giá tr% thnc liên tnc theo bien x (2) Neu dãy điem (xn) h®i tn khơng gian đ%nh chuan E dãy chuan tương úng ("xn") b% chắn (3) Neu dóy iem (xn) hđi tn túi x, dãy điem (yn) h®i tn tói y khơng gian đ%nh chuan E, dãy so (αn) h®i tn tói so α xn + yn −→ x + y (n → ∞), αn xn −→ α.x (n → ∞) ∞ Đ%nh nghĩa 1.1.3 Cho không gian đ%nh chuan E Dãy điem (xn) n= ⊂ E đưoc goi dãy bán không gian E, neu lim n, m → ∞ ∗ "xn − xm " = 0, hay (∀ε > 0) (∃no ∈ N ) cho (∀n, m “ no) ta có "xn − xm" < ε Đ%nh nghĩa 1.1.4 Không gian đ%nh chuan E đưoc goi không gian Banach neu moi dãy bán khơng gian E đeu h®i tu 1.1.2 M®t so khơng gian đ%nh chuan thNc 1.1.2.1 Khơng gian m Kí hi¾u m không gian tat cá dãy so thnc b% ch¾n m = {x = (x1, x2, ); xn ∈ R, |xn| ™ Dx, ∀ n ∈ N∗, Dx > 0}, vói x = (x1, x2, ), y = (y1, y2, ) ∈ m x = y ⇔ xn = yn, ∀n ∈ N∗ m không gian vectơ thnc đoi vói phép tốn c®ng hai dãy so phép nhân m®t so thnc vói m®t dãy so thơng thưòng: x + y = (x1 + y1 , x2 + y2 , ), α.x = (α.x1, α.x2, ), ∀x = (xn) ∈ m, ∀y = (yn) ∈ m, ∀α ∈ R 1) m không gian đ%nh chuan vói chuan cna phan tú x = (xn) ∈ m cho bói "x" = sup |xn| (1.1) 1≤n 0, ta đưoc Py “ P x V¾y P đơn iắu trờn nún K 3.2 Mđt so %nh lý ve sN ton tai vectơ riêng dương Đ%nh lý 3.2.1 Giá sú tốn tú lõm quy đeu A nón chuan K thóa mãn đieu ki¾n: 1) A tốn tú compact đơn đi¾u b% ch¾n bói uo ∈ K\{θ }; 2) Đao hàm ti¾m c¾n Q cúa tốn tú A theo nón K có K (uo) vectơ riêng xQ tương úng vói giá tr% riêng lQ > Khi tốn tú A có vectơ riêng K (uo) 76 Chúng minh Vì xQ ∈ K (uo) nên ∃ α > cho αuo ™ xQ Do A tốn tú lõm quy đeu b% ch¾n bói uo, nên vói ∀t ∈ (0; 1) ta có tAxQ ™ AtxQ ™ uo Tù suy t t uo “ AxQ = xt “ QxQ = txQ “ tαuo lQ lQ lQ uo Do x ∈ K (uo) tαuo ™ x lQ ™ Tù tính lõm quy cna tốn tú A suy vói ∀t ∈ (0; 1) ta có t t Q AxQ “ tA = A x xQ “ tQ xQ t t = lQ.xQ ⇒ xQ ™ Do A1 = lQ AxQ A toán tú lõm quy đeu (đ%nh lý 2.2.2) nên ∀t ∈ (0; 1), lQ ∃ c = c(tαuo, uo, t) > cho lQ tAx “ u o 1Ax , tαuo ™ x l lQ Q ™ lQ lQ lQ t AxQ, theo l¾p lu¾n ta Ta xét t co đ%nh thu®c (0; 1) đ¾t xo lQ = 1A (1 + c)tA có A xo = lQ tA AxQ “ lQ lQ “ Q (1 + c)tA 1AxQ lQ (1 + c)tAxQ = (1 + c)xo l “ xo 77 Do xo ™ A1xo De thay dãy xn = A1xn−1, (n = 1, 2, ) tăng uo, (n = 1, 2, ) tαuo ™ xn lQ ™ Vì K nón chuan nên ∃ N, M > cho M "uo" , (n = 1, 2, ) Ntα "uo" ™ "xn" lQ ™ Theo đieu ki¾n 1) cna đ%nh lý dãy xn = A1xn−1, (n = 1, 2, ) chúa dãy (xnk ) h®i tu tói x¯ Hien nhiên, x¯ = sup (xn ) x¯ ∈ K (uo ) Đen tat cá đieu ki¾n cna đ%nh lý 3.1.2 đưoc thóa mãn nên A1 x¯ = x¯ hay Ax¯ = lQ x¯ V¾y A có vectơ riêng K (uo) Đ%nh lý 3.2.2 Giá sú toán tú lõm quy A nón chuan K thóa mãn đieu ki¾n: 1) A tốn tú compact đơn đi¾u b% ch¾n bói uo ∈ K\{θ }; 2) Aθ = θ tốn tú tuyen tính dương P (P K ⊂ K) uo− đao hàm Fréchet cúa tốn tú A tai điem khơng θ ∈ E theo nón K có K (uo) vectơ riêng xp tương úng vói giá tr% riêng λp > Khi tốn tú A có vectơ riêng K (uo) Chúng minh Vì xp ∈ K (uo) nên ∃ α, β > cho αuo ™ xp ™ βuo Theo đ%nh nghĩa uo− đao hàm Fréchet vói ε = (λp − λ)α > 0(ó < λ < λp) ∃ to ∈ (0; 1) cho ∀t ∈ (0; to] ta có Atxp − P txp Tù suy t “ −(λp − λ)αuo “ −(λp − λ)xp Atx Atxp − P tx = + p t Px p t “ − − (λp λ)xp 78 + λp xp = λxp 78 Do ta có Atxp “ txp λ Vì A b% ch¾n bói uo nên ta có 1 u o Atx p txp λ ™ ™ λ A Ta có A1txp = A1xo “ txp = xo Đ¾t A1 λ = tαuo ™ txp = xo uo λ ™ (3.8) Vì tốn tú A1 có tính chat tốn tú A nên de thay dãy xn = A1xn−1, (n = 1, 2, ) tăng Nhò h¾ thúc (3.8) đieu ki¾n 1) cna đ%nh lý suy tαuo ™ xn ™ uo, (n = 1, 2, ) Vì K nón chuan nên ∃ N, M > cho N.tα "uo" ™ "xn" ™ M "uo", túc dãy ("xn") b% ch¾n theo chuan Tù đieu ki¾n 1) cna đ%nh lý suy dãy (xn) chúa dãy (xnk ) h®i tu tói x¯ Hien nhiên, x¯ = sup (xnk ) x¯ ∈ K (uo ) Đen tat cá đieu ki¾n cna đ%nh lý 3.1.2 đưoc thóa mãn nên A1 x¯ = x¯ hay Ax¯ = λx¯ V¾y A có vectơ riêng K (uo) Vì tốn tú lõm quy đeu tốn tú lõm quy, nên ta có h¾ q sau: H¾ q 3.2.1 Neu tốn tú lõm quy đeu A nón chuan K thóa mãn đieu ki¾n cúa đ%nh lý 3.2.2 tốn tú A có K (uo) vectơ riêng KET LU¾N Quá trình nghiên cúu tìm hieu ve vectơ riêng dương cna tốn tú lõm quy đeu, lu¾n văn đat đưoc nhung ket q sau: • Trình bày đ%nh nghĩa, tính chat ve tốn tú uo− lõm tốn tú lõm quy Tù h¾ thong hóa tính chat ve vectơ riêng dương cna tốn tú lừm chớnh quy Trờn c sú nhung ket luắn tiep tuc nghiên cúu đưa m®t so tính chat ve vectơ riêng dương sn ton tai vectơ riêng dương cna lóp tốn tú lõm quy đeu Như v¾y ket q nghiên cúu khang đ%nh đe tài thnc hi¾n đưoc nhi¾m vu nghiên cúu đat đưoc muc tiêu đe Do thòi gian có han kien thúc han che nên lu¾n văn khơng tránh khói nhung thieu sót Vì v¾y, tơi rat mong nh¾n đưoc sn đóng góp ý kien cna q thay ban đe lu¾n văn đưoc hồn thi¾n Xin chân thành cám ơn ! Tài li¾u tham kháo [1] Nguyen Phu Hy (2006), Giái tích hàm, NXB Khoa hoc ky thuắt, H Nđi [2] Nguyen Phu Hy (1987), Cỏc iem bat đ®ng cúa tốn tú lõm quy, Tap chí tốn hoc, t¾p 15 (so 1), (27-32) [3] Nguyen Phu Hy (1987), Các vectơ riêng cúa tốn tú lõm quy, Tap chí tốn hoc, t¾p 15 (so 2), (17-23) [4] Nguyen Phu Hy (1989), Ve m®t lóp phương trình phi tuyen, Thơng tin khoa hoc ĐHSP Hà N®i 2, (so 2), (23-30) [5] Nguyen Phu Hy (1991), M®t so đ%nh lý ve nón khơng gian đ%nh chuan, Thơng tin khoa hoc ĐHSP Hà N®i 2, (so 2), (2-8) [6] Hồng Tuy (2005), Hàm thnc giái tích hàm, NXB ĐH Quoc Gia, Hà N®i [7] Bakhtin I.A (1984), Các nghi¾m dương cúa phương trình phi tuyen vói tốn tú lõm, Vôrônegiơ (bán tieng Nga) [8] RoBertH Martin, JD (1976), Nonliear operators and differential equations in Banach spaces 80 ... hóa tính chat ve vectơ riêng dương cna tốn tú lõm quy b) Trên só ket ó muc 3.a), nghiên cúu m®t so tính chat ve vectơ riêng dương sn ton tai vectơ riêng dương cna lóp tốn tú lõm quy đeu Đoi tưang... quy đeu Đoi tưang pham vi nghiên cNu - Tốn tú lõm quy đeu, vectơ riêng dương cna tốn tú lõm quy đeu - Sn ton tai vectơ riêng dương cna toán tú lõm quy đeu Phương pháp nghiên cNu - Đoc tài li¾u,... tài: Vectơ riêng dương cúa toán tN lõm quy đeu” Mnc đích nghiên cNu Dna nhung ket đat đưoc ve tốn tú lõm quy, lu¾n văn nghiên cúu mđt cỏch cú hắ thong ve vect riờng dng cna lóp tốn tú lõm quy