Phổ của toán tử Dirac với trường thế không bị chặn tại vô cực

B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I ——————————————— LÊ TH± HANH PHO CÚA TỐN TÚ DIRAC VéI TRƯèNG THE KHƠNG B± CH¾N TAI Vễ CUC LUắN VN THAC SY TON HOC H Nđi - 2013 B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I ——————————————— LÊ TH± HANH PHO CÚA TỐN TÚ DIRAC VéI TRƯèNG THE KHƠNG B± CH¾N TAI VƠ CUC Chun ngành: Tốn giái tích Mã so: 60 46 01 02 LU¾N VĂN THAC SY TỐN HOC Ngưài hưáng dan khoa hoc: TS Ta Ngoc Trí H Nđi - 2013 Li cỏm n Luắn oc hồn thành tai Trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i dưói sn hưóng dan cna TS Ta Ngoc Trí Tác giá xin bày tó lòng biet ơn chân thành tói TS Ta Ngoc Trí ngưòi ln quan tâm, đng viờn v tắn tỡnh húng dan tỏc giỏ q trình thnc hi¾n lu¾n văn Tác giá xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành Ban Giám hi¾u Trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i 2, Phòng Sau Đai hoc, thay giáo nhà trưòng thay giáo day cao hoc chun ngành Tốn giái tích tao đieu ki¾n thu¾n loi q trình tác giá hoc t¾p nghiên cúu Tác giá xin bày tó lòng biet ơn tói gia đình, ngưòi thân ó đng viờn v tao moi ieu kiắn e tỏc giá có the hồn thành bán lu¾n văn Hà N®i, tháng năm 2013 Lê Th% Hanh Lài cam đoan Tơi xin cam đoan Lu¾n văn cơng trình nghiên cúu cna riêng tơi dưói sn hưóng dan trnc tiep cna TS Ta Ngoc Trí Trong q trình nghiên cúu, ke thùa thành khoa hoc cna nhà khoa hoc vói sn trân biet ơn Hà N®i, tháng năm 2013 Lê Th% Hanh Mnc lnc Lài cám ơn iii Lài cam đoan .iv Báng kí hi¾u viet tat vii Má đau ix N®i dung Chương Kien thNc chuan b% 1.1 Không gian đ%nh chuan 1.2 Không gian Sobolev .5 1.3 Không gian Hilbert 1.4 Tốn tú tuyen tính b% ch¾n .8 1.5 Pho cna toán tú tuyen tính b% ch¾n 12 1.6 Tốn tú tuyen tính khơng b% ch¾n 14 1.7 Pho cna toán tú tuyen tính khơng b% ch¾n 18 1.8 Ket lu¾n chương .18 Chương Toán tN Dirac v toỏn tN Schrăodinger 19 2.1 Toỏn tỳ Dirac m®t so tính chat 19 2.1.1 Toán tú Dirac tn .20 2.1.2 Toán tú Dirac trùu tưong 27 2.1.3 Tù trưòng 28 2.2 Toỏn tỳ Schrăodinger v mđt so tính chat 31 2.3 Ket lu¾n chương .34 Chương Pho cúa toán tN Dirac vái trưàng the khơng b% ch¾n tai vơ cNc 35 3.1 Giói thi¾u 35 3.2 Đieu ki¾n đe cna tốn tú Dirac hồn tồn ròi rac 38 3.3 Đieu ki¾n đe cna tốn tú Dirac hồn tồn dương ròi rac 40 3.4 Đieu ki¾n đe núa âm cna truc thnc thiet yeu cna toán tú Dirac 43 3.5 Ket lu¾n chương .47 Ket lu¾n .48 Tài li¾u tham kháo 49 Báng kí hi¾u viet tat R t¾p hop so thnc Rn khơng gian thnc n - chieu C t¾p hop so phúc h không gian Hilbert L2 R3 Lp |x| khơng gian hàm có lũy thùa b¾c p tích mơđun cna x L(X, Y ) t¾p tốn tú tuyen tính b% ch¾n tù X vào Y L(X) = L(X, X) T∗ toán tú liên hop cna tốn tú T T bao đóng cna tốn tú T ρ(T ) t¾p giái đưoc cna tốn tú T KerT nhân cna toán tú T RanT mien giá tr% cna tốn tú T divB đ® phân tán cna trưòng vectơ B rotB đ® xốy cna trưòng vectơ B vol(Ω) the tích cna Ω h.k.n hau khap nơi vii D (T ) D mien cna T ≡ C0∞ R3 sup M c¾n cna t¾p M inf M c¾n dưói cna t¾p M suppf giá cna hàm f σ(T ) cna toán tú T σp(T ) điem cna tốn tú T σd(T ) ròi rac cna toán tú T σess(T ) thiet yeu cna toán tú T R+ núa dương cna truc thnc R− núa âm cna truc thnc toán tú đơn v% F phép bien đoi Fourier S(Rn) t¾p hàm trơn giám nhanh fˆ = Ff C0 t¾p hàm so liên tuc C1 C ∞ (Ω) = Cc ∞ t¾p hàm so có đao hàm cap liên tuc (Ω)t¾p hàm vi vơ han vói giá compact Ω H2(Rn) không gian Sobolev cap hai H loc không gian Sobolev đ%a phương ∇p (x) gradient cna p (x) ∆ toán tú Laplace O (p (x)) vơ lón cna p (x) o (p (x)) vơ bé cna p (x) Má đau Lí chon đe tài Nghiên cúu ve cna toán tú Dirac thu hút đưoc sn quan tâm cna nhieu nhà khoa hoc Vi¾c nghiên cúu sú dung cơng cu giái tích hàm, phương trình đao hàm riêng lý thuyet Ngoài ra, nghiên cúu ve cna tốn tú Dirac có vai trò quan trong v¾t lý Gan đây, vi¾c nghiên cúu toán tú Dirac H= αj Dj + p(x)β + q(x)I4 j=1 không gian Hilbert L2 R3 vói đieu ki¾n |p(x)| → ∞, q (x) = o (p (x)) |x| → ∞ ho¾c p (x) ≡ q (x) → ∞ |x| → ∞ xuat hi¾n nhieu tap chí nghiên cúu Tốn Lý V¾y vói tốn tú Dirac H cna có cau trúc tốn hoc the nào? Lu¾n văn se t¾p trung nghiên cúu làm rõ van đe Vói mong muon tìm hieu sâu ve lý thuyet pho, đ¾c bi¾t cna tốn tú Dirac trưòng hop trên, vói sn giúp đõ t¾n tình cna TS Ta Ngoc Trí tơi chon nghiên cúu đe tài: “Pho cía tốn tÚ Dirac vái trưàng the khơng b% ch¾n tai vơ cUc” Mnc đích nghiên cNu Nam đưoc khái niắm, tớnh chat cna toỏn tỳ Dirac, toỏn tỳ Schrăodinger ket liên quan đen “Pho cna toán tú Dirac vói trưòng the khơng b% ch¾n tai vơ cnc” đe bo sung kien thúc, cnng co hieu biet sâu ve tốn giái tích, lý thuyet tốn tú lý thuyet Nhi¾m nghiên cNu Tìm hieu ve “Pho cna tốn tú Dirac vói trưòng the khơng b% ch¾n tai vơ cnc” Đoi tưang pham vi nghiên cNu • Đoi tưong: Nghiên cúu ve “Pho cna tốn tú Dirac vói trưòng the khơng b% chắn tai vụ cnc Pham vi: Cỏc bi báo, tài li¾u ngồi nưóc nghiên cúu ve “Pho cna tốn tú Dirac vói trưòng the khơng b% ch¾n tai vơ cnc” Phương pháp nghiên cNu • Tìm hieu thơng tin sách báo liên quan en nđi dung nghiờn cỳu Tong hop kien thúc, v¾n dung cho muc đích nghiên cúu thu th¾p đưoc qua nhung tài li¾u liên quan đen đe tài • Tham kháo ý kien cna thay hưóng dan  Lay hàm γ (x) ∈ C ∞ cho γ(x)  , |x| ≥ R + =  , |x| ≤ R Vói moi ψ ∈ D4, ta có (γun, ψ)P (γun) , ψ −∆ (γun) + P = (x) + = (−∆γ) un − ˙ γ ˙ un − γ∆un + + P (x) (γun) , ψ , ∇ ∇ ket hop vói (3.6) ta đưoc (γun, ψ)P = − (un, (∆γ) ˙ ψ u n , ψ) + ∇γ˙ ∇ + fn , ˙ D˙ γ ψ + fn , γ ˙ D˙ ψ + γ [pβ − q − i] ψ α α + un , γ 2iq + β ˙ D˙ p + ˙ D˙ q ψ α α Do ta có the tìm đưoc m®t hang so C1 > tù (3.4), (3.5) giá thiet (a-2), (a-3) cho |(γun, ψ)P | ≤ C1 ("fn" + "un") "ψ"P ≤ 2CC1"ψ"P ∀ψ ∈ D4 Do D4 trù m¾t HP , ta có γun ∈ HP "γun"P ≤ 2CC1, n = 1, 2, Tù bat thúc giá thiet (a-1) suy dãy {un}n=1,2, compact H (xem Chương 1, Đ%nh lí 1.6.11) Đ%nh lí 3.2.1 đưoc chúng minh Tù đ%nh lí 3.2.1, thay neu tốn tú Dirac H có trưòng the p (x) q (x) thóa mãn (3.2) thêm giá thiet (a-3) cau trúc cna H ròi rac cna Nói cách khác, cna H hồn tồn ròi rac 3.3 Đieu ki¾n đe cúa tốn tN Dirac hồn tồn dương rài rac Trong phan 3.2 có đieu ki¾n đe cna tốn tú Dirac H ròi rac cna ket q dưói cho ta đieu ki¾n đe cna tốn tú H hồn tồn dương ròi rac Đ%nh lí 3.3.1 ([9], Theorem 2) Giá sú p (x) ≡ q (x) ∈ C0 thóa mãn (b − 1) q (x) → ∞ |x| → ∞, Khi ta có σ (H) ∩ R+ = σd (H) Chúng minh Cho λ so dương tùy ý Chúng ta se chúng minh λ ∈/ σess (H) cna H, nghĩa không ton tai h¾ trnc chuan {un}n=1,2, H cho {un}n=1,2, ⊂ D (H) , "Hun − λun" → n → ∞ (3.7) D (H) mien cna H Giá sú h¾ trnc chuan {un}n=1,2, ton tai Khi ta viet     fn  , (H − λ) un =   vn, wn, fn, gn ∈ h = L2 R3 un =  wn , gn Khi ta có ˙α D˙ wn + 2q (x) − λvn = fn , (3.8) ˙α D˙ ó α˙ = D˙ (Ω) − λwn = gn , (3.9) αj Dj Giá sú {vn} {wn} h®i tu manh L2 j=1 vói mien b% ch¾n Ω bat kỳ, bang cách chon m®t dãy neu can thiet Tác đ®ng α˙ tói (3.9) sú dung (3.8), ta thu đưoc D˙ − ∆vn + 2λq (x) = ˙ α˙ D gn + λfn + λ vn, (3.10) Lay m®t hang so dương R cho q (x) ≥ (|x| ≥ R) thóa mãn giá thiet (b-1), ta đ¾t  , Q (x) =  2λq(x) , |x| ≥ R 1 , |x| ≤ R Ta súa lai không gian Hilbert hQ hQ = g ∈ h = L2 R3 2 "g"Q := "Qg"h + ∞ j=1 "Djg"h < vói tích vơ hưóng (f, g)Q = (Qf, Qg) + j=1 (Djf, Djg), " "h ( , ) chuan tích vơ hưóng h Các dang sesquilinear (f, g)Q (f, g) đưoc sú dung phan chúng minh đ%nh lí 3.2.1 vói f ∈ [Dr] g ∈ D2 Lay γ (x) hàm tương tn phan chúng minh đ%nh lí 3.2.1 ó Khi ϕ ∈ D2, ta có (γvn, ϕ)Q = (−∆ (γvn) + 2λq (γvn) , ϕ) = − (∆γ) − ˙ γ ˙ − γ∆vn + 2λqγvn, ϕ ∇ ∇ sú dung (3.10) ta đưoc ˙ (γvn, ϕ)Q = − (vn, (∆γ) ϕ) vn, ∇˙ ∇γ ϕ +2 + gn , ˙ D˙ γ ϕ + gn , γ ˙ D˙ ϕ α α + λfn + λ2vn, γϕ Do có the tìm đưoc m®t hang so dương C khơng phu thu®c vói ϕ cho (γvn, ϕ)Q ≤ C ("fn"h + "gn"h + "vn"h) "ϕ"Q Vì D2 trù m¾t h, ta có ∈ hQ "γvn"Q ≤ C ("fn"h + "gn"h + "vn"h) 1, 2, ) (3.11) (n = Do {vn} , {fn} {gn} cỏc dóy b% chắn h, ta chon oc mđt dãy vnj j=1,2, cna {vn} h®i tu manh h (xem Chương 1, Đ %nh lí 1.6.11) Vì {un} trnc chuan, {vn} h®i tu yeu tói h Do ta có vnj → j → ∞ (3.12) h®i tu manh h Tù bat thúc (3.11) ó "fn"h + "gn"h → n → ∞ (3.7) suy ˙ − α˙˙.Dγ vnj → γ ˙α.D˙ j = ˙ D γv n α j h®i tu manh h Vì {wn} h®i tu manh đ%a phương h suy dãy wn h®i tu manh h Hơn nua, h®i tu yeu ve j h, ta có wnj → j → ∞ (3.13) h®i tu manh h Do đó, tù (3.12) (3.13) suy mâu thuan vói 2 = 1, j = 1, 2, = + un j vnj wnj Đ%nh lí 3.3.1 đưoc chúng minh Tù đ%nh lí 3.3.1, thay neu tốn tú Dirac H có trưòng the p (x) q (x) thóa mãn (3.3) giao giua cna H núa dương truc thnc ròi rac cna Nói cách khác, trưòng hop cna H hồn tồn dương ròi rac 3.4 Đieu ki¾n đe nNa âm cúa trnc thNc thiet yeu cúa toán tN Dirac Liên quan đen âm cna tốn tú Dirac H vói giá thiet đ%nh lí 3.3.1, có ket q đoi vói m®t lóp trưòng the q (x) = O |x| tai vơ cnc sau M¾nh đe 3.4.1 ([9], Proposition 3) Giá sú p (x) ≡ q (x) ∈ C0 vói đao hàm theo bán kính thóa mãn (c − 1) q (x) → ∞ |x| → ∞, (c − 2) Ton tai hang so dương C, R ≤ ε ≤ cho α 2(α−1) q (x) ≤ C|x| , q (x) (|x| ≥ R), ∂q ≤ r ∂r r = |x| Khi ta có R− ⊂ σess (H) σp (H)∩(R − ∪ {0}) = φ Chúng minh Trưóc tiên chí khơng ton tai giá tr% riêng cna H R− Giá sú  v  ∈ D (H) (v, w ∈ h) Hu = λu λ ≤ 0, u =  w Khi ta có ˙ D˙ w + 2qv = (3.14) λv, α Do đó, v thóa mãn ˙α D˙ v = λw, − ∆v + 2λqv = λ2v (3.15) Neu < 0, toỏn tỳ Schrăodinger + 2q (x) khơng có hàm riêng L2 R3 vói đieu ki¾n (c-1) (c-2) Neu λ = 0, tù (3.15) ta thu đưoc ∆v = Do v¾y,v ∈ h nghĩa v = 0, ket hop vói (3.14) suy w = u = Cuoi cùng, chúng minh R− ⊂ σ (H) Ta kí hi¾u BR = x ∈ R3 ||x| ≤ R , ER = x ∈ R3 ||x| ≥ R , Ω = BR/2, vói R so giá thiet (c-2) lay hàm ρ (x) ∈ C ∞ cho ρ (x) = (x ∈ Ω) ρ (x) = (x ∈ ER) Cho H˜ toán tú tn liên hop H cho H˜ =α ˙ D˙ + ρ (x) q (x) ˜ (β + I) ˜ Vì σess (H) ≡ σess H chúng tó R− ⊂ σess H Cho {µ0, µ1, } tong giá tr% riêng cna −∆|Ω vói đieu ki¾n biên Neumann, {ϕ0, ϕ1, } tương úng vói h¾ trnc chuan đay đn cna hàm riêng cho = µ0 ≤ µ1 ≤ Ta chí rang R− \ ϕ0 (x) ≡ [vol (Ω)] −1/2 , √ √ − µ1, − µ2, ⊂ H ,, ˜ σ ˜ − H Giá sú ton tai so âm λ cho tù suy R ⊂ σess λ2 ∈ R+\ {µ0, µ1, } khơng thuđc H , ngha l thuđc giỏi thúc Khi cna H˜ đó, vói (x) =   t (ϕ f 0 , ), x∈Ω ϕ0 , x ∈/ Ω ta có the tìm đưoc nghi¾m nhat u = t (v, w) ∈ D H˜ ⊂ loH1 c Hloc = f cho H −λ u= (x)   ˜ Khi ta có ˙α D˙ w + 2ρ (x) q (x) v (x) − λv (x) = f (x) , ˙α D˙ v − λw (x) = −∆v + 2ρ (x) q (x) v (x) − λ2v (x) = λf (x) (x ∈ Rn) ∂v v ∈ Hlo suy v (r ) (r ) liên tuc manh L c 2 S ∂ r (c-1) úng vói r > Tù đieu ki¾n (c-2) suy −∆ + 2λq khơng có hàm riêng L (ER) bat kỳ sn han che cna đieu ki¾n biên Do v¾y, ta có v (x) ≡ ER Vói tính chat mó r®ng nhat cna tốn tú elliptic, ta có v (x) ≡ ER/2  ϕ = ∂Ω −∆v − λ2 v (x) = λ   Ω, v = và∂ ∂v r ϕ0 Vì moi thành phan cna v thóa mãn đieu ki¾n Neuman ∂Ω thay ó trên, v có the đưoc mó r®ng vói {ϕj}j=1,2, Lưu ý rang λ2 hồn tồn khơng giá tr% riêng {µj} nào, ta có  ϕ 10  v (x) = − Ω, λ ϕ0 đieu mâu thuan vói v = ∂Ω M¾nh đe 3.4.1 đưoc chúng minh Nh¾n xét 3.4.2 Trong đ%nh lí 3.2.1, ròi rac σd (H) cna H khơng b% ch¾n dưói Th¾t v¾y, giá sú σd (H) b% ch¾n Khi ton tai hang so dương M cho (Hu, u) ≤ M "u " u ∈ D (H) Ta viet u = t (u, w) ∈ h × h Khi ta thu đưoc 2Re ˙α.D˙ v, w + ((p + q) v, v) + ((p − q)w, w) ≤M "v" h "w"h + Vì p (x) q (x) hàm b% ch¾n đ%a phương, ta tìm đưoc hang so dương C cho 2Re ˙ D˙ v, w ≤ C "v" α + "w" v, w∈ h[C (B1)] h ∞(3.16) Thay w = v w = −v vào (3.16), ta đưoc α˙ D˙ v, ∞ ≤ C "v" , v ∈ [C (B1)] h v 2 tù suy rang α˙ B1 vói đieu ki¾n biên Dirichlet tốn tú D ˙ b% ch¾n h, nghĩa ˙ α˙ D v h = "∇v"h ≤ C"v"h, v ∈ [C0∞ (B1)] Đieu mâu thuan Tương tn, ta đưoc H đ%nh lí 3.3.1 có ròi rac khơng b% ch¾n R+ 3.5 Ket lu¾n chương Trong chương này, trình bày m®t so trưòng hop ve cna tốn tú Dirac dang H= αj Dj + p(x)β + q(x)I4, j=1 khơng gian Hilbert L2 R3 vói trưòng the khơng b% ch¾n tai vơ cnc Neu thêm đieu ki¾n khác cna trưòng the p (x) q (x), thu đưoc cau trúc khác ve cna H Ket lu¾n Lu¾n văn trình bày m®t so kien thúc bán liên quan đen toán tú Dirac, toán Schrodinger hai tốn tú có vai trò quan trong v¾t lí v toỏn hoc Nđi dung nghiờn cỳu cna luắn bao gom: Mđt so kien thỳc ve Giỏi tớch hm Cỏc khỏi niắm v tớnh chat c bỏn cna Toỏn tỳ Dirac v toỏn tỳ Schrodinger Mđt so ket ve cau trúc cna toán tú Dirac vói trưòng the khơng b% ch¾n tai vơ cnc Trên só nhung kien thúc chuan b%, tơi co gang trình bày m®t so n®i dung rat c bỏn ve toỏn tỳ Dirac v toỏn tỳ Schrăodinger ắc biắt, chỳng tụi nghiờn cỳu ky hn ve mđt so ket q ve cna tốn tú Dirac vói trưòng the khơng b% ch¾n tai vơ cnc Vói pham vi luân văn thòi gian lnc han che, chac chan lu¾n văn khơng tránh khói thieu sót Kính mong q thay ban quan tâm góp ý đe lu¾n văn đưoc hồn thi¾n Tơi xin chân thành cám ơn! Tài li¾u tham kháo [A] Tài li¾u tieng Vi¾t [1] Nguyen Phu Hy (2006), Giái tích hàm, NXB Khoa hoc ky thu¾t Hà N®i [2] Hồng Tuy (2003), Hàm thnc giái tích hàm, NXB Đai hoc Quoc gia Hà N®i [B] Tài li¾u tieng Anh [3] Arveson W (2001), A Short Course on Spectral Theory, Springer [4] Reed M and Simon B (1972), Methods of Modern Mathematical Physics, I Functional Analysis, Academic Press, New York [5] Reed M and Simon B (1978), Methods of Modern Mathematical Physics, IV: Analyasis of Operators, Academic Press, New YorkSan Francisco-London [6] Tesch G (2000), Mathematical Methods in Quantum Mechanics With Applications to Schrăodinger Operators, Academic Press, New York [7] Thaller B (1992), The Dirac equation, Texts and Monographs in Physics, Springer Varlag, Berlin-Herdelberg-New York [8] Ta Ngoc Tri (2009), Results on the number of zero modes of the Weyl-Dirac operator, PhD Thesis, Lancaster University, England [9] Yamada O (1996), “On the spectrum of Dirac operators with the unbounded potential at infinity”, Hokkaido Mathematical Journal, 26(2), 439-449 [10] Yamada O (1998), “On the spectrum of Dirac operators with Potentials Diverging at infinity”, Hokkaido Mathematical Journal, 49(50), 126-133 ... Pho cna toán tú tuyen tính khơng b% ch¾n 18 1.8 Ket lu¾n chương .18 Chương Toán tN Dirac toán tN Schrăodinger 19 2.1 Toỏn tỳ Dirac v m®t so tính chat 19 2.1.1 Toán tú Dirac tn... thNc chuan b% 1.1 Không gian đ%nh chuan 1.2 Không gian Sobolev .5 1.3 Không gian Hilbert 1.4 Tốn tú tuyen tính b% ch¾n .8 1.5 Pho cna toán tú tuyen tính b%... ki¾n đe cna tốn tú Dirac hồn tồn ròi rac 38 3.3 Đieu ki¾n đe cna tốn tú Dirac hồn tồn dương ròi rac 40 3.4 Đieu ki¾n đe núa âm cna truc thnc thiet yeu cna toán tú Dirac 43