Phổ của toán tử Dirac với trường thế không bị chặn tại vô cực

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 ——————————————— LÊ THỊ HẠNH PHỔ CỦA TOÁN TỬ DIRAC VỚI TRƯỜNG THẾ KHÔNG BỊ CHẶN TẠI VÔ CỰC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Hà Nội - 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 ——————————————— LÊ THỊ HẠNH PHỔ CỦA TOÁN TỬ DIRAC VỚI TRƯỜNG THẾ KHÔNG BỊ CHẶN TẠI VÔ CỰC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. Tạ Ngọc Trí Hà Nội - 2013 Lời cảm ơn Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của TS. Tạ Ngọc Trí. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới TS. Tạ Ngọc Trí - người đã luôn quan tâm, động viên và tận tình hướng dẫn tác giả trong quá trình thực hiện luận văn. Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Phòng Sau Đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập và nghiên cứu. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân đã động viên và tạo mọi điều kiện để tác giả có thể hoàn thành bản luận văn này. Hà Nội, tháng 6 năm 2013 Lê Thị Hạnh Lời cam đoan Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của TS. Tạ Ngọc Trí. Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 6 năm 2013 Lê Thị Hạnh Mục lục Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv Bảng kí hiệu và viết tắt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix Nội dung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1. Không gian định chuẩn. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2. Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3. Không gian Hilbert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4. Toán tử tuyến tính bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.5. Phổ của toán tử tuyến tính bị chặn. . . . . . . . . . . . . 12 1.6. Toán tử tuyến tính không bị chặn . . . . . . . . . . . . 14 1.7. Phổ của toán tử tuyến tính không bị chặn. . . . . . . . . 18 1.8. Kết luận chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Chương 2. Toán tử Dirac và toán tử Schr¨odinger. . . . . . 19 2.1. Toán tử Dirac và một số tính chất. . . . . . . . . . . 19 2.1.1. Toán tử Dirac tự do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 v 2.1.2. Toán tử Dirac trừu tượng. . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1.3. Từ trường. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2. Toán tử Schr¨odinger và một số tính chất . . . . . . . . 31 2.3. Kết luận chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Chương 3. Phổ của toán tử Dirac với trường thế không bị chặn tại vô cực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.1. Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.2. Điều kiện để phổ của toán tử Dirac hoàn toàn rời rạc. . . . . 38 3.3. Điều kiện để phổ của toán tử Dirac hoàn toàn dương và rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.4. Điều kiện để nửa âm của trục thực là phổ thiết yếu của toán tử Dirac. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.5. Kết luận chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 vi Bảng kí hiệu và viết tắt R tập hợp số thực R n không gian thực n - chiều C tập hợp số phức h không gian Hilbert  L 2  R 3  2 L p không gian các hàm có lũy thừa bậc p khả tích |x| môđun của x L(X, Y ) tập các toán tử tuyến tính bị chặn từ X vào Y L(X) = L(X, X) T ∗ toán tử liên hợp của toán tử T T bao đóng của toán tử T ρ(T ) tập giải được của toán tử T KerT nhân của toán tử T RanT miền giá trị của toán tử T divB độ phân tán của trường vectơ B rotB độ xoáy của trường vectơ B vol(Ω) thể tích của Ω h.k.n hầu khắp nơi vii D (T ) miền của T D ≡ C ∞ 0  R 3  sup M cận trên đúng của tập M inf M cận dưới đúng của tập M suppf giá của hàm f σ(T ) phổ của toán tử T σ p (T ) phổ điểm của toán tử T σ d (T ) phổ rời rạc của toán tử T σ ess (T ) phổ thiết yếu của toán tử T R + nửa dương của trục thực R − nửa âm của trục thực 1 toán tử đơn vị F phép biến đổi Fourier S(R n ) tập các hàm trơn giảm nhanh ˆ f = Ff C 0 tập các hàm số liên tục C 1 tập các hàm số có đạo hàm cấp 1 liên tục C ∞ 0 (Ω) = C ∞ c (Ω) tập các hàm khả vi vô hạn với giá compact trong Ω H 2 (R n ) không gian Sobolev cấp hai H 1 loc không gian Sobolev địa phương ∇p (x) gradient của p (x) ∆ toán tử Laplace O (p (x)) vô cùng lớn của p (x) o (p (x)) vô cùng bé của p (x) viii Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Nghiên cứu về phổ của toán tử Dirac đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà khoa học. Việc nghiên cứu này sử dụng các công cụ trong giải tích hàm, phương trình đạo hàm riêng và lý thuyết phổ. Ngoài ra, nghiên cứu về phổ của toán tử Dirac còn có vai trò quan trọng trong vật lý. Gần đây, việc nghiên cứu toán tử Dirac H = 3  j=1 α j D j + p(x)β + q(x)I 4 trong không gian Hilbert  L 2  R 3  4 với điều kiện |p(x)| → ∞, q (x) = o (p (x)) khi |x| → ∞ hoặc p (x) ≡ q (x) → ∞ khi |x| → ∞ xuất hiện nhiều trên các tạp chí nghiên cứu Toán Lý. Vậy với toán tử Dirac H như trên thì phổ của nó có cấu trúc toán học như thế nào? Luận văn sẽ tập trung nghiên cứu và làm rõ vấn đề này. Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về lý thuyết phổ, đặc biệt là phổ của toán tử Dirac trong trường hợp trên, cùng với sự giúp đỡ tận tình của TS. Tạ Ngọc Trí tôi đã chọn nghiên cứu đề tài: “Phổ của toán tử Dirac với trường thế không bị chặn tại vô cực” ix 2. Mục đích nghiên cứu Nắm được các khái niệm, tính chất của toán tử Dirac, toán tử Schr¨odinger và các kết quả liên quan đến “Phổ của toán tử Dirac với trường thế không bị chặn tại vô cực” để bổ sung kiến thức, củng cố và hiểu biết sâu hơn về toán giải tích, lý thuyết toán tử và lý thuyết phổ. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu về “Phổ của toán tử Dirac với trường thế không bị chặn tại vô cực”. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu • Đối tượng: Nghiên cứu về “Phổ của toán tử Dirac với trường thế không bị chặn tại vô cực”. • Phạm vi: Các bài báo, các tài liệu trong và ngoài nước nghiên cứu về “Phổ của toán tử Dirac với trường thế không bị chặn tại vô cực”. 5. Phương pháp nghiên cứu • Tìm hiểu các thông tin trong sách báo liên quan đến nội dung nghiên cứu. • Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu thu thập được qua những tài liệu liên quan đến đề tài. • Tham khảo ý kiến của thầy hướng dẫn. x [...]... một tính chất rất quan trọng về phổ của toán tử tự liên hợp chính là các điểm nằm trên trục thực 1.6 Toán tử tuyến tính không bị chặn Không phải tất cả toán tử trong vật lí toán học đều bị chặn Ngoài các toán tử bị chặn, chúng ta cũng cần xét các toán tử không bị chặn Trong phần này chúng ta giới thiệu một số khái niệm và định lí cơ bản của toán tử tuyến tính không bị chặn Theo định lí Hellinger-Toeplitz... toán tử tuyến tính không bị chặn Như chúng ta đã biết tập phổ của một toán tử bị chặn là bị chặn (xem Định lí 1.5.4, Phần 1.5) Tuy nhiên điều này không đúng trong trường hợp toán tử không bị chặn (xem chi tiết, [3]) Định nghĩa 1.7.1 Cho T là toán tử đóng trong H Ta nói một số phức ρ là một phần tử của tập hợp giải được của T nếu T − ρ1 là song ánh từ D (T ) lên H với phép biến đổi ngược bị chặn, 1 là toán. .. và phổ của toán tử tuyến tính bị chặn và không bị chặn cũng rất quan trọng giúp chúng ta tiếp cận toán tử Dirac và toán tử Schr¨dinger trong chương 2 o 18 Chương 2 Toán tử Dirac và toán tử Schr¨dinger o Chương này trình bày một số khái niệm và tính chất của toán tử Dirac và toán tử Schr¨dinger Những kiến thức trình bày trong chương o này được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [6] và [7] 2.1 Toán tử Dirac. .. đóng góp của luận văn • Trình bày lại một cách có hệ thống các kiến thức cơ bản về các không gian, các toán tử tuyến tính bị chặn và không bị chặn • Tổng hợp kiến thức về toán tử Dirac và phổ của nó với trường thế không bị chặn tại vô cực • Trình bày một số kiến thức cơ bản về toán tử Schr¨dinger o xi Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Chương này dành cho việc trình bày một số kiến thức cơ sở về các không gian... T là toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian Hilbert X vào không gian Hilbert Y Toán tử B ánh xạ không gian Y vào không gian X gọi là toán tử liên hợp với toán tử T , nếu T x, y = x, By , ∀x ∈ X, ∀y ∈ Y Toán tử liên hợp B thường kí hiệu là T ∗ 10 Định lí 1.4.11 ([1], Định lí 3.3.3) Cho T là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gian Hilbert X vào không gian Hilbert Y Khi đó tồn tại toán tử T... Hilbert H với x, T y = T x, y với ∀x, y ∈ H Khi đó T bị chặn Từ định lí Hellinger-Toeplitz, chúng ta suy ra rằng các toán tử có thể không xác định khắp nơi mà chỉ xác định trên không gian con D (T ) của H Chúng ta sẽ xét lớp toán tử như thế trong phần 1.6 ở sau 1.5 Phổ của toán tử tuyến tính bị chặn Dưới đây trình bày định nghĩa phổ, tập giải được của toán tử tuyến tính bị chặn và một số tính chất quan... ánh từ D (T ) lên H với phép biến đổi ngược bị chặn, 1 là toán tử đồng nhất Các khái niệm về phổ, phổ điểm và phổ thặng dư của toán tử không bị chặn được định nghĩa giống như của toán tử bị chặn 1.8 Kết luận chương 1 Chúng ta đã nhắc lại kiến thức cơ sở về một số không gian và toán tử Đặc biệt là không gian Hilbert và không gian Lp là hai không gian mà chúng ta sử dụng nhiều đến trong các chương sau... tà tập các toán tử bị chặn trên X Toán tử A ∈ L (X) được 11 gọi là khả nghịch nếu tồn tại toán tử B ∈ L (X) sao cho AB = BA = 1 (1 là toán tử đơn vị trong X) Khi đó, toán tử B được gọi là toán tử ngược của A và kí hiệu là B = A−1 Chúng ta có kết quả quan trọng sau Định lí 1.4.16 ([4], Hellinger-Toeplitz Theorem, p 84) Cho T là toán tử tuyến tính xác định khắp nơi trong không gian Hilbert H với x, T... liên quan đến toán tử tuyến tính bị chặn Định nghĩa 1.4.1 Toán tử tuyến tính bị chặn (viết tắt là toán tử bị chặn) từ không gian tuyến tính định chuẩn (X1 , 1 ) vào không gian định chuẩn (X2 , 2 ) là hàm T từ X1 vào X2 thỏa mãn a (Tính tuyến tính) T (αu + βv) = αT (u) + βT (v), với ∀u, v ∈ X1 , ∀α, β ∈ K b (Tính bị chặn) Tồn tại hằng số C ≥ 0 sao cho T v 2 ≤ C v 1 , ∀v ∈ X1 Cận trên đúng của các hằng... (T ) của không gian Hilbert H Kí hiệu D (T ∗ ) là tập các phần tử y ∈ H mà tồn tại phần tử z ∈ H sao cho với mọi x ∈ D (T ) ta có T x, y = x, z Với mỗi y ∈ D (T ∗ ), ta đặt T ∗ y = z và toán tử T ∗ này được gọi là toán tử liên hợp của T Định nghĩa 1.6.5 ([4], Trang 255) Toán tử không bị chặn T được gọi là đối xứng (hoặc Hermite) nếu T ⊂ T ∗ , nghĩa là nếu D (T ) ⊂ D (T ∗ ) 15 ∗ và T ϕ = T ϕ với mọi . của toán tử Dirac với trường thế không bị chặn tại vô cực . • Phạm vi: Các bài báo, các tài liệu trong và ngoài nước nghiên cứu về Phổ của toán tử Dirac với trường thế không bị chặn tại vô cực . 5 tình của TS. Tạ Ngọc Trí tôi đã chọn nghiên cứu đề tài: Phổ của toán tử Dirac với trường thế không bị chặn tại vô cực ix 2. Mục đích nghiên cứu Nắm được các khái niệm, tính chất của toán tử Dirac, . L(X, X) T ∗ toán tử liên hợp của toán tử T T bao đóng của toán tử T ρ(T ) tập giải được của toán tử T KerT nhân của toán tử T RanT miền giá trị của toán tử T divB độ phân tán của trường vectơ