Không phải tất cả toán tử trong vật lí toán học đều bị chặn. Ngoài các toán tử bị chặn, chúng ta cũng cần xét các toán tử không bị chặn. Trong phần này chúng ta giới thiệu một số khái niệm và định lí cơ bản của toán tử tuyến tính không bị chặn. Theo định lí Hellinger-Toeplitz (trong phần 1.4) nói rằng một toán tử T xác định khắp nơi thỏa mãn hx, T yi = hT x, yi thì bị chặn. Điều này gợi ra cho chúng ta về toán tử không bị chặn T sẽ chỉ xác định trên một tập con tuyến tính trù mật của không gian Hilbert H. Do đó, một toán tử trong không gian Hilbert H là ánh xạ tuyến tính từ miền của nó, là một không gian con tuyến tính của H vào H. Chúng ta thường giả sử miền này trù mật. Kí hiệu miền này là D(T) được gọi là miền của toán tử T. Do đó để định nghĩa một toán tử không bị chặn trong không gian Hilbert, điều đầu tiên chúng ta phải đưa ra miền của nó sau đó xem nó tác động như thế nào trên không gian con đó.
Định nghĩa 1.6.1. ([8], Trang 19) Toán tử không bị chặn T là một ánh xạ tuyến tính xác định trên miền D(T) là tập con tuyến tính trù mật
trong H sao cho tồn tại một dãy số {xj}, xj ∈ D(T),kxjk = 1, j = 1,2, ... và kT xjk → ∞.
Ví dụ 1.6.2. (Toán tử position) Cho H = L2(R) và D(T) là tập các hàm ϕ ∈ L2(R) thỏa mãn R
R
x2|ϕ(x)|2dx < ∞. Với ϕ ∈ D(T) ta định nghĩa (T ϕ) (x) = xϕ(x). Rõ ràng T là toán tử không bị chặn.
Thật vậy, nếu chúng ta chọn ϕ có giá tiến đến +∞ hoặc −∞, chúng ta có thể làm cho kT ϕk lớn tùy ý trong đó kϕk= 1.
Định nghĩa 1.6.3. ([8], Trang 20) Cho T là toán tử không bị chặn xác định trên miền D(T) của không gian Hilbert. Ta nói T đóng (closed) nếu với mỗi xj ∈ D(T), xj →x và T xj →y, thì x ∈ D(T) và T x = y.
Toán tử T0 là một mở rộng của T (tức là T ⊂ T0) nếu D(T) ⊆ D(T0)
và T x = T0x với mọi x ∈ D(T). Hơn nữa, ta nói T là đóng được nếu T
có một mở rộng đóng. Khi đó, mỗi toán tử đóng được có một mở rộng đóng nhỏ nhất, được gọi là bao đóng của nó và kí hiệu là T.
Định nghĩa 1.6.4. ([4], Trang 252) Cho T là toán tử không bị chặn xác định trên D(T) của không gian Hilbert H. Kí hiệu D(T∗) là tập các phần tử y ∈ H mà tồn tại phần tử z ∈ H sao cho với mọi x ∈ D(T)
ta có
hT x, yi = hx, zi
Với mỗi y ∈ D(T∗), ta đặt T∗y = z và toán tử T∗ này được gọi là toán tử liên hợp của T.
Định nghĩa 1.6.5. ([4], Trang 255) Toán tử không bị chặn T được gọi là đối xứng (hoặc Hermite) nếu T ⊂ T∗, nghĩa là nếu D(T) ⊂ D(T∗)
và T ϕ = T∗ϕ với mọi ϕ∈ D(T). Tương đương, T là đối xứng khi và chỉ khi
hT ϕ, ψi = hϕ, T ψi, với mọi ϕ, ψ ∈ D(T).
Định nghĩa 1.6.6. ([4], Trang 255) T được gọi là tự liên hợp nếu
T = T∗ nghĩa là T đối xứng và D(T) =D(T∗).
Một toán tử đối xứng luôn luôn đóng được, vì D(T∗) ⊃D(T) là trù mật trong H. Nếu T đối xứng, T∗ mở rộng đóng của T, vậy thì toán tử nhỏ nhất mở rộng đóng T∗∗ của T phải chứa trong T∗. Do đó, với toán tử đối xứng ta có
T ⊂ T∗∗ ⊂T∗
Với toán tử đối xứng đóng, ta có
T = T∗∗ ⊂T∗
Và với toán tử tự liên hợp, ta có
T = T∗∗ = T∗
Ta dễ dàng thấy được một toán tử đối xứng đóng T là tự liên hợp khi và chỉ khi T∗ đối xứng.
Định nghĩa 1.6.7. ([4], Trang 256) Một toán tử đối xứng T được gọi là tự liên hợp thiết yếu nếu bao đóng T là tự liên hợp.
Định lí 1.6.8. ([4], Theorem VIII.3, Tiêu chuẩn cơ bản đối với tính chất tự liên hợp) Cho T là toán tử đối xứng trên không gian Hilbert H. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương:
a. T là tự liên hợp.
b. T đóng và Ker (T∗ ±i) ={0}. c. Ran (T ±i) = H.
Mệnh đề 1.6.9. ([4], Trang 257) Cho T là toán tử đối xứng trên không gian Hilbert. Khi đó các điều sau tương đương
a. T là tự liên hợp thiết yếu. b. Ker (T∗ ±i) = {0}.
c. Ran (T ±i) trù mật.
Định nghĩa 1.6.10. ([5], Trang 247) Cho F là một hàm xác định trên
Rn đo được và không âm hầu khắp nơi. Chúng ta nói rằng F → ∞ khi và chỉ khi với ∀N > 0, tồn tại RN sao cho F (x) ≥ N với mọi x thỏa mãn |x| ≥RN.
Định lí 1.6.11. ([5], Theorem XIII.65) (Tiêu chuẩn Rellich) Cho F và
G là hai hàm xác định trên Rn thỏa mãn F → ∞ và G → ∞. Khi đó
S = ψ Z |ψ(x)|2dx ≤ 1, Z F (x)|ψ(x)|2dx ≤1, Z G(p) ˆ ψ(p) 2 dp ≤1
là tập con compact của L2(Rn).
Định lí 1.6.12. ([8], Kato – Rellich Theorem, p. 21) Giả sử T1 tự liên hợp, T2 đối xứng với D(T1) ⊆ D(T2). Giả sử tồn tại a, b với a, b thỏa mãn
kT2xk ≤ akT1xk+bkxk
với mọi x ∈ D(T1). Khi đó, toán tử T1 +T2 tự liên hợp trên D(T1) và tự liên hợp thiết yếu trên miền lõi bất kỳ của T1.
Toán tử T2 trong định lí Kato – Rellich có thể được coi như toán tử nhiễu của T1.