Định nghĩa 2.1.3. ([7], Phần 5.1.1) Cho không gian Hilbert H, một involution là toán tử τ bị chặn trong H thỏa mãn τ2 = 1.
Định nghĩa 2.1.4. ([7], Phần 5.1.1) Involutionτ được gọi là involution unita nếu
τ∗τ = τ τ∗ = τ2 = 1. (2.37) Định nghĩa 2.1.5. ([7], Phần 5.1.2) Cho H là không gian Hilbert với involution unita τ. Chúng ta định nghĩa một “toán tử Dirac trừu tượng” là toán tử tự liên hợp H với miền D(H) là bất biến trái với τ nghĩa là
τ D(H) = D(H).
Toán tử Dirac H tự liên hợp trên một miền phù hợp. Ta có kết quả sau.
Định lí 2.1.6. ([7], Theorem 4.3) Giả sử mỗi phần tử của ma trận trường thế Hermite V là một hàm vi phân vô hạn
Vik ∈ C∞ R3, ∀j, k = 1, ...,4. (2.38) Khi đó H = H0 +V tự liên hợp thiết yếu trên C0∞ R34.
Chứng minh. Vì V là ma trận Hermite, H = H0 + V đối xứng trên
Chương 1, Định lí 1.6.8), suy ra (H ±i)ψ = 0, ∀ψ ∈ L2 R34 do đó
ψ = 0. Toán tử H ±i là một toán tử vi phân elliptic của cấp đầu tiên với các hệ số biến trên C∞. (Toán tử vi phân P
|α|≤k
aα(x)Dα được gọi là elliptic tại x0 nếu P
|α|≤k
aα(x0)pα 6= 0 với mọi p 6= 0). Theo tính chất đều địa phương của toán tử elliptic, chúng ta kết luận rằng nghiệm L2 bất kỳ của(H ±i)ψ = 0 khả vi vô hạn. Lấy ψ là một nghiệm như thế. Chọn hàm f ∈ C0∞ R34 với f (x) = 1 nếu |x| ≤ 1 và đặt fn(x) = f xn. Khi đó ta thấy (H +i)fnψ = −icα.(∇fn)ψ, (2.39) và từ (∇fn) (x) = n1 (∇f) nx suy ra kfnψk2 +kHfnψk2 = k(H +i)fnψk2 = k(∇fn)ψk2 ≤ 1 n2 sup x |(∇fn) (x)|2kψk2 . (2.40) Khi n→ ∞, ta có kfnψk → kψk và với (2.40) ta thu được ψ = 0.
Làm tương tự đối với nghiệm của (H −i)ψ = 0. Định lí 2.1.6 được chứng minh.