INFIMUM CỦA PHỔ CỦA TOÁN TỬLAPLACE-BELTRAMI TRÊN MIỀN GIẢ LỒI BỊ CHẶN VỚI METRIC BERGMAN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - o0o - - - - - - - - TRẦN THỊ MAI INFIMUM CỦA PHỔ CỦA TOÁN TỬ LAPLACE-BELTRAMI TRÊN MIỀN GIẢ LỒI BỊ CHẶN VỚI METRIC BERGMAN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC HÀ NỘI - 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - o0o - - - - - - - - TRẦN THỊ MAI INFIMUM CỦA PHỔ CỦA TOÁN TỬ LAPLACE-BELTRAMI TRÊN MIỀN GIẢ LỒI BỊ CHẶN VỚI METRIC BERGMAN Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN THẠC DŨNG HÀ NỘI - 2015 Mục lục Phần mở đầu 1 Một số kiến thức giải tích phức nhiều biến 1.1 Hàm đa điều hòa miền giả lồi 1.1.1 Hàm đa điều hòa 1.1.2 Miền giả lồi 1.2 Toán tử Laplace-Beltrami đa tạp K¨ahler 3 Cận nhỏ phổ miền giả lồi bị chặn 2.1 Ước lượng cận λ1 2.2 Ước lượng cận λ1 2.3 Giá trị cực đại λ1 toán tử Laplace-Beltrami 14 vài miền đặc biệt 19 Kết luận 22 Tài liệu tham khảo 23 Phần mở đầu Cho (M n , g) đa tạp K¨ahler n chiều với metric K¨ahler n gij dzi ⊗ dz j g= i,j=1 Giả sử n ∂2 ∆g = −4 g ∂zi ∂z j i,j=1 ij toán tử Laplace-Beltrami tương ứng với metric g Ở ta dùng ký hiệu g ij t = gij −1 Khi đó, cận nhỏ phổ toán tử Laplace-Beltrami xác định  n  ∂f ∂f dVg : f ∈ C0∞ (M ), f λ1 (∆g , M ) = inf g ij  M ∂zi ∂z j i,j=1 L2   =1  dVg dạng thể tích M tương ứng với metric K¨ahler g Bài toán đặt tính giá trị λ1 cho đánh giá λ1 Tất nhiên việc đánh giá phụ thuộc vào đa tạp M metric K¨ahler g Người ta chứng minh M đa tạp compact ∆g toán tử elliptic λ1 (∆g ) giá trị riêng dương ∆g với điều kiện biên Dirichlet Việc nghiên cứu λ1 có nhiều ứng dụng toán hình học vật lý Luận văn trình bày cách chi tiết kết báo Song-Ying Li My-An Tran ([16]) Nội dung luận văn đưa ví dụ đa tạp K¨ahler đầy đủ mà chúng giá trị xác λ1 tính toán Nói cách cụ thể, ta ước lượng xác λ1 (∆u ) miền D miền giả lồi bị chặn Cn với ∂ 2u với u hàm đa điều metric K¨ahler uij dzi ⊗ dz j , uij = ∂zi ∂z j hòa chặt, vét cạn miền D Trong trường hợp tổng quát, D miền giả lồi bị chặn việc tính xác giá trị λ1 (∆u ) phức tạp Vì thế, cần phải đưa vào điều kiện phụ khác hàm u vét cạn D Nhờ điều kiện đó, xấp xỉ cận cận λ1 cách xây dựng hàm đặc biệt tiến hành phân tích miền D Luận văn bao gồm hai chương Trong chương mở đầu, nhắc lại vài kiến thức hàm đa điều hòa dưới, miền giả lồi toán tử Laplace-Beltrami đa tạp K¨ahler Trong chương hai, xét ước lượng cận cận cận nhỏ phổ toán tử LaplaceBeltrami Ước lượng cận xét mục 2.1, ước lượng cận trình bày mục 2.2 Đặc biệt, mục 2.2 đưa cách chứng minh khác cho Định lý 2.2 Chứng minh đơn giản so với chứng minh báo gốc Trong mục 2.3, đưa ước lượng cận nhỏ phổ miền giả lồi đặc biệt với metric K¨ahler-Einstein metric Bergman Chương Một số kiến thức giải tích phức nhiều biến 1.1 1.1.1 Hàm đa điều hòa miền giả lồi Hàm đa điều hòa Định nghĩa 1.1 Giả sử Ω miền Cn , u : Ω → R hàm thuộc lớp C Khi u gọi hàm đa điều hòa n ∂ 2u (z)ξi ξ j ≥ ∀z ∈ Cn , ξ = (ξ1 , , ξn ) ∈ Cn ∂zi ∂z j i,j=1 ∂ 2u Do uij = = uij + i uij , đặt ξj = xj + iyj , ∀j = 1, n, ta có dzi dz j uij ξi ξ j = ( uij + √ −1 uij )(xi + √ −1yi )(xj − √ = uij (xi xj + yi yj ) + uij (yi xj − xi yj + −1yj ) √ −1( uij (yi xj − xi yj ) + uij (xi xj + yi yj )) Vì vậy, u hàm đa điều hòa thuộc lớp C n uij (xi xj + yi yj ) + uij (yi xj − xi yj ) ≥ i,j=1 n uij (yi xj − xi yj ) + uij (xi xj + yi yj ) = ∀ xi , yi ∈ R i,j=1 Định nghĩa 1.2 Một hàm u thuộc lớp C gọi hàm đa điều hòa chặt tồn số > cho u − |z|2 hàm đa điều hòa Vì vậy, u hàm đa điều hòa (chặt) ma trận Hessian phức (uij )của ma trận Hermit xác định dương (chặt) Chú ý u hàm đa điều hòa chặt (uij ) khả nghịch u−1 = (uij )t ma trận Hermit xác định dương chặt 1.1.2 Miền giả lồi Cho Ω ⊂ Rn tập mở Ta nói Ω có biên lớp C k , k ≥ tồn lân cận U ∂Ω hàm r lớp C k xác định U cho Ω ∩ U = {z ∈ U : r(z) < 0} dr = ∂Ω với z ∈ ∂Ω n dr(z) = j=1 ∂r (z)dxj ∂xj Định nghĩa 1.3 Giả sử Ω miền bị chặn Cn , n ≥ r hàm xác định D D gọi miền giả lồi hay miền giả lồi Levi p ∈ ∂Ω dạng Levi n ∂ 2r (p)ξi ξ j ≥ Lp (r, ξ) = ∂z ∂z i j i,j=1 ∀ξ ∈ Tp(1,0) (∂Ω) Ω gọi miền giả lồi chặt p dạng Levi xác định dương chặt ∀ξ = Ω miền giả lồi chặt Ω miền giả lồi chặt điểm 1.2 Toán tử Laplace-Beltrami đa tạp K¨ ahler Giả sử M đa tạp Riemann định hướng, n chiều Ωp (M ) không gian p-dạng M , đặt d : Ωp (M ) ⇒ Ωp+1 (M ) toán tử vi phân thông thường, p ≥ Giả định ds2 = i,j gij dxi ⊗ dxj metric Riemann T ∗ M ⊗ T ∗ (M ), (gij ) ma trận thực cấp n xác định dương chặt Khi ds2 chứa metric Riemann T (M )⊗T (M ) xác định dS = g ij i,j ∂ ∂ ⊗ ∂xi ∂xj (g ij ) ma trận nghịch đảo (gij ) Giả sử d∗ toán tử liên hợp d metric Riemann i,j gij dxi ⊗ dxj nghĩa n p p=0 Ω (M ) tương ứng với d∗ : Ωp (M ) → Ωp−1 (M ) (dα, β) = (α, d∗ β) = < dα, β >ds2 ∗ ∀α ∈ Ωp−1 (M ), β ∈ Ωp (M ) M * toán tử Hogde Định nghĩa 1.4 Toán tử Hogde-Laplace Ωp (M ) ∆H = −(dd∗ + d∗ d) : Ωp (M ) → Ωp (M ) Toán tử Hogde-Laplace liên hệ với toán tử Laplace-Beltrami sau Với hàm trơn f , ta định nghĩa gradient f := gradf := g ij ∂f ∂ ∂xi ∂xj g = det(gij ) Khi với trường véc tơ X ta có < gradf, X >= X(f ) = df (X) Mặt khác, toán tử div tác động lên trường véc tơ Z = Z i ∂ ∂xi định nghĩa divZ := ∂ √ j ( gZ ) g ∂xj Định nghĩa 1.5 Toán tử Laplace-Beltrami Ωp (M ) ∆f = −div(gradf ) Khi đó, biết không gian hàm khả vi M , ta có ∆ = −∆H Dễ dàng nhận thấy ∂ ∆f = − √ g ∂xj √ gg ij ∂f ∂xi = −g ij ∂2 f + ∂xi ∂xj Vì (gij ) xác định dương chặt, −∆f toán tử elliptic Định nghĩa 1.6 Giả sử M đa tạp phức với tọa độ địa phương z = (z1 , , zn ) Một metric Hermit M xác định hik (z)dzj ⊗ dz k zk hjk (z) ma trận Hermit, xác định dương phụ thuộc vào z Ngoài ra, hàm thành phần hjk (z) hàm trơn Dạng vi phân song bậc (1, 1) xác định i h (z)dzj ∧ dz k jk gọi dạng K¨ahler metric Hermit Định nghĩa 1.7 Một metric Hermit hjk dzj ⊗ dz k gọi metric K¨ahler với z tồn lân cận U z hàm F : U → R i với hjk dzj ∧ dz k = ∂∂F , ∂∂F gọi dạng K¨ahler, F gọi vị K¨ahler Giả sử hjk dzj ⊗ dz k metric K¨ahler đa tạp phức M Do metric Hermit cảm sinh metric Riemann nên ta định nghĩa toán tử Laplace-Beltrami tương ứng với metric Riemann < v, w >R,h Trong metric này, toán tử Laplace-Beltrami có dạng ∂ ∆ = −4 h ∂zi n ∂ hh ∂z j ij hij = −4 i,j=1 ∂2 , ∂z i ∂z j h = det(hjk ) Công thức suy trực tiếp nhờ sử dụng kết sau ([16]) n i=1 ∂ (hhij ) = ∂zi n j=1 ∂ (hhij ) = ∂z j Lưu ý rằng, dùng công thức để chứng minh công thức tích phân cho toán tử Laplace–Beltrami chương sau Định nghĩa 1.8 Cho Ω ⊂ M tập mở Một số thực dương λ gọi giá trị riêng toán tử ∆ toán Dirichlet Ω tồn hàm trơn v ∈ C ∞ (Ω) cho ∆v = λv Hàm v gọi hàm riêng ∆ ứng với giá trị riêng λ Do ∆ toán tử elliptic tự liên hợp, nhờ lý thuyết phương trình đạo hàm riêng biết tập hợp giá trị riêng {λk }∞ k=1 lập thành dãy tăng < λ1 < λ2 ≤ λk ≤ lim λk = ∞ k→∞ Trong giải tích phức nhiều biến, biết D hình cầu đơn vị Bn Cn u(z) = − log(1 − |z|2 ) n uij dzi ∧ dz j ds = i,j=1 f (z) = e−αu(z) với α > Khi (i) ∆u f (z) = 4αf (z) n − α|∂u|2u , (2.2) n |∂u|2u n ij = uij ∂i u∂j u u ui uj = i,j=1 (2.3) i,j=1 (ii) Nếu r(z) = −e−u(z) hàm đa điều hòa chặt |∂u|2u < Ω (iii) Giả thiết Ω bị chặn với ∂Ω ∈ C Khi với h1 , h2 ∈ C (Ω) ∩ C (Ω) (h2 ∆u h1 − h1 ∆u h2 ) dVu      n n ∂h1  ∂h2  h2 − − h1 − g(z)dσ(z) =4 uij νi uij νj ∂z ∂z j i ∂Ω i,j=1 i,j=1 Ω (2.4) Trong g(z) = detH(u), ν(z) = (ν1 (z), , νn (z)) véc tơ cho |ν(z)|2 = Đặc biệt,       ∆u h1 (z)      h1 (z)          h2 (z) dVu (z) = g(z)dv(z), pháp tuyến phức hướng ∂Ω ≥ Ω = ∂Ω ≥ ∂Ω (h2 ∆u h1 − h1 ∆u h2 ) dVu ≥ Ω 10 (2.5) Chứng minh Chú ý n uij −αuij + α2 ui uj ∆u f (z) = −4f (z) i,j=1 = 4αf (z) n − α|∂u|2u Vậy (i) chứng minh Tiếp theo, ta chứng minh (ii) Sử dụng ký hiệu n n |∂r|2r ij r ui uj , = n i ij r = r rj j j=1 i,j=1 rij ri , r = i=1 cách tính toán trực tiếp, ta có ri rj uij = − rij − , r r rirj u = −r r − |∂r|2r − r ij ij Do −r(z) > với z ∈ Ω nên |∂r|2r < 1, ∀z ∈ Ω |∂r|2r − r Vậy (ii) chứng minh Tiếp theo, ta chứng minh (iii) Từ định nghĩa ∆u , ta có n n ∂ h1 h2 ∆u h1 = −4h2 u , ∂z ∂z i j i,j=1 ij Do Ω (h2 ∆u h1 − h1 ∆u h2 ) dVu  n Ω i,j=1 Đặt J := −gh2 K := n i=1 n i,j=1 ∂ h1 u ∂zi ∂z j ij ∂ h2 − ∂zi i,j=1 n uij −gh2 =4 uij h1 ∆u h2 = −4h1 ∂ h1 ∂zi ∂z j + gh1 n ij ∂h1 j=1 u g ∂z j 11 uij + gh1 i,j=1 n i,j=1 − ∂ h2 ∂zi ∂z j  ∂ h2  dv ∂zi ∂z j ∂ h2 u , ∂zi ∂z j ∂ n h1 − j=1 ∂z j ij n ij ∂h2 i=1 u g ∂zi Ta chứng minh K = J Như vậy, ta có Ω (h2 ∆u h1 − h1 ∆u h2 ) dVu  n uij −gh2 =4 Ω i,j=1 n =4 Ω i=1  n ∂ h1 ∂zi ∂z j uij + gh1 i,j=1  n ∂  ∂h1  h2 −uij g − ∂zi ∂z j j=1  n j=1 ∂ h2  dv ∂zi ∂z j ∂ h1 ∂z j n −uij g i=1 ∂h2 ∂zi Áp dụng định lý Stokes, ta có Ω (h2 ∆u h1 − h1 ∆u h2 ) dVu  n  n n n ∂h1  ∂h2 h2 νi − h1 −uij g =4 −u g ∂z j ∂zi ∂Ω j=1 i=1 i=1 j=1      n n ∂h1  ∂h2  h2 − − h1 − uij νj gdσ =4 uij νi ∂z ∂z j i ∂Ω i,j=1 i,j=1 ij Vậy (2.4) chứng minh Trong trường hợp đặc biệt,      ∆u h1     h1 ≥ Ω = ∂Ω theo Nguyên lý cực đại cho phương trình elliptic, ta có n uij νi − i,j=1 ∂h1 ≥ 0, ∂D ∂z j Giả thiết thêm h2 ≥ ∂D, từ khẳng định (2.4), ta nhận (h2 ∆u h1 − h1 ∆u h2 ) dVu ≥ Ω Vậy bổ đề chứng minh xong 12 νj dσ dv Mệnh đề 2.1 Giả sử Ω miền Cn u ∈ C (Ω) hàm điều hòa chặt Nếu |∂u|2u ≤ β Ω (2.6) với số β > n2 λ1 (∆u , Ω) ≥ β (2.7) λ1 (∆u , Ω) cận nhỏ phổ dương toán tử ∆u Ω Chứng minh Đặt f (z) = e−αu(z) với z ∈ Ω, α > Theo Bổ đề 2.1, ta có ∆u f (z) = 4α(n − α|∂u|2u )f (z) ≥ 4α(n − αβ)f (z), z ∈ Ω Ta chứng minh rằng, Ω, ta có λ1 (∆u , Ω) ≥ 4α(n − αβ), α > Thật vậy, ∀ > 0, giả sử Ω ⊂ Ω miền compact Ω cho ∂Ω ∈ C ∞ Ω ↑ Ω → 0+ Giả sử λ1 ( )là giá trị riêng dương toán Dirichlet ∆u với hàm riêng v(z) Ω Khi tính chất quy v mà hàm v(z) dương Ω Hơn v = ∂Ω Sử dụng bất đẳng thức (2.4) cho hàm      h1 = v ,     h2 = f ta có 0≤ [f λ1 ( )v − v4αf (n − α|∂|2u )]dVu (f ∆u v − v∆u f )dVu = Ω Ω ≤ λ1 ( ) f vdVu − 4α(n − αβ) Ω f vdVu Ω = [λ1 ( ) − 4α(n − αβ)] f vdVu Ω 13 Do f , v hàm dương Ω nên λ1 ( ) − 4α(n − αβ) ≥ Điều tương đương với λ1 ( ) ≥ 4α(n − αβ) Vì λ1 (∆u , Ω) = lim inf λ1 ( ) ≥ 4α(n − αβ) →0 Do n λ1 (∆u , Ω) ≥ max{4α (n − αβ)} = α>0 2β n n− β 2β n2 = β Vậy mệnh đề chứng minh xong Chú ý 2.1 Để thuận tiện, sử dụng ký hiệu λ1 (∆u , D), λ1 (D) λ1 thay cho để thích lại infimum phổ dương ∆u D Nhắc lại rằng, giả sử α β số dương, dVu dạng thể tích D tương ứng với metric K¨ ahler n n i,j=1 uij dzi ⊗ dz j , dv dạng thể tích Lebesgue C dσ dạng Hausdorff siêu mặt D 2.2 Ước lượng cận λ1 Giả sử J toán tử Fefferman định nghĩa [3]   ∂r   r ,  J(r) = − det   ∗ (∂r) H(r) ∗ t ∂r = [r1 , , rn ], (∂r) = [r1 , , rn ] 14 ∂ 2r H(r) = [rij ] = ∂zi ∂z j Do r(z) = −e−u(z) nên ∂r = uz e−u , (∂r)∗ = (uz e−u )t , rij = uij e−u − ui uj e−u Từ định nghĩa J(r) ta có    u11 u1n       J(r) = e−(n+1)u det        un1 unn Đặt    u11 u1n       H(u) :=        −u un1 unn e Khi J(r) = e−(n+1)u detH(u) Một cách tương đương, ta có detH(u) = J(r) e−(n+1)u = J(r) (−1)n+1 [(−e−u )n+1 ] = J(r) (−1)n+1 rn+1 Vậy, từ ta kết luận detH(u) = J(r) −r n+1 Từ khẳng định trên, ta dễ dàng nhận dVu = detH(u)dv = J(r) dv (−r)n+1 Định lý 2.1 Nếu |∂u|2u ≤ β D r ∈ C (D) ∩ C 0,1 (D) với J(r) bị chặn D λ1 (D) ≤ βn2 15 (2.8) Chứng minh Ta ước lượng cận λ1 thông qua đặc trưng biến phân λ1 cách xây dựng hàm thử phù hợp f thay vào định n nghĩa λ1 Để làm vậy, trước hết, ta chọn α = + với > nhỏ f (z) = (−r(z))α Khi đó, |f (z)|2 dVu = D (−r(z))2α dVu D D J(r) dv (−r(z))n+1 D J(r)(z) dv(z) < +∞ (−r(z))1−2 (−r(z))n+2 = = (−r(z)) ≈ dist(z, ∂D) z gần ∂D J(r) bị chặn D Do đó, theo đặc trưng biến phân λ1 , ta có ( f, f )u λ1 ≤ = (f, f )u D n ij i,j=1 u ∂i f ∂j f dVu (f, f )u Với cách chọn hàm f trên, ta thấy ∂i f = ∂f = [(−r(z))α ]zi = −α(−r)α ∂i u ∂zi Tương tự ∂f = [(−r(z))α ]z j = α(−r(z))α−1 (−r(z))z j ∂z j −α(−r)α rj ∂u α−1 = −α(−r) rj = = −α(−r)α = −α(−r)α ∂j u r ∂z j ∂j f = Vì vậy, n ij 2α i,j=1 u α (−r) ∂i u∂j udVu λ1 ≤ D ≤ D 4α2 (−r)2α |∂u|2u dVu (f, f )u ≤ D 4α2 |f (z)|2 |∂u|2u dVu (f, f )u (f, f )u ≤ 4α2 β D |f (z)|2 dVu = 4α2 β (f, f )u 16 n+ n n λ1 ≤ Khi α = + → 2 Định lý chứng minh xong Với β = n2 β > 0, đặt D := {z ∈ D : r(z) < − } Chú ý ∂D ∈ C , D ↑ D cận λ1 sau (2.9) → 0+ Khi ta có ước lượng Định lý 2.2 Nếu lim |∂u|2u = β z→∂D ∂Dt J(r)(z)dσ(z) hàm liên tục theo t [0, 1], λ1 (D) ≤ n2 β (2.10) n Chứng minh Với α := + s (s > 0, nhỏ) γ > 0, ta đặt      [−r(z)]s {[−r(z)]γ − γ } z ∈ D\D f (z) =     z ∈ / D\D 0 Trước hết, ta thấy |f (z)|2 dVu (f, f )u = D D\D (−r)n+2s [(−r)γ − (−r)n+1 D\D [(−r)γ − γ ]2 J(r) dv < +∞ (−r)1−2s = = γ ] J(r) dv −r(z) ≈ dist(z, ∂D) z gần ∂D J(r) bị chặn D\D Tiếp theo, ta đặt C := J(r)(z)dσ(z) ∂D Do lim |∂u|2u = β z→∂D lim t→0 J(r)(z)dσ(z) = ∂Dt J(r)(z)dσ(z) = C ∂D 17 nên tồn δ( ) > cho |∂u|2u ≤ β(1 + δ( )) D\D J(r)(z)dσ(z) − J(r)(z)dσ(z) ≤ Cδ( ) ∂Dt ∀0 u > đủ nhỏ, ta nhận λ1 (D\D ) ≤ 4β Cho γ → 0+ α → D\D (α + γ)2 e−2(α+γ)u dVu −2(α+γ)u dV u D\D e = 4(α + γ)2 β + n , kết n2 λ1 (D\D ) ≤ β + = βn2 + Do tính chất đơn điệu theo miền giá trị riêng nên với > λ1 (D) ≤ λ1 (D\D ) Vì λ1 (D) ≤ βn2 + Vì bé tùy ý, ta có điều phải chứng minh 18 2.3 Giá trị cực đại λ1 vài miền đặc biệt Định lý 2.3 Giả sử D miền giả lồi bị chặn Cn với hàm xác định r(z) ∈ C (Cn ) Giả thiết u(z) = − log(−r(z)) hàm đa điều hòa chặt D với β(z) = ∂D Khi ký hiệu λ1 (D) = λ1 (∆u , D), ta có: (a) λ1 (D) ≤ λ1 (D\K) ≤ n2 với tập compact K D (b) Nếu bổ sung thêm điều kiện r(z) hàm đa điều hòa D λ1 (D) = n2 Chứng minh a) Từ kết hai định lý ta có λ1 (D) ≤ λ1 (D\K) ≤ n2 ∀ Kcp ⊂ D b) Do r(z) hàm đa điều hòa D, không tính tổng quát, ta giả sử H(r)(z) xác định dương với z ∈ D sử dụng r1 (z) = r(z) + (|z|2 − d) thay cho r(z), với d đường kính D Từ Bổ đề 2.1 phần (ii), ta có |∂u|2u |∂r|2r = ≤1 −r + |∂r|2r nên theo Mệnh đề 2.1, suy λ1 (D) ≥ n2 Mặt khác, theo Định lý 2.1, ta lại có λ1 (D) ≤ n2 Do với r(z) hàm đa điều hòa D λ1 (D) = n2 Từ định lý ta dẫn tới hệ quan trọng sau Hệ 2.1 Giả sử D miền giả lồi chặt, bị chặn trơn Cn với hàm xác định r(z) ∈ C (Cn ) u(z) = − log(−r(z) Khi n (i) Nếu ahler-Einstein D α,β=1 uαβ dzα ⊗ dz β metric K¨ λ1 (∆1 , D) ≤ n2 , u nghiệm đa điều hòa chặt phương trình Monge-Ampère: det H(u) = e(n+1)u D u = ∞ ∂D (ii) Nếu n α,β=1 uαβ dzα (2.11) ⊗ dz β metric Bergman D, uij = ∂ log K(z, z) n+1 ∂zi ∂z j 19 K(z, w) hàm nhân Bergman miền D λ1 (∆u , D) ≤ n2 Chứng minh (i) Trước hết ta quan tâm đến toán tử Laplace-Beltrami trường hợp metric K¨ahler-Einstein Giả sử u hàm đa điều hòa chặt D cho      det H(u) = e(n+1)u D (2.12)     u = +∞ ∂D r(z) = −e−u(z) (2.13) Khi det H(u) = J(r) −r n+1 Do giả thiết nghiệm u phương trình Monge-Ampère (2.12), ta có n+1 (n+1)u e = J(r) −u e Dễ dàng thấy rằng, từ phương trình này, ta nhận J(r) = e(n+1)u e−(n+1)u = e0 = Bởi định lý quy nghiệm phương trình Monge-Ampère phức Cheng Yau ([2]), Lee Melrose ([7]), ta có r(z) ∈ C n+2− (D) với > Vì vậy, ∂r = ∂D det H(r) = eu − |∂u|2u D Do det H(r)(z) bị chặn D u(z) → +∞ z → ∂D nên lim |∂u|2u = z→∂D Áp dụng Định lý 2.1 với β = ta có kết λ1 (D) ≤ n2 20 logK(z, z) n+1 (ii) Giả sử K hàm nhân Bergman Đặt u(z) = u(z) hàm đa điều hòa chặt D Đặt r(z) = −e−u(z) r ∈ C n+2− (D) hàm xác định D theo kết Fefferman ([4]) Giả sử ρ ∈ C ∞ (D) hàm xác định đa điều hòa chặt D Theo Fefferman ([4]), ta có u(z) = −log(−ρ(z)) + b(z), b ∈ C n+2− (D) Do [uij ] = [(−log(−ρ))ij ](In + ρB), (2.14) B ma trận vuông cấp n với tất phần tử bị chặn gần ∂D Đặt u0 = −log(−ρ) từ (2.9) ta có lim |∂u0 |2u0 = Từ z→∂D phương trình (2.14), chứng minh |∂u0 |2u0 (1 + Cρ) ≤ |∂u|2u ≤ |∂u0 |2u0 (1 − Cρ) với C z gần ∂D Vì vậy, lim |∂u|2u = z→∂D Áp dụng Định lý 2.2 với β = 1, ta có λ1 (D) ≤ n2 toán tử Laplace-Beltrami metric Bergman Đó điều phải chứng minh 21 Kết luận Luận văn chứng minh cách chi tiết kết báo Song-Ying Li My-An Tran([16]) Các kết bao gồm, chứng minh ước lượng cận cận cho phổ toán tử Laplace–Beltrami miền giả lồi đặc biệt Từ đưa áp dụng để đánh giá cận giá trị phổ miền giả lồi với metric K¨ahler-Einstein metric Bergman Luận văn đưa cách chứng minh cho Định lý 2.2 Chứng minh đơn giản ngắn gọn so với báo gốc 22 Tài liệu tham khảo [1] S Y Cheng, Eigenvalue comparison theorems and its geometric application, Math Zeits., 143 (1975), 289-297 [2] S Y Cheng and S T Yau, On the existence of a complex K¨ ahler metric on noncompact complex manifolds and the regularity of Fefferman’s equation, Comm Pure Appl Math., 33 (1980), 507-544 [3] C Fefferman, Monge-Amp`ere equations, the Bergman kernel, and geometry of pseudoconvex domains, Ann of Math., 103 (1976), 395416 [4] C Fefferman, The Bergman kernel and biholomorphic mappings of pseudoconvex domains, Invent Math., 65 (1974), 1-65 [5] L Ji, P Li and J Wang, Ends of locally symmetric spaces with maximal bottom spectrum, J Reine Angew Math., 632 (2009), 1-35 58Jxx(22Exx) [6] S Kong, P Li and D Zhou, Spectrum of the Laplacian on quaternionic K¨ ahler manifolds, J Differential Geom., 78 (2008), 295-332 [7] J M Lee and R Melrose, Boundary behavior of the complex MongeAmp`ere equations, Acta Math., 148 (1982), 159-192 [8] P Li, Lecture notes on geometric analysis, Lecture Notes Series, 6, Research Institute of Mathematics and Global Analysis Research Center, Seoul National University, Korea, 1993 [9] P Li, Harmonic functions on complete Riemannian manifolds, Handbook of Geometric Analysis, No 1, Advanced Lectu Maths., 7, International press, 2008 23 [10] P Li and J Wang, Comparion theorem for K¨ ahler manifolds and positivity of spectrum, J Differential Geom., 69 (2005), 43-74 [11] P Li and J Wang, Complete manifolds with positive spectrum II, J Differential Geom., 62 (2002), 143-162 [12] P Li and J Wang, Complete manifolds with positive spectrum, J Differential Geom., 58 (2001), 501-534 [13] S Y Li, Characterization for balls by potential function of K¨ ahlerEinstein metrics for domains in Cn , Comm Anal Geom., 13(2) (2005), 461-478 [14] S Y Li, On the existence and regularity of Dirichlet problem for complex Monge-Amp`ere equations on weakly pseudoconvex domains, Calc Var Partial Differential Equations, 20 (2004), 119-132 [15] S Y Li, Characterization for a class of pseudoconvex domains whose boundaries having positive constant pseudo scalar curvature, Comm Anal Geom., 17 (2009), 17-35 [16] S Y Li and M A Tran, Infimum of the spectrum of Laplace–Beltrami operator on a bounded pseudoconvex domain with a K¨ahler metric of Bergman type, Comm Anal Geom., 18(2) (2010), 375–395 [17] O Munteanu, A sharp estimate for the bottom of the spectrum of the Laplacian on K¨ ahler manifolds, J Differential Geom., 83 (2009), 163-187 [18] S Udagawa, Compact K¨ ahler manifolds and the eigenvalues of the Laplacian, Colloq Math., 56(2) (1988), 341-349 24 [...]... trên luôn thỏa mãn điều kiện ∆u f ≥ n2 f Do vậy λ1 (∆u ) = n2 trên Bn (xem [16]) 8 Chương 2 Cận dưới nhỏ nhất của phổ của toán tử Laplace-Beltrami trên miền giả lồi bị chặn 2.1 Ước lượng cận dưới của λ1 Nhắc lại, giả sử D là một miền giả lồi bị chặn trong Cn với hàm xác định r(z) ∈ C 2 (Cn ) và u(z) = − log(−r(z)) là hàm đa điều hòa dưới chặt trong D Khi đó, toán tử Laplace-Beltrami ∆u tương ứng với. .. cực đại của λ1 trên một vài miền đặc biệt Định lý 2.3 Giả sử D là miền giả lồi bị chặn trong Cn với một hàm xác định r(z) ∈ C 2 (Cn ) Giả thiết rằng u(z) = − log(−r(z)) là hàm đa điều hòa dưới chặt trên D với β(z) = 1 trên ∂D Khi đó ký hiệu λ1 (D) = λ1 (∆u , D), ta có: (a) λ1 (D) ≤ λ1 (D\K) ≤ n2 với bất kỳ tập con compact K nào của D (b) Nếu bổ sung thêm điều kiện r(z) là hàm đa điều hòa dưới trên D... z→∂D Áp dụng Định lý 2.2 với β = 1, ta có λ1 (D) ≤ n2 đối với toán tử Laplace-Beltrami trong metric Bergman Đó là điều phải chứng minh 21 Kết luận 1 Luận văn đã chứng minh một cách chi tiết các kết quả chính trong bài báo của Song-Ying Li và My-An Tran([16]) Các kết quả bao gồm, chứng minh các ước lượng cận trên và cận dưới cho phổ của toán tử Laplace–Beltrami trên các miền giả lồi đặc biệt Từ đó đưa... giả lồi đặc biệt Từ đó đưa ra các áp dụng để đánh giá cận trên của giá trị phổ trên các miền giả lồi với metric K¨ahler-Einstein và metric Bergman 2 Luận văn đưa ra một cách chứng minh mới cho Định lý 2.2 Chứng minh này đơn giản và ngắn gọn hơn so với bài báo gốc 22 Tài liệu tham khảo [1] S Y Cheng, Eigenvalue comparison theorems and its geometric application, Math Zeits., 143 (1975), 289-297 [2] S... nhỏ nhất của phổ dương của toán tử ∆u trên Ω Chứng minh Đặt f (z) = e−αu(z) với z ∈ Ω, α > 0 Theo Bổ đề 2.1, ta có ∆u f (z) = 4α(n − α|∂u|2u )f (z) ≥ 4α(n − αβ)f (z), z ∈ Ω Ta sẽ chứng minh rằng, trên Ω, ta có λ1 (∆u , Ω) ≥ 4α(n − αβ), α > 0 Thật vậy, ∀ > 0, giả sử Ω ⊂ Ω là một miền con compact của Ω sao cho ∂Ω ∈ C ∞ và Ω ↑ Ω khi → 0+ Giả sử λ1 ( )là giá trị riêng dương đầu tiên của bài toán Dirichlet... ∂r = 0 trên ∂D và det H(r) = eu 1 − |∂u|2u trên D Do det H(r)(z) bị chặn trên D và u(z) → +∞ khi z → ∂D nên lim |∂u|2u = 1 z→∂D Áp dụng Định lý 2.1 với β = 1 ta có kết quả λ1 (D) ≤ n2 20 1 logK(z, z) thì n+1 (ii) Giả sử K là hàm nhân Bergman Đặt u(z) = u(z) là hàm đa điều hòa dưới chặt trong D Đặt r(z) = −e−u(z) thì r ∈ C n+2− (D) là một hàm xác định trên D theo kết quả của Fefferman ([4]) Giả sử... n2 Do vậy với r(z) là hàm đa điều hòa dưới trong D thì λ1 (D) = n2 Từ định lý này ta dẫn tới một hệ quả quan trọng sau đây Hệ quả 2.1 Giả sử D là một miền giả lồi chặt, bị chặn trơn trong Cn với hàm xác định r(z) ∈ C 2 (Cn ) và u(z) = − log(−r(z) Khi đó n (i) Nếu ahler-Einstein trên D thì α,β=1 uαβ dzα ⊗ dz β là một metric K¨ λ1 (∆1 , D) ≤ n2 , trong đó u là nghiệm đa điều hòa dưới chặt của phương... phương trình Monge-Ampère: det H(u) = e(n+1)u trên D và u = ∞ trên ∂D (ii) Nếu n α,β=1 uαβ dzα (2.11) ⊗ dz β là một metric Bergman trên D, trong đó uij = 1 ∂ 2 log K(z, z) n+1 ∂zi ∂z j 19 và K(z, w) là hàm nhân Bergman đối với miền D thì λ1 (∆u , D) ≤ n2 Chứng minh (i) Trước hết ta quan tâm đến toán tử Laplace-Beltrami trong trường hợp metric K¨ahler-Einstein Giả sử u là hàm đa điều hòa dưới chặt trong... được dVu = detH(u)dv = J(r) dv (−r)n+1 Định lý 2.1 Nếu |∂u|2u ≤ β trên D và r ∈ C 2 (D) ∩ C 0,1 (D) với J(r) bị chặn trên D thì λ1 (D) ≤ βn2 15 (2.8) Chứng minh Ta sẽ ước lượng cận trên của λ1 thông qua đặc trưng biến phân của λ1 bằng cách xây dựng hàm thử phù hợp f và thay vào định n nghĩa của λ1 Để làm như vậy, trước hết, ta chọn α = + với > 0 rất 2 nhỏ và f (z) = (−r(z))α Khi đó, |f (z)|2 dVu = D... của ∆u trên D Nhắc lại rằng, ở đây chúng ta đang giả sử α và β là các hằng số dương, dVu là dạng thể tích trên D tương ứng với metric K¨ ahler n n i,j=1 uij dzi ⊗ dz j , dv là dạng thể tích Lebesgue trên C và dσ là dạng Hausdorff trên siêu mặt bất kỳ trong D 2.2 Ước lượng cận trên của λ1 Giả sử J là toán tử Fefferman được định nghĩa trong [3] thì   ∂r   r ,  J(r) = − det   ∗ (∂r) H(r) trong đó