Phổ của một phần tử trong đại số Banach

MỤC LỤC Phần mở đầu Chương 1: Những kiến thức chuẩn bị .3 1.1 Nguồn gốc lý thuyết phổ 1.2 Phổ toán tử 1.3 Đại số Banach 1.4 Nhóm tuyến tính tổng qt A 10 1.5 Định lí Hahn-Banach 12 1.6 Định lí Liouvelle 15 1.7 Định lí Banach-Steinhauss 16 Chương 2: Phổ phần tử đại số Banach 18 Chương 3: Bán kính phổ 22 Phần kết luận 26 Tài liệu tham khảo 27 LỜI CẢM ƠN Em xin bầy tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn khoa học Tiến sĩ TẠ NGỌC TRÍ thầy tận tình giúp đỡ nghiêm khắc hướng dẫn em để em hồn thành khóa luận Trong q trình học tập, trưởng thành đặc biệt giai đoạn thực khóa luận,em nhận dậy dỗ ân cần, lời động viên bảo thầy cô Qua cho phép em bầy tỏ biết ơn chân thành đến thầy, cô giáo tổ giải tích, khoa tốn trường ĐHSP Hà Nội Xin cảm ơn bạn nhóm chuyên đề “Giải tích lồi” người tơi san sẻ kiến thức, hun đúc tâm công tác hiệu q trình thực khóa luận Em xin chân thành cám ơn! Hà Nội Ngày 01 tháng 05 năm 2012 SV thực LƯƠNG THẾ TỒN LỜI CAM ĐOAN Khóa luận nghiên cứu em hướng dẫn tận tình nghiêm khắc thầy TẠ NGỌC TRÍ bên cạnh em quan tâm, tạo điều kiện thầy khoa tốn trường ĐHSP Hà Nội Vì em xin cam đoan nội dung đề tài “ Phổ phần tử đại số Banach”không có trùng lặp với đề tài khác sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm Hà Nội Ngày 01 tháng 05 năm 2012 SV thực LƯƠNG THẾ TOÀN PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Sau năm học đại học, môn giải tích thực hút em mơn khơng phải dễ dàng tiếp cận, đối tượng giải tích đối tượng có tính chặt chẽ mang tính trừu tượng hóa cao Lý thuyết hàm giải tích hàm có tầm quan trọng đặc biệt tốn học toán học ứng dụng, nội dung phong phù đa dạng Do kiến thức lớp với lượng thời gian nên khó sâu nghiên cứu vấn đề giải tích hàm, với mong muốn tìm hiểu sâu mơn góc độ sinh viên sư phạm toán pham vi khóa luận tốt nghiệp, với giúp đỡ thầy giáo tiến sĩ Tạ Ngọc Trí em xin mạnh dạn nêu lên hiểu biết đề tài “Phổ phần tử đại số Banach” Mục đích nghiên cứu Q trình thực đề tài, giúp em bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học tìm hiểu sâu sắc mơn giải tích hàm, đặc biệt tìm hiểu sâu “Phổ phần tử đại số Banach” Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu phổ phần tử đại số Banach bán kính phổ phần tử Nhiệm vụ nghiên cứu Đề tài nghiên cứu nhằm sâu khai thác làm bật phổ phần tử đại số Banach Các phương pháp nghiên cứu Phương pháp suy luận logic Phương pháp phân tích, tổng hợp đánh giá Cấu trúc khóa luận Khóa luận bao gồm chương Chương 1: Những kiến thức chuẩn bị Chương 2: Phổ phần tử đại số Banach Chương 3: Bán kính phổ Chương NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Nguồn gốc lý thuyết phổ Mục đích phổ tốn tử phát triển nhằn để hiểu cụ thể vấn đề đại số tuyến tính có liên quan tới cách giải phương trình tuyến tính khái niệm vơ hạn chiều Vấn đề đại số tuyến tính trường số phức cách giải hệ phương trình tuyến tính Một cho (a) n x n ma trận (aij) số phức (b) n_chiều g= (g1,g2, ,gn) số phức Và cách giải hệ phương trình tuyến tính a11 f1 + a12 f2 + + a1n fn = g1 (1.1) … an1 f1 + an2 f2 + + ann fn = gn Với f n = ( f1, f2 , , fn ) ∈□ Chính xác người ta muốn xác định (1.1) có cách giải tìm thấy cách giải chúng tồn Khoa học đại số tuyến tính nhấn mạnh vế trái (1.1) định nghĩa tốn tử tuyến tính f  Af không gian vectơ n n_chiều £ tồn cách giải (1.1) với g Sự tồn (1.1) nhất, lời giải (1.1) cho tất lựa chọn g tốn tử tuyến tính A khả nghịch điều liên quan tới việc tìm cách giải hệ (1.1) trường hợp hữu hạn chiều tốn tử A khả nghịch hay xác phần tử định ma trận (aij) khác khơng Còn trường hợp vơ hạn chiều găp nhiều khó khăn tốn tử khơng gian Banach vơ hạn chiều khơng có khái niệm phần tử định Việc giải (1.1) liên quan đến khái niệm giá trị riêng trường hợp hữu hạn chiều Lý thuyết phổ làm giảm lý thuyết giá trị riêng, xác giá trị riêng giá trị vectơ toán tử (l , f ) với Af = l A xuất cặp n f vectơ khác không £ l f số phức Nếu thay số phức l xét cách thiết lậpV λ vectơ f Af = l f ⊆ n□ tất thấy Vl khơng gian tuyến tính £ với cách chọn l khơng gian tầm thường {0}, n Vl không tầm thường tốn tử A- l có phần tử khơng tầm thường hay tốn tử A- l không khả nghịch Phổ s A λ∈□ (A) định nghĩa tập hợp tất số tập số thực số phức không chứa n phần tử Chý ý 1.1.1 Chúng ta phổ toán tử £ n số thực chứng minh quen thuộc việc liên quan đến hàm f (l )= det(Akhông điểm l f đa thức với hệ số phức có số 1) s (A) sau thu hút định lý đại số Ví dụ1.1.2 Ví dụ cho Niels Henrik Abel (1823) Chọn số a khoảng mở đơn vị g hàm nhẵn khoảng (0,1) thỏa mãn g(a)= Abel tìm kiếm hàm f mà x f ( y)dy = g(x) α Trên khoảng a < ∫ (x − y) α x < 1và ông viết cách giải sau fπα ( y) = π sin ∫ y g '(x) (α y − x) dx −α 1.2 Phổ toán tử Ký hiệu E khơng gian Banach phức, với tốn tử E làm biến đổi giới hạn tuyến tính T : E® E,B(E) ký hiệu tất khơng gian tốn tử E , lấy tốn tử A,B B(E Ỵ ) để có kết tốn tử AB Ỵ nhân thỏa mãn luật kết hợp phân phối (A+ B)C= Và B(E) ta định nghĩa phép A(B+ C) = AB+ AC AC+ BC Chúng ta viết để nhận dạng tốn tử Định lý1.2.1 Với B(E) điều kiện sau tương đương (1) Với E có xỴ thỏa mãn Ax = y E (2) Có tốn tử B Ỵ C h ứ n g minh (1) → (2) B(E) thỏa mãn AB = BA= Giả sử vectơ A khả nghịch biến đổi tuyến tính khơng gian E ta xét nghịch đảo B : E ® Ể E đồ thị có liên quan đến đồ thị G(B)= {(x,Bx): E}= {(Ay, y): E) xỴ E tập hợp A sau với λ ∈ □ Nhưng điều vơ lý (x A) l ) nghịch (và 1¹ Định nghĩa 2.4 Một đại A số phận (trên £ ) đại số phức tạp mặt kết hợp với đơn vị mà phần tử khác không A có khả nghịch Định nghĩa 2.5 Một đẳng cấu đại số Banach A B đẳng cấu qB cấu Atrúc đại số ®bản, đẳng cấu Tơpơ có số dương a , b cho a || p tử h x Với ầ Ỵ n A x ||£ || q ( x ) ||£ Hệ 2.6 Bất kỳ phận đại số Banach n đủ t0 ấ lớn đẳng cấu chiều với đại số □ t Chứng minh c bn || Xác địnhθ : □ → A x || ả b q(l l , θ rõ ràng ) = đẳng cấu i t ổ n g □ vào □1 bao gồm tất tích vơ hướng cho thấy θ vào A , Tuy nhiên với phần tử x Ỵ số ph ức − A theo định lý Gelfand có ∞ l Ỵ x khơng khả nghịch,từ A đại số s (x) - l phận phải x nên x = z q (l ) l Có nhiều đại số phận tốn học đặc biệt giao hốn Ví dụ 2.7 Có đại số r(z p( q( củ tất hàm hợp ) = z) z) a biến phức Trong ∞ p, q đa thức với q ¹ ∑ n a đại số Trong n l a n a v= m i ộ t c h u ỗ i v ô h Chương BÁN KÍNH PHỔ Trong phần A có nghĩa đại số Banach với đơn vị ||1|| =1 Chúng tơi giới thiệu khái niệm bán kính phổ chứng minh tiệm cận hữu ích cơng thức Gelfand, Mazur Beurling Định nghĩa 3.1 Đối với x Ỵ A bán kính phổ x định nghĩa bởi: r(x) = sup{| |: Ỵ s (x)} l l Chú ý 3.2 Khi phổ sau x xác định vị trí trung tâm bán kính ||x|| r ( x ) £ || x || tức λ ∈□ có r(l (x)) = | | r(x)) l Chúng ta yêu cầu hình thức sau ánh xa phổ Orem Nếu phần tử Sau (3.1) A f đa thức x f (s (x)) Í s ( f (x)) Để xem điều thay l Ỵ s (x) , từ z a f (z)- f (l ) m ộ z= t l đ a t h ứ c c ó m ộ t g i t r ị t h ứ c b ằ n g k h ô n g ( ) in có g đa thức v ậ y f f ( l )g(z) (l z ( )= z ) - m V ì ls (x) bao gồm n Ỵ Là khơng khả nghịch Một nghịch đảo phải (tương ứng trái) f f (x (l )- )1 cho tăng lên bên phải (tương ứng trái) nghịch đảo x - l kết cuối f s ( D o (l f ) Ỵ (x)) Chúng ta ý A ta có với x Ỵ r x ≤ f || xn || n ( ) s( xn ) Do (3.1) l Thật h ĐịA nhchún lýg ta 3.3có Vớ i mỗ i Ỵ đ Với f f (l ) l )g(x)= g(x)(x- l ) ( 1= x (x) - v ậ y đ ó n | n r(x n ) l £ || xn | || £ Và (3.2) kéo theo sau nghiệm thứ n ợ c p t lim ( h i ệ n S ự k đ h Công ộ ẳ thức c n g sau l đ Gelfan ậ ị d p n Mazur h thiết b lập trường i hợp đặc B biệt e tồn n →tại ∞ đ â y l gi ới hạ n Ch ứn g mi nh r(x) giá trị ≤ li xn đủ chứng minf || tỏ || có r ( x ) n Từ (3.2) n lim sup || x ||1n ≤ r ( x) n (3.3) n→∞ trường hợp x chọn λ ∈□ ¹ |< r(x) (k hi Để chứng minh (3.3) Chúng ta cần xét r(x) = ,l chọn tùy ý) ta cho thỏa mãn | l thứ tự n {(l x) : n = 1, 2, } bao bọc Do Banach – steinhaus định nghĩa để với hàm đường bao tuyến tính r A , có | r n |= | (x r ((l n ) l x)n ) M r < , n 1, 2, = |£ ¥ Ở M r phụ thuộc vào thuộc vào hàm giá r Cuối phụ trị phức f định nghĩa dựa (có thể vơ hạn) tập {z ∈□ :| z |< 1r(x) } f r zx)- 1) ( ((1 z) = Chú ý f tập giải tích,do dó với | z |< || x || khai triển phương diện khác,xét vùng rộng ( z) x- - chuỗi hội tụ R = {z :