Luận văn sư phạm Một số tính chất liên quan đến phổ của một số phần tử trong đại số banach

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ******** ĐỖ THỊ LIÊN MỘT SỐ TÍNH CHẤT LIÊN QUAN ĐẾN PHỔ CỦA MỘT PHẦN TỬ TRONG ĐẠI SỐ BANACH KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chun ngành: Giải tích Người hướng dẫn khoa học TS TẠ NGỌC TRÍ Hà Nội - 2013 LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS Tạ Ngọc Trí tận tình hướng dẫn để em hồn thành khóa luận Em xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo tổ giải tích, ban lãnh đạo thầy giáo khoa tốn trường ĐHSP Hà Nội bảo tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè ln bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực khóa luận tốt nghiệp Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 29 tháng 05 năm 2013 Sinh viên ĐỖ THỊ LIÊN LỜI CAM ĐOAN Khóa luận nghiên cứu tơi hướng dẫn tận tình nghiêm khắc thầy TS Tạ Ngọc Trí bên cạnh tơi quan tâm, tạo điều kiện thầy cô khoa tốn trường ĐHSP Hà Nội Vì tơi xin cam đoan nội dung đề tài "Một số tính chất liên quan đến phổ phần tử đại số Banach" khơng có trùng lặp với đề tài khác Trong thực khóa luận tơi sử dụng tham khảo thành tựu nhà khoa học với lòng biết ơn trân trọng Hà Nội, ngày 29 tháng 05 năm 2013 Sinh viên Đỗ Thị Liên Mục lục Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Tốn tử tuyến tính bị chặn 1.2 1.3 1.4 1.5 Không gian định chuẩn Không gian Banach Định lý Hahn - Banach 10 Định lý Liouville 12 Định lý Banach - Steinhauss 13 1.6 Phổ tốn tử tuyến tính bị chặn không gian Banach 14 1.6.1 Định nghĩa phổ toán tử 1.6.2 Một số định lý 14 15 Chương Đại số Banach Phổ đại số Banach 20 2.1 Đại số Banach 20 2.1.1 Định nghĩa Đại số 2.1.2 Định nghĩa (Đại số Banach, chuẩn đại số) 20 21 2.2 Nhóm tuyến tính tổng quát A 22 2.3 Phổ phần tử đại số Banach 24 2.4 Bán kính phổ 27 LỜI MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Giải tích hàm ngành tốn học xây dựng vào khoảng nửa đầu kỉ XX, xem ngành tốn học cổ điển Nội dung hợp lý thuyết tổng quát xuất phát từ việc mở rộng số khái niệm kết giải tích, đại số Trong q trình phát triển từ đến nay, Giải tích hàm tích lũy nội dung phong phú, bao gồm: - Lý thuyết không gian trừu tượng (không gian metric, không gian định chuẩn, không gian tôpô khơng gian vectơ tơpơ); - Lý thuyết tốn tử tuyến tính; - Lý thuyết tốn cực trị, giải tích hàm phi tuyến, giải gần phương trình tốn tử; - Lý thuyết nội suy tốn tử, giải tích hàm ngẫu nhiên; Những phương pháp, kết mẫu mực tổng quát Giải tích hàm xâm nhập vào tất ngành toán học, có liên quan có sử dụng đến cơng cụ giải tích khơng gian vectơ Ngồi cịn có ứng dụng vật lý lý thuyết số lĩnh vực kĩ thuật Sự xâm nhập mặt mở chân trời nghiên cứu rộng lớn cho ngành tốn học nói trên, mặt khác đề cho ngành giải tích hàm phải đúc kết kết ngành tốn học riêng rẽ để chừng mực đề xuất mẫu toán học tổng quát trừu tượng Với mong muốn nghiên cứu tìm hiểu sâu môn bước đầu tiếp cận với công việc nghiên cứu khoa học, em chọn đề tài "Một số tính chất liên quan đến phổ phần tử đại số Banach" Mục đích nghiên cứu Q trình thực đề tài giúp em bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học tìm hiểu sâu sắc mơn giải tích hàm, đặc biệt tìm hiểu "Một số tính chất liên quan đến phổ phần tử đại số Banach” Đối tượng phạm vi nghiên cứu Khóa luận tập trung nghiên cứu phổ phần tử đại số Banach bán kính phổ số tính chất liên quan đến phổ phần tử Nhiệm vụ nghiên cứu Đề tài nghiên cứu nhằm sâu khai thác làm bật số tính chất liên quan đến phổ phần tử đại số Banach 5 Các phương pháp nghiên cứu - Phương pháp suy luận logic - Phương pháp phân tích, tổng hợp đánh giá Cấu trúc khóa luận Bố cục khóa luận bao gồm chương : • Chương : Một số kiến thức chuẩn bị • Chương : Đại số Banach, phổ đại số Banach Do thời gian thực khóa luận khơng nhiều, kiến thức cịn hạn chế nên làm khóa luận em khơng tránh khỏi hạn chế sai sót Em mong nhận góp ý ý kiến phản biện thầy cô bạn Em xin chân thành cảm ơn! Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Toán tử tuyến tính bị chặn Định nghĩa 1.1.1 Cho khơng gian tuyến tính X Y trường P(P = R P = C) Ánh xạ A từ không gian X vào không gian Y gọi tuyến tính ánh xạ A thỏa mãn điều kiện: 1)(∀x′ , x′′ ∈ X)A(x′ + x′′ ) = Ax′ + Ax′′ ; 2)(∀x ∈ X)(∀α ∈ P)A(αx) = α(Ax) Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính tốn tử tuyến tính Khi tốn tử A thỏa mãn điều kiện 1) A gọi tốn tử cộng tính, cịn A thỏa mãn điều kiện 2) A gọi tốn tử Khi Y = P tốn tử tuyến tính thường gọi phiếm hàm tuyến tính Định nghĩa 1.1.2 Cho hai khơng gian định chuẩn X Y Tốn tử tuyến tính A từ không gian X vào không gian Y gọi bị chặn (∃C ≥ 0)(∀x ∈ X)||Ax|| ≤ C.||x|| (1.1.1) Định nghĩa 1.1.3 Cho A tốn tử tuyến tính bị chặn từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y Hằng số C ≥ nhỏ thỏa mãn hệ thức (1.1.1) gọi chuẩn tốn tử A kí hiệu ||A|| Từ định nghĩa dễ dàng nhận thấy, chuẩn toán tử A có tính chất: 1)(∀x ∈ X)||Ax|| ≤ ||A||.||x||; 2)(∀ε > 0)(∃xε ∈ X)(||A|| − ε)||xε || < ||Axε || Định lý 1.1.1 Cho tốn tử tuyến tính từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y Ba mệnh đề sau tương đương: 1)A liên tục; 2)A liên tục điểm x0 ∈ X; 3)A bị chặn Định lý 1.1.2 Cho toán tử tuyến tính A từ khơng gian định chuẩn X vào khơng gian định chuẩn Y Nếu tốn tử A bị chặn ||A|| = sup ||Ax|| ||x||≤1 ||A|| = sup ||Ax|| ||x||=1 Định lý 1.1.3 Toán tử tuyến tính A ánh xạ khơng gian định chuẩn X lên khơng gian định chuẩn Y , có tốn tử ngược liên tục A−1 (∃α > 0)(∀x ∈ X)||Ax|| ≥ α||x|| Khi ||A−1 || ≤ 1.2 α Không gian định chuẩn Không gian Banach Định nghĩa 1.2.1 (Định nghĩa không gian định chuẩn) Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn) khơng gian tuyến tính X trường P(P = R P = C) với ánh xạ từ X vào tập số thực R, ký hiệu || · || đọc chuẩn, thỏa mãn tiên đề sau đây: 1)(∀x ∈ X)||x|| ≥ 0, ||x|| = ⇔ x = θ (ký hiệu phần tử không θ ); 2)(∀x ∈ X), (∀α ∈ P), ||αx|| = |α| ||x||; 3)(∀x, y ∈ X), ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| Số ||x|| gọi chuẩn vectơ x Ta ký hiệu không gian định chuẩn X Các tiên đề 1), 2), 3) gọi hệ tiên đề chuẩn Định lý 1.2.1 Cho không gian định chuẩn X Đối với hai vectơ x, y ∈ X ta đặt d(x, y) = ||x − y|| (1.2.2) Khi d metric X Chứng minh định lý dễ dàng suy từ hệ tiên đề chuẩn hệ tiên đề tuyến tính Nhờ định lý (1.2.1), khơng gian định chuẩn trở thành không gian metric với metric (1.2.2) Định nghĩa 1.2.2 Dãy điểm (xn ) không gian định chuẩn X gọi hội tụ tới điểm x ∈ X, lim ||xn − x|| = n→∞ Ký hiệu lim xn = x n→∞ hay xn −→ x(n → ∞) Dựa vào định nghĩa dễ dàng chứng minh số tính chất đơn giản sau đây: 1) Nếu dãy (xn ) hội tụ tới x, dãy chuẩn (||xn ||) hội tụ tới ||x|| Hay nói cách khác, chuẩn || · || hàm giá trị thực liên tục theo biến x 2) Nếu dãy điểm (xn ) hội tụ khơng gian định chuẩn X, dãy chuẩn tương ứng (||xn ||) bị chặn 3) Nếu dãy điểm (xn ) hội tụ tới x, dãy điểm (yn ) hội tụ tới y không gian định chuẩn X, dãy số (αn ) hội tụ tới số α, xn + yn −→ x + y(n → ∞), αn xn −→ αx(n → ∞) Định nghĩa 1.2.3 Dãy điểm (xn ) không gian định chuẩn X gọi dãy bản, lim ||xn − xm || = m,n→∞ Định nghĩa 1.2.4 Không gian định chuẩn X gọi không gian Banach, dãy X hội tụ Nhờ nguyên lý làm đầy không gian metric metric (1.2.2) không gian định chuẩn khơng khơng gian Banach làm đầy thành không gian Banach Người xây dựng lý thuyết khơng gian định chuẩn Banach (nhà tốn học Ba Lan) trọng nhiều không gian đủ (đầy), nên người ta thường gọi không gian định chuẩn đủ không gian Banach Một không gian định chuẩn X khơng đủ bổ sung (thêm phần tử mới) thành không gian Banach Định lý 1.6.2 Cho A toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ khơng gian Banach X vào số λ ∈ P thỏa mãn điều kiện |λ | > ||A|| Khi số λ giá trị quy tốn tử A tốn tử giải Rλ có biểu diễn dạng: Ak −1 ∞ Rλ = (A − λ I)−1 = ∑ λk λ k=0 1 A), || A|| = ||A|| < 1, |λ | λ λ (∀λ ∈ P, |λ | > ||A||) nên điều kiện định lý (1.6.1) thỏa mãn, tồn toán tử ngược Rλ = (A − λ I)−1 xác định bị chặn tồn khơng gian X, nghĩa số λ giá trị quy tốn tử A Vì | | < 1, λ k k ||( A) || ≤ || A|| , (k = 0, 1, 2, ) nên chuỗi λ λ Chứng minh Ta có A − λ I = −λ (I − ∞ ∑ ||( λ A)k || k=0 hội tụ Từ từ tính đủ khơng gian I(X, X) suy chuỗi ∞ Ak ∑ k k=0 λ hội tụ không gian I(X, X) Với số tự nhiên n = 1, 2, ta có n n A n Ak Ak Ak+1 Ak A An+1 (I − ) ∑ k = ∑ k (I − ) = ∑ ( k − k+1 ) = I − n+1 λ k=0 λ λ λ λ k=0 λ k=0 λ A n+1 An+1 A n+1 || ≤ || || lim || || = nên chuyển qua giới hạn n→∞ λ n+1 λ λ đẳng thức theo chuẩn không gian I(X, X) n −→ ∞ ta || ∞ ∞ Ak Ak (I − A) ∑ k = ∑ k (I − A) = I λ k=0 λ λ k=0 λ ⇒ −λ (I − −1 ∞ Ak A)( )∑ k =I λ λ k=0 λ 17 Vì vậy: Rλ = (A − λ I)−1 = −1 ∞ Ak ∑ λk λ k=0 Định lý chứng minh [1] trang [166] Định lý 1.6.3 Nếu A toán tử compact tác dụng khơng gian Banach X với số ∀α > tốn tử A có hữu hạn vectơ riêng độc lập tuyến tính tương ứng với giá trị riêng λ mà |λ | ≥ α Chứng minh Giả sử tốn tử compact A có dãy vơ hạn vectơ riêng độc lập tuyến tính (xn ) tương ứng với dãy giá trị riêng (λn ) mà |λn | ≥ α với n = 1, 2, Ta kí hiệu Xn khơng gian đóng sinh vectơ độc lập tuyến tính x1 , x2 , , xn (n ∈ N ∗ ) Theo định lý khơng gian đóng khơng gian định chuẩn, với số tự nhiên n = 1, 2, 3, , tồn phần tử yn ∈ Xn , ||yn || = cho d(yn , Xn−1 ) = inf ||yn − x|| > x∈Xn−1 yn yn Khi đó, dãy ( )bị chặn, dãy (A ) không chứa dãy hội tụ λn λn Thật vậy, giả sử: n yn = ∑ ak xk k=1 thì: n yn ak Axk n−1 ak λk A =∑ =∑ xk + an xn = yn + zn λn k=1 λn λ n k=1 n−1 zn = λk ∑ ak ( λn − 1)xk ∈ Xn−1 (n = 1, 2, ) k=1 Với hai số tự nhiên p, q; p > q ta có: ||A yq yp − A || = ||y p + z p − (yq + zq )|| = ||y p − (yq + zq − z p )|| > λp λq 18 Trong yq +zq −z p ∈ X p−1 Bất đẳng thức mâu thuẫn với tính compact tốn tử A Vì vậy, có hữu hạn vectơ riêng độc lập tuyến tính tương ứng với giá trị riêng λ mà |λ | ≥ α Định lý chứng minh [1] trang [167] 19 Chương Đại số Banach Phổ đại số Banach 2.1 Đại số Banach 2.1.1 Định nghĩa Đại số Ta gọi đại số C không gian vectơ phức A với phép tốn hai ngơi (·) : A × A −→ A (x, y) → xy thỏa mãn: (1) với α, β ∈ C với mọix, y, z ∈ A ta có: (αx + β y)z = αxz + β yz; x(αy + β z) = αxy + β xz (2) x(yz) = (xy)z với x, y, z ∈ A Một đại số phức A có nhiều phép nhân khác nhau, chẳng hạn ta có x.y = với x, y Nếu A có phần tử a thỏa mãn a.x = x.a, ∀x ∈ A A gọi phần tử đơn vị thường kí hiệu Phép nhân A gọi giao hoán x.y = y.x, ∀x, y ∈ A 20 2.1.2 Định nghĩa (Đại số Banach, chuẩn đại số) Định nghĩa 2.1.1 Đại số chuẩn cặp (A, || · ||) xác định A, || · || : A → [0, ∞) ánh xạ thỏa mãn ||xy|| ≤ ||x||.||y||, x, y ∈ A Một đại số Banach đại số chuẩn (A, || · ||) cho A với || · || không gian Banach Chú ý 2.1.1 Một khơng gian tuyến tính định chuẩn E không gian Banach tất dãy chúng hội tụ Một cách xác E đầy đủ tất dãy xn ∈ E thỏa mãn ∑ ||xn || < ∞ n có phần tử y ∈ E mà lim ||y − (x1 + x2 + + xn )|| = n→∞ Ví dụ 2.1 Cho E khơng gian Banach A đại số B(E) tất hàm bị chặn E, x · y phép nhân hai tốn tử hàm đó, đại số Banach với đơn vị ||1|| = 1, E khơng gian Banach Ví dụ 2.2 Cho X không gian Hausdorff Compact, C(X) đại số hàm phức liên tục X với phép cộng(+) phép nhân(.) xác định : f · g(x) = f (x) · g(x) ( f + g)(x) = f (x) + g(x) Với chuẩn C(X) xác định || f || = sup | f (x)| x∈X Thế ta có C(X) đại số Banach với đơn vị f = Chẳng hạn X đoạn [−1, 1] Ta có đại số Banach C[−1,1] không gian hàm liên tục [−1, 1] Định lý 2.1.1 Với nhóm Compact địa phương G tồn độ đo Radon khác 0, µ G cho µ(x · E) = µ(E) Với tập Borel E ta thiết lập x ∈ G Nếu ν độ đo khác tồn c > cho ν(E) = c · µ(E) với tập Borel E 21 Nhận xét: Ta thấy tính chất đại số L1 (G) với chuẩn || f || = | f (t)|dx, G với f ∈ L1 (G) Tương tự tính chất L1 (Z) L1 (R) (1) Nếu f , g ∈ L1 (G) f ∗ g ∈ L1 (G) có || f ∗ g|| ≤ || f ||.||g|| (2)L1 (G) đại số Banach (3)L1 (G) giao hoán G nhóm giao hốn (4)L1 (G) có đơn vị G nhóm riêng biệt 2.2 Nhóm tuyến tính tổng qt A Định nghĩa 2.2.1 Phần tử khả nghịch Cho A đại số Banach với đơn vị 1, kết trước ta có ||1|| = Một phần tử x ∈ A gọi khả nghịch có phần tử y ∈ A cho xy = yx = Chú ý 2.2.1 Nếu x phần tử A cho x có phần tử khả nghịch bên trái phần tử khả nghịch bên phải, nghĩa có phần tử y1 , y2 ∈ A cho xy1 = y2 x = ta có x khả nghịch Và y1 = y2 , y2 = y2 = y2 xy1 = 1.y1 = y1 Thật rõ ràng ta có y2 = y2 · = y2 xy1 = · y1 = y1 Định nghĩa 2.2.2 Nhóm tuyến tính tổng quát A Ta gọi A−1 tập hợp tất phần tử khả nghịch A, ta có A−1 nhóm, nhóm thường gọi nhóm tuyến tính tổng qt đại số Banach có đơn vị A Định lý 2.2.1 Nếu x phần tử A thỏa mãn ||x|| < − x khả nghịch phần tử nghịch đảo x biểu diễn chuỗi hội tụ tuyệt đối (1 − x)−1 = + x + x2 + 22 Hơn ta có ||(x − λ )−1 || ≤ − ||x|| ||1 − (1 − x)−1 || ≤ (2.2.1) ||x|| − ||x|| (2.2.2) Chứng minh Từ ||xn || ≤ ||x||n với n = 1, 2, Chúng ta xác định phần tử z ∈ A xác định ∞ z= ∑ xn (2.2.3) n=0 Điều chuỗi (2.2.3) hội tụ Chúng ta có: ∞ z(1 − x) = (1 − x)z = lim (1 − x) ∑ xk = lim (1 − xN+1 ) = N→∞ k=1 N→∞ Suy − x khả nghịch (1 − x)−1 = z Từ bất đẳng thức (2.2.1) ta có: ∞ ||x|| ≤ ∑ ||x || ≤ ∑ ||x||n = − ||x|| n=0 Từ ∞ n n=0 ∞ − z = − ∑ xn = −xz, n=0 ta có ||1 − z|| ≤ ||x|| · ||z|| (2.2.1) tương đương (2.2.2) Định lý chứng minh [7] trang [14] Hệ 2.2.1 A−1 tập mở A x → x−1 ánh xạ liên tục từ A−1 vào Chứng minh Ta thấy A−1 mở Chọn phần tử khả nghịch x0 h tùy ý thuộc A Ta có x0 + h = x0 (1 + x0 −1 h) Nếu ||x0 −1 h|| < theo định lý trước x0 + h khả nghịch Đặc biệt ||h|| < ||x0 −1 ||−1 x0 + h khả nghịch ||h|| đủ nhỏ 23 Giả sử ta chọn h thỏa mãn ta có: (x0 + h)−1 − x0 −1 = (x0 (1 + x0 −1 h))−1 − x0 −1 = [(1 + x0 −1 h))−1 − 1].x0 −1 Vì ||h|| < ||x0 −1 ||−1 nên ||(x0 + h)−1 − x0 −1 = || ≤ ||(1 + x0 −1 h))−1 − 1||.||x0 −1 || ≤ ||x0 −1 h||.x0 −1 || − ||x0 −1 h|| Và số hạng cuối giá trị tiến tới khơng ||h|| −→ Định lý chứng minh [7] trang [15] Hệ 2.2.2 A−1 nhóm tơpơ nhóm tơpơ chuẩn nó, nghĩa là: (1)(x, y) ∈ A−1 × A−1 → xy ∈ A−1 liên tục, (2)x ∈ A−1 → x−1 ∈ A−1 liên tục 2.3 Phổ phần tử đại số Banach Trong phần ta kí hiệu A đại số Banach với đơn vị 1, ||1| | = A đại số B(E) toán tử bị chặn không gian Banach phức E Cho x ∈ A λ ∈ C ta thường viết x − λ thay cho x − λ Định nghĩa 2.3.1 Với phần tử x ∈ A, phổ x định nghĩa tập: σ (x) = λ ∈ C : x − λ ∈ A−1 Chúng ta phát triển thuộc tính phổ ln tập Compact Định lý 2.3.1 Với x ∈ A , σ (A) tập đóng tập hợp: {Z ∈ C : |Z| ≤ ||x||} Chứng minh Phần bù phổ tập hợp xác định C\σ (x) = λ ∈ C : x − λ ∈ A−1 Vì A−1 mở ánh xạ λ ∈ C → x − λ ∈ A liên tục nên phần bù σ (x) tập mở Thật ta chứng minh với λ ∈ C mà |λ | > ||x|| λ ∈ σ (x) Do x−λ = (−λ )(1−λ −1 x) ||λ −1 x|| < nên suy x−λ khả nghịch Sau ta chứng minh kết Gelfand Định lý chứng minh [7] trang [16] 24 Định lý 2.3.2 σ (x) = 0/ với x ∈ A / A hàm f (λ ) = (x − λ )−1 Chứng minh Ta chứng minh σ (x) = 0, bị chặn hội tụ tới λ → ∞ Với λ0 ∈ σ (x) (x − λ )−1 xác định với λ đủ gần λ0 σ (x) tập đóng Ta rằng: [(x − λ )−1 − (x − λ0 )−1 ] = (x − λ0 )−2 λ →λ0 λ − λ0 lim (2.3.4) Trong không gian tơpơ sinh chuẩn A Thật vậy, ta có: (x − λ )−1 − (λ − λ0 )−1 = (x − λ )−1 [(x − λ0 ) − (x − λ )](x − λ0 )−1 = (x − λ0 )(x − λ )−1 (x − λ0 )−1 Chia hai vế cho λ − λ0 ta được: (x − λ )−1 − (x − λ0 )−1 = (x − λ )−1 (x − λ0 )−1 λ − λ0 Cho λ → λ0 ta suy cơng thức (2.3.4) Giả sử ngược lại σ (x) = 0/ ta chọn ρ tốn tử tuyến tính bị chặn tùy ý A xét hàm f (λ ) = ρ((x − λ )−1 ), f (λ ) xác định hầu khắp nơi C khả vi phức khắp nơi C đồng thời f ′ (λ ) = ρ((x − λ )−2 ) f hàm nguyên Tiếp theo f bị chặn, |λ | > ||x|| ||(x − λ )−1 || = ||(1 − λ −1 x)−1 || |λ | Khi ta có (||(x − λ )−1 ||) ≤ |λ | (1 − 25 ||x|| ) |λ | = |λ | − ||x|| suy ||(x − λ )−1 || −→ |λ | → ∞ Điều chứng tỏ hàm λ → ||(x − λ )−1 || triệt tiêu ∞ Từ ta suy f hàm nguyên bị chặn, đó, theo định lý Liouville f số Do f = ∞ nên suy f = với λ ∈ C Từ ta có ρ((x − λ )−1 ) = 0, ∀λ ∈ C với phiếm hàm tuyến tính bị chặn ρ Theo định lý Hahn - Banach ta suy (x − λ )−1 = 0, ∀λ ∈ C Mặt khác, (x − λ )−1 lại khả nghịch, điều suy mâu thuẫn, mâu / thuẫn chứng tỏ σ (x) = Định lý chứng minh [7] trang [17] Định nghĩa 2.3.2 A gọi đại số chia C A có đơn vị mà phần tử khác không A khả nghịch Định nghĩa 2.3.3 Hai đại số A B gọi đẳng cấu có ánh xạ đẳng cấu θ : A −→ B cho θ đẳng cấu với cấu trúc đại số A có số a, b cho a||x|| ≤ ||θ (x)|| ≤ b||x|| với x ∈ A Hệ 2.3.1 Mọi đại số Banach chia đẳng cấu với đại số C Chứng minh Xét ánh xạ θ : C −→ A xác định θ (λ ) = λ Ta có θ đẳng cấu từ C tới C1, với C1 = {λ : λ ∈ C} Suy toàn ánh lên A Nhưng ∀x ∈ A ta suy tồn λ ∈ σ (x) (theo định lý Gelfand) Do x − λ khơng khả nghịch, mà A đại số chia nên x − λ = Suy x = θ (λ ) Định lý chứng minh [7] trang [17] Ví dụ 2.3 Có nhiều đại số chia được, đặc biệt đại số giao hoán, p(z) với z ∈ C p, q chẳng hạn đại số hàm có dạng r(z) = q(z) đa thức, với q = Hoặc đại số chuỗi Laurent có dạng: ∞ ∑ an zn , −∞ 26 với (an ) dãy vô hạn số phức an = với n đủ lớn 2.4 Bán kính phổ Trong mục A kí hiệu cho đại số Banach với đơn vị ||1|| = Định nghĩa 2.4.1 Với x ∈ A bán kính phổ x xác định công thức: r(x) = sup {|λ | : λ ∈ σ (x)} Chú ý 2.4.1 Do phổ x bị chứa đĩa tròn có tâm gốc bán kính ||x||, từ suy r(x) ≤ ||x|| Và ta có r(λ (x)) = |λ | r(x) với λ ∈ C Chứng minh Những giả thiết sau yêu cầu cho định lý ánh xạ phổ x ∈ A f đa thức thì: f (σ (x)) ⊆ σ ( f (x)) (2.4.5) Thật vậy, cố định λ ∈ σ (x) Do ánh xạ z → f (z) − f (λ ) đa thức z = λ , nên suy tồn đa thức g cho f (z) − f (λ ) = (z − λ )g(z) Từ ta có f (x) − f (λ )1 = (x − λ )g(x) = g(x)(x − λ ) suy f (x) − f (λ )1 không khả nghịch trái phải Vậy suy f (λ ) ∈ σ ( f (x)) kết cuối Cuối cùng, ta có: n n r(x) ≤ inf ||x | | , n≥1 (2.4.6) với x ∈ A Thật với λ ∈ σ (x), từ công thức (2.4.5) suy λ n ∈ σ (xn ) Vậy nên |λ |n = |λ n | ≤ r(xn ) ≤ ||xn || Suy r(x)n ≤ ||xn || Suy r(x) ≤ n ||xn || với n Từ ta có điều phải chứng minh 27 Định lý 2.4.1 Với x ∈ A có lim ||xn | | n = r(x) n→∞ Nghĩa giới hạn bên trái tồn có giá trị r(x) Chứng minh Từ (2.4.6) ta có r(x) ≤ lim inf ||xn | | n n đủ để chứng tỏ lim sup ||xn | | n ≤ r(x) (2.4.7) n→∞ Ta cần xét trường hợp x = Để chứng minh (2.4.7) ta chọn λ ∈ C thỏa mãn |λ | < (khi r(x) = 0, λ chọn tùy ý) Ta dãy: r(x) {(λ x)n : n = 1, 2, } bị chặn Thật theo định lý Banach - Steinhaus tốn tử tuyến tính bị chặn ρ A, ta có |ρ(xn )λ n | = |ρ((λ x)n )| ≤ Mρ < ∞, n = 1, 2, , với Mρ phụ thuộc vào ρ Cuối ta xét hàm phức f xác định tập z ∈ C : |z| < công thức r(x) theo f (z) = ρ((1 − zx)−1 ) Dễ thấy f hàm giải tích, với |z| < ta khai triển (1 − zx)−1 ||x|| thành chuỗi hội tụ + zx + (zx)2 + Ta có ∞ f (z) = ∑ ρ(xn )zn n=0 28 (2.4.8) Mặt khác, tập rộng R = z : < |z| < r(x) Ta có: f (z) = ρ((z−1 − x)−1 ) z từ suy f giải tích R, từ cơng thức (2.4.8) suy f giải tích miền z : |z| < r(x) Với miền nhỏ z : |z| < , công thức (2.4.8) cho ta bậc biểu ||x| | diễn hàm f Mặt khác, f giải tích z : |z| < r(x) r(x) Do đó, ta thay z = λ vào cơng thức (2.4.8) ta chuỗi hội tụ Và suy biểu thức ρ(xn )λ n dãy bị chặn tồn số Tiếp theo với λ thỏa mãn < |λ | < r(x) M = Mλ cho |λ |n ||x| |n = ||λ x| |n ≤ M với n = 1, 2, Từ suy ra: Từ suy chuỗi (2.4.8) phải hội tụ tới f (z) với |z| < 1 Mn lim sup ||xn | | n ≤ lim sup = n→∞ n→∞ |λ | |λ | ta có định lý chứng minh r(x) Định lý chứng minh [7] trang [19] Cho |λ | dần tới 29 KẾT LUẬN Trong khóa luận em đưa nội dung liên quan đến phổ toán tử - nội dung giải tích hàm Đặc biệt tính chất liên quan đến phổ phần tử đại số Banach Đóng góp khóa luận bao gồm: Tìm hiểu trình bày khơng gian Banach, phổ tốn tử Đề cập đến đại số Banach, phổ phần tử bán kính đại số Banach Qua khóa luận "Một số tính chất liên quan phổ phần tử đại số Banach" thân em lĩnh hội thêm tri thức giải tích hàm mơn có tầm quan trọng đặc biệt toán học toán học ứng dụng Tuy nhiên thời gian thực không nhiều kiến thức cịn hạn chế nên khơng tránh khỏi sai sót, em mong nhận góp ý thầy bạn sinh viên để khóa luận hoàn thiện Cuối em xin chân thành cảm ơn công lao dạy dỗ thầy cô khoa toán trường ĐHSP Hà Nội 2, đặt biệt giúp đỡ bảo tận tình thầy TS TẠ NGỌC TRÍ giúp em hồn thành khóa luận 30 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Phụ Hy, Giải tích hàm, NXB khoa học kỹ thuật (2006) 178 trang [2] Nguyễn Phụ Hy, Hoàng Ngọc Tuấn, Nguyễn Văn Tuyên Bài tập giải tích hàm, NXB khoa học kỹ thuật (2007) 180 trang [3] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải, Cơ sở lý thuyết hàm giải tích hàm tập II, NXB giáo dục,(2001) [4] Hồng Tụy, Hàm thực giải tích hàm, NXB ĐHQG Hà Nội,(2005) [5] Eberhard Zeidler, Applind Functional Analysis Applications to Mathematical Phisics, NXB SpringerVerlag Germany (1988) [6] H.Schaefor , Topological Vector Spaces, Springer - Verlag (1971) [7] William Arveson , A Short Course On Spectral Theory, Springer (2001) 31 ... "Một số tính chất liên quan đến phổ phần tử đại số Banach? ?? Đối tượng phạm vi nghiên cứu Khóa luận tập trung nghiên cứu phổ phần tử đại số Banach bán kính phổ số tính chất liên quan đến phổ phần. .. hiểu trình bày khơng gian Banach, phổ toán tử Đề cập đến đại số Banach, phổ phần tử bán kính đại số Banach Qua khóa luận "Một số tính chất liên quan phổ phần tử đại số Banach" thân em lĩnh hội... dần tới 29 KẾT LUẬN Trong khóa luận em đưa nội dung liên quan đến phổ toán tử - nội dung giải tích hàm Đặc biệt tính chất liên quan đến phổ phần tử đại số Banach Đóng góp khóa luận bao gồm: Tìm