Trong phần này ta kí hiệu A là đại số Banach với đơn vị là 1, ||1| | =1.
Alà một đại sốB(E) các toán tử bị chặn trên không gian Banach phứcE. Chox∈ Avàλ ∈Cta thường viếtx−λ thay cho x−λ1.
Định nghĩa 2.3.1. Với mỗi phần tửx∈A, phổ củaxđược định nghĩa là tập:
σ(x) =
λ ∈C:x−λ 6∈A−1 .
Chúng ta sẽ phát triển các thuộc tính cơ bản của phổ đầu tiên nó luôn là tập Compact.
Định lý 2.3.1. Với mỗi x∈A ,σ(A) là một tập con đóng của tập hợp:
{Z ∈C:|Z| ≤ ||x||}
Chứng minh. Phần bù của phổ là tập hợp xác định bởi
C\σ(x) =
λ ∈C:x−λ ∈A−1 .
VìA−1 mở và ánh xạ λ ∈C7→x−λ ∈Aliên tục nên phần bù của σ(x)
là tập mở.
Thật vậy ta sẽ chứng minh với mọi λ ∈Cmà |λ|>||x||thìλ 6∈σ(x). Dox−λ = (−λ)(1−λ−1x)và||λ−1x||<1nên suy rax−λ khả nghịch. Sau đây ta sẽ đi chứng minh một kết quả của Gelfand.
Định lý 2.3.2. σ(x)6= /0với mọi x∈ A.
Chứng minh. Ta sẽ chứng minh nếuσ(x) = /0,A thì hàm f(λ) = (x−λ)−1
là bị chặn và hội tụ tới0khiλ →∞.
Với mọi λ0 6∈σ(x) thì(x−λ)−1 xác định với mọi λ đủ gầnλ0 doσ(x)
là tập đóng. Ta sẽ chỉ ra rằng: lim λ→λ0 1 λ −λ0[(x−λ)−1−(x−λ0)−1] = (x−λ0)−2 (2.3.4) Trong không gian tôpô sinh bởi chuẩn củaA.
Thật vậy, ta có:
(x−λ)−1−(λ −λ0)−1 = (x−λ)−1[(x−λ0)−(x−λ)](x−λ0)−1 = (x−λ0)(x−λ)−1(x−λ0)−1.
Chia cả hai vế choλ−λ0 ta được:
(x−λ)−1−(x−λ0)−1
λ −λ0 = (x−λ)−1(x−λ0)−1
Choλ →λ0 thì ta suy ra công thức (2.3.4).
Giả sử ngược lại σ(x) = /0 ta chọn ρ là toán tử tuyến tính bị chặn tùy ý trênA và xét hàm
f(λ) =ρ((x−λ)−1),
thì f(λ) xác định hầu khắp nơi trên C và khả vi phức khắp nơi trên C
đồng thời
f′(λ) =ρ((x−λ)−2)
do đó f là hàm nguyên.
Tiếp theo f là bị chặn, thật vậy nếu |λ|>||x||thì ||(x−λ)−1||= 1 |λ|||(1−λ −1x)−1||. Khi đó ta có (||(x−λ)−1||) ≤ 1 |λ|(1− ||x|| |λ| ) = 1 |λ| − ||x||
và suy ra||(x−λ)−1|| −→0khi|λ| →∞. Điều đó chứng tỏ hàm
λ 7→ ||(x−λ)−1|| triệt tiêu tại∞.
Từ đó ta suy ra f là hàm nguyên bị chặn, do đó, theo định lý Liouville thì f là hằng số. Do f =0tại∞nên suy ra f =0với mọiλ ∈C.
Từ đó ta cóρ((x−λ)−1) =0,∀λ ∈Cvà với mọi phiếm hàm tuyến tính bị chặnρ. Theo định lý Hahn - Banach ta suy ra(x−λ)−1 =0,∀λ ∈ C.
Mặt khác, (x−λ)−1 lại khả nghịch, điều này suy ra mâu thuẫn, mâu thuẫn này chứng tỏσ(x)6= /0.
Định lý được chứng minh trong [7] trang [17].
Định nghĩa 2.3.2. Ađược gọi là đại số chia được trên Cnếu Acó đơn vị là
1mà mọi phần tử khác không trongA đều khả nghịch.
Định nghĩa 2.3.3. Hai đại số A vàB được gọi là đẳng cấu nếu có một ánh xạ đẳng cấuθ :A−→Bsao cho θ là đẳng cấu với cấu trúc đại số trên Avà có các hằng sốa,bsao cho
a||x|| ≤ ||θ(x)|| ≤b||x||
với mọix∈A.
Hệ quả 2.3.1. Mọi đại số Banach chia được đều đẳng cấu với đại sốC
Chứng minh. Xét ánh xạ θ :C−→Axác định bởi θ(λ) =λ1. Ta cóθ là đẳng cấu từ CtớiC1, với
C1={λ1 :λ ∈C}. Suy ra là toàn ánh lênA.
Nhưng ∀x∈ A ta suy ra tồn tại λ ∈σ(x) (theo định lý Gelfand). Do đó
x−λ không khả nghịch, màA là đại số chia được nênx−λ =0. Suy rax=θ(λ).
Định lý được chứng minh trong [7] trang [17]
Ví dụ 2.3. Có rất nhiều đại số chia được, đặc biệt là đại số giao hoán, chẳng hạn như đại số các hàm có dạng r(z) = p(z)
q(z) với z ∈ C và p,q là những đa thức, vớiq6=0. Hoặc đại số các chuỗi Laurent có dạng:
∞ ∑
−∞ anzn,
với(an) là dãy vô hạn các số phức vàan =0vớinđủ lớn.