Phổ của một phần tử trong đại số banach

MC LC Phn m u Chng 1: Nhng kin thc chun b 1.1 Ngun gc ca lý thuyt ph 1.2 Ph ca mt toỏn t 1.3 i s Banach 1.4 Nhúm tuyn tớnh tng quỏt A 10 1.5 nh lớ Hahn-Banach 12 1.6 nh lớ Liouvelle 15 1.7 nh lớ Banach-Steinhauss 16 Chng 2: Ph ca mt phn t i s Banach 18 Chng 3: Bỏn kớnh ph 22 Phn kt lun 26 Ti liu tham kho 27 LI CM N Em xin by t lũng bit n sõu sc ti thy hng dn khoa hc Tin s T NGC TR thy ó tn tỡnh giỳp v nghiờm khc hng dn em em cú th hon thnh c khúa lun ny Trong quỏ trỡnh hc tp, trng thnh v c bit l giai on thc hin khúa lun,em nhn c s dy d õn cn, nhng li ng viờn v ch bo ca cỏc thy cụ Qua õy cho phộp em c by t s bit n chõn thnh n cỏc thy, cụ giỏo t gii tớch, khoa toỏn trng HSP H Ni Xin cm n cỏc bn nhúm chuyờn Gii tớch li nhng ngi ó cựng tụi san s nhng kin thc, hun ỳc quyt tõm v cụng tỏc hiu qu quỏ trỡnh thc hin khúa lun ny Em xin chõn thnh cỏm n! H Ni Ngy 01 thỏng 05 nm 2012 SV thc hin LNG TH TON LI CAM OAN Khúa lun ny l nhng nghiờn cu ca em di s hng dn tn tỡnh nghiờm khc ca thy T NGC TR bờn cnh ú em c s quan tõm, to iu kin ca cỏc thy cụ khoa toỏn trng HSP H Ni Vỡ vy em xin cam oan ni dung ca ti Ph ca mt phn t i s Banachkhụng cú s trựng lp vi cỏc ti khỏc nu sai em xin chu hon ton trỏch nhim H Ni Ngy 01 thỏng 05 nm 2012 SV thc hin LNG TH TON PHN M U Lý chn ti Sau nm hc i hc, b mụn gii tớch ó thc s cun hỳt i vi em mc dự nú l b mụn khụng phi l d dng tip cn, cỏc i tng gii tớch l cỏc i tng cú tớnh cht ch v mang tớnh tru tng húa cao Lý thuyt hm v gii tớch hm cú tm quan trng c bit i vi toỏn hc c bn v toỏn hc ng dng, ni dung ca nú rt phong phự v a dng Do kin thc trờn lp vi lng thi gian ớt nờn khú cú th i sõu nghiờn cu mt no ú ca gii tớch hm, vi mong mun c tỡm hiu sõu hn v b mụn ny di gúc mt sinh viờn s phm toỏn v pham vi ca mt khúa lun tt nghip, cựng vi s giỳp ca thy giỏo tin s T Ngc Trớ em xin mnh dn nờu lờn nhng hiu bit ca mỡnh v ti Ph ca mt phn t i s Banach Mc ớch nghiờn cu Quỏ trỡnh thc hin ti, ó giỳp em bc u lm quen vi vic nghiờn cu khoa hc v tỡm hiu sõu sc hn v b mụn gii tớch hm, c bit l tỡm hiu sõu hn v Ph ca mt phn t i s Banach i tng v phm vi nghiờn cu Nghiờn cu v ph ca mt phn t i s Banach bỏn kớnh ph ca phn t ú Nhim v nghiờn cu ti ny c nghiờn cu nhm i sõu khai thỏc v lm ni bt ph ca mt phn t i s Banach Cỏc phng phỏp nghiờn cu Phng phỏp suy lun logic Phng phỏp phõn tớch, tng hp v ỏnh giỏ Cu trỳc ca khúa lun Khúa lun bao gm chng Chng 1: Nhng kin thc chun b Chng 2: Ph ca mt phn t i s Banach Chng 3: Bỏn kớnh ph Chng NHNG KIN THC CHUN B 1.1 Ngun gc ca lý thuyt ph Mc ớch ph ca toỏn t phỏt trin nhn hiu c th ca i s tuyn tớnh cú liờn quan ti cỏc cỏch gii ca phng trỡnh tuyn tớnh v khỏi nim vụ hn chiu Vn c bn ca i s tuyn tớnh trờn trng s phc l cỏch gii ca h phng trỡnh tuyn tớnh Mt l cho (a) n x n ma trn (aij) ca s phc (b) n_chiu g = (g1, g2, , gn) ca s phc V mt nhng cỏch gii h phng trỡnh tuyn tớnh a11 f1 + a12 f2 + + a1n fn = g1 (1.1) an1 f1 + an2 f2 + + ann fn = gn Vi f ( f1 , f2 , , fn ) n Chớnh xỏc hn ngi ta mun xỏc nh nu (1.1) cú cỏc cỏch gii v tỡm thy cỏc cỏch gii ú chỳng tn ti Khoa hc c bn trờn i s tuyn tớnh nhn mnh rng v trỏi ca (1.1) nh ngha mt toỏn t tuyn tớnh f Af trờn mt khụng gian vect n_chiu Ê n s tn ti cỏc cỏch gii ca (1.1) vi g l bt k S tn ti ca (1.1) l nht, li gii ca (1.1) cho tt c s la chn ca g nu v ch nu toỏn t tuyn tớnh A l kh nghch iu ny liờn quan ti vic tỡm cỏch gii h (1.1) v trng hp ny l hu hn chiu toỏn t A l kh nghch hay chớnh xỏc hn phn t quyt nh ma trn (aij) l khỏc khụng Cũn trng hp vụ hn chiu thỡ gp nhiu khú khn hn bi vỡ cỏc toỏn t trờn khụng gian Banach vụ hn chiu khụng cú khỏi nim phn t quyt nh Vic gii (1.1) liờn quan n khỏi nim giỏ tr riờng v trng hp hu hn chiu Lý thuyt ph lm gim cỏc lý thuyt v giỏ tr riờng, chớnh xỏc hn giỏ tr riờng v giỏ tr vect ca toỏn t A xut hin cp (l , f ) vi Af = l f õy f l mt vect khỏc khụng Ê n v l l mt s phc Nu chỳng ta thay mt s phc l v xột cỏch thit lp V n ca tt c vect f vỡ Af = l f chỳng ta thy Vl l mt khụng gian tuyn tớnh ca Ê n v vi cỏch chn l bt k nú l khụng gian tm thng {0}, Vl l khụng tm thng nu v ch nu toỏn t A- l cú phn t khụng tm thng hay nu v ch nu toỏn t A- l l khụng kh nghch Ph s ( A) ca A c nh ngha l hp tt c s nh vy v nú l mt s thc ca s phc khụng cha hn n phn t Chý ý 1.1.1 Chỳng ta ó ch rng ph ca bt k toỏn t no trờn Ê n l s thc chng minh quen thuc nht l vic liờn quan n hm f (l ) = det( A- l 1) ú f l mt a thc vi h s phc cú s khụng l im ca s ( A) v sau ú thu hỳt cỏc nh lý c bn ca i s Vớ d1.1.2 Vớ d ny cho bi Niels Henrik Abel (1823) Chn mt s a khong m n v v g l mt hm nhn trờn khong (0,1) tha g(a ) = Abel tỡm kim hm f m x ( x y) f ( y)dy g ( x) Trờn khong a < x < v ụng vit cỏch gii sau f ( y) sin y g '( x ) ( y x)2 dx 1.2 Ph ca mt toỏn t Ký hiu E l khụng gian Banach phc, vi mt toỏn t trờn E chỳng ta lm mt bin i gii hn tuyn tớnh T : E đ E, B(E) l ký hiu ca tt c cỏc khụng gian toỏn t trờn E , chỳng ta ly toỏn t A, B ẻ B(E) cú c kt qu toỏn t AB ẻ B( E) ta nh ngha phộp nhõn tha lut kt hp v phõn phi V A(B + C) = AB + AC (A+ B)C = AC + BC Chỳng ta vit nhn dng toỏn t nh lý1.2.1 Vi mi A ẻ B(E) cỏc iu kin sau l tng ng y ẻ E cú nht x ẻ E tha Ax = y (1) Vi mi (2) Cú mt toỏn t B ẻ B(E) tha AB = BA = Chng minh (1) (2) Gi s vect A l kh nghch nh mt bin i tuyn tớnh trờn khụng gian E v ta xột nghch o ca nú l B : E đ E l mt hp ca E E th ca nú cú liờn quan n th ca A nh sau G(B) = {(x, Bx): x ẻ E}= {(Ay, y): y ẻ E) Khụng gian bờn phi l úng E E vỡ ca A l liờn tc Do ú th B l úng v theo nguyờn lý th úng thỡ B ẻ B(E) nh ngha1.2.2 Cho A ẻ B(E) A l kh nghch nu cú mt toỏn t B ẻ B(E) tha (1) AB = BA = (2) Ph s ( A) ca A l hp tt c cỏc s phc l m A- l l khụng kh nghch (3) Lp hp r ( A) ca A l phn bự r (A) = Ê \ s (A) Vớ d 1.1.2 phn trc, chỳng ta ó trỡnh by vi mt toỏn t v khng nh v s khỏc ca cỏc ph i vi vớ d xỏc nh xem mt toỏn t no l kh nghch, ngi ta i xỏc nh cú hay khụng ẻ s ( A) Cỏc ph l quan trng nht chỳng bt bin gn lin vi mt toỏn t Chỳ ý 1.2.3 Nhn xột v ph toỏn t Chỳng ta ó xỏc nh c ph ca mt toỏn t T ẻ B(E) nhng ú ch l bt u, cú thụng tin chớnh xỏc hn v cỏc im khỏc ca s (T ) Xột vớ d 1.2.4 Gi s rng cú mt vect khỏc khụng x ẻ E m Tx = l x vi mi s phc l trng hp ny l c gi l mt giỏ tr riờng (liờn h vi vet riờng x ) rừ rng T - l l khụng kh nghch Do ú l ẻ s (T ) hp tt c cỏc giỏ tr riờng ca T l hp ca s (T ) c gi l im ph ca T (v c vit l s r (T ) ) Khi E l hu hn chiu thỡ s (T) = (s r (T) nhng núi chung l khụng phi vy.Tht vy cú nhiu toỏn t khỏc phõn tớch khụng cú im ph Mt loi im ph xy T - l l 1-1 nhng khụng trờn nú iu ny cú th xy theo cỏch Hoc l phm vi ca T - l l khụng úng trờn E hoc l úng nhng khụng tt c E Vớ d 1.2.5 Xột s thay i ca toỏn t V xỏc nh trờn C [0,1] nh sau: x Vf (x) f ( x )dx 0Ê x Ê Toỏn t ny l khụng kh nghch thc t ta thy ph ca nú chớnh xỏc l {0} mt khỏc ta cú th d dng kim tra V l 1-1 ngha l phm vi ca nú khụng phi l úng v phm vi úng ca nú l mt khụng gian ca hm giỏ tr thc C [0,1] 1.3 i s Banach nh ngha1.3.1 (Bao i s) Bi mt i s trờn vect chỳng ta núi n mt bao úng khụng gian A liờn tc vi mt toỏn t nh phõn khng nh x, y ẻ A đ xy ẻ A tha Vi a , b ẻ Ê v x, y, z ẻ A ta cú (1) (a x+ b y)z = a.xz + b.yz x(a y + b z)z = a.xy + b.xz x ( yz ) = ( xy ) z (2) Vi bi A l bao úng khụng gian vect, phộp nhõn A c xỏc nh xy = vi mi x, y Khi mt i s c nhn din thỡ nú l yu t quyt nh nht nh ngha1.3.2 (i s Banach,chun i s ) 10 Chng minh nh lớ 1.5.2 Theo b trờn tn ti f1 : E đ Ă tuyn tớnh thc cho f ( x) = f1 ( x) - if1 (ix), x ẻ F Do f1 x f1 x f x nờn f1 ( x ) Ê p ( x ) vi mi x ẻ F theo ^ nh lớ 1.5.1 tn ti phin hm tuyn tớnh thc f1 : E đ Ă cho: ^ f1 |F = f1 v | f1 ( x ) |Ê p ( x ), " x ẻ E ^ ^ ^ ^ t f (x) = f 1(x) - i f 1(ix) ú f l tuyn tớnh phc v ^ ^ ^ f (x) = f 1(x) - i f 1(ix) = f (x), " x ẻ F ^ ^ ^ iq Cho x ẻ E vi f ( x ) vit f ( x) = | f ( x) | e õy l argument ^ ca f ( x ) Suy ^ - iq | f (x)|= e ^ ^ ^ - iq - iq ^ f (x) = f (e x) = f1(e x) - i f 1(ie- iq x) Do ú ^ ^ | f (x) |= f1(e- iq x) Ê p(e- iq x) = p(x) ^ Vy | f ( x ) |Ê p ( x ) vi mi x ẻ E H qu 1.5.4 Gi s F l khụng gian ca khụng gian nh chun (thc hoc phc) v f l phim hm tuyn tớnh liờn tc trờn F Khi ú tn ti ^ phin hm tuyn tớnh liờn tc f trờn E cho 17 ^ | f | F = f v || f ||= || f || Chng minh p( x) = || f || || x ||, x ẻ E t Khi ú p l na chun trờn E tha | f ( x) |Ê p( x), " x ẻ F ^ Theo nh lớ 1.5.2 thỡ tn ti phin hm tuyn tớnh f trờn E cho f |F = f v || f ||Ê p( x), " x ẻ E Suy || f ||Ê || f || Mt khỏc ta cú || f || || f || Do ú || f ||= || f || H qu 1.5.5 Gi s F l khụng gian úng ca khụng gian nh chun E v n ẻ E \ F ú tn ti f ẻ E ' f | F = 0, || f ||= 1v f ( v ) = inf{|| v - y ||: y ẻ F } H qu 1.5.6 Gi s tn ti f ẻ E ' E l khụng gian nh chun v x ẻ E , x ú f ( x ) = || x || v || f ||= Nhn xột: Theo nh ngha chun ca ỏnh x tuyn tớnh liờn tc Ta cú || f ||= sup{| f ( x) |:|| x ||Ê 1} Mt khỏc Do h qu 1.5.6 ta li cú || x ||Ê sup{| f ( x) |:|| f ||Ê 1} nhng sup{| f ( x ) |:|| f ||Ê 1} Ê sup{|| f || || x ||:|| f ||Ê 1} Ê || x || 18 Do ú ta cú kt qu sau || x ||= sup{| f ( x ) |:|| f ||Ê 1} 1.6 nh lớ Liouville nh ngha 1.6.1 (hm gii tớch giỏ tr Banach) Gi s D l m K v f : D E l hm trờn D vi giỏ tr khụng gian Banach E Ta núi (i) f gii tớch ti D nu n f an , , D , n0 õy an E , n (ii) f l gii tớch trờn D nu nú gii tớch ta mi D Khi K t gii tớch c thay bi chnh hỡnh nh lớ 1.6.2 Gi s f :Ê đ E l hm chnh hỡnh b chn M = sup{|| f (z) ||: z ẻ Ê } < + Ơ Khi ú f l hm hng Chng minh Nu f khụng phi l hm hng thỡ tn ti z1 , z2 ẻ Ê f (z1) f (z2) Do h qu 1.5.6 tn ti u ẻ E ' u( f (z1)) u( f (z2 )) ú u o f l chnh hỡnh Vỡ | ( u o f )( z ) |= | u ( f ( z )) |Ê || u || || f ( z ) ||, " z ẻ Ê Nờn sup{| ( f ( z ) |: z ẻ Ê } Ê || u || sup{|| f ( z ) ||: z ẻ Ê } < + Ơ Do ú u o f b chn trờn Theo nh lớ Liouville i vi hm chnh hỡnh vụ hng u o f l hm hng, nhiờn u( f (z1)) u( f (z2 )) 19 Vy f l hng 1.7 nh lớ Banach-Steinhauss E v F l hai khụng gian nh chun H nh ngha 1.7.1 Cho {fa }a ẻ J è L(E, F ) c gi l C(x) = sup{|| fa (x)||: a ẻ J}< +Ơ , " x ẻ E (i) B chn im nu (ii) B chn u nu sup{|| fa ||: a ẻ J } < + Ơ nh lớ 1.7.2 Gi s E l khụng gian Bannach v F l khụng gian nh chun Khi ú mi h H qu 1.7.3 Nu Bannach L(E, F) b chn im l b chn u { f n } n l dóy cỏc ỏnh x tuyn tớnh t khụng gian E vo khụng gian Bannach F hi t im ti ỏnh x tuyn tớnh f :Eđ F f ( x) = lim fn ( x), x ẻ E nđ Ơ Thỡ f liờn tc || f n || Hn na || f ||Ê nlim đƠ Chng minh Vỡ vi mi x ẻ E dóy { f n ( x )} hi t nờn {fn} è L(E,F) b chn im Do E l Banach theo nh lớ trờn ta cú M = sup || f n ||< + Ơ n Suy || f ( x ) ||= lim || f n ( x ) ||Ê || x || lim || f n ||Ê M || x ||, " x ẻ E nđ Ơ nđ Ơ || f n || Vy f l liờn tc v || f ||Ê nlim đƠ 20 Chng PH CA MT PHN T TRONG I S BANACH Trong phn ny A l ký hiu i s Banach vi n v l ||1||=1 Tp hp lý thuyt toỏn t ú A l mt i s B ( E ) ca gii hn toỏn t trờn khụng gian Banach phc E , vi mi phn t x ẻ A v s phc l s dng ký hiu bng cỏch vit x - l thay vỡ x - l nh ngha 2.1 Vi mi phn t x ẻ A ph ca ( x ) { x c nh ngha l : x A } Chỳng ta s phỏt trin cỏc thuc tớnh c bn ca ph u tiờn nú luụn l Compact nh 2.2 Vi mi x ẻ A , s ( A) l úng ca {Z :| Z | || x ||} Chng minh B sung ca ph c cho bi; 21 \ (x) { : x A1} - Khi A l m v f Af l liờn tc, b sung ca s ( A) phi m, chng minh khng nh ny chỳng ta thy rng khụng cú s phc l no vi | l |> || x || cú th thuc v s ( A) Tht vy vi mi l nh vy cụng thc x - l = (- l )(1- l - 1x) M thc t l || l - x ||< Tc l x - l kh nghch nh lý 2.3 s (x) ặ vi mi x ẻ A Chng minh í tng l cho thy rng nu s ( x) = ặ, A _giỏ tr hm f (l ) = ( x - l )- l mt hm hon ton cú gii hn, nú tin ti khụng l đ Ơ Mt yờu cu i vi kt qu nh lý Liouville mong mun cú c kt lun chi tit nh sau: - Vi mi ( x) , ( x - l ) l nh ngha ca tt c l gn l bi vỡ s ( x ) l úng v chỳng ta thy rng (2.1) [( x )1 ( x )1 ] ( x )2 lim Trong chun tụpụ ca A Tht vy Chỳng ta cú th vit (x - l )- - (l - l )- = (x - l )- [(x - l ) - (x - l )](x - l )- = ( x - l )( x - l )- ( x - l )- 22 Chia c hai v cho l - l -1 -1 v s dung kt qu (x- l ) đ (x- l ) l đ l cú c kt qu trờn Ngc li Gi s rng s ( A) l rng v chn tựy ý mt gi hn hm tuyn tớnh r trờn A cỏc vụ hng cú giỏ tr hm l f (l ) = r (( x - l )- 1) c nh ngha hu khp ni v nú l d hiu (2.1) f cú mt phỏt sinh phc hu khp ni tha f '(l ) = r (( x - l )- ) ú f l mt ton b hm Chỳ ý rng l cú gii hn bit c iu ny chỳng ta cn phi cho || (x - l )- || ca l ln Tht vy nu | l |> || x || Ta cú || (x )1 || || || (1 1x)1 || p dng nh lý 1.4 Ta cú || ( x ) || 1 | | (1 || x || | |) | | || x || V rừ rng v phi ca nú tin ti khụng | l |đ Ơ Do ú hm l a || ( x - l ) - || khụng tn ti vụ cc Ta cú f l ton b hm cú gii hn m theo nh lý Liouville thỡ nú phi liờn tc Giỏ tr ca hng s l vỡ f khụng tn ti vụ cc Chỳng ta kt lun rng r ((x - l -1 ) )= vi mi v vi mi gii hn hm tuyn tớnh r nh lý Hahn Banach cho bit rng (x - l 23 -1 ) =0 vi mi Nhng iu ny l vụ lý vỡ (x - l - ) l nghch (v A) nh ngha 2.4 Mt i s b phn A (trờn Ê ) l mt i s phc v mt kt hp vi n v l m mi phn t khỏc khụng A u cú kh nghch nh ngha 2.5 Mt ng cu ca i s Banach A v B l mt ng cu q : A đ B ca cỏc cu trỳc i s c bn, cng l mt ng cu Tụpụ ú cú cỏc hng s dng a , b cho a || x ||Ê || q ( x ) ||Ê b || x || Vi mi phn t x ẻ A H qu 2.6 Bt k b phn i s Banach l ng cu mt chiu vi i s Chng minh Xỏc nh : A bi q (l ) = l , rừ rng l ng cu ca vo bao gm tt c cỏc tớch vụ hng ca nú cho thy rng l vo A , Tuy nhiờn vi bt k phn t x ẻ A theo nh lý Gelfand cú mt s phc l ẻ s ( x) vy x - l l khụng kh nghch,t A l mt i s b phn nờn x - l phi l ú x = q (l ) Cú nhiu i s b phn toỏn hc c bit l giao hoỏn Vớ d 2.7 Cú mt i s ca tt c cỏc hm hp r ( z ) = p( z) q( z ) ca bin phc Trong ú p , q l nhng a thc vi q hoc l i s ca tt c tng an z n Trong ú a n l mt chui vụ hn vi an = n ln 24 Chng BN KNH PH Trong phn ny A cú ngha l mt i s Banach vi n v v ||1|| =1 Chỳng tụi gii thiu cỏc khỏi nim v bỏn kớnh ph v chng minh mt tim cn hu ớch cụng thc Gelfand, Mazur v Beurling nh ngha 3.1 i vi mi x ẻ A bỏn kớnh ph ca x c nh ngha bi: r( x) = sup{| l |: l ẻ s ( x)} Chỳ ý 3.2 Khi ph ca x c xỏc nh v trớ trung tõm bỏn kớnh ||x|| sau ú r ( x ) Ê || x || tc l i vi chỳng ta cú r (l ( x )) = | l | r ( x)) Chỳng ta yờu cu cỏc hỡnh thc sau õy ca ỏnh xa ph Orem Nu mt phn t ca A v f l mt a thc Sau ú (3.1) f (s ( x)) s ( f ( x)) 25 x l xem ti iu ny l nh vy thay l ẻ s ( x) , t z a f ( z ) - f (l ) l mt a thc cú mt giỏ tr thc bng khụng ti z = l cú mt g a thc nh vy m f ( z ) - f (l ) = ( z - l ) g ( z ) Vỡ vy f (x)- f (l )1= (x- l )g(x) = g(x)(x- l ) L khụng kh nghch Mt nghch o phi (tng ng trỏi) ca f (x) - f (l )1 vỡ vy nu cho tng lờn bờn phi (tng ng trỏi) nghch o ca x - l f (l ) ẻ s ( f (x)) Do ú nh mt kt qu cui cựng Chỳng ta chỳ ý rng vi mi x ẻ A ta u cú r ( x) inf || x n || n (3.2) n1 Tht vy Vi l ẻ s (x) (3.1) ú bao gm l n ẻ s ( x n ) Do ú | l |n = | l n |Ê r ( x n ) Ê || x n || V (3.2) kộo theo sau cỏc nghim th n Cụng thc sau õy Gelfand v Mazur thit lp cũn trng hp c bit c phỏt hin c lp bi Beurling nh lý 3.3 Vi mi x ẻ A chỳng ta cú lim || x n || n r x n S khng nh õy l tn ti gii hn v r(x) l giỏ tr ca nú Chng minh n T (3.2) chỳng ta cú r x liminf n || x || 26 n l chng t limsup || xn || n r x (3.3) n Chỳng ta ch cn xột trng hp x chn tha | l |< r ( x) (khi r( x) = 0, l chng minh (3.3) chn tựy ý) ta cho rng th t {(l x)n : n = 1, 2, } c bao bc Do ú Banach steinhaus nh ngha ch rng vi mi hm ng bao tuyn tớnh r trờn A , chỳng ta cú | r ( x n )l n |= | r ((l x) n ) |Ê M r < Ơ , n = 1, 2, õy M r cú th ph thuc vo r Cui cựng s ph thuc vo hm giỏ tr phc f c nh ngha da trờn (cú th vụ hn) {z :| z | bi r ( x) } f ( z) = r ((1- zx)- ) Chỳ ý u tiờn rng f l gii tớch,do dú vi | z |< || x || chỳng ta cú th khai trin (1 - zx ) mt chui hi t + zx + (zx)2 + t c mt chui ly tha biu din cho f Ơ (3.4) f ( z) = r ( xn ) z n n= Trờn mt phng din khỏc,xột mt vựng rng hn R = {z : < | z |< r( x)} Chỳng ta cú th vit f ( z) (( z 11 x) ) z 27 V t hm (2.1) rừ rng f l mt gii tớch trờn R, thờm vi (3.4) cú {z :| z |< r ( x)} ngha l f xỏc nh trờn v trờn mt nh hn {z :| z |< ||x||}, (3.4) khai trin mt chui hi t cho f , nhng t f l {z :| z |< r ( x)} mt gii tớch trờn ln hn Do dú cỏc chui (3.4) phi hi t ti f ( z ) vi tt c | z |< r( x) ,do ú chỳng ta t z = l (3.4) v kt lun cui cựng chui hi t Nú kộo theo r ( x n )l n l mt dóy bao cú gii hn Chng minh Bõy gi chn bt k s phc no tha < | l |< r ( x ) ,vi n n n yờu cu cú mt hng s M = Ml nhng | l | || x || = || l x || Ê M vi mi n=1,2, sau cú cỏc nghim th n chỳng ta tỡm rng M n lim sup || x || lim sup n n | | | | n Bng cỏch chp nhn | l n | tng dn ti r ( x ) chỳng ta c (1.13) nh ngha 3.4 Mt phn t x ca i s Banach A (cú hay khụng cú n v) gi l mt Quasinilpotent nu lim || x n || n n Ngha l Quasinilpotence l mt c trng khỏ n gin trng thỏi ph H qu 3.5 Mt phn t ch nu x ca i s Banach l Quasinilpotent nu v s ( x) = {0} Chng minh 28 x l Quasinilpotent v ch r(x) = s (x) = {0} PHN KT LUN Trờn õy l ton b ni dung ca khúa lun ph ca mt phn t i s Banach ni dung chớnh ca khúa lun c cp n l Cho bit th no l ph ca mt phn t i s Banach Tỡm hiu v bỏn kớnh ph Qua khúa lun ny bn thõn em khụng ch c lnh hi thờm nhng tri thc mi ca gii tớch hm m cũn c hiu bit nht nh nghiờn cu khoa hc, vic nghiờn cu sõu v ph ca mt phn t i s Banach gúp phn b sung thờm vo nhng kt qu quan trng b mụn gii tớch hm, mụn cú tm quan trng c bit i vi toỏn hc c bn v toỏn hc ng dng Do thi gian nghiờn cu cú hn v kh nng bn thõn cũn hn ch nờn ti ny ca em khụng trỏnh nhng sai sút nht nh, vỡ vy em rt mong nhn c s úng gúp ý kin ca cỏc thy cụ cựng cỏc bn sinh viờn khoa toỏn ti ny c hon thin hn 29 Em xin chõn thnh cm n! TI LIU THAM KHO Nguyn Ph Hy (2006) Gii tớch hm NXB khoa hc v k thut H Ni Nguyn Ph Hy, Hong Ngc Tun, Nguyn Vn Tuyờn (2007) Bi gii tớch hm NXB khoa hc v k thut Eberhard Zeidler (1988) Applind Functional Analysis Applications to Mathematical Phisics NXB Springer Verlag Germany Nguyn Vn Khuờ, Lờ Mu Hi C s lý thuyt hm v gii tớch hm Tp II Nh xut bn giỏo dc 2001 H.Schaefor Topological Vector Spaces.Spinger-Verlag 1971 A Short Course On Spectral Theory, William Arveson, Springer 30 31 [...]... chn im Do E l Banach theo nh lớ trờn ta cú M = sup || f n ||< + Ơ n 1 Suy ra || f ( x ) ||= lim || f n ( x ) ||Ê || x || lim || f n ||Ê M || x ||, " x ẻ E nđ Ơ nđ Ơ || f n || Vy f l liờn tc v || f ||Ê nlim đƠ 20 Chng 2 PH CA MT PHN T TRONG I S BANACH Trong phn ny A l ký hiu i s Banach vi n v l ||1||=1 Tp hp lý thuyt toỏn t trong ú A l mt i s B ( E ) ca gii hn toỏn t trờn khụng gian Banach phc E ,... ni dung chớnh ca khúa lun c cp n l 1 Cho bit th no l ph ca mt phn t trong i s Banach 2 Tỡm hiu v bỏn kớnh ph Qua khúa lun ny bn thõn em khụng ch c lnh hi thờm nhng tri thc mi ca gii tớch hm m cũn c hiu bit nht nh trong nghiờn cu khoa hc, vic nghiờn cu sõu v ph ca mt phn t trong i s Banach gúp phn b sung thờm vo nhng kt qu quan trng trong b mụn gii tớch hm, mụn cú tm quan trng c bit i vi toỏn hc c bn... 3.4 Mt phn t x ca i s Banach A (cú hay khụng cú n v) gi l mt Quasinilpotent nu 1 lim || x n || n 0 n Ngha l Quasinilpotence l mt c trng khỏ n gin trong trng thỏi ph H qu 3.5 Mt phn t ch nu x ca i s Banach l Quasinilpotent nu v s ( x) = {0} Chng minh 28 x l Quasinilpotent khi v ch khi r(x) = 0 s (x) = {0} PHN KT LUN Trờn õy l ton b ni dung ca khúa lun ph ca mt phn t trong i s Banach ni dung chớnh... y ẻ A i s Banach l chun i s y , mt khụng gian Banach thiờn v chun cú liờn quan n nú Nhn xột 1.3.3 Chỳng ta bit rng mt chun cú li y Mt khụng gian tuyn tớnh nh chun E l mt khụng gian Banach nu v ch nu tt c cỏc dóy c bn trong chỳng hi t Mt cỏch chớnh xỏc hn E l y nu v ch nu tt c cỏc dóy con xn ẻ E tha món ồ xn < Ơ cú mt phn t y ẻ E m n lim|| y (x1 x2 xn)||0 n Vớ d 1.3.4 Chol E khụng gian Banach bt... nhiu i s b phn trong toỏn hc c bit l giao hoỏn Vớ d 2.7 Cú mt i s ca tt c cỏc hm hp r ( z ) = p( z) q( z ) ca bin phc Trong ú p , q l nhng a thc vi q ạ 0 hoc l i s ca tt c tng an z n Trong ú a n l mt chui vụ hn vi an = 0 khi n ln 24 Chng 3 BN KNH PH Trong phn ny A cú ngha l mt i s Banach vi n v 1 v ||1|| =1 Chỳng tụi gii thiu cỏc khỏi nim v bỏn kớnh ph v chng minh mt tim cn hu ớch cụng thc do Gelfand,... Ê sup{|| f || || x ||:|| f ||Ê 1} Ê || x || 18 Do ú ta cú kt qu sau || x ||= sup{| f ( x ) |:|| f ||Ê 1} 1.6 nh lớ Liouville nh ngha 1.6.1 (hm gii tớch giỏ tr Banach) Gi s D l tp m trong K v f : D E l hm trờn D vi giỏ tr trong khụng gian Banach E Ta núi (i) f gii tớch ti 0 D nu n f an 0 , 0 0 , D , n0 õy an E , n 0 (ii) f l gii tớch trờn D nu nú gii tớch ta mi D Khi K t gii... rng r ((x - l -1 ) )= 0 vi mi v vi mi gii hn hm tuyn tớnh r nh lý Hahn Banach cho bit rng (x - l 23 -1 ) =0 vi mi trong Nhng iu ny l vụ lý vỡ (x - l - 1 ) l nghch (v 1 ạ 0 A) nh ngha 2.4 Mt i s b phn A (trờn Ê ) l mt i s phc tp v mt kt hp vi n v l 1 m mi phn t khỏc khụng trong A u cú kh nghch nh ngha 2.5 Mt ng cu ca i s Banach A v B l mt ng cu q : A đ B ca cỏc cu trỳc i s c bn, cng l mt ng cu... i s Banach cú n v nh lý 1.3.6 i vi bt k nhúm G Compact cú mt Radon o m trờn G ú l bt bin theo phiờn dch trỏi Ngha l m(x.E) = m(E) cho mi E ta thit lp Borel v vi mi x ẻ G Nu n l mt o , n(E) = c.m(E) cho mi E thit lp sau ú cú mt s c khụng i nh vy Borel Hewitt v Ross cho rng vic tỡm cỏch gii ca Haar vớ d c th nh ax+ b nhúm v cỏc nhúm SL(n, Ă ) Mt chng minh v s tn ti ca cỏch gii Haar c tỡm thy trong. .. (x- l ) đ (x- l 0 ) khi l đ l 0 cú c kt qu trờn Ngc li Gi s rng s ( A) l rng v chn tựy ý mt gi hn hm tuyn tớnh r trờn A cỏc vụ hng cú giỏ tr hm l f (l ) = r (( x - l )- 1) c nh ngha hu khp ni trong v nú l d hiu trong (2.1) f cú mt phỏt sinh phc tp hu khp ni tha món f '(l ) = r (( x - l )- 2 ) do ú f l mt ton b hm Chỳ ý rng l cú gii hn bit c iu ny chỳng ta cn phi cho || (x - l )- 1 || ca l ln Tht vy... || f || | f ( x ) | dx G 12 V c xỏc nh bi f * g f (t )g (t 1 x)dt xẻ G G Cỏc thụng tin c bn v cỏc nhúm i s hoỏn trong trng hp (1) Vi L1(G) tng t nh i vi giao L1 (Z) v L1(Ă ) chỳng ta ó gp phi f , g ẻ L1 (G), f * g ẻ L1 (G) v chỳng ta cú || f * g ||Ê || f || || g || (2) L1(G) l mt i s Banach (3) L1(G) l giao hoỏn nu v ch nu G l mt nhúm giao hoỏn (4) L1(G) cú n v nu v ch nu G l mt nhúm riờng bit 1.4 ... 20 Chng PH CA MT PHN T TRONG I S BANACH Trong phn ny A l ký hiu i s Banach vi n v l ||1||=1 Tp hp lý thuyt toỏn t ú A l mt i s B ( E ) ca gii hn toỏn t trờn khụng gian Banach phc E , vi mi phn... q( z ) ca bin phc Trong ú p , q l nhng a thc vi q hoc l i s ca tt c tng an z n Trong ú a n l mt chui vụ hn vi an = n ln 24 Chng BN KNH PH Trong phn ny A cú ngha l mt i s Banach vi n v v ||1||... ngha1.3.2 (i s Banach, chun i s ) 10 Chun i s l mt cp chun ||.||: Ađ [0, Ơ A , ||.|| gm mt i s A cựng vi mt ) cú liờn quan n phộp nhõn nh sau: || xy ||Ê || x || || y ||, " x , y ẻ A i s Banach l chun