Sự ổn định của phương trình hàm trong đại số banach

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP Đề tài: Sự ổn định phương trình hàm đại số Banach GVHD: TS.LƯƠNG QUỐC TUYỂN SVTH: LÊ THỊ TRƯỜNG AN Lớp: 15ST Đà Nẵng, tháng năm 2019 MỤC LỤC Không gian định chuẩn 1.1 Không gian metric 1.2 Không gian định chuẩn 1.3 Đại số Banach 12 Sự ổn định phương trình hàm đại số Banach 17 f (qx + qy + qz) = f (x) + f (y) + f (z) 17 q 2.1 Tính ổn định 2.2 Tính ổn định phương trình hàm m-biến 21 2.3 Tính ổn định đại số Banach 27 Tài liệu tham khảo 31 LỜI CẢM ƠN Trải qua năm học tâp rèn luyện trường Đại học Sư phạm-Đại học Đà Nẵng, em học tập nhiều điều bổ ích, thiết thực sống Đươc học tập làm viêc môi trường lành mạnh, giúp em trưởng thành nhiều tri thức lẫn nhận thức Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin chân thành cảm ơn trường Đại học Sư phạm khoa Tốn ln tạo thuận lợi để em hồn thành khóa học Xin cảm ơn thầy khoa Tốn giảng dạy nhiệt tình, ln tiếp lửa truyền cảm hứng cho em đường khó khăn đến Đặt biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu săc đến thầy giáo TS Lương Quốc Tuyển, thầy tận tình dẫn dắt đóc thúc để em hồn thành khóa luận tốt nghiệp Nhân dip em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình, bạn bè bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực khóa luận tốt nghiêp Em xin chân thành cảm ơn MỞ ĐẦU Năm 1940, Ulam đề xuất tốn ổn định phương trình hàm sau Bài tốn ([3]) Cho nhóm G1 , nhóm G2 với metric d ε > Khi đó, có tồn hay khơng số δ > cho: f : G1 → G2 ánh xạ thỏa mãn d(f (xy), f (x)f (y)) ≤ δ với x, y ∈ G1 , tồn đồng cấu h : G1 → G2 cho d(h(x), f (x)) ≤ ε với x ∈ G1 Đến năm 1941, Hyers đưa câu trả lời riêng cho toán trường hợp điều kiện xấp xỉ ánh xạ G1 , G2 không gian Banach, cụ thể: Định lí ([3]) Giả sử X Y khơng gian Banach, ε > Khi đó, với ánh xạ g thỏa mãn sup g(x + y) − g(x) − g(y) ≤ ε, x,y∈X tồn ánh xạ f : X → Y cho sup g(x) − f (x) ≤ ε; x∈X f (x + y) = f (x) + f (y) với x, y ∈ X Đến năm 1980, Forti chứng minh định lí sau Định lí ([3]) Giả sử (S, +) nửa nhóm bất kỳ, E không gian Banach f : S → E ánh xạ thỏa mãn f (x + y) − f (x) − f (y) ≤ ε, giới hạn f (2n x) n→∞ 2n g(x) = lim tồn với x ∈ S g : S → E ánh xạ thỏa mãn f (x) − g(x) ≤ ε; g(2x) = 2g(x) Từ đến nay, cách sử dụng kỹ thuật chứng minh Forti, người ta đưa nhiều kết đồ sộ ổn định phương trình hàm khơng gian Banach (xem [3]) Bởi lý định hướng thầy giáo TS Lương Quốc Tuyển, em định chọn đề tài: “Sự ổn định phương trình hàm đại số Banach” làm đề tài Khóa luận tốt nghiệp CHƯƠNG KHƠNG GIAN ĐỊNH CHUẨN 1.1 Không gian metric 1.1.1 Định nghĩa Cho X tập hợp khác rỗng, d : X × X → R hàm thỏa mãn tiên đề sau với x, y, z ∈ X (1) d(x, y) ≥ 0; d(x, y) = ⇐⇒ x = y; (2) d(x, y) = d(y, x); (3) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) Khi đó, • d gọi metric X • Cặp (X, d) gọi không gian metric • d(x, y) gọi khoảng cách hai điểm x y • Mỗi phần tử X gọi điểm 1.1.2 Ví dụ (1) Giả sử X = R, d:R×R→R (x, y) → d(x, y) = |x − y| Rõ ràng d metric R, (R, d) khơng gian metric Ta nói d metric thơng thường R (2) Giả sử X = Rn , d : Rn × Rn → R n (xi − yi )2 , (x, y) → d(x, y) = i=1 d1 : Rn × Rn → R (x, y) → d(x, y) = max |xi − yi |, i=1,n d2 : Rn × Rn → R n (x, y) → d(x, y) = |xi − yi |, i=1 x = (x1 , x2 , , xn ), y = (y1 , y2 , , yn ) ∈ Rn Khi đó, d, d1 , d2 metric Rn (Rn , d), (Rn , d1 ), (Rn , d2 ) không gian metric 1.1.3 Nhận xét Giả sử X tập hợp khác rỗng Khi đó, X có nhiều metric khác 1.2 Không gian định chuẩn 1.2.1 Định nghĩa Cho E K-không gian vector, hàm :E→R x→ x thỏa mãn tiên đề sau với x, y ∈ E , λ ∈ K (1) x ≥ 0; x = ⇐⇒ x = 0; (2) λx = |λ| x ; (3) x + y ≤ x + y Khi đó, • gọi chuẩn E ; • Cặp (E, ) gọi không gian định chuẩn 1.2.2 Định lí Giả sử E khơng gian định chuẩn Khi đó, hàm d:E →R (x, y) → d(x, y) = x − y mêtric E thoả mãn hai điều kiện sau với a, x, y ∈ E λ ∈ K (1) d(x + a, y + a) = d(x, y); (2) d(λx, λy) = |λ|d(x, y) Chứng minh Với x, y, z, a ∈ E α ∈ K, ta có (a) d(x, y) = x − y ≥ 0; d(x, y) = ⇐⇒ x − y = ⇐⇒ x − y = ⇐⇒ x = y (b) d(x, y) = x − y = (−1)(x − y) = y − x = d(y, x) (c) d(x, y) = x − y = (x − z) + (z − y) ≤ x − z + z − y = d(x, z) + d(z, y) Từ chứng minh ta suy d mêtric E Hơn nữa, (1) d(x + a, y + a) = (x + a) − (y + a) = x − y = d(x, y) (2) d(λx, λy) = λx − λy = λ(x − y) = |λ| x − y = |λ|d(x, y) 1.2.3 Nhận xét (1) Giả sử (E, ) không gian định chuẩn Khi đó, (a) x − y khoảng cách hai điểm x y (b) Theo Định lí 1.2.2, sinh mêtric d E Ta nói d mêtric sinh chuẩn tôpô sinh mêtric d gọi tôpô sinh chuẩn (2) Nếu {xn } ⊂ E , ta có (a) xn → a ⇐⇒ xn − a → =⇒ xn → a (b) xn → a =⇒ xn → a Thật vậy, (a) Giả sử xn − a → Khi đó, xn − a ≤ xn − a → (b) Giả sử E = R2 x = x21 + x22 với x = (x1 , x2 ) ∈ R2 Khi đó, chuẩn E , 1+ ,0 n =1+ → = (0, 1) n Hơn nữa, ta có 1+ ,0 n (0, 1) 1.2.4 Định lí Hàm chuẩn x → x liên tục Chứng minh Ta có x = (x − y) + y ≤ x − y + y ; y = (y − x) + x ≤ y − x + x Do đó, − x−y ≤ x − y ≤ x−y , kéo theo y − x ≤ x−y Bây giờ, với ε > 0, ta chọn δ = ε ta suy với x, y ∈ E cho x − y < δ, ta có y − x ≤ x − y < δ = ε Như vậy, hàm liên tục E 1.2.5 Bổ đề Giả sử (E, E) (F, F ) hai không gian định chuẩn Khi đó, (1) E × F hai phép tốn sau khơng gian vector (a) (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ); (b) λ(x, y) = (λx, λy) (2) Hàm sau chuẩn E × F :E×F →R (x, y) → (x, y) = x E + y F 1.2.6 Định lí Giả sử E khơng gian định chuẩn Khi đó, phép cộng f :E →E (x, y) → x + y phép nhân g :K×E →E (λ, x) → λx ánh xạ liên tục Chứng minh (a) Giả sử (x, y) ∈ E × E {(xn , yn )} ⊂ E × E hội tụ đến (x, y) Khi đó, f (xn , yn ) − f (x, y) = (xn + yn ) − (x + y) ≤ xn − x + yn − y → Như vậy, f ánh xạ liên tục E × E (b) Giả sử (α, x) ∈ K × E {(αn , xn )} ⊂ K × E hội tụ đến (α, x) Khi đó, g(αn , xn ) − g(α, x) = αn xn − αx = α(xn − x) + (αn − α)x + (αn − α)(xn − x) ≤ |α| (xn − x) + |αn − α| x + |αn − α| (xn − x) → n → ∞ Do vậy, g ánh xạ liên tục K × E 1.2.7 Định lí Giả sử E khơng gian định chuẩn Khi đó, với a ∈ E , phép tịnh tiến x→a+x phép đồng phôi đẳng cự từ E lên E , với λ ∈ K cho λ = 0, phép vị tự x → λx phép đồng phôi E lên E Chứng minh (1) Chứng minh x → f (x) = x + a phép đồng phôi đẳng cự Thật vậy, • f đơn ánh Giả sử x, y ∈ E cho f (x) = f (y) Khi đó, a + x = a + y , kéo theo x = y • f tồn ánh 18 f (xy) − f (x)f (y) ≤ θ( x 2r + y 2r ), (2.4) µ ∈ T −1 = {λ ∈ C : |λ| = 1} Khi đó, f đẳng cấu Chứng minh (1) Chng minh f tuyn tớnh ã Cho = (2.3) ta thu f (x) + f (y) + f (z) ≤ f (qx + qy + qz) q Suy f (x + y) = f (x) + f (y) (2.5) • Cho z = 0, y = −µx (2.3) ta µf (x) + f (−µx) ≤ f (qµx − qµx) = 0, q kéo theo µf (x) + f (−µx) = Như vậy, µf (x) = f (µx) Từ (2.5) (2.6) ta suy f ánh xạ tuyến tính (2) Chứng minh f (xy) = f (x)f (y) với x, y ∈ X • Trường hợp 1: r < Nhờ (2.4) ta có ≤ f (xy) − f (x)f (y) = lim f (xy) − f (x)f (y) n→∞ 4n f (xy) − f (x)f (y) n→∞ 4n = lim n f (2n x2n y) − f (2n x)f (2n y) n→∞ 4nr ≤ lim n θ( x 2r + y 2r ) n→∞ = lim = Như vậy, ta suy f (xy) = f (x)f (y) với x, y ∈ X • Trường hợp 2: r > (2.6) 19 Nhờ (2.4) ta có ≤ f (xy) − f (x)f (y) = lim f (xy) − f (x)f (y) n→∞ 4n f (xy) − f (x)f (y) n→∞ 4n 1 1 = lim 4n f ( n x n y) − f ( n x)f ( n y) n→∞ 2 2 4n ≤ lim nr θ( x 2r + y 2r ) n→∞ = lim = Do đó, f (xy) = f (x)f (y) với x, y ∈ X 2.1.3 Định nghĩa Ánh xạ f : A → A có đạo hàm A thỏa mãn: f (xy) = f (x)y + xf (y), ∀x, y ∈ A 2.1.4 Định lí Giả sử r = 0, θ ≥ 0, f : A → B song ánh thỏa mãn f (0) = µf (x) + f (y) + f (z) ≤ f (qµx + qy + qz) ; q f (xy) − f (x)f (y) ≤ θ( w r x r ) (2.7) (2.8) Khi đó, f đẳng cấu Chứng minh Bởi f thỏa mãn (2.7) nên theo cách chứng minh Định lí 2.1.2 ta suy f tuyến tính Bây giờ, ta chứng minh f bảo tồn tích Thật vậy, • Trường hợp 1: r < Nhờ (2.8) ta có ≤ f (xy) − f (x)f (y) = lim f (xy) − f (x)f (y) n→∞ 4n f (xy) − f (x)f (y) n→∞ 4n = lim n f (4n xy) − f (4n x)f (y) n→∞ 4nr ≤ lim n θ( w r x r ) n→∞ = lim =0 Do đó, ta suy 20 f (xy) = f (x)f (y) với x, y ∈ X • Trường hợp 2: r > Nhờ (2.8) ta có ≤ f (xy) − f (x)f (y) = lim f (xy) − f (x)f (y) n→∞ 4n f (xy) − f (x)f (y) n→∞ 4n 1 = lim 4n f ( n xy) − f n x f (y) n→∞ 4 4n r r ≤ lim nr θ( w x ) n→∞ = lim = Như vậy, f (xy) = f (x)f (y) với x, y ∈ X 2.1.5 Định lí Giả sử r = 0, θ ≥ 0, f : A → B song ánh thỏa mãn f (0) = µf (x) + f (y) + f (z) ≤ f (qµx + qy + qz) ; q f (xy) − f (x)y − xf (y) ≤ θ( x 2r + y 2r ), với µ ∈ T −1 Khi đó, f đạo hàm A Chứng minh Ta có • Trường hợp 1: r < Theo (2.10) ta thu ≤ f (xy) − f (x)y − xf (y) = lim f (xy) − f (x)f (y) n→∞ 4n f (xy) − f (x)y − xf (y) n→∞ 4n = lim n f (4n xy) − f (2n x)2n y − 2n xf (2n y) n→∞ 4nr ≤ lim n θ( x 2r + y 2r ) n→∞ = lim = Do đó, f (xy) = f (x)y + xf (y) với x, y ∈ A • Trường hợp 2: r > (2.9) (2.10) 21 Theo (2.10) ta thu ≤ f (xy) − f (x)y − xf (y) = lim f (xy) − f (x)f (y) n→∞ 4n f (xy) − f (x)y − xf (y) n→∞ 4n 1 1 = lim 4n f n xy − f n x n y − n xf n y n→∞ 2 2 4n ≤ lim nr θ( x 2r + y 2r ) n→∞ = lim = Như vậy, f (xy) = f (x)y + xf (y) với x, y ∈ A 2.2 Tính ổn định phương trình hàm m-biến 2.2.1 Định nghĩa Cho ánh xạ f : A → B Ta định nghĩa m Dµ f (x1 , x2 , , xm ) := m µf mxi + i=1 m i=1 j=1;j=i m xi − 2f µ xj + µf mxi , i=1 µ ∈ T := {v ∈: |v| = 1} 2.2.2 Định lí Cho A, B khơng gian Banach, X = {g : A → B}, với g, h ∈ X, ta đặt d(g, h) = inf C > : g(x) − h(x) ≤ Cϕ(x, 0, , 0) với x ∈ A Khi đó, (1) d metric X (2) (X, d) không gian metric đầy đủ Chứng minh (1) d metric X Thật vậy, với f, g, h ∈ X, ta có • Hiển nhiên d(g, h) ≥ Giả sử g = h Khi đó, rõ ràng d(g, h) = Giả sử d(g, h) = Khi đó, với n ∈ N∗ , tồn Cn > cho < Cn < d(g, h) + 1 = ; n n (2.11) 22 g(x) − h(x) ≤ Cn ϕ(x, 0, , 0) với x ∈ A (2.12) Từ (2.11) ta suy Cn → Do đó, qua giới hạn n → ∞ (2.12) ta suy ≤ g(x) − h(x) ≤ với x ∈ X Như vậy, g(x) = h(x) với x ∈ X , kéo theo g = h • Ta có d(g, h) = inf{C > : g(x) − h(x) ≤ Cϕ(x, 0, , 0)} = inf C > : h(x) − g(x) ≤ Cϕ(x, 0, , 0) = d(h, g) • Ta có d(g, f ) = inf{C1 > : g(x) − h(x) ≤ C1 ϕ(x, 0, , 0)}; d(f, h) = inf{C2 > : g(x) − h(x) ≤ C2 ϕ(x, 0, , 0)} Suy g(x) − h(x) ≤ g(x) − f (x) + f (x) − h(x) , ≤ (C1 + C2 )ϕ(x, 0, , 0), kéo theo g(x) − h(x) ≤ d(g, f ) + d(f, h) Như vậy, d(g, h) ≤ d(g, f ) + d(f, h) Từ chứng minh ta suy (X, d) không gian metric (2) (X, d) không gian metric đầy đủ Giả sử {gn } dãy Cauchy X Khi đó, ♣ Với x ∈ A, {gn (x)} dãy Cauchy B Thật vậy, với ε > 0, ta đặt M = C > : gn (x) − gm (x) ≤ C.ϕ(x, 0, , 0) • Trường hợp 1: ϕ(x, 0, , 0) = ε , kéo theo ε > Bởi {gn } dãy Cauchy X 2ϕ(x, 0, , 0) nên tồn N = N (x, ε) ∈ N∗ cho Ta chọn ε = d(gn , gm ) < ε = ε với m, n ≥ N 2ϕ(x, 0, , 0) 23 Mặt khác, d(gn , gm ) = inf M nên tồn C0 ∈ M cho d(gn , gm ) + ε > C0 2ϕ(x, 0, , 0) Suy C0 < d(gn , gm ) + ε ε ε ε < + = , 2ϕ(x, 0, , 0) 2ϕ(x, 0, , 0) 2ϕ(x, 0, , 0) ϕ(x, 0, , 0) kéo theo C0 ϕ(x, 0, , 0) < ε Như vậy, gn (x) − gm (x) ≤ C0 ϕ(x, 0, , 0) < ε • Trường hợp 2: ϕ(x, 0, , 0) = Bởi C0 ∈ M nên ta suy gn (x) − gm (x) ≤ C0 ϕ(x, 0, , 0) = < ε Từ chứng minh ta suy gn (x) − gm (x) ≤ ε, ∀m, n ≥ N Như vậy, {gn } dãy Cauchy không gian Banach B Do đó, tồn lim gn (x) ∈ B với n→∞ x ∈ A Ta đặt g:A→B x → g(x) = lim gn (x) n→∞ ♣ gn → g X Thật vậy, với x ∈ A, ta có gn (x) − gm (x) ≤ Cϕ(x, 0, , 0) với C ∈ M Suy gn (x) − gm (x) ≤ (inf C)ϕ(x, 0, , 0) (2.13) Bởi {gn } dãy Cauchy X nên với ε > 0, tồn N = N (ε) ∈ N∗ cho d(gn , gm ) < ε với m, n ≥ N Từ (2.13) ta suy ε gn (x) − gm (x) < ϕ(x, 0, , 0) với x ≥ A Qua giới hạn m → ∞ (2.14) ta ε gn (x) − g(x) < ϕ(x, 0, , 0) với x ≥ A (2.14) 24 Suy ε ∈ C > : gn (x) − g(x) < Cϕ(x, 0, , 0) với x ≥ A E, kéo theo d(gn , g) = inf E ≤ ε < ε với n ≥ N Như vậy, gn → g X 2.2.3 Định lí Giả sử f : A → B ánh xạ hàm ϕ : Am → [0, ∞), ψ : A2 → [0, ∞) thỏa mãn điều kiện sau lim m−j ϕ(mj x1 , , mj xm ) = 0; (2.15) Dµ f (x1 , x2 , , xm ) ≤ ϕ(x1 , x2 , , xm ); (2.16) f (xy) − f (x)f (y) ≤ ψ(x, y); (2.17) lim m−2j ϕ(mj x, mj y) = 0, (2.18) j→∞ j→∞ với µ ∈ T x1 , , xm , x, y ∈ A Khi đó, tồn L < cho ϕ(mx, 0, , 0) ≤ mLϕ(x, 0, , 0) với x ≥ A, (2.19) tồn đồng cấu H : A → B cho f (x) − H(x) < ϕ(x, 0, , 0) với x ≥ A m − mL Chứng minh Đặt X = {g : A → B} d(g, h) = inf C > : g(x) − h(x) ≤ Cϕ(x, 0, , 0) với x ≥ A Khi đó, theo Định lí 2.2.2, (X, d) không gian metric đầy đủ Bây giờ, ta xét ánh xạ tuyến tính J : X → X xác định Jg(x) = g(mx) với g ∈ X, x ∈ A m Ta có d(Jg, Jh) ≤ Ld(g, h) với g, h ≥ X (2.20) 25 Trong (2.16), cho µ = 1, x = x1 , x2 = xm = 0, ta D1 f (x, 0, , 0) ≤ ϕ(x, 0, , 0) Suy f (mx) − mf (x) ≤ ϕ(x1 , x2 , , xm ), kéo theo f (x) − 1 f (mx) ≤ ϕ(x1 , x2 , , xm ) m m Do đó, f (x) − Jf (x) ≤ ϕ(x1 , x2 , , xm ) m Như vậy, d(f, Jf ) = inf C ∈ R+ : f (x) − Jf (x) ≤ Cϕ(x, 0, , 0) ≤ Tồn ánh xạ H : A → B cho (i) H điểm bất động J cho H(mx) = mH(x) với x ∈ A Hơn nữa, H bất động định J tập Y = {g ∈ X : d(f, g) < ∞} Do đó, tồn C ∈ (0, ∞) thỏa mãn H(x) − f (x) ≤ Cϕ(x, 0, , 0) với x ∈ A (ii) Bởi d(J n f, H) → n → ∞ nên ta có lim J n f (x) = H(x) với x ∈ A, j→∞ kéo theo f (mn x) = H(x) với x ∈ A j→∞ mn lim (iii) Ta có d(f, H) ≤ d(f, Jf ) 1−L Suy d(f, H) ≤ 1 = , (1 − L)m m − mL m 26 kéo theo f (x) − H(x) ≤ ϕ(x, 0, , 0) m − mL Do đó, ta có m m m H mxi + i=1 m xi ) − 2H xj + H( i=1 j=1;j=i m n→∞ mn m f mn+1 xi + = lim mxi i=1 i=1 m mn xj + f m mn xi − 2f i=1 j=1;j=i mn+1 xi i=1 ≤ lim n ϕ(mn x1 , , mn xm ) = n→∞ m Suy m m m H mxi + i=1 xj + H m xi = 2H i=1 j=1;j=i mxi i=1 Cho x1 = x, x2 = · · · = xm = (2.16) ta thu µf (mx) + µmf (x) − 2f (µmx) ≤ ϕ(x, 0, , 0) Ta có µH(mx)+µmH(x) − 2H(µmx) µf (mn+1 x) + µmn+1 f (x) − 2f (µmn+1 x) mn ≤ lim n ϕ(mn x1 , , mn xm ) = n→∞ m = lim n→∞ Suy µH(mx) + µmH(x) − 2H(µmx) = Mặt khác, H(mx) = mH(x) nên ta suy µH(mx) = H(µmx) Do đó, ánh xạ H : A → B C-tuyến tính Ta lại có f (mn xy) − f (mn x)f (mn y) n→∞ mn H(xy) − H(x)H(y) = lim ≤ lim ψ(mn x, mn y) n→∞ = Suy H(xy) = H(x)H(y) Như vậy, H : A → B đồng cấu thỏa mãn yêu cầu định lý 27 2.2.4 Hệ Cho r < 0, θ ≥ ánh xạ f: A → B ánh xạ cho r Dµ f (x1 , , xm ) ≤ θ( x1 + x1 f (xy) − f (x)f (y) ≤ θ( x r r + x1 r ); (2.21) y r) (2.22) với µ ∈ T x1 , x2 , , x, y ∈ A Khi đó, tồn đồng cấu H : A → B cho f (x) − H(x) < θ x m − mr r với x ∈ A (2.23) Chứng minh Áp dụng Định lí 2.2.3 cho trường hợp ϕ(x1 , , xm ) = θ( x1 r ψ(x, y) := θ( x + + xm r ); r y r ); L = mr−1 ta thu ϕ(x, 0, , 0) m − mL = θ x r m − mr f (x) − H(x) ≤ 2.3 Tính ổn định đại số Banach 2.3.1 Định nghĩa Cho ánh xạ f : A → B Khi đó, với x1 , , xn ∈ X , ta định nghĩa n Df (x1 , , xn ) := n i=1 n n q(xi − xj ) + nf f qxi − nq j=1 i=1 f (xi ) i=1 2.3.2 Định lí Cho r thỏa mãn r > nq > < r < nq > 1; θ ≥ 0, f : A → B ánh xạ thỏa mãn: n Df (x1 , , xn ) ≤ θ xi r (2.24) j=1 f (xy) − f (x)f (y) ≤ θ( x r + y r) (2.25) với x, y, x1 , , xn ∈ A Khi đó, f (tx) liên tục với t ∈ R, x ∈ A cố định, tồn đồng cấu H : A → B cho θ f (x) − H(x) ≤ ((nq)pr − (nq)p ) p x r với x ∈ A (2.26) 28 Chứng minh Lấy x1 = = xn = x thay vào (2.24) ta n n Df (x, , x) = i=1 n n q(xi − xj ) + nf f qxi − nq j=1 i=1 f (xi ) i=1 = f (nqx) − nqf (x) ≤ nθ x r Do đó, x nq f (x) − nqf x nq ≤θ r Suy f (x) − nqf x nq θ x r (nq)r ≤ • Bởi B p-đại số Banach nên với m ≥ l, ta có (nq)l f x x − (nq)m f l (nq)m (nq) m−1 (nq)j f ≤ j=l ≤ • Bởi x (nq)d f ( (nq) d) θp (nq)pr m−1 j=l p x (nq)j x (nq)j+1 − (nq)j+1 f (nq)pj x (nq)prj pr p (2.27) , m ≥ 1, m > l, x ∈ A dãy Cauchy không gian đầy đủ B nên tồn lim (nq)d f ( d→∞ x ) ∈ B (nq)d Ta đặt H:A→B x → H(x) := lim (nq)d f d→∞ x (nq)d Khi đó, H ánh xạ • Lấy l = 0, qua giới hạn m → ∞ (2.24) ta (nq)l f x x − (nq)m f l (nq)m (nq) p Suy f (x) − H(x) p θp ≤ (nq)pr kéo theo θ f (x) − H(x) ≤ ( (nq)r ≤ ∞ j=0 ∞ j=0 θp (nq)pr m−1 j=l (nq)pj x (nq)prj (nq)pj x (nq)prj pr , (nq)pj p1 ) x r (nq)prj pr 29 Do đó, θ f (x) − H(x) ≤ (nq)pr − (nq)p p x r Như vậy, nf (nqx) − n2 qf (x) ≤ nθ x r • Với x1 , , xn ∈ A, ta có DH(x1 , , xn ) = lim (nq)d Df ( d→∞ x1 xn , , ) d (nq) (nq)d n (nq)d θ d→∞ (nq)dr = lim xj r j=1 = Từ đó, ta suy DH(x1 , , xn ) = • Với x, y ∈ A ta có H(xy) − H(x)H(y) = lim (nq)2d f ( d→∞ x y xy − f( f( d d d (nq) (nq) (nq) (nq)d (nq)2d θ ( x d→∞ (nq)dr ≤ lim r + y r) = Suy H(xy) = H(x)H(y) với x, y ∈ A • Xét ánh xạ T : A → B thỏa mãn (2.24) ta có x x −T d (nq) (nq)d x x −T ≤ (nq)d K H d (nq) (nq)d 2(nq)d Kθ p ≤ (nq)dr x r ((nq)pr )(nq)p H(x) − T (x) = (nq)d H + T x x −f d (nq) (nq)d Qua giới hạn n → ∞ ta suy H(x) = T (x) với x ∈ A Như vậy, H : A → B đồng cấu thỏa mãn định lý 2.3.3 Định lí Cho r thỏa mãn r > nq > < r < nq < 1, θ ≥ 0, f : A → B ánh xạ thỏa mãn n xi r ; Df (x1 , , xn ) ≤ θ j=1 (2.28) 30 f (xy) = f (x)f (y) (2.29) Khi đó, lim f d→∞ e (nq)d =e f (tx) liên tục R với x ∈ A cố định, ánh xạ f : A → B đẳng cấu Chứng minh Theo (2.29), ta có f (xy) = f (x)f (y) Do đó, theo Định lí 2.3.2, ta suy tồn đồng cấu H:A→B x → H(x) := lim (nq)d f d→∞ Ta có x (nq)d ex ) d→∞ (nq)d e )f (x) = lim (nq)d f ( d→∞ (nq)d H(x) = H(ex) = lim (nq)d f ( = e f (x) = f (x) Từ chứng minh ta suy f đẳng cấu KẾT LUẬN Trong trình làm luận văn, em tìm hiểu nghiên cứu kết sau (1) Cũng cố lại số kiến thức không gian metric, khơng gian topo giải tích hàm (2) Trình bày chứng minh chi tiết số kết ổn định phương trình hàm dạng f (qx + qy + qz) = f (x) + f (y) + f (z) q (3) Trình bày chứng minh chi tiết số kết tính ổn định phương trình hàm dạng m-biến (4) Trình bày chứng minh chi tiết số kết tính ổn định phương trình hàm đại số Banach Do thời gian đọc tài liệu chưa nhiều thời gian bảo vệ gấp nên Khóa luận em khơng tránh khỏi thiếu sót Bởi vậy, em mong nhận góp ý quý giá từ thầy Hội đồng chấm Khóa luận để Khóa luận em hồn thiện 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Yeol Je Cho, Choonkil Park, Themistocles M Rassias, Reza Saadati, Stability Of Functional Equations In Banach Algebras, Springer 2015 [2] R Engelking, General Topology, Warszawa 1977 [3] Walter Rudin, Functional Analysis, International series in pure and Applied Mathematics 1991 32 ... nhiều kết đồ sộ ổn định phương trình hàm không gian Banach (xem [3]) Bởi lý định hướng thầy giáo TS Lương Quốc Tuyển, em định chọn đề tài: ? ?Sự ổn định phương trình hàm đại số Banach? ?? làm đề tài... phương trình hàm đại số Banach 17 f (qx + qy + qz) = f (x) + f (y) + f (z) 17 q 2.1 Tính ổn định 2.2 Tính ổn định phương trình hàm m-biến 21 2.3 Tính ổn định đại. .. (x) = x =1 ε x CHƯƠNG SỰ ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRONG ĐẠI SỐ BANACH 2.1 Tính ổn định f (qx + qy + qz) = f (x) + f (y) + f (z) q 2.1.1 Bổ đề Giả sử X , Y không gian định chuẩn ánh xạ f :