Sự ổn định của phương trình chuyển mạch tuần hoàn tuyến tính

Luận văn thạc sĩ sự ổn định của hệ phương trình chuyển mạch tuần hoàn tuyến tính là tài liệu mô tả về hệ vi phân, hệ chuyển mạch tuần hoàn tuyến tính. Luận văn gồm lời nói đầu, ba chương và danh mục tài liệu tham khảo. Chương 1: Trình bày một số kiến thức chuẩn bị, bao gồm tính ổn định, ổn định tiệm cận cho hệ không chuyển mạch. Phương trình sai phân tuyến tính suy biến chỉ số 1 và định lý Floquet và các khái niệm về hệ chuyển mạch. Chương 2: Trình bày về tính ổn định, ổn định tiệm cận của hệ chuyển mạch tuần hoàn mô tả bởi hệ phương trình vi phân tuyến tính. Chương 3: Nghiên cứu tính ổn định, ổn định tiệm cận của hệ chuyển mạch tuần hoàn mô tả bởi hệ phương trình sai phân tuyến tính suy biến được trình bày ở chương ba.

i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn khơng trùng lặp với khóa luận, luận văn, luận án cơng trình nghiên cứu cơng bố Người cam đoan Nguyễn Mạnh Hùng ii Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Hồng Đức, hướng dẫn tận tình, nghiêm khắc GS.TSKH Phạm Kỳ Anh Nhân dịp xin bày tỏ lòng kính phục, biết ơn sâu sắc chân thành thầy, người không truyền dạy cho kiến thức quý báu suốt q trình hồn thành luận văn mà truyền cho tơi lòng đam mê khoa học ln thơng cảm, động viên, khích lệ tơi vượt qua khó khăn chuyên môn sống Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành đến thầy giáo trường Đại học Hồng Đức nói chung, Khoa Khoa học tự nhiên nói riêng, người truyền đạt cho tơi kiến thức, lòng say mê khoa học Đồng thời xin cảm ơn Ban giám hiệu trường THPT Hà Trung thầy cô giáo trường động viên giúp đỡ, tạo điều kiện cho tơi q trình học tập Cuối xin dành tặng luận văn cho gia đình, bạn bè tơi, người ln bên cạnh động viên, khích lệ tơi chỗ dựa tinh thần vững cho sống, học tập suốt trình nghiên cứu Mặc dù cố gắng nhiều thời gian trình độ hạn chế nên luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Vì tơi mong nhận bảo ý kiến đóng góp q thầy bạn Tơi xin chân thành cảm ơn! Thanh Hóa, tháng năm 2018 Kí tên Nguyễn Mạnh Hùng iii Mục lục ChươngDanh mục kí hiệu ChươngMở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Hệ phương trình vi phân thường 1.1.1 Một số khái niệm 1.1.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính 1.1.3 Lý thuyết Floquet 1.2 Phương trình sai phân tuyến tính suy biến số 1.2.1 Một số tính chất hệ phương trình sai phân suy biến số 1.2.2 Phân rã hệ phương trình sai phân suy biến số 11 1.3 Khái niệm hệ chuyển mạch 13 Chương Tính ổn định hệ chuyển mạch tuần hồn mơ tả phương trình vi phân tuyến tính 2.1 Hệ phương trình vi phân chuyển mạch tuần hồn tuyến tính 16 2.2 Tính ổn định mũ hệ chuyển mạch tuần hồn tuyến tính 17 Chương Tính ổn định hệ chuyển mạch tuần hồn mơ tả phương trình sai phân tuyến tính suy biến 3.1 Sự ổn định hệ chuyển mạch tuần hoàn rời rạc tuyến tính khơng suy biến 24 3.2 Tính ổn định hệ chuyển mạch tuần hoàn suy biến 26 3.3 Ổn định hóa hệ chuyển mạch tuần hồn suy biến 31 ChươngTài liệu tham khảo iv Danh mục kí hiệu R Trường số thực C Z Trường số phức Tập số nguyên Rn Rn×m Tập vectơ thực n chiều Tập ma trận thực n × m chiều In xT Ma trận đơn vị n × n chiều Vectơ chuyển vị vectơ x AT A−1 Ma trận chuyển vị ma trận A Ma trận nghịch đảo ma trận A λ (A) Giá trị riêng ma trận A ρ(A) x Bán kính phổ tập ma trận A Chuẩn vectơ x A det(A) Chuẩn ma trận A cảm sinh từ chuẩn vectơ Định thức ma trận A Reλ (A) rank(A) Phần thực giá trị riêng ma trận A Hạng ma trận A diag(a1 , , an ) ker(A) Ma trận đường chéo Nhân A Im(A) x(t) ˙ Ảnh A Đạo hàm hàm số x(t) exp(A) Ma trận mũ số e ⊕ Tổng trực tiếp Mở đầu Lý chọn đề tài Những thập niên gần đây, hệ chuyển mạch nhiều nhà toán học tập trung nghiên cứu thu nhiều kết có ý nghĩa Động lực thúc đẩy việc nghiên cứu hệ chuyển mạch xuất phát từ ý nghĩa thực tế kỹ thuật Hệ chuyển mạch có nhiều ứng dụng hệ thống điện, mạng truyền thông, sinh học, tốn đồng thuận vv Do đó, nghiên cứu tính ổn định hệ chuyển mạch nhận quan tâm nhiều nhà khoa học giới Nói riêng, việc nghiên cứu "Tính ổn định hệ chuyển mạch tuần hồn tuyến tính" cần thiết có ý nghĩa khoa học Mục đích đề tài Luận văn tập trung tìm hiểu số điều kiện cần đủ để hệ chuyển mạch tuần hồn tuyến tính ổn định ổn định tiệm cận Phương pháp nghiên cứu Luận văn sử dụng số phương pháp phương trình vi phân, đại số tuyến tính phương trình sai phân suy biến Ý nghĩa khoa học Luận văn tài liệu tham khảo bổ ích cho học viên cao học tốn giải tích, cho người chun lý thuyết ổn định cho người chuẩn bị làm nghiên cứu sinh Nội dung, phạm vi nghiên cứu Luận văn gồm lời nói đầu, ba chương danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: Trình bày số kiến thức chuẩn bị, bao gồm tính ổn định, ổn định tiệm cận cho hệ không chuyển mạch Phương trình sai phân tuyến tính suy biến số định lý Floquet khái niệm hệ chuyển mạch Chương 2: Trình bày tính ổn định, ổn định tiệm cận hệ chuyển mạch tuần hồn mơ tả hệ phương trình vi phân tuyến tính Chương 3: Nghiên cứu tính ổn định, ổn định tiệm cận hệ chuyển mạch tuần hoàn mơ tả hệ phương trình sai phân tuyến tính suy biến trình bày chương ba Cuối luận văn phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số kiến thức sở hệ phương trình vi phân thường, hệ phương trình sai phân tuyến tính suy biến số giới thiệu hệ chuyển mạch 1.1 Hệ phương trình vi phân thường Trong mục chúng tơi nhắc lại số kiến thức hệ phương trình vi phân thường trình bày [9] lý thuyết Floquet đề cập [7] 1.1.1 Một số khái niệm Định nghĩa 1.1.1 Hệ phương trình vi phân thường hệ phương trình có dạng: dxi = fi (t, x1 , x2 , , xn ), i = 1, 2, , m dt (1.1) t biến độc lập; x1 , x2 , , xn hàm cần tìm; fi hàm xác định bán trụ: T = It∗ × Dx , It∗ = {t0 < t < ∞} Dx miền mở thuộc Rm Định nghĩa 1.1.2 Hệ phương trình: dx = A(t)x(t) + F(t) dt (1.2) gọi hệ phương trình vi phân thường tuyến tính; A(t) = (ai j (t)) ma trận vng cấp n × n, F(t) = ( f1 (t), , fn (t))T x = (x1 , x2 , , xn )T Nếu F(t) = (F(t) = 0) ta gọi hệ (1.2) tương ứng hệ phương trình vi phân tuyến tính khơng (thuần nhất) Định nghĩa 1.1.3 Nghiệm y = y(t)(a < t < ∞) hệ phương trình vi phân tuyến tính dx = A(t)x(t), dt (1.3) x = (x1 , x2 , , xn )T , F(t, x) = ( f1 (t, x), f2 (t, x), , fn (t, x))T , dx dx1 dx2 dxn T =( , , , ) , dt dt dt dt gọi ổn định theo nghĩa Lyapunov t → ∞ với ε > t0 ∈ (a, ∞) tồn δ = δ (ε,t0 ) > cho i) Tất nghiệm x = x(t) hệ (1.3) (bao gồm nghiệm y(t)) thỏa mãn điều kiện x(t0 ) − y(t0 ) < δ , (1.4) xác định khoảng [t0 , +∞) tức x(t) ∈ Dx t ∈ t0 , +∞) ii) Đối với nghiệm bất đẳng thức sau thỏa mãn t0 ≤ t < ∞ x(t) − y(t) < ε (1.5) Định nghĩa 1.1.4 Nghiệm y = y(t)(a < t < ∞) gọi ổn định tiệm cận t → +∞ i) Ổn định theo nghĩa Lyapunov ii) Với t ∈ (a; +∞) tồn δ = δ (t0 ) > cho với nghiệm x(t), (t0 ≤ t < ∞) thỏa mãn điều kiện x(t0 ) − y(t0 ) < δ lim x(t) − y(t) = t→∞ (1.6) 1.1.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.2) với A(t) F(t) ma trận vectơ hàm liên tục (a; ∞) Giả sử Φ(t) = [φi j (t)] (det Φ = 0) (1.7) ma trận nghiệm hệ phương trình vi phân tuyến tính tương ứng dx = A(t)x(t) (1.8) dt Nếu ma trận nghiệm Φ(t) chuẩn hóa t = t0 , tức Φ(t0 ) = In , nghiệm x(t) hệ (1.8) có dạng x(t) = Φ(t)x(t0 ) (1.9) Định nghĩa 1.1.5 Hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.2) gọi ổn định tất nghiệm x = x(t) ổn định Lyapunov t → ∞ Định nghĩa 1.1.6 Hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.2) gọi ổn định tiệm cận tất nghiệm ổn định tiệm cận t → ∞ Định lý 1.1.7 Điều kiện cần đủ để hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.2) ổn định với số hạng tự F(t) nghiệm tầm thường x0 = (t0 < t < ∞, t0 ∈ (a; ∞)) hệ tương ứng (1.8) ổn định Định lý 1.1.8 Hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.2) ổn định tiệm cận nghiệm tầm thường x0 = hệ vi phân tuyến tính tương ứng (1.8) ổn định tiệm cận t → ∞ Định lý 1.1.9 Hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.8) ổn định Lyapunov nghiệm x = x(t)(t0 ≤ ∞) hệ bị chặn nửa trục (t0 ; +∞) Định lý 1.1.10 Hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.8) ổn định tiệm cận tất nghiệm x = x(t) dần tới không t → +∞, tức lim x(t) = t→∞ (1.10) Định lý 1.1.11 Hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.8) với ma trận hằng, ổn định tất nghiệm đặc trưng λi = λi (A) ma trận A có phần thực không dương ,tức là: Reλi (A) ≤ 0.(i = 1, 2, , n) Định lý 1.1.12 Hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.8) với ma trận hằng, ổn định tiệm cận tất nghiệm đặc trưng λi = λi (A) ma trận A có phần thực âm, tức là: Reλi (A) < 0.(i = 1, 2, , n) 1.1.3 Lý thuyết Floquet Xét hệ phương trình với hệ số biến thiên x(t) ˙ = A(t)x(t), t ≥0 x(t0 ) = x0 , (1.11) x(t) ∈ Rn , ma trận A(t) ∈ Rn×n liên tục khúc, bị chặn tuần hoàn với chu kì T Cho Φ(t,t0 ) ma trận chuyển trạng thái hệ (1.11) Khi ta có: (1) Φ(t + T,t0 + T ) = Φ(t,t0 ) (2) Tồn ma trận không suy biến P(t,t0 ) thỏa mãn P(t + T,t0 ) = P(t,t0 ), tồn ma trận Q cho Φ(t,t0 ) = P(t,t0 ) exp[(Q(t − t0 ))] (3) Phép biến đổi Lyapunov z(t) = P−1 (t,t0 )x(t), đưa hệ (1.11) hệ tuyến tính với ma trận z˙(t) = Qz(t), t ≥ t0 , z(t0 ) = x0 (1.12) Như vậy, hệ tuyến tính tuần hồn biến thiên theo thời gian đưa hệ tuyến tính bất biến theo thời gian qua phép biến đổi Lyapunov Đây sở lý thuyết Floquet Bây ta đặt: R = Φ(t0 + T,t0 ) Khi đó, ma trận Q xác định sau log(R) (1.13) T Các giá trị riêng λk , k = 1, , n ma trận Q gọi số mũ đặc trưng Q= giá trị riêng µk , k = 1, , n ma trận R gọi nhân tử đặc trưng Mối liên hệ số mũ đặc trưng nhân tử đặc trưng cho công thức 26 3.2 Tính ổn định hệ chuyển mạch tuần hồn suy biến Trong mục nghiên cứu tính E-ổn định cho hệ sai phân chuyển mạch tuần hoàn suy biến Chúng ta bắt đầu với định nghĩa sau Định nghĩa 3.2.1 : Hệ (3.1) gọi hệ phương trình sai phân chuyển mạch tuần hồn suy biến số 1, thỏa mãn điều kiện sau: (i) RankEi = r < n, i = 1, 2, , σ ; (ii) Si ∩ ker Ei−1 = {0}, k = 1, 2, , σ , E0 = Eσ ; (iii) Nếu ∆i := ki − ki−1 ≥ Si ∩ ker Ei = {0}; n Si = {η ∈ Rn : Ai η ∈ ImEi } Đặt Vi, j = {s1i , , sri , hr+1 j , , h j } ma trận mà cột vecơ sở Si ker E j , Q = diag(Or , In−r ) Chúng ta định nghĩa ma trận V (k), G(k) sau V (k) = Vi,i−1 , k = ki−1 + lN Vi,i , ki−1 + + lN ≤ k < ki + lN, ∆i ≥ 2;   Ei + AiVi,i−1 QVi,i−1 , k = ki−1 + lN, ∆i ≥     E +A V −1 i i i,i−1 QVi+1,i , k = ki−1 + lN, ∆i = G(k) =  Ei + AiVi,i QVi,i−1 , ki−1 + + lN ≤ k < ki − + lN, ∆i >     E + A V QV −1 , k = k − + lN, ∆ ≥ i i i,i i+1,i i i Hệ (3.1) có tính chất sau: (1) Si ⊕ ker Ei−1 = Rn , i = 1, 2, , σ Nếu ∆i > Si ⊕ ker Ei = Rn ; (2) G(k) ma trận không suy biến với k = 0, 1, 2, Sử dụng phép biến đổi Kronecker ¯ E(k) = V (k)−1 G(k)−1 E(k)V (k); ¯ A(k) = V (k)−1 G(k)−1 A(k)V (k − 1); x(k) ¯ = V (k − 1)−1 x(k) Có thể đưa hệ (3.1) dạng Ir O O On−r x(k ¯ + 1) = W (k) O O In−r x(k), ¯ (3.6) 27 ¯ với E(k) = Ir O W (k) O ¯ , A(k) = Đặt O On−r O In−r x(k) ¯ := (v(k)T , w(k)T )T , v(k) ∈ Rn , w(k) ∈ Rn−r Do đó, hệ (3.6) tương đương với hệ sau   v(k + 1) = W (k)v(k) (3.7)  w(k) = Ta đưa vào ma trận hàm H(λ ) = λ Eσ − Aσ G(N − 2)−1 Aσ G(0)−1 A1 , hàm đa thức đặc trưng pH (λ ) = det H(λ ) Khi định nghĩa phổ ma trận hàm H phổ hữu hạn cặp ma trận {Ei , Ai } theo thứ tự σ (H) = {λ ∈ C : pH (λ ) = 0}, σ (Ei , Ai ) = {λ ∈ C : det(λ Ei − Ai ) = 0} Sau xét toán giá trị ban đầu hệ (3.1) với E(−1) = E(0) = Eσ Định lý 3.2.2 Hệ (3.1) E-ổn định mũ phổ σ (H) nằm đường tròn đơn vị Chứng minh Ta đặt ¯ − 1)A(N ¯ − 2) A(0), ¯ ¯ ) = λ E(N ¯ − 1) − A(N H(λ với hàm đặc trưng ¯ ) = det(λ Ir − R), PH¯ (λ ) = det H(λ R = W (N − 1)W (N − 2) W (0) ¯ phổ R Điều chứng tỏ hệ (3.7) Theo định nghĩa, σ (H) ¯ ⊂ (0, 1) ổn định mũ σ (H) 28 Mặt khác, có ¯ − 1)A(N ¯ − 2) A(0) ¯ ¯ ) = λ E(N ¯ − 1) − A(N H(λ ¯ − 1)G(N − 2)−1 A(N ¯ − 2) ¯ − 1) −V (N − 1)−1 G(N − 1)−1 A(N = λ E(N ¯ G(0)−1 A(0)V (−1) = V (N − 1)−1 G(N − 1)−1 (λ Eσ − Aσ G(N − 2)−1 Aσ G(0)−1 A1 )V (−1) = V (N − 1)−1 G(N − 1)−1 H(λ )V (−1) ¯ = σ (H), nghĩa hệ (3.7) ổn định mũ Điều chứng tỏ σ (H) phổ σ (H) nằm hình tròn đơn vị S(0, 1) mặt phẳng phức Bên cạnh đó, hệ (3.7) ổn định dạng mũ tồn số dương hữu hạn γ > ≤ λ < cho với v0 ∈ Rr , nghiệm tương ứng thỏa mãn v(k) ≤ γλ k v0 , (3.8) v(0) = v0 điều kiện ban đầu Rr Sử dụng v(k) = (v(k)T , 0)T , chuẩn p với p = 1, 2, ∞ Ta viết lại (3.8) sau (v(k)T , 0)T ≤ γλ k (v(0)T , 0)T (3.9) Khi nghiệm tương ứng hệ (3.1) x(k) = V (k − 1)(v(k)T , 0)T Chúng ta có (v(k − 1)−1 x(k) ≤ γλ k (v(−1)−1 x(0) (3.10) Chọn µ = maxk=0, ,N−1 V (k) , µ¯ = maxk=0, ,N−1 V (k)−1 , ta x(k) = V (k − 1)V (k − 1)−1 x(k) ≤ V (k − 1) V (k − 1)−1 x(k) ≤ µγλ k V (−1)−1 x(0) ¯ k x(0) ≤ µ µγλ 29 Mặt khác x(0) = V (−1)(v(0)T , 0)T = V (−1) diag(Ir , 0)(v(0)T , 0)T = V (−1)(In − Q)V (−1)−1 x(0) = P(−1)x(0) = P(−1)x(0) Sử dụng đồng P(−1) = G(−1)−1 E(−1) ta thấy ¯ k G(−1)−1 E(−1)x(0) x(k) ≤ µ µγλ ≤ µ µ¯ G(−1)−1 γλ k E(−1)x(0) (3.11) = µ µ¯ G(−1)−1 γλ k E(−1)x0 Đặt γ¯ := µ µ¯ G(−1)−1 γ, từ (3.16) có ¯ k E(−1)x0 x(k) ≤ γλ Hệ thức cuối cho thấy nghiệm (3.1) E-ổn định mũ Định lý 3.2.2 chứng minh hồn tồn Trong ví dụ sau, sử dụng chuẩn Euclid véc tơ ma trận Ví dụ 3.2.3 Xét hệ phương trình sai phân chuyển mạch tuần hồn suy biến (3.1) với N = 3, ∆1 = ∆2 = ∆3 = 1,   1   E1 = 1 0 ,   E2 = 2   E3 = 3 0   0 , 0   0 , 0   0   A1 = 1 0 ; 0 1  0   A2 =  1  ; 0   0   A3 = 3 0 0 30 Ta thấy, rankE1 = rankE2 = rankE3 , ker E1 = ker E2 = ker E3 = span{(0, 0, 1)T }, S1 = S2 = S3 = span{(0, 0, 1)T , (0, 1, 0)T } Khi phương trình sai phân tuần hồn chuyển mạch suy biến số Rõ ràng là, V (k) = I3 , ∀k ≥ 0, Q = diag(0, I1 ), G(k) = E(k) + A(k)Q Bằng tính tốn đơn giản ta thấy   λ − 12 λ   H(λ ) = 3λ − 32 − 32  0 −1 −1 } ⊂ S(0, 1) σ (H) = { , 2 ma trận W1 = W2 = 1 ,W2 = −1 2 −1 Do đó, thu đánh giá sau: 3k ) v(0) v(3k) = (W3W2W1 )k v(0) ≤ 2( √ √ 3k+1 v(3k + 1) = W1 (W3W2W1 )k v(0) ≤ 2( √ ) v(0) √ 3k+2 v(3k + 2) = W2W1 (W3W2W1 )k v(0) ≤ 4( √ ) v(0) √ √ √ k v(0) Chọn γ1 = max{2, 2, 4} = 2, λ = √ , ta thấy v(k) ≤ γ1 λ Hơn nữa, sử dụng quan hệ x(k) = −1 T V (k) (v(k) , 0)T = (v(k)T , 0)T , x(0) = V (−1)−1 (v(0)T , 0)T = P(−1)x(0) = G(−1)−1 E(−1)x(0) chọn E(−1) = Eσ ta có x(k) ≤γ1 λ k G(−1)−1 E(−1)x(0) ≤2γ1 λ k E(−1)x(0) ≤γ1 λ k E(−1)x(0) , γ = 4γ1 , E(−1)x(0) = E(−1)x0 , x0 ∈ R3 Do đó, nghiệm (3.1) E-ổn định mũ 31 3.3 Ổn định hóa hệ chuyển mạch tuần hồn suy biến Trong mục xét vấn đề ổn định hóa hệ chuyển mạch tuần hồn thời điểm chuyển mạch ∆i điều khiển ngược Đầu tiên, chứng tỏ hệ con, tức cặp {Ei , Ai } ổn định tiệm cận, ta chọn khoảng kích hoạt ∆i đủ lớn so với khoảng kích hoạt hệ lại để có ổn định tiệm cận hệ chuyển mạch tuần hoàn Định lý 3.3.1 Giả sử tồn phổ hữu hạn σ (E j , A j ), ≤ j ≤ n nằm S(0, 1) Khi đó, tồn số N > đủ lớn khoảng kích hoạt ∆1 , , ∆σ cho hệ (3.1) E-ổn định mũ Chứng minh Chúng ta giả sử σ (Ei , Ai ) ⊂ S(0, 1), ≤ i ≤ σ số nguyên cố định Đặt ∆i = ki − ki−1 , τ = ki−1 + cho ∆i ≥ 3, có V (τ) = V (τ − 1) V (τ) V (τ − 1) ma trận mà cột véc tơ sở Si ker Ei Chúng ta chứng tỏ phổ W (τ) nằm S(0, 1) Từ quan hệ det(λ Ir −W (τ)) = ¯ ¯ ⇔ det(λ E(τ) − A(τ)) =0 ⇔ det(λV (τ)−1 G(τ)−1 E(τ)V (τ) −V (τ)−1 G(τ)−1 A(τ)V (τ − 1)) = ⇔ det(λ E(τ) − A(τ)) = suy σ (W (τ)) ≡ σ (Ei , Ai ) Hơn nữa, để ý R = W (N − 1) W (ki ) W (0) = W (N − 1) W (ki )W (τ)∆i −2W (ki−1 ) W (0) = W (N − 1) W (ki ) W (τ)∆i −2 W (ki−1 ) W (0) Chọn ∆1 = ∆2 = · · · = ∆i−1 = ∆i+1 = ∆N = 1, số ma trận W (N − 1), ,W (ki ),W (ki−1 ), ,W (0) khơng thay đổi, tồn M > cho W (N − 1) W (ki ) W (ki−1 ) W (0) ≤ M 32 Từ điều kiện σ (W (τ)) ⊂ S(0, 1), suy tồn ∆i đủ lớn để W (τ)∆i −2 < M Quan hệ chứng tỏ R < 1, đó, ρ(R) ≤ R < 1, điều chứng tỏ hệ (3.1) E-ổn định mũ Ví dụ 3.3.2 Xét hệ (3.1) với σ =   1   E1 = 1 0 ,   E2 = 2   E3 = 3   0   A1 = 2 0 ; 0  1 0   A2 = 1 0 ; 0   0 , 0   0 , 0  0   A3 = 1 0  0 0 Rõ ràng là, −1 σ (E1 , A1 ) = {−1, 2}, σ (E2 , A2 ) = { , }, σ (E3 , A3 ) = {1, −1}, 2 σ (E2 , A2 ) ⊂ S(0, 1) Theo định lí 3.3.1, cho ∆2 đủ lớn, ta thu kết hệ ổn định mũ Cụ thể chọn ∆2 = 4, ∆1 = ∆3 = 1, có   λ − 38 λ   H(λ ) = 3λ − 81 0  σ (H) = { −1 , } ⊂ S(0, 1) 16 24 Ngoài dễ dàng đánh giá √ √ )k v(0) v(k) ≤ 5( 12 33 Đặt √ √ √ E(−1) = E3 , γ = G(−1)−1 = 55, λ = 12 Ta có x(k) ≤ γλ k E(−1)x0 , x0 véc tơ R3 Do đó, hệ (3.1) E-ổn định mũ Chú ý 3.3.3 Trong số trường hợp, tất phổ σ (E j , A j ), j = 1, , σ , khơng nằm hình tròn đơn vị, hệ chuyển mạch tuần hồn ổn định Xét ví dụ cho hệ (3.1) với σ   E1 = 1 =    0    0 , A1 = 2 0 ; 0 0  1   1 0     E2 = 3 0 , A2 = 1 0 0 0 Quan sát thấy rằng, σ (E1 , A1 ), σ (E2 , A2 ), khơng nằm đường tròn đơn vị Chọn N = 4, ∆1 = ∆2 = 2, có   λ − 49 λ − 19 81   H(λ ) = 3λ − − 0 −1 16 σ (H) = { , } 81 Chúng ta thấy x(k) ≤ 30( k ) E(−1)x0 Điều chứng tỏ hệ E-ổn định mũ Tiếp theo xét ổn định hóa hệ chuyển mạch tuần hồn điều khiển ngược Xét hệ điều khiển sau E(k)x(k + 1) = A(k)x(k) + B(k)u(t), (3.12) 34   (E1 , A1 , B1 ), lN ≤ k ≤ k1 + lN,      (E2 , A2 , B2 ), k1 + lN ≤ k ≤ k2 + lN,     (E(k), A(k), B(k)) =       l = 0, 1, 2,    (E , A , B ), k σ σ σ σ −1 + lN ≤ k < (l + 1)N (3.13) Trong Ei , Ai ∈ Rn×n , Bi ∈ Rn×m i = 1, 2, 3, , σ ma trận cho, x(k) ∈ Rn×n biến vectơ chưa biết, u(k) ∈ Rm vectơ điều khiển Chúng ta giả sử tất ma trận Ei suy biến, nghĩa rankEi = r < n, = k0 < k1 < k2 < · · · < kσ −1 < kσ < N số nguyên xác định thời điểm chuyển mạch Cùng với (3.12), xét hệ tương ứng sau E(k)x(k + 1) = A(k)x(k) (3.14) Ta tìm điều khiển ngược dạng sau u(k) = D(k)x(k), (3.15) D(k) ∈ Rm×n Với điều khiển ngược (3.15) hệ (3.13) ta có hệ đóng sau E(k)x(k + 1) = (A(k) + B(k)D(k))x(k) (3.16) Định lý 3.3.4 Giả sử hệ (3.14) số tồn ba (Ei , Ai , Bi ) cho rank(λ Ei − Ai , Bi ) = n, ∀λ ∈ C, |λ | ≥ Khi tồn số đủ lớn N > 0, với kích hoạt ∆1 , ∆2 , , ∆σ ma trận điều khiển ngược D1 , D2 , , Dσ cho hệ (3.12) với điều khiển ngược (3.15) E-ổn định mũ Chứng minh Sử dụng phép biến đổi Kronecker cho hệ (3.12), đặt ¯ = V (k)−1 G(k)−1 B(k) ≡ B(k) B1 (k) B2 (k) viết lại hệ (3.12) sau  x1(k ¯ + 1) = W (k)x1(k) ¯ + B1 (k)u(k) x2(k) ¯ = −B (k)u(k) , (3.17) 35 Chọn ∆ ≥ 4, τ = ki + 2, ta thấy rank(λ Ei − Ai , Bi ) = rank(λ E(τ) − A(τ), B(τ)) ¯ ¯ ¯ = rank(λ E(τ) − A(τ), B(τ)) = rank λ Ir −W (τ) B1 (τ) −In−r B2 (τ) = rank(λ Ir −W (τ), B1 (τ)) + n − r = n, ∀λ ∈ C, |λ | ≥ Từ quan hệ trên, ta thấy rank(λ Ir −W (τ), B1 (τ)) = r, ∀λ ∈ C, |λ | ≥ Từ đó, chọn ma trận D1 ∈ Rm×r cho σ (W (τ) + B1 (τ)D1 ) ⊂ S(0, 1) Khi ma trận điều khiển ngược có cấu trúc sau   (D , 0)V (τ)−1 , nếuτ + lN ≤ k ≤ k − + lN i+1 D(k) =  0, trường hợp lại Dễ dàng thấy hệ đóng (3.16) số viết lại   (W (τ) + B (τ)D )v(k), nuτ + lN ≤ k ≤ k − + lN 1 i+1 v(k + 1) =  W (k)v(k), trường hợp lại   B (τ)D v(k), nuτ + lN ≤ k ≤ k − + lN i+1 w(k) =  0, trường hợp lại (3.18) Do σ (W (τ) + B1 (τ)D1 ) ⊂ S(0, 1), tồn số đủ lớn N kích hoạt ∆1 , , ∆σ cho hệ (3.18) ổn định mũ đều, nghĩa tồn γ > ≤ λ < cho v(k) ≤ γλ k v(0) Đặt   B (τ)D , nếuτ + lN ≤ k ≤ k − + lN i+1 M(k) =  0, trường hợp lại có w(k) = M(k)v(k) Do nghiệm hệ (3.12) với điều khiển ngược 36 (3.15) x(k) = (V (k − 1)v(k)T , (M(k)V (k))T )T Rõ ràng, x(k) = V (k − 1)V (k − 1)−1 x(k) = V (k − 1)(v(k)T , w(k)T )T = V (k − 1) Ir M(k) v(k) ≤µωγλ k v(0) , µ = maxk=0, ,N−1 v(k) , ω = maxk=0, ,N−1 Ir M(k) Mặt khác, ý (v(0)T , 0)T = diag(ir , 0)(v(0)T , (M(0)v(0))T )T = V (−1)−1 G(−1)−1 E(−1)x(0), chúng đến kết luận x(k) ≤ µωγλ k V (−1)−1 G(−1)−1 E(−1)x(0) ≤ Γλ k E(−1)x0 , Γ = µωγ V (−1)−1 G(−1)−1 Quan hệ chứng tỏ nghiệm hệ (3.12) với điều khiển ngược (3.15) E-ổn định dạng mũ Định lý chứng minh Ví dụ 3.3.5 Xét hệ (3.12) với σ = 2,     0     E1 = 1 0 , A1 = 2 0 , 0 0    1 0 1     E2 = 3 0 , A2 = 1 0 , 0     B1 =   ; −1     B2 = 1 ; 0 Bằng tính tốn đơn giản thấy rank(λ E1 − A1 , B1 ) = 3, ∀λ ∈ C Chọn N = 9, ∆1 = 8, ∆2 = 1, ma trận D1 = 0 , −5 −5 , D2 = 37 thu hệ sau          v(k), nếu5l ≤ k ≤ + 5l   −5 −7   6 v(k + 1) =    3    v(k), nếuk = + 5l    −4   − 5 v(k), 5l ≤ k ≤ + 5l w(k) =  0, k = + 5l Dễ dàng đánh giá được: k k √ v(k) ≤ 15( √ ) v(0) x(k) ≤ 309( ) E(−1)x0 9 5 Điều đảm bảo nghiệm hệ tương ứng E-ổn định dạng mũ 38 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Luận văn trình bày số kết tính ổn định hệ phương trình vi phân chuyển mạch tuần hồn tuyến tính hệ chuyển mạch tuần hồn mơ tả phương trình sai phân tuyến tính suy biến dựa lý thuyết Floquet Kết luận văn là: 1) Giới thiệu khái niệm hệ phương trình vi phân thường, hệ chuyển mạch hệ phương trình sai phân tuyến tính suy biến số định lý Floquet 2) Trình bày tính ổn định, ổn định mũ lớp hệ chuyển mạch tuần hồn tuyến tính theo lý thuyết Floquet ví dụ minh họa 3) Trình bày tính ổn định, ổn định hóa lớp hệ chuyển mạch tuần hồn mơ tả hệ phương trình sai phân tuyến tính suy biến lấy số ví minh họa cho kết đưa Hướng nghiên cứu luận văn nghiên cứu hệ chuyển mạch cho phương trình sai phân tuyến tính suy biến số 39 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Phương Anh (2015), Ổn định hệ chuyển mạch vi phân đại số tuyến tính với hệ ổn định khơng ổn định, Luận văn thạc sĩ Toán học [2] P.K Anh and D.S Hoang (2006), "Stability of a class of singular difference equations", Inter J Differ Equ , pp 181–193 [3] P.K.Anh and H.T.N.Yen (2006), "Floquet theorem for linear implicit nonautonomous difference systems", J Math Anal Appl 321 , pp 921–929 [4] P.K Anh, N.H Du, and L.C Loi (2007), "Singular difference equations: An overview", Vietnam J.Math.35, pp 339–372 [5] P.K Anh and P.T Linh (2017), "Stability of periodically switched discrete-time linear singular systems", J Difference Equ Appl., 23(10), pp.1680-1693 [6] S.N Elaydi (2005), An Introduction to Difference Equations, 3rd ed., Springer, New York [7] Găokcek (2004), "Stability analysis of periodically switched linear systems using Floquet theory", Mathematical Problems in Engineering., pp, 1-10 [8] E Griepentrog, R Marz (1986), "Differential-Algebraic Equations and Their Numerical Treatment", Teubner-Texte Math., vol 88, Teubner, Leipzig [9] Nguyễn Thế Hoàn Phạm Phu (2009), Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, NXB Giáo dục [10] L.C Loi, N.H Du, and P.K Anh (2002), "On linear implicit non-autonomous systems of difference equations", J Difference Equ Appl 8, pp 1085–1105 [11] Peleties and R A DeCarlo (1991), "Asymptotic stability of m-switched systems using Lyapunov-like functions", Proc IEEE New Jersey., 14 (3), 1679 - 1684 [12] W Polderman (2004), Stability of switched system, Univ Twente 40 [13] W.J Rugh (1996),Linear System Theory, 2nd ed., Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ [14] Zhendong Sun, Shuzhi Sam Ge (2011), Stability theory of switched dynamical system, Springer - Verlag London