phương pháp diện tích thể tích

Ph ng pháp di n tích,th tích m t ph ng pháp r t hay gi i quy t toán hình h c m t ph ng không gian.Ph ng pháp th ng s d ng toán ch ng minh ,liên quan n t l ,s ng d ng c a hình Sau ây xin gi i thi u m t s s d ng ph ng pháp di n tích ,th tích Bài Trong m t ph ng cho tam giác ∆ABC G O m t i m b t kì thu c mi n tam giác c nh AB, AC , BC l n l t t i C1, B1 A1 Ch A1O B1O C1O + + =3 A1G B1G C1G Ch ng minh: G i M trung i m c a BC H , K L l n l t hình chi u c a A, O G lên ng th ng BC ,khi ó ta có: ∆A1OK ∆A1GL ng d ng nên A1O OK = (1.1) A1G GL m t khác ∆MGL ∆MAH ng d ng nên AH AM = =3 (1.2) GL GM C T (1.1) (1.2) suy A1O 3OK = (1.3) A1G AH D th y S∆OBC OK = (1.4) S∆ABC AH S∆OBC AO T (1.3) (1.4) = S∆ABC A1G S∆OAC BO Hoàn toàn t ng t ,ta có : = S∆ABC 3B1G i G tr ng tâm tam giác ∆ABC , ∆ABC ng th mg GO c t ng minh r ng : A B1 G M L H S∆OAB C1O = S∆ABC 3C1G O C1 K B A1 Do Suy S∆OBC + S∆OAC + S∆OAB = S ∆ABC S∆OBC + S∆OAC + S∆OAB S S S = ⇔ ∆OBC + ∆OAC + ∆OAB = S∆ABC S ∆ABC S∆ABC S∆ABC AO BO CO ⇔ + + =1 A1G 3B1G 3C1G A1O B1O C1O Hay + + = ( pcm) A1G B1G C1G Bài (M r ng c a sang không gian) Trong không gian cho t di n ABCD G i G tr ng tâm t di n ABCD , O m t i m b t kì thu c mi n t di n ABCD ng th mg GO c t m t BCD, ACD, ABD ABC l n l t t i A1, B1, C1 D1 Ch ng minh r ng : A1O B1O C1O D1O + + + =3 A1G B1G C1G D1G Ch ng minh G i M tr ng tâm tam giác ∆BCD H , K E l n l t hình chi u c a A, G , O xu ng m t ph ng ( BCD ) Khi ó , ∆A1GK ∆A1OE ng d ng ,nên: A1G GK = (2.1) A1O OE Vì ∆AHM ∆GKM ng d ng , G tr ng tâm t di n ABCD nên: MG GK = = (2.2) MA AH A1G AH T (1.2) (2.2) ,thì = (2.3) A1O 4OE VOBCD OE D th y = (2.4) VABCD AH V AO T (2.3) (2.4) ,suy OBCD = VABCD A1G V BO V CO V DO L p lu n t ng t ,ta có OACD = , OABD = OABC = VABCD B1G VABCD 4C1G VABCD D1G A C1 D1 O G B E H k D B1 M A1 C VOBCD + VOACD + VOABD + VOABC = VABCD V + VOACD + VOABD + VOABC Do ó , OBCD =1 VABCD V V V V AO BO CO DO ⇔ OBCD + OACD + OABD + OABC = ⇔ + + + = VABCD VABCD VABCD VABCD A1G B1G 4C1G D1G A1O B1O C1O D1O Hay + + + = ( pcm) A1G B1G C1G D1G Vì Bài Trong m t ph ng cho tam giác ∆ABC O m t i m b t kì thu c mi n ng th mg AO c t BC , BO c t AC ,CO c t AB l n tam giác ∆ABC Các l t t i M , N P Tìm giá tr! bé nh t c a bi u th c OM ON OP F= + + OA OB OC L i gi i : Gi s H , K l n l t chân ng vuông h t A O xu ng c nh BC t S∆ABC = S , S ∆OBC = a , S ∆OAC = b , S∆OAB = c , ó ta có: a + b + c = S S AH AM OM + OA OA OM a = = = =1+ = a OK OM OM OM OA S − a L p lu n t ng t , ta có A ON b OP c = = OB S − b OC S − c Suy OM ON OP F= + + OA OB OC a b c = + + S −a S −b S −c N O C = F=S P H K B A1 S S S −1 + −1 + −1 S −a S −b S −c 1 + + −3 S −a S −b S −c 1 1 = ( S − a) + ( S − b) + ( S − c) + + −3 S −a S −b S −c Theo b t ng th c Bunhiacopski ta có 1 + + ≥9 ( S − a) + ( S − b) + ( S − c) S −a S −b S −c 3 Do ó F ≥ − = V y Fmin = ,d u b ng x y ch 2 S S a = b = c = = ∆ABC 3 : Bài 4.(m r ng c a toán sang không gian) Trong không gian cho t di n ABCD O m t i m b t kì thu c mi n t di n ABCD Các ng th mg AO c t ( BCD ) , BO c t ( ACD ) ,CO c t ( ABD ) DO c t ( ABC ) l n l t t i M , N , P Q Tìm giá tr! bé nh t c a bi u th c OM ON OP OQ F= + + + OA OB OC OD L i gi i : Gi s H , K l n l t chân ng vuông h t A O xu ng m t ph ng ( BCD ) t VABCD = V ,VOBCD = a ,VOACD = b ,VOABD = c , VOABC = d ó ta có: a + b + c + d = V V AH AM OM + OA OA OM a = = = =1+ = a OK OM OM OM OA V − a A Q P B Oj N D H K M C L p lu n t Suy ng t , có: ON b OP c OQ d = , = = OB V − b OC V − c OD V − d OM ON OP OQ a b c d + + + = + + + OA OB OC OD V − a V − b V − c V − d V V V V = −1 + −1 + −1 + −1 V −a V −b V −c V −d 1 1 =V + + + −4 V −a V −b V −c V −d F= = (V − a ) + (V − b ) + (V − c ) + (V − d ) Theo b t 1 1 + + + −4 V −a V −b V −c V −d ng th c Bunhiacopski ta có : (V − a ) + (V − b ) + (V − c ) + (V − d ) 1 1 + + + ≥ 16 V −a V −b V −c V −d : 16 4 − = V y Fmin = ,d u b ng x y ch 3 V V a = b = c = d = = ABCD 4 Do ó F ≥ Nh n xét: B n toán có chung m t ph ng pháp ó :T m t i m b t k" # mi n hình ó, chia nh$ hình ó thành hình nh$ h n mà có chung nh t i i m ó cho t%ng di n tích,th tích hình nh$ b ng di n tích, th tích c a hình l n nh t(hình b! chia).Sau ó khéo léo s d ng t l di n tích ,th tích c a hình ã c chia hình l n nh t v i t l ng cao t ng ng Sau ây m t vài t p t gi i Bài Cho tam giác nh n ∆ABC v i ba ng cao AA1, BB1, CC1 G i H tr c tâm Ch ng minh r ng: HA1 HB1 HC1 a) + + =1 AA1 BB1 CC1 AH BH CH b) + + ≥6 A1H B1H C1H Bài Trong tam giác ∆ABC ,trên c nh AC BC l n l t l y i m M N Trên MN l y i m L t S∆ABC = S , S∆AML = P, S ∆BNL = Q Ch ng minh r ng: S ≥3P+3Q Bài Cho t di n ABCD Có AB = CD, AC = BD, AD = BC i m O i m b t k" n m t di n.H OA1, OB1, OC1, OD1 t ng ng vuông góc v i m t ( BCD ) , ( CDA) , ( DAB ) ( ABC ) Xác !nh v! trí c a O cho th tích c a t di n A1B1C1D1 l n nh t ... có chung m t ph ng pháp ó :T m t i m b t k" # mi n hình ó, chia nh$ hình ó thành hình nh$ h n mà có chung nh t i i m ó cho t%ng di n tích, th tích hình nh$ b ng di n tích, th tích c a hình l n... nh$ b ng di n tích, th tích c a hình l n nh t(hình b! chia).Sau ó khéo léo s d ng t l di n tích ,th tích c a hình ã c chia hình l n nh t v i t l ng cao t ng ng Sau ây m t vài t p t gi i Bài Cho... OC1, OD1 t ng ng vuông góc v i m t ( BCD ) , ( CDA) , ( DAB ) ( ABC ) Xác !nh v! trí c a O cho th tích c a t di n A1B1C1D1 l n nh t