Tính chất tiệm cận của phương trình vi phân đại số chính quy hóa

Tính chất tiệm cận phương trình vi phân-đại số qui hóa Michael Hanke Antonio R Rodriguez Giới thiệu Trong báo xem xét tính chất tiệm cận phương pháp qui chuẩn cho phương trình vi phân đại số tuyến tính hồn tồn ẩn (của Dae) A(t ) x '+ B (t ) x (t ) = 0, t ∈ [ t0 , ∞ ) (1.1) Chúng cho A (t) số cho tất t ∈ [ t0 , ∞ ) Các toán phát sinh tự nhiên số ứng dụng, ví dụ mạng lưới điện, hạn chế hệ học vật rắn, động học phản ứng hóa học làănsuwj tuyến tính hoá toán phi tuyến Đây lí quan tâm lớn dành cho việc phân tích, hình học số trị Dae năm gần Ngày nay, biết Dae (1.1) kết hợp nhiều tính so với phương trình vi phân thơng thường rõ ràng (tức giải cho phương trình x' ) Một tiêu chuẩn thô phân biệt lớp khác Dae cho khái niệm số Dae Mặc dù có số khái niệm khác (với độ khác mục đích ứng dụng) sử dụng phổ biến, mục tiêu chung chúng để phân loại Dae cho sẵn khác với phương trình vi phân thông thường rõ ràng đến mức Dae ình thường (nghĩa A (t)) không suy biến cho tất t ∈ [ t0 , ∞ ) ) đặc trưng số Chỉ số mô tả lớp "đơn giản nhất" Dae Phương trình số cao có số lớn Theo phân tích, quan hệ đại số chứa (1.1) làm cho phương trình số cao bao hàm nhiều toán vi phân dẫn đến phương pháp sai phân hữu hạn trở nên không ổn định Sự bất ổn trở nên nguy hiểm hạch A(t) thay đổi theo t ([9]) Mặt khác, số phương thức số học có sẵn cho nghiệm Dae số Vì vậy, cách để giải toán số cao giảm số Trong báo xem xét phương pháp qui chuẩn Phương trình (1.1) bị dao động tham số nhỏ ε dẫn đến hệ kết có số và, cho ε → , nghiệm hệ qui có xu hướng (1.1) Chúng xem xét phương pháp tiếp cận [7] mà hội tụ đặc điểm phân tích [4, 5] Lưu ý phương pháp liên quan chặt chẽ đến tham số hoá khác, số Baumgarte ổn định (cf [1]) Chúng tơi quan tâm đến tính ổn định phương pháp qui chuẩn Cụ thể, cho thấy (1,1) tiệm ổn định (trong ý nghĩa đây), hệ qui Kết tương tự cho hệ tựa tuyến tính tự trị đưa [10] liên quan tiêu chí ổn định chứng tỏ [2] [8] Chúng nhấn mạnh kết hợp lệ hạch A(t) phụ thuộc vào t Bài viết cấu trúc sau Trong Phần giới thiệu phép biểu diễn nghiệm số tuyến tính số Dae Thúc đẩy khái niệm tiệm cận ổn định theo số mũ [3], khái quát khái niệm đến trường hợp Dae Phần xem xét qui hố phương trình vi phân đại số tuyến tính số và số đặc điểm Cuối cùng, phần 5, chúng tơi trình bày kết thu liên quan đến tính ổn định tiệm cận theo số mũ qui hố Tính ổn định tiệm cận mũ phương trình vi phân đại số tuyến tính (Dae) Trước hết, xét phương trình vi phân thường : x ' = B (t ) x, ( ) t ∈ [ t0 , ∞ ) (2.1) m m với hệ số liên tục B ∈ C [ t0 , ∞ ) , L ( ¡ ) , x ( t ) ∈ ¡ Định nghĩa ([3, trang 84]) Nghiệm tầm thường (2.1) gọi ổn định tiệm cận mũ (EAS) có số α, K> cho với t ≥ t0 , x ∈ ¡ m nghiệm toán giá trị ban đầu x '+ B (t ) x = 0, () t ∈ t , ∞ ) x t = x0 thoã mãn điều kiện: | x(t ) |≤ K | x | e −α ( t −t ) , t0 ≤ t ≤ t < ∞ Ghi chú: (i) Nếu nghiệm tầm thường (2,1) ổn định tiệm cận mũ, chúng ổn định tiệm cận (theo nghĩa Lyapunov) (ii) Nếu B(t ) ≡ B ma trận hằng, nghiệm tầm thường (2.1) ổn định tiệm cận mũ phần thực giá trị riêng B âm Định nghĩa Với t ∈ [ t0 , ∞ ) giả sử V (t ) không gian ¡ m Nghiệm tầm thường (2.1) gọi tiệm ổn định tiệm cận mũ V, có số α, K> cho () với t ≥ t0 , x ∈ V t , nghiệm toán giá trị ban đầu x '+ B ( t ) x = 0, t ∈ t , ∞ () ) x t = x0 thoả mãn điều kiện | x ( t ) | ≤ K | x0 | e ( ) −α t − t , t0 ≤ t ≤ t < ∞ Trái với định nghĩa tập giá trị ban đầu chấp nhận bị hạn chế Định nghĩa dường thơng dụng Tuy nhiên hữu ích không gian V(t) không gian nghiệm ) () () bất biến, tức là, x(t) nghiệm (2.1) t; ∞ với x t ∈ V t x ( t ) ∈V ( t ) với ) t ∈ t ; ∞ Bây ta xem xét phương trình tuyến tính A ( t ) x '+ B (t ) x = 0, t ∈ [ t0 , ∞ ) (2.2) với hệ số liên tục Giả sử không gian không N(t) A (t) trơn, tức tồn ( ma trận hàm khả vi liên tục Q ∈ C [ t0 , ∞ ) , L ( ¡ m )) cho Q(t) phép chiếu lên N(t) Lưu ý A(t) không đổi Trường hợp tầm thường N(t) ≡ {0} bị loại trừ Hơn nữa, giả sử P = I - Q Để đơn giản hoá, ta bỏ t cách viết phép chiếu với hệ số không gian không N A(t) (hệ số ma trận hàng đầu) xác định hàm Cụ thể, AQ ≡ tức Ax ' = APx ' = A(( Px) '− P ' x ) Do đó, (2.2) viết lại A( Px) '+ ( B − AP ') x = 0, t ∈ [ t0 , ∞ ) (2.3) Vì vậy, tìm kiếm nghiệm (2.2) không gian hàm { C 1N [ t0 , ∞ ) := y ∈ C [ t0 , ∞ ) | Py ∈ C [ t0 , ∞ ) Chính xác hơn, hàm x : [ t0 , ∞ ) → ¡ m } gọi nghiệm (2.2) thuộc C 1N [ t0 , ∞ ) thoã mãn (2.2) Giả sử B0 := B − AP ', A1 := A + B0Q Nếu x nghiệm (2.2), đó, với t ∈ [ t0 , ∞ ) , x(t ) thuộc { S (t ) := z ∈ ¡ m | B0 (t ) z ∈ R ( A ( t ) ) } R(A(t)) kí hiệu hạng A(t) (2,2) gọi chuyển (hoặc số Dae) nếu, với t ∈ [ t0 , ∞ ) , N ( t) ⊕ S ( t) = ¡ m (2.4) (2.4) tương đương với điều kiện A(t) suy biến ([2, Định lý A.13]) Rõ ràng, (2,3) tương đương với A1 { P ( Px ) '+ Qx} + B0 Px = (2.5) −1 −1 Nếu (2,2) có số 1.Nhân vế trái (2.5)với QA1 PA1 ần lượt ta có hệ tương đương ( Px ) '− P ' Px + PA1−1B0 Px = Qx + QA1−1 B0 Px = Bổ đề Nếu (2,2) có số Khi (2.2) tương đương với hệ u '+ ( PA1−1 B0 − P ')u = v + QA1−1 B0u = t ∈ [ t0 , ∞ ) (2.6) ( ( ) ) với số t ∈ [ t , ∞ ) ,thì Tron u = Px v = Qx Hơn nữa, u ∈ R P t () −1 nghiệm u toán giá trị ban đầu u '+ ( PA1 B0 − P ') u = 0, u t = u thoã mãn u ( t ) ∈ R ( P ( t ) ) , t ∈ [ t0 , ∞ ) Chứng minh Bổ đề rõ ràng Để khẳng định thứ hai, đơn giản nhân phương trình vi phân với Q dẫn đến (Qu)′ − Q′Qu = −1 −1 Đặc biệt, (2.6) có nghĩa x = Px + Qx = u − QA1 B0u = ( I − QA1 B0 ) Pu Chú ý Qs ( t ) := QA1−1 B0 ( t ) chiếu ¡ m vào N(t) dọc theo S(t) Thứ thành phần Px nghiệm tìm được, thành phần khơng gian không xác định đơn giản () phép gán Do đó, điều kiện ban đầu xác định cho Px t Điều thể định nghĩa sau Định nghĩa Giả sử (2.2) Dae số Nghiệm tầm thường (2,2) gọi ổn định tiệm cận mũ có số α, K> cho với t ≥ t0 , x ∈ ¡ m , nghiệm toán giá trị ban đầu A ( t ) x '+ B ( t ) x = 0, ( )( ( ) t ∈ t , ∞ ) ) P t x t − x0 = thoã mãn đấnh giá: () | x ( t ) |≤ K | P t x | e ( ) −α t −t , t0 ≤ t ≤ t < Ghi chú: Trong [2, tr 74] ổn định tiệm cận theo nghĩa Lyapunov định nghĩa cho phương trình Dae chuyển nhượng phi tuyến tổng quát Nếu nghiệm tầm thường (2.2) ổn định tiệm cận mũ, ổn định tiệm cận theo nghĩa định nghĩa cuối Định lý Giả sử Qs = QA1−1B0 bị chăn [ t0 , ∞ ) Khi đó, nghiệm tầm thường (2.2) ổn định tiệm cận mũ nghiệm tầm thường ( ) u '+ PA1−1 B0 − P ' u = 0, t ∈ [ t0 , ∞ ) ,là ổn định tiệm cận mũ R(P(t)) −1 Chứng minh suy từ (2,6) biểu diễn x = ( I − QA1 B0 ) Pu Chú ý: Trong [2, tr 78] khái niệm tính rút gọn cho phi tuyến Dae chuyển nhượng xác định Bổ đề 1.2.44 tài liệu chuyên khảo cho thấy tính rút gọn ngụ ý ổn định mũ tiệm cận Trái với (2.4),phươngtrình vi phân đại số có số cao đặc trưng tính khơng tầm thường giao N ( t ) ∩ S ( t ) Tương đương, A1 lúauy biến Giả sử Q1 ( t ) phép chiếu lên hạt nhân A1 ( t ) B1 = B0 P, A2 = A1 + B1Q1 Phương trình vi phân đại số (2.2) giải với số với ấnuy biến A2 ( t ) không suy biến Trong trường hợp (2.3) tương đương với A2 [ P1{P ( Px ) '+ Qx} + Q1 x] + B1 P1 x = (2.7) −1 Nhờ Bổ đề A.13 [2] Q1 A2 B1 ( t ) phép chiếu lên N ( A1 ( t ) ) Giả sử −1 chọn phép chiếu đặc biệt ,nghĩa Q1 ≡ Q1 A2 B1 Đặc biệt, Q1Q = cho Q, PQ1 , PP1 phép chiếu tích chúng triệt tiêu Khi đó, x −1 −1 xác định sau: x = Qx + PQ1 x + PP1 x Bây nhân (2.7) với PP1 A2 , PQ1 A2 QP1 A2−1 tương ứng ta ( PP1 x ) '+ ( PP1 A2−1B1 − ( PP1 ) ') PP1 x = ( ) PQ1 x = Qx + ( QQ1 ) '+ QP1 A2−1B1 PP1 x = với Q1 khả vi liên tục Bổ đề Giả sử phương trình (2,2) chuyển đượci với số Q1 ≡ Q1 A2−1 B1 khả vi liên tục Khi phương trình (2.2) tương đương với hệ ( ) z '+ PP1 A2−1 B1 − ( PP1 ) ' z = y=0 (2.8) ( ) v = − ( QQ1 ) '+ QP1 A2−1B1 z ( ( )) z = PP1 x, y = PQ1 x v = Qx Hơn nữa, z ∈ R PP1 t nghiệm z toán giá trị đầu ( với số t ∈ [ t0 , ∞ ) , () ) z '+ PP1 A2−1 B1 − ( PP1 ) ' z = 0, z t = z , thoã mãn z ( t ) ∈ R ( PP1 ( t ) ) , t ∈ [ t0 , ∞ ) −1 Đặc biệt, ta có x = z + y + v = ( I − ( QQ1 ) '− QP1 A2 B1 ) PP1 z ,trong z giải cách tường minh với điều kiện đầu ( ( )) () z t ∈ R PP1 t Một lần ý π ( t ) = ( I − ( QQ1 ) ' ( t ) − QP1 A2−1B1 ( t ) ) PP1 ( t ) phép chiếu với N ( π (t ) ) = N ( PP1 ( t ) ) () Tương tự với trường hợp số 1,các điều kiện đầu xác định cho PP1 t Đinh nghĩa Giả sử phương trình (2.2) chưa giải với số 2, ửong Q = Q1 A2−1B1 liên tục khả vi Nghiệm tầm thường phương trình (2.2) gọi ổn định tiệm cận mũ có số α, K> cho với t ≥ t , x ∈ R m nghiệm toán giá trị ban đầu A( t ) x'+ B( t ) x = 0, ( )( ( ) ) [ ) t ∈ t, ∞ PP1 t x t − x = thoã mãn đánh giá: () | ( t ) |≤ K | PP1 t x | e −α ( t −t ) , t ≤ t ≤ t < ∞ Bổ đề định nghĩa cho ta kết định lý sau Định lý Giả sử giả thiết Bổ đề thỗ mãn Thêm vào đó, giả sử ( QQ1 ) ' QP1 A2−1 B1 bị chặn Khi đó, nghiệm tầm thường phương trình (2,2) ổn định tiệm cận mũ nghiệm tầm thường nghiệm phương trình: ( ) z '+ PP1 A2−1 B1 − ( PP1 ) ' z = 0, t ∈ [ t , ∞ ) ổn định tiệm cận mũ R( PP1 ( t ) ) Chú ý: (I) Một lần nữa, nghiệm tầm thường phương trình (2,2) ổn định tiệm cận mũ ổn định theo nghĩa Lyapunov (Ii) Các kết liên quan đến ổn định Lyapunov hệ to nơm có số tìm thấy [8] (Iii)Với giả thiết Định lý 2, tính rút gọn định nghĩa [6] điều kiện đủ ổn định tiệm cận mũ nghiệm tầm thường 3.Chính quy hố phương trình vi phân Đại số có số Phương pháp xấp xỉ phương trình vi phân đại số có số cao phương pháp giảm số Chúng ta xem xét phương pháp dựa quy hố Chính xác hơn, phương trình vi phân Đại số có số (2.3) thay phương trình vi phân đại số có nhiễu [4] ( A + εB0 P )( Px ) '+ B0 x = (3.1) Dễ dàng để thấy với ε nhỏ đủ ε ≠ , (3.1) phương trình vi phân Đại số số (2,2) chuyển với số Ký hiệu Aε = A + εB0 P Đối với không gian khơng ta có N ( A( t ) ) ⊆ N ( Aε ( t ) ) Nếu, với N ( A( t ) ) = N ( Aε ( t ) ) số với t ∈ [ t , ∞ ) Rõ ràng, t ∈ [ t , ∞ ) , z ∈ N ( Aε ( t ) ) , = Aε z = ( A2 + εB0 P − B0 Q − B0 PQ1 ) z Nhân phương trình với Q1 A2−1 ta εQ1 z = (Lưu −1 −1 ý Q1 = Q1 A2 B0 P, A2 B0 Q = Q ) Mặt khác, cách nhân với PP1 A2−1 ta PP1 z + εPP1 A2−1 B0 PP1 z = Nếu PP1 A2−1 B0 hoàn toàn bị chặn [ t , ∞ ) , PP1 z = với ε đủ nhỏ Nhưng điều tương đương với z ∈ N ( A( t ) ) PQ1 z = Ma trận có thích hợp để tính chuyển nhượng đ ược (3,1) là: A1,ε = Aε + B0 Q − A + εB0 P + B0 Q (3.2) Sựkhơng suy biến A1,ε biểu thị tương tự Thật vậy, giả sử, cho A1,ε z = y với giá trị cố định t ∈ [ t ,+∞) Vì A1,ε = A2 − B0 PQ1 + εB0 P , ta có cách nhân trái với Q1 A2−1 , PP1 A2−1 QA2−1 tương ứng, ( I + εPP A −1 εQ1 z = Q1 A2−1 y ) B0 PP1 z + PP1 B0 PQ1 z = PP1 A2−1 y Qz − QQ1 z + εQA2−1 B0 P ( P1 + Q1 ) z = QA2−1 y Với y ∈ ℜ m cho trước,từ phương trình ta tính cho Q1 z , phương trình thứ −1 hai giải với PP1 z ε đủ nhỏ PP1 A2 B0 hồn tồn bị chặn Thành phần khơng gian khơng xác định phương trình thứ ba Điều −1 không suy biến Lưu ý || A1,ε ( t ) ||= O(ε −1 ) từ Q1 z = Q1 A2−1 y ε Tính hội tụ nghiệm toán giá trị đầu (3.1) theo hướng (2.2) đặc trưng mở rộng tiệm cận khoảng Compac Để xác hơn, xét (2.2) đoạn Compac [ t , T ] với điều kiện đầu ( ) PP1 ( t ) x( t ) − x = (3.3) Do (3.1) có số 1, ta cần thêm điều kiện ban đầu PQ1 x( t ) để xác định rõ có nghiệm Trong quan điểm (2.10) điều hợp lý để chọn PQ1 x( t ) = Với ε đủ nhỏ, ε>0, giả sử xε biểu thị nghiệm (3.1) tùy thuộc vào điều kiện ban đầu (3.3) PQ1 x( t ) = (3.4) [ t , T ] [4] rằng, với giả thiết độ tính trơn thích hợp, mở rộng tiệm cận có dạng: N ( ) ( xε ( t ) = ∑ x j ( t ) + x j (τ ) ε j + O ε N +1 j =0 ) (3.5) t với τ = , | x j (τ ) |≤ Ce −τ x0 nghiệm (2.2) thuộc (3.3) Nếu PQ1 x( t ) không ε phải chọn thay (tức (3,4)), thuật ngữ bổ sung x −1 (τ ) ε −1 với P x −1 ≡ xuất Dạng (3.5) dẫn đến đoán rằng, toán số (2.2) ổn định tiệm cận theo số ý nghĩa, điều hệ qui hố Tuy nhiên nói chung điều khơng Trong phần đưa điều kiện đủ để ổn định tiệm cận mũ Nhờ số phương pháp qui hố tác giả khác hoàn toàn thay (3,1), cf [1], mong cho kết tương tự Rất thuận tiện để kết hợp (3,1) (2,10) (x [4]) Bổ đề Giả sử giả thiết Bổ đề thoả mãn Thêm nữa, giử sử C1 := PP1 A2−1 B1 khả vi liên tục C := QP1 A2−1 B1 Khi (3.1) tương đương với hệ ( I + εC1 ) z '+( C1 − ( PP1 ) ') z − ( ( PP1 ) '+εC1' ) PQ1 y = εy '−ε ( PQ1 ) ' z + ( I − ε ( PQ1 ) ') y = v = −C z − εC ( z '+ y ') + QQ1 ( z '+ y ') (3.6) z = PP1 x, y = PQ1 x, v = Qx Thêm nữa, z ∈ R ( PP1 (t ) ) với số t ∈ [ t , ∞ ) , nghiệm toán giá trị đầu ( I + εC1 ) z '+( C1 − ( PP1 ) ') z − ( ( PP1 ) '+εC1' ) PQ1 y = 0, z (t ) = z ả mãn z ( t ) ∈ R ( PP1 (t )) với t ∈ [ t , ∞ ) hàm liên tục y Một khẳng định tương tự y nghiệm phương trình thứ hai Sự ổn định tiệm cận mũ phương trình vi phân đại số qui hố Mục đích phần tính ổn định tiệm cận mũ (2.2) chuyển sang (3.1) với số giả thiết tính bị chặn tính trơn Bổ đề Giả sử M ( t ) ∈ C [ t , ∞ ) cho M M' bị chặn Khi đó, với ε đủ nhỏ thì: (i) xε ( t ) := I + εM ( t ) không suy biến −1 (ii) xε ( t ) bị chặn [ t , ∞ ) số bị chặn không phụ thuộc vào ε ( iii) || d −1 xε ( t ) ||≤ εK hoàn toàn [ t , ∞ ) dt Chứng minh (i) (ii) đơn giản hệ Định lý Banach (iii) suy từ d −1 −1 −1 xε ( t ) = − xε ( t ) xε ( t ) = −εxε ( t ) M ' ( t ) xε ( t ) dt Bổ đề 5: Xét hệ x'+ A( t , ε ) x = 0, t ∈ [t0 , ∞) với < ε ≤ ε hệ nhiễu x'+ A( t , ε ) x = F ( t , ε ) x, (4.1) t ∈ [ t0 , ∞ ) m Giả sử A, F : [ t , ∞ ) × [ 0, ε ] → L( ℜ ) hàm ma trận liên tục Giả sử (4.2) (i) (4.1) ổn định tiệm cận tập hợp không gian V, với số α(ε), K(ε), (ii) R( F ( t , ε ) ) ⊆ V ( t ) với t ∈ [ t , ∞ ) ε ∈ ( 0, ε ) (iii) || F ( t , ε ) ||≤ εKˆ hoàn toàn [ t , ∞ ) với ε ∈ ( 0, ε ] , (iv) α ( ε ) > εK ( ε ) K , ε ∈ ( 0, ε ] Khi (4.2) ổn định tiệm cận mũ V, đánh giá sau đúng: | x( t ) |≤ K ( ε ) e −α ( ε ) ( t −t ) | x (t ) |, t ≤ t < t < ∞, ε ∈ ( 0, ε ] 0 với nghiệm (4.2) thoả mãn điều kiện đầu x(t ) = x ∈V (t ) Ở đây, αˆ ( ε ) = α ( ε ) − εK ( ε ) Kˆ Chứng minh: Giả sử φ ( t , s, ε ) kí hiệu nghiệm (4.1) ứng với điều kiện ban đầu φ ( t , s, ε ) = I Nhờ giả thiết (i), ta có: | φ ( t , s, ε ) c |≤ K ( ε ) | c | e −α ( ε )( t − s ) , t ≤ s ≤ t < ∞ (4.3) Với c ∈V ( s ) Nghiệm (4.2) ứng với điều kiện đầu x(t ) = x xác định nghiệm phương trình tích phân: t x( t ) = φ (t , t , ε ) x + ∫ φ ( t , s, ε ) F ( s, ε ) x( s ) ds, t ≥ t t Vì F ( s, ε ) x( s ) ∈V ( s ) theo giả thiết (ii), (4.3) với x ∈V (t ) t | x( t ) |≤ K ( ε ) | x | e −α ( ε ) ( t −t ) + ∫ K ( ε ) || F ( s, ε ) || | x( s ) | e −α ( ε )( t −s ) ds t ≤ K (ε ) | x | e (4.4) t ( ) + εK ( ε ) Kˆ e −α ( ε )( t − s ) | x( s ) | ds ∫ −α ( ε ) t −t t t α(ε )s | x( s ) | ds ta có Nhân bất đẳng thức cuối với eα ( ε ) t , ký hiệu y ( t ) = ∫ e t y ' ≤ K ( ε ) | x | eα ( ε ) t + εK ( ε ) Kˆ y tương đương với ˆ ≤ K | x | eα ( ε ) t y '− ε K ( ε ) Ky (ε) Nhân với e −εK ( ε ) Kˆt tính tích phân ta có y( t ) ≤ ( ) | x | α ( ε ) t −εK ( ε ) Kˆ ( t −t ) e e −1 εKˆ Thay đánh giá vào (4.4) ta có: | x( t ) |≤ K ( ε ) | x | e − (α ( ε ) −εK ( ε ) K ) ( t −t ) ˆ Từ suy điều phải chứng minh Bây giờ, chứng minh kết Định lý Giả sử giả thiết Định lý thỏa mãn Thêm nữa, giả sử rằng: QQ1, , CC1 = PP1 A2−1 B1 , C2 = PQ1 A2−1B1 , ( PQ1 ) ', ( PQ1 ) '', PP1 ( PP1 ) ' hoàn toàn bị chặn [ t0 ; +∞ ] Nếu (2.2) ổn định tiệm cận mũ (3.1) ổn định tiệm cận mũ Chứng minh: (3,1) tương đương với (3,6) Ký hiệu xε = I + εC1 Hai phương trình (3,6) viết lại sau: z '+ ( C1 − ( PP1 ) ') z − ( PP1 ) ' PQ1 y = ε C1 X ε−1 ( C1 − ( PP1 ) ' ) z + ε X ε−1C1' PQ1 − ε C1 X ε−1 ( PP1 ) ' y (4.5) 1  y '− ( PQ1 ) ' z +  I − ( PQ1 ) ' ÷ y = ε  −1 −1 Ở ta sử dụng đồng thức X ε = I − ε C1 X ε Thêm nữa, ( I − PP1 ) C1 = X ε−1C1 ' PQ1 = X ε−1 ( C1PQ1 ) '− C1 ( PQ1 ) ' = − X ε−1C1 ( PQ1 ) ' = −C1 X ε−1 ( PQ1 ) ' cho, vế phải (4.5) thuộc:  PP (t )   V ( t ) := R I   Theo Bổ đề 5, ta chuyển sang xem xét hệ: z '+( C1 − ( PP1 ) ') z − ( PP1 ) ' PQ1 y = 1  y '−( PQ1 ) ' z +  I − ( PQ1 ) '  y = ε  Ký hiệu M ε ( t ) = ( PQ1 ) '− I Ta giới thiệu phép biến đổi: ε (4.6) z z   = T ( t , ε )    y  y với I 0 I 0   , T ( t , ε ) −1 =  −1  T ( t , ε ) :=  −1  − M ε ( t )( PQ1 ) ' I   M ( t , ε )( PQ1 ) ' I  (4.7) −1 −1 Vì M ε ( t ) = −ε ( I − ε ( PQ1 ) ') , T T −1 bị chặn theo t ε   z     z Do đó,   có tính chất tiệm cận giống   Từ (4.6) suy y y  z '   ( PP1 ) '−C1   =   y'     ( PP1 ) ' PQ1   z  z    + F ( t , ε )    y   y Mε (4.8) F ( t,ε ) =   − ( PP1 ) PQ1M ε−1 ( PQ1 ) '  −1 ÷  M ε ( PQ1 ) ' ( ( PP1 ) '− C1 ) − M ε−1 ( PQ1 ) ' ( PQ1 ' ) ( PP1 ) ' PQ1M ε−1 ( PQ1 ) '−  M ε−1 ( PQ1 ) ' ' M ε−1 ( PQ1 ) ' ( PP1 ) ' PQ1 ÷     Theo giả thiết || F ( t , ε ) ||≤ εKˆ hoàn toàn t Phần (4,8) viết lại  z '   ( PP1 ) '−C1   =   y'     Giả sử thêm rằng: ( PP1 ) ' PQ1  y  Mε    z  (4.9)  PP ( t )   V ( t ) := R I   Giả sử t ∈ [ t , ∞] va   ∈V (t ) cho trước Nghiệm y (4,9) thỏa mãn phương trình y   z0  y '+ y = ( PQ1 ) ' y ε cho, với t ≥ t , t y ( t ) = e ( ) y + ∫ e −( t − s ) / ε ( PQ1 ) ' ( s ) y ( s ) ds − t −t / ε t dẫn tới đánh giá sau: t | y ( t ) |≤ e −( t −t ) / ε | y | +γ ∫ e −( t −s ) / ε | y ( s ) | ds t đây, γ kí hiệu giới hạn ( PQ1 ) ' Tương tự bước chứng minh Bổ đề ta (4.10) | y ( t ) |≤ e − ( / ε −γ ) ( t−t ) | y | 10 Giả sử φ(t, s) nghiệm z ' = ( ( PP1 ) '−C1 ) z ứng với điều kiện đầu φ(s,s)=I Giả sử (2.2) ổn định tiệm cận mũ; với đánh giá | φ ( t , s ) c |≤ β | c | e −α ( t − s ) , t0 ≤ s ≤ t < ∞ với c ∈ R( PP1 ( s ) ) Định lý (4.9) viết lại ( ) t z ( t ) = φ t , t z − ∫ φ ( t , s )( PP1 ) ' ( s ) PQ1 ( s ) y ( s ) ds t Vì z ∈ R ( PP1 (t ) ) va` ( PP1 ) ' ( s ) PQ1 ( s ) y ( s ) = [ ( PP1 PQ1 ) ' ( s ) − PP1 ( s )( PQ1 ) ' ( s ) ] y ( s ) = − PP1 ( s )( PQ1 ) ' ( s ) y ( s ) ∈ R( PP1 ( s ) ) , ta có: | z ( t ) |≤ β | z | e ( ) −α t −t t + ∫ β | PP1 ( s ) ( PQ1 ) ' ( s ) y ( s ) | e −α ( t − s ) ds t | z ( t ) |≤ β | z | e ( ) −α t −t t + βδ ∫ e −α ( t − s ) | y ( s ) | ds t δ giới hạn || ( PP1 ) ' PQ1 || Cuối cùng, (4,10) cho ta | z ( t ) |≤ β | z | e ( ) + βδ | y | −α t −t Nếu ε < ( α + γ ) −1 , | z ( t ) |≤ Ke ( ) −α t − t 1   −α ( t −t ) − −γ  ( t −t )  e − e ε      − (α + γ )  ε max{| z |,| y |}, t0 ≤ t ≤ t < ∞ βδ Trong Chú ý rằng, K = β với ε đủ nhỏ −(α +γ ) ε Bây áp dụng Bổ đề 5, R( F ( t , ε ) ) ⊆ V ( t ) với t ε Đối với nghiệm (4,8) K = max{β , ứng với điều kiện đầu z (t ) = z ∈ R( PP1 ( x ) ), y ( t ) = y ∈ ℜ m ta có: max{| z ( t ) |, | y ( t ) |} ≤ Ke −α ( t −t ) max{| z (t ) |, | y (t ) |} với K αˆ = α − ε KKˆ ≈ α với ε nhỏ Vì tính chất tiệm cận bảo tồn phép biến đổi (4,7), ta có đánh giá tương tự nghiệm (4,6) Áp dụng Bổ đề lần (4.5) Định lý ta có điều phải chứng minh Ghi chú: Việc chứng minh cho thấy số α mô tả phân hủy tiệm cận nghiệm (2.2) (3.1) trùng với O(ε) Do || T ( t , ε ) ||= + O( ε ) || T ( t , ε ) −1 ||= + O( ε ) kết tương tự với số ổn định K PP1 va`PQ1 , thành phần có liên quan −1 −1 −1 Vì || A1,ε ||= O (ε ) , số ổn định thành phần hạch Qx giống O ( ε ) γ Một nhìn sâu (3,6) cho thấy tính chất nhờ QQ1 y ' phương trình xác định v = Qx Nếu giá trị đầu x (3.1) hạn chế PQ1 x(t ) = , y t = ( ε ) () 11 số ổn định lại K Theo Định nghĩa ta nên gọi khái niệm ”ổn định tiệm cận số mũ ứng với PP1 ” Kết luận Đối với phương trình vi phân đại số qui hố có số 2, ta dạng đặc biệt ổn định tiệm cận theo nghĩa Lyapunov bảo toàn Trong điều dễ dàng biết hệ Ơtơnơm, kết ta không gian không biến đổi theo thời gian Mặt khác, giả định bị chặn phép chiếu đạo hàm sử dụng Không rõ ràng liệu yêu cầu mạnh có cần thiết Thêm nữa, có chứng mạnh mệnh đề tương tự cho với số khái niệm khác ổn định tiệm cận ổn định qui hố Sự nghiên cứu tốn phi tuyến hồn tồn mở Tham khảo [1] E Eich M Hanke phương pháp qui chuẩn cho khí chế multibody hệ ZAMM, 75:761-773, 1995 [2] E Griepentrog R Marz Phương trình đại số phân-Và họ Numerical Điều trị Teubner-Texte zur Mathematik; 88 Teubner, Leipzig, 1986 [3] JK Hale Phương trình vi phân thơng thường, thứ Ed Krieger, Malabar, 1980 [4] M Hanke Tiệm cận với phương pháp mở rộng qui chuẩn tuyến tính hồn tồn ngầm phương trình vi phân-đại số Z Anal und ihre Anw., 13:513-535, 1994 [5] M Hanke Regularizations od-đại số phương trình vi phân xem xét lại Toán Nachrichten, năm 1995 [6] M Hanke, E Izquierdo M., R Marz Ngày asymptotics trường hợp số tuyến tính Dae 94-5 in lại, Humboldt-Univ., Fachbereich Toán., Berlin, 1994 [7] R Marz Ngày tractability với số 109 in lại,-Univ Humboldt., Sektion Mathematik, Berlin, 1986 [8] R Marz Thực hành tiêu chuẩn ổn định Lyapunov-đại số phương trình vi phân Trong Trung tâm Banach ấn phẩm; Vol 29, biên tập viên, phân tích Numerical tốn học mơ hình, trang 245-266 Tự tạo - Nhà xuất khoa học Ba Lan, Warsaw, 1994 [9] LR Petzold -Đại số phương trình vi sai thơ ca ngợi SIAM J Sci & Thống kê Comp., 3:367-384, 1982 [10] Caren Tischendorf Về ổn định nghiệm số tự trị-1-dể làm quasilinear index-2-dể làm Dae CSSP, 13:139-154, 1994 12 ... bày kết thu liên quan đến tính ổn định tiệm cận theo số mũ qui hố Tính ổn định tiệm cận mũ phương trình vi phân đại số tuyến tính (Dae) Trước hết, xét phương trình vi phân thường : x '' = B (t... định tiệm cận mũ nghiệm tầm thường 3.Chính quy hố phương trình vi phân Đại số có số Phương pháp xấp xỉ phương trình vi phân đại số có số cao phương pháp giảm số Chúng ta xem xét phương pháp dựa quy. .. y nghiệm phương trình thứ hai Sự ổn định tiệm cận mũ phương trình vi phân đại số qui hố Mục đích phần tính ổn định tiệm cận mũ (2.2) chuyển sang (3.1) với số giả thiết tính bị chặn tính trơn