Tính ổn định của phương trình volterra vi tích phân tuyến tính trên không gian banach

B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM THNH PH H CH MINH Nguyn Thnh Trung TNH N NH CA PHNG TRèNH VOLTERRA VI TCH PHN TUYN TNH TRấN KHễNG GIAN BANACH LUN VN THC S TON HC Thnh ph H Chớ Minh 2009 B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM THNH PH H CH MINH Nguyn Thnh Trung TNH N NH CA PHNG TRèNH VOLTERRA VI TCH PHN TUYN TNH TRấN KHễNG GIAN BANACH Chuyờn ngnh : Toỏn Gii tớch Mó s : 60 46 01 LUN VN THC S TON HC NGI HNG DN KHOA HC: PGS TS Lấ HON HO Thnh ph H Chớ Minh - 2009 LI CM N thc hin thnh cụng lun ny tụi xin chõn thnh cm n Quý thy cụ thuc hai trng i hc S phm Thnh ph H Chớ Minh, i hc Khoa hc T Nhiờn ó nhit tỡnh ging dy cho tụi sut khoỏ hc, cm n phũng Khoa hc Cụng ngh Sau i hc ó to iu kin thun li cho tụi quỏ trỡnh hc v thc hin lun Tụi xin chõn thnh cỏm n PGS TS Lờ Hon Hoỏ ó tn tỡnh hng dn tụi sut thi gian qua, cỏm n cỏc anh ch hc viờn lp Gii tớch K17 ó ng viờn giỳp v cho nhiu ý kin quý bỏu giỳp tụi hon thin lun ny Tỏc gi lun Nguyn Thnh Trung MC LC Trang Trang ph bỡa Li cm n Mc lc Danh mc cỏc ký hiu, cỏc ch vit tc M U Chng : CC NH NGHA V KT QU CHUN B Chng : TNH N NH V TNH KH TCH CA NH X GII 10 2.1 nh lý 2.1 10 2.2 nh lý 2.2 13 Chng : N NH TIM CN U V NGHIM -B CHN, NGHIM HU TUN HON TIM CN 19 3.1 Nghim -b chn 19 3.2 Nghim hu tun hon tim cn 22 Chng : P DNG VO MT S PHNG TRèNH VOLTERRA VI TCH PHN TNG QUT HN 30 4.1 p dng vo phng trỡnh Volterra tng quỏt hn 30 4.2 Vớ d 4.2 31 KT LUN 35 TI LIU THAM KHO 36 DANH MC CC K HIU V CH VIT TT Trong lun ny, chỳng tụi kớ hiu - X, X khụng gian Banach vi chun - Vi J X kớ hiu: + C ( J ; X ) khụng gian cỏc hm liờn tc trờn J, nhn giỏ tr trờn X + BC ( J ; X ) khụng gian ca C ( J ; X ) gm cỏc hm liờn tc v b chn trờn J Khi ú BC ( J ; X ) l khụng gian Banach vi chun sup J - L(X) khụng gian Banach cỏc ỏnh x tuyn tớnh b chn trờn X vi chun ỏnh x tuyn tớnh - AP( ;X) khụng gian cỏc hm f : X hu tun hon M U Trong lun ny, chỳng tụi xem xột cỏc phng trỡnh Volterra vi tớch phõn tuyn tớnh: t (E) du (t ) Au (t ) B t , s u s ds, t dt (E ) dv(t ) Av (t ) B t , s v s ds, t : (; ), dt (P) du (t ) Au (t ) B t , s u s ds p (t ), t dt (P ) dv(t ) Av(t ) B t , s v s ds p (t ), t , dt : [0; ), t t , t ú: - A l phn t sinh ca na nhúm compact C0 cỏc ỏnh x tuyn tớnh b chn trờn khụng gian Banach X - B(t,s) ỏnh x tuyn tớnh b chn trờn X tho hu tun hon theo t u theo s - Trong trng hp X l hu hn chiu, cỏc tỏc gi [1], [2] ó ỏnh giỏ c mi liờn h gia tớnh n nh ca phng trỡnh Volterra vi tớch phõn v phng trỡnh gii hn Trong ú, ni bt l tớnh n nh tim cn u v s kh tớch ca ỏnh x gii (resolvent operator), ng dng ch s tn ti ca nghim b chn ca phng trỡnh khụng thun nht - Trong khuụn kh ca lun ny, chỳng tụi m rng nhiu kt qu [1], [2] cho trng hp X l vụ hn chiu Nu theo ng [1], [2] X vụ hn chiu, chỳng ta s gp nhiu khú khn, vớ d nh ỏnh giỏ tớnh kh tớch ca ỏnh x gii - gii quyt khú khn trờn, chỳng tụi a nhng tớnh cht yu hn cho ỏnh x gii (nh lý 2.1) Tht vy, (E) l phng trỡnh chp, ngha l B (t , s ) B(t s ) , tớnh cht yu cho ta tớnh kh tớch ca ỏnh x gii, kt qu l chỳng ta cú th ỏnh giỏ tớnh n inh tim cn u ca (E) bng tớnh kh tớch ca ỏnh x gii, cng nh bng tớnh kh nghch ca ỏnh x c trng (nh lý 2.2) Do vy, nh lý 2.2 l s tng quỏt hoỏ cỏc kt qu cho trng hp X vụ hn chiu Cui cựng, bng cỏch s dng tiờu chun yu ca ỏnh x gii, chỳng tụi i n nhng kt qu nh s tn ti ca nghim hu tun hon tim cn ca phng trỡnh khụng thun nht vi phn tun hon tim cn (nh lý 3.2.4), v cỏc kt qu v ph Borh ca phn hu tun hon ca nghim hu tun hon tim cn (nh lý 3.2.7) Cỏc kt qu c trỡnh by lun ny c tham kho ch yu t cỏc bi bỏo, cỏc cụng trỡnh nghiờn cu ca Hino, Y v Murakami Lun c chia lm cỏc chng sau: Chng 1: CC NH NGHA V KT QU CHUN B Trong chng ny, chỳng tụi trỡnh by cỏc nh ngha, cỏc kt qu s b: mnh v nh lý phc v cho cỏc chng minh cỏc chng sau Chng 2: TNH N NH V TNH KH TCH CA NH X GII Chng ny chỳng tụi trỡnh by iu kin cn v nghim khụng ca (E) l n nh (nh lý 2.1), liờn h gia tớnh n nh ca nghim khụng ca (E) v tớnh kh tớch ca ỏnh x gii R(t, s) (nh lý 2.2) Chng 3: N NH TIM CN U V NGHIM -B CHN, NGHIM HU TUN HON TIM CN Trong chng ny, vi gi thit (E) n nh tim cn u, chỳng tụi i n cỏc kt qu nh: Tớnh nht ca nghim -b chn ca (P ) (nh lý 3.1.1), cụng thc nghim -b chn ca (P ) (nh lý 3.1.2) Ngoi ra, a khỏi nim hu tun hon tim cn v khỏi nim v ph Borh, chỳng tụi i n kt qu v s tn ti nht nghim -b chn hu tun ho tim cn v quan h ph Borh ca phn hu tun hon ca nghim (nh lý 3.2.7) Chng 4: P DNG VO MT S PHNG TRèNH VOLTERRA VI TCH PHN TNG QUT HN Trong chng ny, chỳng tụi xột thờm mt phng trỡnh Volterra vi tớch phõn tuyn tớnh thy rừ cỏc kt qu ó cú ỏp dng c vo phng trỡnh ny Ngoi ra, chỳng tụi cũn nghiờn cu thờm mt vớ d v phng trỡnh vi tớch phõn vi iu kin biờn Neumann thy r tớnh ỏp dng ca lý thuyt va nờu Chng CC NH NGHA V KT QU CHUN B Equation Chapter Section Xột cỏc phng trỡnh Volterra vi tớch phõn tuyn tớnh: t (E) du (t ) Au (t ) B t , s u s ds, t dt (E ) dv(t ) Av (t ) B t , s v s ds, t : (; ), dt (P) du (t ) Au (t ) B t , s u s ds p (t ), t dt (P ) dv(t ) Av(t ) B t , s v s ds p (t ), t , dt : [0; ), t t , t Vi A l phn t sinh ca na nhúm C0 compact T (t )t cỏc ỏnh x tuyn tớnh trờn khụng gian Banach X, B(t,s) l ỏnh x tuyn tớnh liờn tc b vi s t v hu tun hon chn, liờn tc theo chun ỏnh x 1.1 nh ngha 1.1 B(t, s) c gi l hu tun hon bin t u theo s nu vi mi v bt k compact J khong m : (;0] , tn ti s dng l ( , J ) cho mi di l ( , J ) cha thỡ B(t , t s ) B (t , t s ) , t , s J 1.2 nh ngha 1.2 Vi bt k ( , ) nht hm u: u ( ) ( ), [0, ] v BC [0; ]; X v p BC [ ; ); X tn ti X tho u liờn tc trờn [ , ) , s u (t ) T (t ) ( ) T (t s ) B( s, )u ( )d p ( s ) ds, t t (1.1) Hm u c gi l nghim yu ca (P) theo ( , ) trờn [ ; ) v kớ hiu l u (, , , p ) Tng t, vi bt k ( , ) BC (-; ]; X v p BC [ ; ); X tn X tho v liờn tc trờn [ , ) , ti nht hm v : v( ) ( ), (, ] v s v(t ) T (t ) ( ) T (t s ) B ( s, )v( )d p ( s ) ds, t t (1.2) Hm v c gi l nghim yu ca (P ) theo ( , ) trờn [ ; ) v kớ hiu l v(, , , p ) 1.3 nh ngha 1.3 Nghim khụng ca (E) c gi l n nh nu vi bt k , tn ti ( ) tho p BC [ ; ); X nu vi ( , ) mi [0, ] ( ) u (t , , , p ) X vi t , ú [0, ] BC ([0, ], X ) v ( ) thỡ v p [ , ) sup ( x) X s[0; ] 1.4 nh ngha 1.4 Nghim khụng ca (E ) c gi l n nh nu vi bt k , tn ti ( ) tho p BC [ ; ); X vi nu mi ( , ] ( , ) BC ((, ], X ) ( ) v(t , , , p ) X ) vi t , ú [- , ] v p [ , ) sup ( x ) X s[ ; ] ( ) v thỡ 22 v (t ) : v(t , n ,0; p ) n t R(t , s) p(s)ds n hi t v nghim -b chn ca (P ) , compact trờn Khi ú t lim n Do n R(t , s) p(s)ds v(t ) n l dóy bt kỡ tho lim n nờn t õy ta cú gii hn n t lim R(t , s) p(s)ds hi t v v(t) compact trờn 3.2 NGHIM HU TUN HON TIM CN 3.2.1 nh ngha 3.2.1 Hm p BC ( ; X ) c gi l hu tun hon tim cn nu p (t ) q (t ) r (t ) ú q(t) l hm hu tun hon v lim r (t ) t Rừ rng hm hu tun hon q trờn l nht Bờn di, ta gi q l phn hu tun hon ca p v kớ hiu q p AP 3.2.2 B 3.2.2 Gi s rng nghim khụng ca (E) l n nh tim cn u Vi bt k r BC ( ; X ) tho lim r (t ) , ta cú t t lim t R(t , s)r (s)ds Chng minh t Theo nh lớ 3.1.3, z (t ) R(t , s)r (s)ds l nghim -b chn nht ca 23 t du (t ) Au (t ) B (t , s )u ( s )ds r (t ) dt Cho n l dóy bt kỡ tho lim n v t z n (t ) z (t n ) Bng cỏch lp n li chng minh nh lớ 3.1.2 ta cú th gi s dóy z n (t ) hi t v hm no ú, ta gi l u(t), compact trờn Do d n d z (t ) z (t n ) dt dt Az (t n ) t n B(t n , s ) z ( s )ds r (t n ) Az (t ) n B(t n , t n s) z n (t s )ds r (t n ) nờn u(t) l nghim -b chn ca t du (t ) Au (t ) C (t , s)u ( s )ds dt (3.1) ú C(t,s) l hm hu tun hon phn bao ca B(t,s) Do nghim khụng ca (E ) l n nh tim cn u nờn theo [4, nh lớ 3.11], nghim khụng ca (3.1) l n nh tim cn u c bit l nghim -b chn ca (3.1) l tm thng, hay u (t ) Do ú lim z n (t ) hay lim z (t n ) Do n n n l dóy bt kỡ tho lim n nờn ta cú lim z (t ) n t 3.2.3 B 3.2.3 Gi s rng nghim khụng ca (E) l n nh tim cn u v p BC ( ; X ) l hu tun hon tim cn Khi ú (P ) cú nghim tun hon tim cn v phn hu tun hon cho bi -b chn nht, hu 24 t R(t , ) p AP ( )d Chng minh Theo nh lớ 3.1.2, (P ) cú nghim -b chn nht t t t R(t , ) p( )d R(t , )q( )d R(t , )r ( )d ú q p AP t Theo b 3.2.1, thỡ lim t R(t , )r ( )d nờn hm t z (t ) : R(t , )q( )d -b chn nht ca l hu tun hon Tht vy, z(t) l nghim t dv(t ) Av(t ) B(t , s )v( s )ds q(t ) dt (3.2) v z (t ) X M q t (vỡ R(t , )q( )d M q [ ,t ] M q , t , t ) X ú M l hng s núi iu kin (2.3) T õy v theo [4, H qu 3.1], z(t) l hu tun hon 3.2.4 nh lớ 3.2.4 Gi s rng nghim khụng ca (E) l n nh tim cn u v p BC ( ; X ) l hu tun hon tim cn Khi ú mi nghim ca (P) v (P ) l hu tun hon tim cn, v phn hu tun hon ca chỳng thng l t R(t , ) p AP ( )d Chng minh 25 t Vi v(t) l nghim bt k ca (P ) v z (t ) R(t , s) p(s)ds l nghim -b chn nht, hu tun hon tim cn ca (P ) (cú c l b 3.2.2) t w(t ) v(t ) z (t ) Khi ú w(t) l nghim ca (E ) , xỏc nh trờn [0, ) v lim w(t ) tớnh n nh tim cn u ca nghim khụng ca t (E ) Do vy, theo b 3.2.2 thỡ t t lim v(t ) R (t , s ) p AP ( s )ds lim w(t ) R (t , s )r ( s )ds t t ú r : p AP Do vy, v(t) l hu tun hon tim cn v phn hu tun hon ca nú cho bi t R(t , ) p AP ( )d Tip theo, vi u(t) l nghim ca (P) xỏc nh trờn [ , ), t u (t ) u (0), t Vi t , ta cú t du (t ) Au (t ) B(t , s)u ( s)ds p (t ) dt Au (t ) B (t , s )u ( s )ds p(t ) B(t , s )ds u (0) t t B ( t , s ) ds u (0), t p (t ) B ( , s ) ds u (0), t 26 Khi ú u(t) l nghim ca t dv(t ) Av(t ) B(t , s )v( s )ds p (t ) p (t ) dt xỏc nh trờn [ , ) Do t S ( ) B(t , s)ds B (t , s ) ds p (t ) p (t ), t S ( ) nờn ta cú lim B(t , s )ds u (0) t Do ú p p BC ( ; X ) l hu tun hon tim cn v phn hu tun hon ca nú l p AP Do vy, theo b 3.2.2, u(t) l hu tun hon tim cn v t phn hu tun hon ca nú cho bi R(t , s) p AP (s)ds 3.2.5 nh ngha 3.2.5 Vi f AP ( ; X ) t a ( f , ) lim T 2T T e it f (t )dt T Tp hp : a ( f , ) c gi l ph Borh ca f, v kớ hiu l b ( f ) Kớ hiu mb ( f ) l mụun sinh bi b ( f ) 3.2.6 nh ngha 3.2.6 Hm hu tun hon f c gi l ta tun hon nu mb ( f ) cú c s nguyờn hu hn Tip theo chỳng ta s ch mt s tớnh cht ca phn hu tun hon ca nghim hu tun hon tim cn ca (P ) c núi n nh lớ trờn 27 Trong phn ny, B(t, s) tho iu kin (H3) sau: B(t , s ) B(t , s ) vi l hng s dng no ú (H3) Rừ rng, vi iu kin (H3) thỡ ỏnh x gii R(t, s) ca (E) l -tun hon, ngha l R(t , s ) R (t , s ) 3.2.7 nh lớ 3.2.7 Gi s rng cỏc iu kin (H1)-(H3) c tho v nghim khụng ca (E) l n nh tim cn u, p BC ( ; X ) l hu tun hon tim cn Khi ú (P ) cú nghim -b chn nht hu tun hon tim cn v phn hu tun hon ca nú cho bi t R(t , ) p AP ( )d Hn na phn hu tun hon tho quan h t b R (t , ) p AP ( )d b p AP (3.3) Chng minh Phn u ca nh lớ ó c nờu v chng minh nh lớ 3.2.4 chỳng ta s chng minh khng nh (3.3) t Gi z (t ) : R(t , )q( )d ú q : p AP Vi bt k, tn ti j q (t ) ak eik t , k b (q ) k cho sup q (t ) q (t ) t t X 28 j z (t ) t R(t , )ak e k ik d Ta cú z (t ) z (t ) X M q q M , t vi M l hng s iu kin (2.3) t t (t ) R(t , )ak eik d e ik t Khi ú t (t ) R(t , )ak eik d e ik (t ) t R (t , s )ak eik ( s ) ds e ik (t ) t R (t , s)ak eik s ds e ik t (t ) ( R(t, s) l -tun hon) Do ú (t ) l -tun hon T õy z (t ) l hu tun hon Tip theo ta s chng minh quan h (3.3) Vỡ t b R (t , )ak eik d b (t )eik k b (q) nờn ta cú (3.4) 29 b ( z ) b (q) Ta khng nh rng b ( z ) b (q) Tht vy, nu iu khng nh trờn l sai thỡ tn ti b ( z ) nhng b (q) Do lim T 2T T e it z (t )dt nờn tn ti v T0 cho mi T T0 T thỡ 2T T e it T z (t )dt X 2T T e it T T 2T e T it z (t ) z (t ) dt 2T T e it T z (t )dt X M z (t )dt X M Khi ú b ( z ) b (q) Mõu thun vi gi thit phn chng vy cú iu phi chng minh H qu 3.2.8 Gi s rng cỏc iu kin (H1)-(H3) c tho v nghim khụng ca (E) l n nh tim cn u, p BC ( ; X ) l ta tun hon Khi ú (P ) cú nghim -b chn nht v phn hu tun hon ca nú cho bi t R(t , ) p AP ( )d l ta tun hon 30 Chng P DNG VO MT S PHNG TRèNH VOLTERRA VI TCH PHN TNG QUT HN Equation Chapter (Next) Section 4.1 P DNG VO PHNG TRèNH VOLTERRA TNG QUT HN Xột cỏc phng trỡnh t du (t ) Au (t ) B (t , s ) E (t , s ) u ( s )ds p (t ) dt (4.1) v t dv(t ) Av(t ) B(t , s ) E (t , s ) v( s)ds p (t ) dt (4.2) ú E(t, s) tho iu kin sau (H4) (H5) lim E (t , t s ) compact theo s (,0] t Vi mi 0, s( ) cho sup t t s ( ) E (t , s ) ds nh lớ 4.1 Gi s cỏc iu kin (H1)-(H5) tho v nghim khụng ca (E) l n nh tim cn u v p BC ( X ; ) l hu tun hon tim cn Khi ú mi nghim ca (4.1) v (4.2) l hu tun hon tim cn v phn hu tun hon ca nú cho bi t R(t, ) p Hn na phn hu tun hon tho quan h AP ( )d 31 t b R(t , ) p AP ( )d b p AP 4.2 Vớ d 4.2 Xột phng trỡnh vi tớch phõn u 2u u (t , x) k (t , s, x)u ( s, x)ds, t 0,0 x (t , x) t x (t , x) t (4.3) vi iu kin biờn Neumann u u (t ,0) (t , ) 0, t x x (4.4) Gi s rng k(t, s, x) l hm liờn tc tho k(t,s,x) K(t-s) vi K( ) l hm liờn tc no ú tho K ( )d Xột khụng gian Banach X C [0, ]; v nh ngha ỏnh x tuyn tớnh A trờn X nh bi d A ( x) ( x) ( x), x dx vi D( A) : C [0, ]: (0) ( ) Khi ú toỏn t A sinh na nhúm compact T(t) trờn X v (4.3)-(4.4) úng vai trũ nh phng trỡnh vi tớch phõn (E ) trờn X vi B(t , s) ( x) k (t , s, x) ( x), X D thy, iu kin (H1) (H2) tho Hn na, nu k(t, s, x) l hu tun hon theo t u theo (s, x) thỡ B(t, s) l hu tun hon theo t u theo s Bờn di, ta núi nghim yu ca (E ) ngha l nghim yu ca (4.3)-(4.4) B 4.3 32 K ( )d : a Khi ú nghim khụng ca (4.3)-(4.4) l n Gi s rng nh Chng minh Vi , cho trc, chỳng ta cn chng minh rng mi h C [ , ) [0, ]; tho sup t , x[0; ] h t , x a nghim u(t, x) ca phng trỡnh u 2u (t , x) (t , x) u (t , x) k (t , s, x)u ( s, x)ds h(t , x), t ,0 x (4.5) t x t tho u (t , x) vi mi t , x [ , ) [0; ], sup , x[0, ] Gi s rng khng nh trờn l t1, x1 , [0, ] cho u t1, x1 u , x sai Khi ú, tn ti v u (t , x) , t , x , t1 [0, ] t t p (t , x) k (t , s, x)u (s, x)ds h(t , x), t , x [ , t ] [0, ] Khi ú p C [ , t1 ] [0, ]; v p t , x a u trờn cho sup n , t , x [ ,t1 ][0, ] [0, t1 ] [0, ] n h t, x pn C1 [ , t1 ] [0, ]; , Chn hng s v dóy hm n D A sup t , x[0, ] pn t , x vi pn t , x p t , x v sup n n ( x) u , x u trờn [0, ] n Tn ti nghim c in ca bi toỏn iu kin u , x[0, ] n ( x) vi 33 v 2v t , x t , x v t , x pn t , x , t t1 , x t x v v t ,0 t , 0, t t1 x x v 0, x n x , x Rừ rng, t , x v t , x u trờn [ , t1 ] [0, ] Ta s chng minh t , x trờn [ , t1 ] [0, ] (4.6) Bng phn chng gi s khụng cú (4.6) Khi ú tn ti t2 , x2 [ , t1 ] [0, ] cho t2 , x2 , t , x trờn [ ,t ) [0, ] Xột trng hp t2 , x2 v t V t , x t , x , t , x [ , t1 ] [0, ] Khi ú 2V V t , x t, x V t, x x t trờn ( , t1 ] [0, ] vỡ: 2V V 2vn t x t x V t x t x , , , , t , x t , x x t x t pn t , x Do ú, theo nguyờn lớ cc i [6, nh lớ 3.7] cú iu mõu thun Tht vy, nu x2 0, 2V V thỡ 0, 0, V v dóy bờn trỏi bt ng x t thc trờn khụng dng ti nguyờn lớ cc i cho ta v t2 , n t2 ,0 x x t2 , x2 (mõu thun) Nu x2 hay x2 v t2 , hay n t2 ,0 , mõu thun, vỡ x x 34 Do vy trng hp t2 , x2 khụng xy Tng t trng hp t2 , x2 , t W t , x : t , x v lp li chng minh trờn ta cú iu mõu thun Vy ta cú (4.6) Cho n khng nh (4.6) ta cú u t , x trờn [ , t1 ] [0, ] c bit ta cú u t1 , x1 mõu thun vi u t1 , x1 p dng b 4.2 v nh lớ 3.1.3 ( hay nh lớ 3.2.4) ta cú K d v k(t, s, x) l hu tun hon bin t u theo (s, x), ú bi toỏn (4.3) - (4.4) cú nghim -b chn nht (hay nghim hu tun hon tiờm cn) h t , x b chn trờn [0, ] (hay hu tun hon tim cn bin t u theo x [0, ] 35 KT LUN Qua vic xem xột cỏc phng trỡnh Volterra vi tớch phõn tuyn tớnh (E), (E ) , (P), (P ) chỳng tụi ó t c nhng kt qu nh: ch c iu kin cn v nghim khụng ca cỏc phng trỡnh trờn l n nh, n nh tim cn u cng nh liờn h gia tớnh n nh (n nh tim cn u) v tớnh kh tớch ca ỏnh x gii Ngoi ra, vi gi thit nghim khụng ca cỏc phng trỡnh trờn l n nh, chỳng tụi cũn ch c cụng thc nghim yu (nghim -b chn), s tn ti nghim hu tun hon tim cn Cui cựng, chỳng tụi cũn ỏp dng vo phng trỡnh tng quỏt hn, cng nh a mt vớ d thy rừ tớnh ỏp dng ca cỏc kt qu va nghiờn cu Tuy cú nhiu c gn v c s nhit tỡnh ch dn ca thy hng dn, nhng hn ch v thi gian v khuụn kh mt lun nờn bn thõn cũn mt s ch cha nghiờn cu n, chng hn nh: - T tớnh n nh ca nghim khụng ca (E), ta ch kt lun c ỏnh x gii R(t,s) l kh tớch vi iu kin B(t,s) l chp ( B(t,s)=B(t-s) ), trng hp tng quỏt, kt qu trờn cú cũn ỳng khụng? - Cỏc kt qu trỡnh by lun cú cũn ỳng khụng hay s thay i nh th no ỏp dng vo phng trỡnh Volterra phi tuyn? Trong thi gian ti, em s c gn nghiờn cu thờm cỏc trờn cng nh nghiờn cu thờm tớnh ỏp dng ca lý thuyt va nghiờn cu lun ny 36 TI LIU THAM KHO Hino, Y and Murakami, S (1991), Stability properties of linear Volterra equtions, J Diferrential Equations, 121-137 Hino, Y and Murakami, S (1991), Total stability and uniform asymptotic stability for linear Volterra equations, J London Math, 305-312 Hino, Y Murakami S (2002), Limiting equations and some stability properties for asymptoticially almost periodic functional differential equations with infinite delay, Tohoku Math J 54, 239-257 Hino, Y., Naito T., Nguyen Van Minh and Shin J S (2002), Almost Periodic Function and Differental Equations in Banach Spaces, Taylor and Fishers Pazy A (1983), Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations, Applied Math, Sci 44, SpringerVerlag, New York Protter M.H., Weinberger H.F (1984), Maximum Principles in Differential Equations, Springer-Verlag, New York Prỹss J (1993), Evolutionary Integral Equations and Applications, Birkhọuser, Basel [...]... với tính khả tích của B(t), nghĩa là  B(t ) dt   0 Mệnh đề bên dưới được trích từ [4, Định lí 3.11] xin không nêu lại chứng minh 7 1.7 Mênh đề 1.7 Bốn mệnh đề sau đôi một tương đương i) Nghiệm không của (E) là ổn định ii) Nghiệm không của (E  ) là ổn định iii) Nghiệm không của (E) là ổn định tiệm cận đều iv) Nghiệm không của (E  ) là ổn định tiệm cận đều 1.8 Định nghĩa 1.8 Tồn tại ánh xạ tuyến. .. nghiệm không của (E  ) là ổn định X [ , t ] 1 13 2.2 Định lí 2.2 Cho (E) là phương trình chập với B (t , s)  B(t  s ) Khi đó ba mệnh đề sau đôi một tương đương: i) Nghiệm không của (E) là ổn định tiệm cận đều ii) Mọi  mà   0 thì ánh xạ  I  A  B( ) khả nghịch trên L(X) iii) Ánh xạ giải của (E) khả tích trên [0, ) Chứng minh [(i) (ii)] Bằng phản chứng, giả sử rằng nghiệm không của (E) là ổn. .. 3.1.2 Giả sử rằng nghiệm không của (E) là ổn định tiệm cận đều Với bất kỳ p  BC ( ; X ) , tồn tại một và chỉ một nghiệm -bị chặn của (P ) Chứng minh   (1)  Với n = 1, 2, 3,…, đặt v n (t )  v  t , n,0; p  , t  , trong đó   2 p     0(t )  0, t    Do v n n và  () xác định do tính ổn định của nghiệm không của (E  )  0 và tính ổn định của nghiệm không của (E  ) kéo theo v n (t... mãn và nghiệm không của (E) là ổn định tiệm cận đều, p  BC ( ; X ) là tựa tuần hoàn Khi đó (P ) có nghiệm -bị chặn duy nhất và phần hầu tuần hoàn của nó cho bởi t  R(t , ) p AP ( )d  là tựa tuần hoàn 30 Chương 4 ÁP DỤNG VÀO MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VOLTERRA VI TÍCH PHÂN TỔNG QUÁT HƠN Equation Chapter (Next) Section 1 4.1 ÁP DỤNG VÀO PHƯƠNG TRÌNH VOLTERRA TỔNG QUÁT HƠN Xét các phương trình t du (t... mệnh đề 1.7 điều kiện (2.3) tương đương với tính ổn định tiệm cận đều (tương ứng tính ổn định) của nghiệm không của (E) Chứng minh Trước hết, theo mệnh đề 1.7 thì tính ổn định tiệm cận đều và tính ổn định của nghiệm không của (E  ) hay (E) là đôi một tương đương (  ) Giả sử rằng nghiệm không của (E  ) là ổn định, chúng ta suy ra điều kiện (2.3) 1  n s    x    s  [ ( ) 1] , khi  n n , Với... bao của B(t,s) Do nghiệm không của (E  ) là ổn định tiệm cận đều nên theo [4, Định lí 3.11], nghiệm không của (3.1) là ổn định tiệm cận đều Đặc biệt là nghiệm -bị chặn của (3.1) là tầm thường, hay u (t )  0 Do đó lim z n (t )  0 hay lim z (t   n )  0 Do n n  n  là dãy bất kì thoả lim  n   nên ta có lim z (t )  0 n t  3.2.3 Bổ đề 3.2.3 Giả sử rằng nghiệm không của (E) là ổn định. .. Chứng tỏ rằng nghiệm không của (E) là ổn định Theo mệnh đề 1.7 nghiệm không của (E) là ổn định tiệm cận đều 19 Chương 3 ỔN ĐỊNH TIỆM CẬN ĐỀU VÀ NGHIỆM -BỊ CHẶN, NGHIỆM HẦU TUẦN HOÀN TIỆM CẬN Equation Chapter (Next) Section 1 3.1 NGHIỆM -BỊ CHẶN 3.1.1 Định nghĩa 3.1.1 Chúng ta gọi v  BC ( ; X ) là nghiệm -bị chặn của (P ) nếu v là nghiệm yếu của (P ) trên [ , ) với mọi   3.1.2 Định lý 3.1.2 Giả... 2.1 Định lí 2.1 Nghiệm không của (E  ) là ổn định (tương ứng ổn định tiệm cận đều) nếu và chỉ nếu ánh xạ giải R(t, s) của (E) thoả mãn điều kiện: 11 t   R ( t ,  ) R ( t ,  ) h (  ) d  :  t ,          M : sup      (2.3) X  h()  C ([ , t ]; X ), h [ ,t ]  1   Từ đây và theo mệnh đề 1.7 điều kiện (2.3) tương đương với tính ổn định tiệm cận đều (tương ứng tính ổn định) ... trình vi tích phân u  2u  u (t , x)   k (t , s, x)u ( s, x)ds, t  0,0  x   (t , x)  2 t x (t , x)  t (4.3) với điều kiện biên Neumann u u (t ,0)  (t ,  )  0, t  0 x x (4.4) Giả sử rằng k(t, s, x) là hàm liên tục thoả 0  k(t,s,x)  K(t-s) với K( ) là  hàm liên tục nào đó thoả  K ( )d   0 Xét không gian Banach X  C [0,  ];  và định nghĩa ánh xạ tuyến tính A trên X định. .. chặn của (E  ) Giả sử v(t1 )  w(t1 ) với t1  nào đó Khi đó w(t ) : là nghiệm 0 2v -bị chặn của (P ) v(t )  -bị chặn của (P ) , trong đó  0 được cho do tính ổn định tiệm cận đều của nghiệm không của (E  ) Do wt0 BC  0 2   0 , t0  21 nên từ tính ổn định tiệm cận đều của (E  ) kéo theo với mọi   0 tồn tại T ( )  0 sao cho w(t ) X   , t  t0  T ( ) Do t0 tuỳ ý nên w(t ) X   ,