Tiêu chuẩn ổn định của phương trình vi phân đại số với trễ bội và nghiệm số của chúng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM NGÔ THỊ LAM TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ VỚI TRỄ BỘI VÀ NGHIỆM SỐ CỦA CHÚNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM NGÔ THỊ LAM TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ VỚI TRỄ BỘI VÀ NGHIỆM SỐ CỦA CHÚNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS Đào Thị Liên THÁI NGUYÊN - 2016 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng tôi, kết nghiên cứu trung thực chưa công bố công trình khác Thái Nguyên, tháng năm 2016 Tác giả luận văn Ngô Thị Lam i LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành khoa Toán, trường Đại học sư phạm – Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình, tỉ mỉ khoa học cô giáo -Tiến sĩ Đào Thị Liên Qua xin bày tỏ lời cám ơn chân thành lòng biết ơn sâu sắc đến cô không quản thời gian công sức hướng dẫn hoàn thành luận văn Tôi xin cảm ơn Ban Giám Hiệu, phòng ban chức năng, thầy cô giáo trường Đại học sư phạm – Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện tốt để hoàn thành luận văn Sau xin bày tỏ tình cảm tha thiết dành cho gia đình, bạn đồng nghiệp động viên, tạo điều kiện cho yên tâm học tập nghiên cứu Mặc dù cố gắng, song luận văn khó tránh khỏi hạn chế thiếu sót Chúng mong nhận ý kiến đóng góp để luận văn hoàn thiện Học viên cao học Ngô Thị Lam ii M CL C Trang Trang bìa phụ Lời cam đoan .i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Danh mục kí hiệu viết tắt iv MỞ ĐẦU Chƣơng KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Một số khái niệm kết hệ phương trình vi phân đại số 1.2 Phép chiếu, số ma trận 1.3 Chỉ số phương trình vi phân đại số 1.4 Phương trình vi phân đaị số tuyến tính với hệ số 1.5 Sự ổn định (Lyapunov) phương trình vi phân đại số 1.6 Tính giải DDAE quy 13 1.7 Phương trình DAEs có trễ dạng Hessenberg 17 Chƣơng TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH CỦA PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ VỚI TRỄ BỘI VÀ NGHIỆM SỐ CỦA CHÚNG 21 2.1 Tiêu chuẩn ổn định 21 2.1.1 Tính ổn định tiệm cận hệ có trễ độc lập 22 2.1.2 Tiêu chuẩn ổn định đại số thực hành 31 2.2 Tính ổn định nghiệm dạng số 43 2.2.1 Phương pháp θ 43 2.2.2 Phương pháp BDF 45 2.2.3 Phương trình vi phân đại số có trễ quy yếu 46 KẾT LUẬN 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO 51 iii DANH M C CÁC KÍ HIỆU VIẾT TẮT ODE: Phương trình vi phân thường DAE: Phương trình vi phân đại số DDAE: Phương trình vi phân đại số có trễ DODE: Phương trình vi phân thường có trễ NDODE: Phương trình vi phân thường có trễ trung tính NDDAE: Phương trình vi phân đại số có trễ trung tính UDODE: Phương trình vi phân thường có trễ UDDAE: Phương trình vi phân đại số có trễ iv MỞ ĐẦU Các phương trình vi phân đại số (DAEs) đóng vai trò quan trọng việc mô toán ứng dụng thực tế, ví ứng dụng ngành học đa vật thể, điều khiển quỹ đạo theo lệnh, thiết kế mạng điện, hệ thống phản ứng hóa học, sinh học y học lâm sàng.(xem [4,18] tài liệu tham khảo đó) Trong nhiều toán, hệ ý đến nhiều hệ chứa trễ, (xem [3,6-8,12,20,21,22,25-27]) Lý thuyết nghiệm dạng số phương trình vi phân thường có trễ (DODEs) biết đến bàn luận hàng thập kỷ qua,(xem [14] tham khảo đó), có kết nghiên cứu hệ phương trình vi phân đại số có trễ (DDAEs) Lý DDAEs tuyến tính, chế động học chúng chưa tìm hiểu kỹ, đặc biệt cặp ma trận {A,B} (0.1) không quy Vấn đề khó tồn dạng không bị nén để nhiều hai ma trận đồng thời biến đổi Hầu hết kết nghiên cứu trước dành cho phương trình vi phân đại số có trễ (DDAEs) quy tuyến tính với thời gian không đổi (xem [12,25]), DDAEs dạng đặc biệt (xem [3, 20, 26, 27]) Cho tới thời điểm đăng báo này, có hai công trình nghiên cứu liên quan tới phương trình vi phân đại số không quy (xem [8, 21]) Kết tổng quan tính giải tính ổn định DDAE Ví dụ minh họa vài khác biệt quan trọng ODEs có trễ, DAEs không trễ DAEs có trễ Ví dụ Xét hệ sau  x1 (t )  x1 (t )  x1 (t  1)  x2 (t  1)  (t  0)  x ( t )  x ( t  1)  x ( t  1)   2 đó, x1 x2 cho hàm liên tục (-1,0] Động lực học x1 bị chi phối toán tử vi phân liên tục x1 kỳ vọng Động lực học x2 quy định toán tử vi phân không giống x1, thành tố nhìn chung cần liên tục khúc Ví dụ Xét hệ không x1 (t )  f (t )  (t  0)  x ( t )  x ( t  1)  g ( t )  Nghiệm cho t t 1 0 x1 (t )   f ( s)ds  C , x2 (t )   g (t  1)   f ( s)ds  C ( t  ) đó, C số Hệ động lực ngẫu nhiên Không x2 xác định (-1,0], mà nghiệm phụ thuộc lần tích phân sau hàm đầu vào f(t) Hiện tượng thú vị cần lưu ý thêm lý thuyết biết trước DAE nghiệm phụ thuộc vào đạo hàm hàm đầu vào Điều kiện đủ cho tính ổn định tiệm cận độc lập với trễ DAEs với trễ đơn đưa [26] Theo đó, tính ổn định tiệm cận phương pháp , phương pháp BDF, phương pháp đa bước tuyến tính tổng quát, phương pháp Runge-Kutta ẩn phân tích Không may, thực tế khó kiểm tra điều kiện Mục đích luận văn trình bày kết bổ sung cho lý thuyết tính ổn định DDAEs tác giả đề xuất [26] Cụ thể là, có ý định đưa tiêu chuẩn tính ổn định cho DDAEs độc lập dạng (0.1) (0.2) Chúng ta tập trung vào tiêu chuẩn ổn định mà thực tế dễ dàng kiểm tra Kết đạt mở rộng tiêu chuẩn dành cho DODEs (xem [15,16]) sang DDAEs trung tính Theo tiêu chuẩn này, rằng, nghiệm dạng số có phương pháp phương pháp BDF bảo toàn tính ổn định tiệm cận DDAE Kết kết DAE có trễ đơn [26] trường hợp đặc biệt Hơn nữa, nghiên cứu tính giải tính ổn định lớp đặc biệt DDAE không quy Luận văn gồm 60 trang, phần mở đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo, nội dung gồm có hai chương Chƣơng Kiến thức sở Nội dung chương trình bày số khái niệm kết phương trình vi phân đại số, phương trình vi phân có trễ, lí thuyết ổn định phương trình vi phân sử dụng chương Chƣơng Tiêu chuẩn ổn định phương trình vi phân đại số với trễ bội nghiệm số chúng Nội dung chương trình bày số kết nghiên cứu tiêu chuẩn ổn định phương trình vi phân đại số với trễ bội nghiệm số chúng mà tác giả Stephen L Campbell Vũ Hoàng Linh đề cập báo: “Stability criteria for differential-algebraic equations with multiple delays and their numerical solutions” đăng “Applied Mathematics and Computation ” vào năm 2009 Chƣơng KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Một số khái niệm kết hệ phƣơng trình vi phân đại số Xét phương trình vi phân dạng F (t , x(t ), x(t ))  đó: x : I  n F : I  D , I   a,    n  (t , x, x) D tập mở (1.1) n n F (t , x, x) , F  (I  D  n , n ), Fx , Fy  ( I  D  n , L( n )) Định nghĩa 1.1.1 Phương trình vi phân (1.1) gọi phương trình vi phân đại số (DAEs) hàm F thỏa mãn ker Fx (t , x(t ), x(t ))  với (t, x, x)  I  D  n Hệ 1.1.2 Phương trình vi phân tuyến tính A(t ) x(t )  B(t ) x(t )  q(t ) A, B  ( I , L( n (1.2) )) , q liên tục I, detA(t) = với t  I , phương trình vi phân đại số tuyến tính 1.2 Phép chiếu, số ma trận Định nghĩa 1.2.1 Cho P  L( n ) P gọi phép chiếu Nhận xét 1.2.2 Cho P phép chiếu Khi đó, ta có: KerP  Im P  Mỗi phân tích n n  U  V tồn phép chiếu P cho imP = U KerP = V, P gọi phép chiếu lên U dọc theo V Đặt Q:= I-P Q phép chiếu lên V dọc theo U Hình 3: Đồ thị 3D    G (0)  hàm α β M  i 0  Ví dụ 2.1.2.10 Xét phương trình (0.2) với 3   1 2     0.5  1  , B ,  0 1  0     0  0 3  2 1 2   1    3 1  1 3  C2   , D1     0 0  3 1 1     0 0  1 1  1 A 0  0 0  1 3 2    2  C1    0 0 0   0 0 0 1  2 1 3     1 1   , D2    2 1 2    3  3  đó, α β tham số thực Số trễ M = Index {A,B} =1 σ(A,B) = {-0.2857 ± 0.2474i} Vì A1 B1 dạng tam giác dưới, cần kiểm tra điều kiện ρ(|E1|) < Chúng ta có  1  E1    1     , 1    từ dễ dàng tính ρ(|E1|) = 0.7887 Bây giờ, cách giải toán   giá trị riêng đa thức phụ trợ, giá trị  Gi  l M tính toán với i 0 39 giá trị khác α β Ở đây, cố định β = 0.05 Kết số cho l = 0,1,2,3,4 α = 0.1, 0.08, 0.06, 0.04, biểu diễn bảng Dựa vào kết có Định lý 2.1.2.8, tính hệ cho ví dụ với tham số chọn ổn định tiệm cận với trễ độc lập Tính   đơn điệu  Gi  l M l quan sát bảng i 0 Bảng Các trƣờng hợp có số cao Các DDAEs có số cao thường phức tạp nhiều Như trình bày trước đó, Các ma trân Di phải có cấu trúc phù hợp để DDAEs có dạng (0.1) (0.2) ổn định tiệm cận với trễ độc lập Giờ giả sử làindex{A,B}=k , k≥2 có dạng Kronecker (1.13) Các ma trận Ci, Di có dạng khối trường hợp có số Chúng ta giả sử thêm ND3i  0, ND4i  0, i  1, 2, , M (2.23) Chúng ta định nghĩa lại lần ma trận phụ trợ Li,Mi, E (2.13) Sử dụng tính lũy linh N giả thiết (2.23), tính  ( I  B1 ) 1 ( I  B1 )   E1  E     ,  1 ( I  N ) ( N  I ) ( I  N ) ( N  I )      ( I  B1 ) 1 ( Di1  Ci1 ) ( I  B1 ) 1 ( Di  Ci )   Li1 Li  Li    , L L D D i i   i3 i4    ( I  B1 ) 1 ( Di1  Ci1 ) ( I  B1 ) 1 ( Di  Ci )   M i1 M i  Mi    , M M D D i i  i3 i4    sử dụng thêm lẫn tính lũy linh N giả thiết (2.23), ta có  I  zE  ( zM i  Li )    1  I  zE1 1 ( zM i1  Li1 ) Li  40  I  zE1  ( zM i  Li )   Li  1 hoàn toàn giống với trường hợp có số (nghĩa là,tính phức tạp ma trận N bị triệt tiêu) Từ trở đi, việc hình thành tiêu chuẩn ổn định DDAEs có số cao giống với trường hợp số Các ma trận Gi(l) xác định Định nghĩa 2.1.2.2 Chúng ta có điều tương tự với Định lý 2.1.2.5 Định lý 2.1.2.11 Giả sử giả thiết (2.5) A, B cho dạng Kronecker Ta giả sử thêm Di’s có cấu trúc đặc biệt thỏa mãn (2.23) ρ(|E1|) < Nếu tồn số nguyên l ≥ cho  M     Gi (l )   1,  i1 (2.24)  (0.1) ổn định tiệm cận Trường hợp số 1, có N=0, giả thiết (2.23) thỏa mãn Vì Định lý áp dụng cho DDAEs có số mà không bị hạn chế lên Di3 Di4 Điều có nghĩa Định lý 2.1.2.5 trường hợp đặc biệt Với giả thiết tương tự Đinh Lý 5, kết tương tự bổ đề 2.1.1.4, Đinh lý 2.1.2.8 bổ đề 2.1.2.1 Bây quan tâm đến DDAEs trễ trung tính có số thuộc dạng Hessenberg Trong trường hợp số 1, dễ nhận thấy DDAE trung tính (2.29) (2.30) ổn định tiệm cận hệ biến đổi thành dạng x1  ( B1  B2 B41 B3 ) x1  B2 x2  C1x1 (t   )  C2 x2 (t   )  ( D1  D2 B41 B3 ) x1 (t   )  D2 x2 (t   )  0, (2.25) B4 x2  D3 x1 (t   )  đây, biến số x1 xác định x1  x1, x2  B41 (B3 x1  x2 ) Khi đó, áp dụng định lý 2.1.2.5 bổ đề 2.1.1.4 áp dụng để biến đổi hệ (2.25) để có tiêu chuẩn ổn định đại số Các kết mở rộng cho trường hợp có trễ bội cách dễ dàng Một cách khác rút NDODE, sau đó, áp dụng tiêu chuẩn ổn định biết vào NDODEs 41 Đặc biệt, thực hành cách tiếp cận sau sử dụng cho NDDAEs dang Hessenberg Trong trường hợp này, đủ điều kiện để xét NDODE u  RB1Su  RC1Su(t   )  RD1Su(t   )  0, R, S xác định PT (2.24) Chúng ta minh họa việc phân tích tính ổn định NDDAEs số dang Hessenberg với ví dụ sau Ví dụ 2.1.2.12 Xét NDDAEs số dạng Hessenberg (1.31),( 1.32) với  2   2     B1   1  , B2    , B3   1   1  0     đây, ta xét trễ đơn với  2 2   1      C1    1 2 1  , D1    1 2   1   2      Dựa theo cấu trúc phương trình vi phân trung tính có trễ (1.36), trước tiên ta có:  0 0 0   R , S   0  0 1 0 1   Đặt B1  RB1, C1  RC1S , D1  RD1S đưa vào biến u = Rx1 Chúng ta có NDODE u  B1u  C1u (t   )  D1u (t   )  (2.26)  1  1  2  B1    , C1    , D1     1   1  0  Bằng việc áp dụng tiêu chuẩn tính ổn định [14,15], tính ổn định tiệm cận (2.26) thiết lập Bài toán có số xem trường hợp đặc biệt toán có index 42 (số chiều phần đại số 0, nghĩa là, biến đại số hoàn toàn triệt tiêu) Các giá trị (G(l)) tính với giá trị khác α β Ở đây, α=0.2 Các kết số cho l = 1,2,3,4 β=0.19, 0.16, 0.13, 0.1 biểu diễn bảng Bảng Dựa kết có được, ta kết luận NDDAEs có số dạng Hessenberg (1.31), (1.32) ví dụ với tham số chọn không ổn định tiệm cận với trễ độc lập 2.2 Tính ổn định nghiệm dạng số Trong phần này, tìm hiểu tính ổn định phương pháp số áp dụng cho DAEs có trễ bội Để đơn giản, ta xét dang (0.2) giả sử rằng, cỡ bước h chọn cho l = τ/h số nguyên dương Ta chứng theo tiêu chuẩn trễ độc lập, nghiệm dạng số có phương pháp phương pháp BDF ổn định tiệm cận Điều chứng minh kết nghiên cứu trước dành cho phương trình DAEs có trễ đơn [26] áp dụng cho trường hợp trễ bội Tuy nhiên, việc chứng minh đơn giản hóa ngắn gọn Ta giả sử phần giả thiết (2.8) (2.9) thỏa mãn Định nghĩa 2.2.1 Với cỡ bước h>0, nghiệm dạng số {xn} xn  DDAE dạng (0.2) gọi ổn định tiệm cận lim n 2.2.1 Phƣơng pháp θ Phương pháp θ (xem [5]) áp dụng vào DDAE dạng (0.2) tạo hệ sai phân A M M xn  xn1 x x   Bxn1  (1   ) Bxn1   Ci nil nil 1   Di xnil  (1   ) Di xnil 1   0, (2.27) h h i 1 i 1 43 phương pháp tham số θ với (0,1], xn giá trị xấp xỉ x(nh) n= -Ml -Ml + 1, …, 0,1,2,… Các giá trị “trước” nghiệm, nghĩa xn’s có số âm cho trước Viết lại (2.27) ta có M M A   A   Ci   Ci    B x    (1   ) B x    D x   i  nil   n   n1      (1   ) Di  xnil 1  h h   h    i 1  h i 1  Lưu ý là, theo giả thiết (2.8) ma trận hàng đầu hệ sai phân không suy biến Như hệ sai phân giải Phương trình đặc trưng cho hệ sai phân M M  A    A  C   C  det    B   Ml 1     (1   ) B   Ml    i   Di   ( M i )l 1     i  (1   ) Di   ( M i )l   (2.28) h   h    i 1  h i 1   h  Định lý 2.2.1.1 Giả sử giả thiết (2.8) (2.9) (0.2), với θ (1/2,1], nghiệm dạng số  xn  cho phương pháp θ ổn định tiệm cận Chứng minh Ta cần chứng minh tất nghiệm phương trình đặc trưng (2.28) nằm đường tròn đơn vị mặt phẳng phức Giả sử (2.28) có nghiệm λ thỏa mãn |λ| ≥ Trước tiên, θλ + (1 – θ) ≠ với θ (1/2,1], thiết lập phương trình đặc trưng M       1  1 det  A  B   Ml    Ci  Di   ( M i )l   h(  (1   )) i 1     h(  (1   ))  Định nghĩa s :  1  hs(1   ) tương đương   h(  (1   ))  hs Dễ dàng thấy với θ (1/2,1], Re(s) 1 Khi đó, tồn ma trận không suy biến P Q cho  B1  I 0    A  p  0  Q, B  P  0 0 B     D1 B3    I  Q, D  P  D4  0 N   D2 D5 0  Q I  (2.34) đó, N ma trận lũy linh có số k Phương trình thứ ba hệ tương ứng B7 x1  Nx3  x3 (t   )  ( xi  Qxi , i  1;2;3; ) Dễ dàng suy k 1 x3 (t )   N i B3 x1 (t  (i  1) ) i 0 Lưu ý x3 phụ thuộc vào số hạng sau x1 Do vậy, không cần thiết định giá trị ban đầu cho x3 [-τ,0] (hoặc chúng phải tương thích) Tương tự, có kết Định lý 2.2.3.5 Giả sử B3 N i B7  với i= 0,1…, k – Khi toán giá trị ban đầu DDAE (2.33) có nghiệm Không khó để với giả thiết B3 B7  cặp {A,B} không quy Vì câu hỏi đặt cho DDAE quy yếu, giải phân tích tương tự DDAE quy Dáng điệu động học giống hợp phương trình vi phân thường có trễ (DODEs) phương trình vi phân suy biến số cao Thật không may là, đặc trưng 48 hóa DDAEs cặp {B4,D4} không quy câu hỏi mở Có ví dụ rằng, trường hợp này, hệ DDAE quy yếu không quy Thêm vào đó, việc xảy liên quan đến động học nó: hệ biến đổi thành hệ tiến xuất hệ phi nhân vài thành phần nghiệm phụ thuộc đạo hàm thành phần khác hàm đầu vào 49 KẾT LUẬN Qua việc nghiên cứu báo “Stability criteria for differential-algebraic equations with multiple delays and their numerical solutions” đăng “Applied Mathematics and Computation ” vào năm 2009 tác giả Stephen L Campbell Vũ Hoàng Linh tìm hiểu thêm số tài liệu đề cập đến luận văn này, em trình bày số kết phương trình vi phân đại số, phương trình vi phân đại số tuyến tính, phương trình vi phân có trễ, phương trình vi phân đại số có trễ quy, không quy quy yếu Quan trọng tiêu chuẩn ổn định phương trình vi phân đại số tuyến tính với trễ bội nghiệm dạng số chúng 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tài liệu tiếng Việt [1] D T Lien, (2004), “Về ổn định hệ phương trình vi phân hệ phương trình vi phân đại số”, Hà Nội Tài liệu tiếng Anh [2] U Ascher LR Petzold, (1992), “Stability of computational methods for constrained dynamics systems”, SIAM J Sci Comput 14 (1) 95 – 120 [3] U Ascher LR Petzold, (1995), “The numerical solution of delaydifferential-algebraic equations of retarded anh neutral type”, SIAM J, Numer Anal 32 1635-1657 [4] K.E Brenan, S.L Campbell, L.R Petzold, (1996), “Numerical Solution of Initial Value Problems in Differential Algebraic Equations”, SIAM, Philadelphia, [5] R Byers, N Nichols, (1993), “On the stability radius of a generalized statespace system”, Linear Algebra Appl, 188/189 113-134 [6] S.L, Campell, (1980), “Singular linear system of differential equations with delays”, Appl, Anal, 11 129-136 [7] S.L, Campell, (1991), “2-D (differential-delay) implicit systems”, in: Proc, IMACS World Congress on Sci Comp Dublin, pp 1828-1829 [8] S.L Campbell, (1995), “Nonregular 2D descriptor delay systems”, IMA J Math Cont Inf 12 57-67 [9] S.L Campbell, Vu Hoang Linh, (2009), “Stability criteria for diferentialalgebraic equations with multiple delays and their numerical solutions”, Applied Mathematics and Computaion 20 8397-415 [10] Y Cao S Li, L R Petold, R Serban, (2003), “Adjoint sensitivity analysis for differential-algebraic equations: the adjoint DAE system and its numerical solution”, SIAM J Sci Comput 24 1076-1089 51 [11] N H Du V H Linh, (2006), “Robust stability of limplicit linear systems containing a samll parameter in the leading term”, IMA J Math Control Inform 23 67-84 [12] E Fridman, (2002), “Stability of linear descriptor systems with delay: a Lyapunov-based approach”, J Math Anal Appl 273 24-44 [13] E Griepentrog, R Marz, (1996), “Differential-Algebraic Equations and their Numerical Treatment”, Teubne-Texte zur Mathematik, Leibzig [14] J.K Hale S.M Verduyn Lunel, (1993), “Introduction to Functional Equations”, Springer-Verlag [15] P He, D Q Cao, (2004), “Algebraic stability criteria of linear neatral systems with multiple time delays”, Appl, Math, Comput, 155 643-653 [16] G D Hu, G D Hu, B Cahlon, (2001), “Algebraic criteria for stability of linear neutral systems with a single delay”, J Comput, Appl, Math, 135 125-133 [17] T Kato, (1966), “Perturbation Theory for Linear Operators”, SpringerVerlag, New York, NY [18] P Kunkel, V Mehrmann, (2006), “Differential-algebraic Equations Analysis and Numerical Solution”, EMS Publishing House, Zurich, Switzerland [19] P Lancaster, M Tismenetsky, (1985), “The theory of matrices”, second ed, Academic Press, Inc, Orlando, Fl [20] V H Linh, (2005), “On the robustness of asymptotic stability for a class of singularly perturbed systems with multiple delays”, Acta Math, Viet, 30 137-151 [21] T Luzyanina, D Roose, (2006), “Periodic solutions of differential algebraic equation with time-delays: computation and stability analysis”, J Bifurcation Chaos 16 67-84 52 [22] L Poppe, (2006), “The strangeness index of a linear delay differentialalgebraic equation of retarded type”, in: Proceedings of the Sixth IFAC Workshop on Time-Delay Systems, 5pp [13] L Qiu, E J Davison, (1992), “The stability robustness of generalized eigenvalues”, IEEE Trans, Autom , Control 37 886-891 [24] L.F Shampine, P Gahinet, (2006), “Delay-diferential-algebraic equations in control theory”, Apply, Numer Math 56 574-588 [25] T Stykel, (2002), “On criteria for asymptotic stability of differentialalgebraic equation”, Z Angew, Math, Mech, 92 147-158 [26] S Xu, P Van Dooren, S Radu, J Lam, (2002), “Robust stability and stabilization for singular systems with state delay and parameter uncertinty”, IEEE Trans Autom Cont 47 1122-1128 [27] W Zhu, LR Petzold, (1998), “Asymptotic stability of linear delay differential-algebraic equations and numerical methods”, Appl Numer Math 24 247-246 [28] W Zhu, LR Petzold, (1998), “Asymptotic stability of Hessenberg delay differential-algebraic equations of retarded or neutral type”, Appl Numer Math 27 309-325 53 [...]... thiết trong các phương trình vi phân, lặp lại nếu cần, thì sẽ dẫn tới kết quả của một phương trình vi phân thường cho tất cả các ẩn hàm Số lần lấy đạo hàm cần thiết trong phép biến đổi từ phương trình vi phân đại số về phương trình vi phân thường gọi là chỉ số vi phân của phương trình vi phân đại số Như vậy, phương trình vi phân thường là phương trình vi phân đại số chỉ số là Hệ phương trình Ax  Bx... 1.3 Chỉ số của phƣơng trình vi phân đại số Chỉ số của phương trình vi phân đại số là một số nguyên dương cung cấp những thông tin hữu ích về cấu trúc toán học và những phức tạp tiềm ẩn trong phân tích và tìm nghiệm của phương trình vi phân đại số Nhìn chung, chỉ số càng cao, sẽ càng khó khăn hơn trong vi c tìm nghiệm cho phương trình vi đại số Có nhiều cách định nghĩa khác nhau về khái niệm chỉ số này... được gọi là chính quy chỉ số k nếu cặp ma trận  A, B là chính quy chỉ số k (k là chỉ số mềm) Người ta có thể phân lớp các phương trình vi phân đại số nhờ khái niệm chỉ số của các phương trình vi phân này 6 Tiếp theo ta đề cập đến khái niệm chỉ số (mềm) của phương trình vi phân đại số 1.4 Phƣơng trình vi phân đaị số tuyến tính với hệ số hằng Xét phương trình vi phân đại số dạng F (t , x(t ), x(t ))... BP, A2 : A1  B1Q1 ( A1  BPQ1 ) Phương trình vi phân đại số tuyến tính (1.5) có chỉ số 1 khi và chỉ khi N S  n  det A1  0 Phương trình vi phân đại số tuyến tính (1.5) có chỉ số 1 khi và chỉ khi  dim N1  const  0 tức là  n  N1  S1  , t  I  det A1  0  det A2  0 1.5 Sự ổn định (Lyapunov) của phƣơng trình vi phân đại số Xét phương trình vi phân đại số tuyến tính sau A(t ) x(t )  B(t... không của (1.7) là ổn định nếu: với thỏa mãn ‖ ‖ một vector tùy ý sao cho với , nghiệm của bài toán giá trị ban đầu  Ax  Bx  0, t   0,    P( x(0)  x0 )  0  tồn tại duy nhất và thỏa mãn‖ ‖ với t Nghiệm không được gọi là ổn định tiệm cận nếu nó ổn định và ‖ ‖ với nghiệm x của (1.7) Nếu nghiệm không của (1.7) là ổn định và ổn định tiệm cận , chúng ta nói rằng hệ (1.7) là ổn định, ổn định tiệm... chúng ta có 19 phương trình DODE trung tính cơ bản đối với phương trình DDAE trung tính chỉ số 2 dạng (1.26) và (1.27’’) Từ những đặc trưng của DDAE dạng Hessenberg nói trên, chúng ta có thể kết luận rằng muốn khảo sát tính ổn định của các DDAEs dạng Hessenberg, ta cần phải xem xét tính ổn định của DODEs cơ bản tương ứng của chúng 20 Chƣơng 2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH CỦA PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ VỚI TRỄ... số này Ví dụ: chỉ số Kronecker, chỉ số vi phân (Brenan và đồng nghiệp, 1986), chỉ số nhiễu (Hairer và đồng nghiệp, 1996), chỉ số mềm (Griepentrog và đồng nghiệp, 1986), chỉ số hình học (Rabier và đồng nghiệp, 2002), hay chỉ số lạ (Kunkel et al 2006), Vì một phương trình vi phân là hỗn hợp của các phép vi phân và tích phân, nên có người cho rằng vi c lấy đạo hàm các điều kiện ban đầu và thay thế khi cần... của Lyapunov) nếu với mọi số ( đều tồn tại ‖ x(t , t0 , x0 ) ‖ ) cho trước và với mọi sao cho nếu x0  n thỏa mãn P(t0 ) x0   thì với mọi Định nghĩa 1.5.2 Nghiệm tầm thường x(t )  0 của hệ (1.6) được gọi là ổn định tiệm cận nếu nó ổn định và tồn tại số ( ) ‖ ( ) ‖ sao cho nếu ( ) thì ‖ x(t , t0 , x0 ) ‖ b Phƣơng trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 2 Giả sử hệ (1.6) có chỉ số 1 và ker A(t ) trơn... tính ổn định tiệm cận của DDAEs trong hệ (1.9) cũng tương tự như của DODEs Định nghĩa 1.6.3 [13,24,25] Nghiệm tầm thường của phương trình DDAE (1.9) được gọi là ổn định nếu với mỗi các hàm liên tục ( , nghiệm mãn‖ ( )‖ ( )sao cho với tất cả thỏa mãn điều kiện đầu tương thích và sup  (t )   t  ,0 , tồn tại với t )của bài toán điều kiện đầu cho(1.9) thỏa Định nghĩa 1.6.4 Nghiệm tầm thường của phương. .. )  B1(t )Q1 (t ) 8 Phương trình vi phân đại số tuyến tính (1.4) có chỉ số 1 trên I khi và chỉ khi N (t )  S (t )  n , t  I Phương trình vi phân đại số tuyến tính (1.4) có chỉ số 2 trên I khi và chỉ khi  dim N1 (t )  const  0  det A1 (t )  0, t  I tức là   n det A2 (t )  0, t  I  N1 (t )  S1 (t )  , t  I Đặc biệt khi xét phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng Ax(t )  Bx(t ... kết phương trình vi phân đại số, phương trình vi phân có trễ, lí thuyết ổn định phương trình vi phân sử dụng chương Chƣơng Tiêu chuẩn ổn định phương trình vi phân đại số với trễ bội nghiệm số chúng. .. tính ổn định DODEs tương ứng chúng 20 Chƣơng TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH CỦA PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ VỚI TRỄ BỘI VÀ NGHIỆM SỐ CỦA CHÚNG Trong luận văn này, xét phương trình vi phân đại số tuyến tính với. .. phân đại số DDAE: Phương trình vi phân đại số có trễ DODE: Phương trình vi phân thường có trễ NDODE: Phương trình vi phân thường có trễ trung tính NDDAE: Phương trình vi phân đại số có trễ trung